INTRDUÇÃ «Programa e as Metas Curriculares respeitam a estrutura cumulativa que é característica da disciplina de Matemática, apoiando-se os novos conhecimentos em outros previamente estudados e adquiridos. A memorização, da compreensão cumulativa de conceitos e do desenvolvimento do raciocínio abstrato são capacidades indispensáveis a um bom percurso escolar ou profissional, em qualquer área do conhecimento. desenvolvimento do raciocínio abstrato deve ser considerado como uma finalidade em si. Apenas a memorização e a compreensão cumulativa de conceitos, técnicas e relações matemáticas permitem alcançar conhecimentos progressivamente mais compleos e resolver problemas progressivamente mais eigentes. As rotinas e automatismos são essenciais à atividade matemática. s procedimentos formam uma ponte entre os conhecimentos elementares e a utilização da Matemática para a resolução de problemas rotineiros.» Adaptado de Programa e Metas Curriculares de Matemática A do Ensino Secundário Este livro vai ao encontro do que preconizam o Programa e as Metas Curriculares e pretende ser uma ferramenta essencial para a consolidação de conhecimentos. A estrutura do livro respeita a distribuição dos Domínios e Subdomínios do Programa. Cada subdomínio ou grupo de dois subdomínios está organizado em duas partes: Eercícios resolvidos Eercícios para resolver As resoluções dos Eercícios para resolver estão disponíveis em www.escola virtual.pt. Pretende-se com este livro proporcionar aos alunos mais um instrumento que permita complementar o estudo e que contribua para uma eficaz preparação para os diversos momentos de avaliação a que será sujeito durante o ano e uma efetiva preparação para o Eame Nacional. Autor
ÍNDICE FRMULÁRI... 5 TRIGNMETRIA E FUNÇÕES TRIGNMÉTRICAS Etensão da trigonometria a ângulos retos e obtusos e resolução de triângulos... 8 Razões trigonométricas dos ângulos retos e obtusos e resolução de triângulos rientação de ângulos num plano e rotações... 13 Ângulo orientados e as respetivas medidas de amplitude Rotações segundo ângulos orientados Ângulos generalizados Razões trigonométricas de ângulos generalizados Medidas de ângulos em radianos Funções trigonométricas e propriedades Funções trigonométricas inversas Resolução de problemas... 33 Etensão da trigonometria a ângulos retos e obtusos e resolução de triângulos... 37 Razões trigonométricas dos ângulos retos e obtusos e resolução de triângulos rientação de ângulos num plano e rotações... 39 Ângulo orientados e as respetivas medidas de amplitude Rotações segundo ângulos orientados Ângulos generalizados Razões trigonométricas de ângulos generalizados Medidas de ângulos em radianos Funções trigonométricas e propriedades Funções trigonométricas inversas Resolução de problemas... 49 GEMETRIA ANALÍTICA Declive e inclinação de uma reta... 54 Inclinação de uma reta Produto escalar... 58 Propriedades do produto escalar de vetores Equações de planos no espaço Resolução de problemas... 68 I S B N 9 7 8-9 8 9-7 4 4-3 7 5-6
Declive e inclinação de uma reta... 79 Inclinação de uma reta Produto escalar... 81 Propriedades do produto escalar de vetores Equações de planos no espaço Resolução de problemas... 86 SUCESSÕES Generalidades sobre sucessões... 94 Majorantes e minorantes de um conjunto de números reais Propriedades elementares de sucessões reais Princípio de indução matemática... 109 Utilizar o princípio de indução matemática na demonstração de propriedades Progressões aritméticas e geométricas... 11 Termo geral de uma progressão aritmética Termo geral de uma progressão geométrica Soma de n termos consecutivos de uma progressão aritmética ou geométrica Limites de sucessões... 1 Limite de uma sucessão Resolução de problemas... 133 Generalidades sobre sucessões... 147 Majorantes e minorantes de um conjunto de números reais Propriedades elementares de sucessões reais Princípio de indução matemática... 151 Utilizar o princípio de indução matemática na demonstração de propriedades Progressões aritméticas e geométricas... 15 Termo geral de uma progressão aritmética Termo geral de uma progressão geométrica Soma de n termos consecutivos de uma progressão aritmética ou geométrica Limites de sucessões... 156 Limite de uma sucessão Resolução de problemas... 157 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL Funções racionais... 16 Limite segundo Heine de funções reais de variável real... 167 Limite de uma função num ponto e propriedades 3
