Capítulo 8 Conservação de Momento Sistema de 2 partículas Forças Internas e Externas Sejam as forças internas (aparecem aos pares) que 2 faz sobre 1 e que 1 faz sobre 2, respectivamente. Sejam as forças externas sobre 1 e 2, respectivamente. Então Onde são os vetores momento linear das partículas 1 e 2, respectivamente. Somando, teremos Pela 3ª. Lei,. Por outro lado, é a força resultante externa. Chamamos de momento linear total do sistema: Logo, Num processo de colisão em que não há forças externas, e é um vetor constante. Note que a força externa resultante está atuando sobre um sistema de massa total nos permite definir o vetor posição de centro de massa para um sistema de 2 partículas, o que Que define as 3 componentes cartesianas de Note que a expressão acima revela uma média ponderada para X, Y e Z
Denominamos o momento linear total no referencial de laboratório. Para obter o vetor momento no referencial de um observador em repouso no centro de massa, fazemos a transformação de coordenadas Obviamente, pois a coordenada do CM no referencial de CM é nula (a origem). Podemos definir o vetor velocidade do CM no referencial de laboratório No referencial de CM teremos Logo, E o vetor aceleração do CM no referencial de laboratório No referencial de CM teremos
Sistema de N partículas Somando em i Como a interação de pares se cancela, isto é, e é a força externa total, teremos Definimos a massa total e o vetor posição do centro de massa no referencial de laboratório Transformando para o referencial de CM:, temos Derivando em relação ao tempo O vetor é o vetor momento linear total do sistema. Conservação de Momento Se não existe força resultante externa então haverá conservação do vetor momento linear total Logo, se F e é zero, o CM permanece em repouso (se já estava) ou com velocidade constante. Vejamos qualitativamente o exemplo: duas partículas de massa unidas por uma mola sem massa de constante. Elas estão sobre uma superfície horizontal e são inicialmente comprimidas e liberadas a a partir do repouso. Se:
1) Não há atrito as forças horizontais nas partículas são internas e iguais a (em módulo) kx (x é a elongação da mola a partir do seu comprimento livre. Neste caso não há força resultante (nem horizontal nem vertical) o vetor momento linear total do sistema se conserva (era zero e continuará zero) O centro de massa está em repouso e assim permanecerá e os vetores velocidades de 1 e 2 têm mesma direção e sentidos opostos. A oscilação é eterna. 2) Há atrito. Se supusermos que o coeficiente de atrito é o mesmo para 1 e 2 então as forças de atrito serão. Se então as forças de atrito não se cancelam e haverá uma força resultante externa, o centro de massa não ficará em repouso e a oscilação cessará depois de algum tempo. Se, as forças de atrito se cancelam, o centro de massa ficará em repouso e a oscilação cessará depois de algum tempo. Quando lançamos uma granada e ela explode no ar, o CM continua fazendo a trajetória parabólica inicial, enquanto seus fragmentos farão trajetórias parabólicas novas que dependerão de suas velocidades e orientações. Centro de Massa para um Sistema Contínuo Centro de massa de uma barra uniforme de comprimento L x L dx x Centro de massa de uma barra não uniforme
Centro de Massa de uma placa triangular e uniforme de lados a e b (veja figura abaixo) b dy y x dx a
Massa Variável Seja um corpo de massa e velocidade no instante t sob a ação de uma força externa. Num instante posterior,, uma parte de sua massa é ejetada com velocidade. A massa neste instante é menor do que no instante t e a nova velocidade Teremos: O vetor momento linear inicial do sistema (um corpo) no instante t é E o vetor momento linear final no instante t + Δt do sistema (dois corpos) é Onde é a velocidade relativa de ejeção do elemento de massa Onde mantivemos somente termos de 1ª. ordem nos diferenciais Donde