Continuidade e propriedades Assíntotas ao gráfico de uma função Derivadas de funções reais de variável real e aplicações... 190 Noção de derivada Aplicação da noção de derivada à cinemática do ponto perar com derivadas Aplicação da noção de derivada ao estudo de funções Resolução de problemas... 03 Funções racionais... 07 Limite segundo Heine de funções reais de variável real... 09 Limite de uma função num ponto e propriedades Continuidade e propriedades Assíntotas ao gráfico de uma função Derivadas de funções reais de variável real e aplicações... 17 Noção de derivada Aplicação da noção de derivada à cinemática do ponto perar com derivadas Aplicação da noção de derivada ao estudo de funções Resolução de problemas... 3 ESTATÍSTICA Reta de mínimos quadrados, amostras bivariadas e coeficiente de correlação... 30 Parâmetros da reta de mínimos quadrados Reta de mínimos quadrados, amostras bivariadas e coeficiente de correlação... 39 Parâmetros da reta de mínimos quadrados TESTE GLBAL I... 45 TESTE GLBAL II... 50 SLUÇÕES... 55 4
RIENTAÇÃ DE ÂNGULS NUM PLAN E RTAÇÕES 8 Indica o ângulo generalizado de amplitude: 8.1 1500º 8. 910º 8.3 3655º 8.4 1880º 8.5 475º 8.6 4340º RESLUÇÃ 8.1 1500º = 60º + 4 360º Logo, tem-se, (60º, 4). 8. 910º = 30º + 8 360º Logo, tem-se, (30º, 8). 8.3 3655º = 55º + 10 360º Logo, tem-se, (55º, 10). 8.4 1880º = 80º 5 360º Logo, tem-se, ( 80º, 5). 8.5 475º = 45º 13 360º Logo, tem-se, ( 45º, 13). 8.6 4340º = 0º 1 360º Logo, tem-se, ( 0º, 1). 9 Na figura, está representado um heágono regular [ABCDEF], inscrito numa circunferência de centro e raio 6 cm. E F 9.1 Utilizando letras da figura, indica o lado etremidade do ângulo orientado com lado origem A e amplitude: D A 9.1.1 480º 9.1. 600º 9.1.3 70º 9.1.4 100º 9. Indica a imagem do ponto E por uma rotação de centro e amplitude: 9..1 60º + 4 360º 9.. 10º 4 360º C 9..3 760º 9..4 3360º B 9.3 Determina as imagens de F pelas rotações de centro e ângulos generalizados: 9.3.1 (10º, 4) 9.3.3 (60º, 11) 9.3. ( 40º, 6) 9.3.4 ( 180º, 10) RESLUÇÃ 9.1.1 E 9.1. C 9.1.3 A 9.1.4 C 9..1 D 9.. A 9..3 A 760 = 40º + 7 360º 9..4 A 3360 = 10º 9 360º 9.3.1 D 9.3. D 9.3.3 E 9.3.4 C 14
10 Na figura, está representado um referencial o. n. e nele a circunferência trigonométrica. Considera os pontos A, P, Q, R e S que estão sobre a circunferência. Sabe-se que: Q P as coordenadas do ponto A são (1 ; 0) ; A A P = 30º A Q = 10º A R = 5º R S A S = 300º Determina as coordenadas dos pontos P, Q, R e S. RESLUÇÃ Ponto P Seja P a projeção do ponto P sobre o eio. sin (30º) = _ P P P 1 = _ P P 1 P P = 1 cos (30º) = _ P P 3 = _ P 1 P = 3 Logo, P ( 3 ; 1 ). P P A Ponto Q Seja Q a projeção do ponto Q sobre o eio. sin (60º) = _ Q Q Q 3 = _ Q Q 1 Q Q = 3 Q cos (60º) = _ Q Q 1 = _ Q 1 Q Logo, P ( 1 ; 3 ). = 1 Q A 15
LIMITES SEGUND HEINE DE FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL 16 Calcula, caso eistam, os limites seguintes: 16.1 lim _ 3 + + 3 1 16. lim _ 4 3 + 3 5 + 1 16.3 lim _ 5 + + 3 + 16.4 lim _ 4 6 4 3 + 4 7 4 1 16.5 lim _ + + 17 Determina, caso eistam, os limites seguintes: 17.1 lim + + + 17. lim + + 5 + + 18 Determina, caso eistam, os limites seguintes: 18.1 lim 1 ( (1 ) 1 1 ) 18. lim 3 ( ( 3) ( 3) ) 18.3 lim 4 ( ( 16) _ 3 7 + 8 + 16 ) 19 Considera as funções f e g, reais de variável real. Sabe-se que: f () = ( 3) 3 3 g é uma função limitada de domínio R. valor de lim (f () g () ) é : 3 A. 3 B. + C. Não eiste. D. 0 1
0 Considera as funções f e g, reais de variável real. Sabe-se que: _ f () = + 8 g () = + Calcula, justificando: 0.1 lim g () ; lim f () ; lim (f g ) () 1 1 1 0. lim f () ; lim g () ; lim (g f ) () 1 3 1 1 Considera as funções f e g, reais de variável real, representadas abaio. f g 3 3 4 3-1 1 1 1 3-3 Mostra que a função f é descontínua em = e que a função g é contínua em = 1 Considera a função f, real de variável real, definida por _ 8 7 se 3 f () = 1 se 3 4 + 1 se > 3 3 Mostra que a função f é contínua em = 3. 13