ATIVIDADE 02 Texto de Apoio II Os conceitos de erro e incerteza Reformulações nas tradicionais teorias de erros Tanto do ponto de vista conceitual quanto dos procedimentos de cálculo, a questão dos erros e da incerteza da medida sempre foi um pouco confusa. Um esforço para resolver esse problema vem sendo realizado há mais de 20 anos por grupos de especialistas indicados por organizações internacionais 1. Com o objetivo de estabelecer um padrão internacional para a linguagem e para os procedimentos relacionados à incerteza da medição, essas organizações publicaram em 1993 a primeira edição do Guia para Expressão da Incerteza da Medição, referido abreviadamente pela sigla GUM 2. Os conceitos e procedimentos definidos no GUM são significativamente diferentes do que se encontra nos cursos mais tradicionais de tratamento de dados experimentais. Assim, será inevitável que os novos padrões em metrologia convivam, por algum tempo, com as tradicionais teorias de erros. O presente texto de apoio foi escrito para facilitar a transição do vocabulário tradicional para o contemporâneo nos laboratórios didáticos e para que os alunos compreendam seus professores quando, por força do costume, trocarem conceitos novos por antigos. Guia para Expressão da Incerteza da Medição (GUM). Por ser este um texto introdutório, ele reterá um conceito que parece ser adequado a muitas situações experimentais da Física: o conceito de valor verdadeiro. A rigor, é possível estender o conceito de incerteza para situações em que os valores verdadeiros das grandezas experimentais em questão não são somente desconhecidos, mas indeterminados. Entretanto, por julgarmos essa questão um pouco além dos objetivos desta disciplina, o conceito de valor verdadeiro será retido. O Conceito de Erro Na nomenclatura do GUM, a palavra erro é empregada exclusivamente para indicar a diferença entre o valor verdadeiro e o resultado de uma medição. Assim, para saber o erro de uma medida exatamente, é preciso conhecer seu valor verdadeiro 3. Como o valor verdadeiro da maioria das grandezas de interesse experimental é desconhecido a priori 4, o conceito de erro tem pouco uso prático. Por exemplo, sabendo que a velocidade da luz no vácuo é definida como, é possível calcular o erro de qualquer medição dessa grandeza subtraindo o resultado obtido no experimento pelo valor verdadeiro (conhecido por definição). Assim, o cálculo exato do erro só é possível se soubermos, de antemão, qual é o valor verdadeiro em questão. Porém, apesar de ter pouco uso prático, o conceito de erro é fundamental para se compreender de que maneira e por que motivos os resultados das medições se desviam dos seus respectivos valores verdadeiros. 1 BIPM (Bureau International des Poids et Mesures), IEC (International Electrotechnical Commission), IFCC (International Federation of Clinical Chemistry), ISO (International Organization for Standardization), IUPAC (International Union of Pure and Applied Chemistry), IUPAP (International Union of Pure and Applied Physics) e OIML (International Orgnization of Legal Metrology). 2 Do inglês: Guide to the expression of uncertainty in measurement. 3 Em parte, as controvérsias em torno do conceito de valor verdadeiro foram apresentadas no primeiro texto de apoio. Assim, é importante lembrar que valores verdadeiros são definidos a partir de modelos. Feita essa ressalva, para os objetivos desta disciplina, sempre poderemos imaginar que estamos lidando com grandezas que possuem valores verdadeiros bem definidos. 4 A priori é uma expressão da filosofia que, nesse caso, pode ser interpretada como antes de realizar qualquer experimento. 34
A questão das fontes de erro Erro é a diferença entre o valor obtido em uma medição e seu alvo, seu valor verdadeiro. De fato, existem vários fatores em um processo de medição que produzem erro, ou seja, que contribuem para que o resultado da medição se desvie do seu alvo. Esses fatores são chamados fontes de erro. Fatores que contribuem para que os resultados das medições se desviem dos seus valores verdadeiros são chamados fontes de erros. Em um experimento real há, geralmente, várias fontes de erro. Sem a pretensão de esgotar todas as fontes de erro possíveis de ser observar em um experimento, chamamos atenção às seguintes: a) Calibração do instrumento. Todo o intrumento de medição deve ser calibrado direta ou indiretamente com relação a um padrão internacional de referência. Como nenhum processo de calibração é perfeito, temos ai uma fonte de erro. Quanto mais imperfeita for a calibração do instrumento, tanto mais desviado será o valor obtido do seu valor verdareiro. Por exemplo, a distância de 1,00 m em uma trena comercial é, certamente, um pouco diferente (para mais ou para menos) da distância que verdadeiramente corresponderia a 1,00 m segundo padrões internacionais. b) Condições de uso e armazenamento do instrumento. Dependendo do material com que é fabricado, das suas condições de uso e armazenamento, o instrumento pode se desviar do seu estado original. Por exemplo, uma régua de plástico pode se dilatar, trincar ou deformar com o uso. Uma balança pode sofrer pequenos danos físicos a cada vez que é transportada do armário para a bancada de trabalho. Da mesma maneira, todos os instrumentos estão sujeitos, ao longo do tempo, a perderem sua calibração original. Temos aí outra fornte de erro. c) Interação instrumento-objeto. A interação entre o instrumento e o objeto da medição pode alterar o valor verdadeiro da grandeza medida. Por exemplo, ao medir a espessura de uma resma de papel com um paquímetro, é sempre necessário pressionar a resma um pouco para retirar o ar que fica preso entre as folhas. Porém, podemos estar comprimindo a resma de papel além da sua espessura verdadeira. Ao mesmo tempo, se o paquímetro não a pressiona, é possível que um pouco de ar fique preso entre as folhas. Assim, devido à interação entre o instrumento e objeto, é possível que o resultado da medição se desvie (para mais ou para menos) do seu valor verdadeiro ou valor alvo. d) Variáveis que não conseguimos (ou não desejamos) controlar. As grandezas físicas estão relacionadas umas às outras. Por isso, para obter uma boa medida de uma grandeza, é fundamental que consigamos controlar as variáveis às quais essa grandeza está relacionada. Por exemplo, se desejamos medir o alcance de um projétil, é fundamental que consigamos controlar seu ângulo de inclinação, sua altura de lançamento e sua velocidade inicial. Quanto mais essas grandezas variarem além do nosso controle, tanto mais o alcance variará. Assim, cada grandeza que não conseguirmos (ou não desejamos) controlar precisamente contribui para que o valor que obtemos ao final de cada medição se desvie do seu alvo. Embora seja impossível neutralizar completamente todas as fontes de erro em um experimento, é fundamental tentar controlá-las. As fontes de erro acima são toleradas na medida em que são inevitáveis. Todo o resultado experimental possui algum erro algumas fontes de erro estão presentes até nas medidas feitas pelos pesquisadores mais cuidadosos sob as melhores condições de trabalho. Porém, é importante destacar que a impossibilidade de controlar completamente as fontes de erro não justifica que o experimento seja feito com desleixo, que você realize as medições sem saber o que está fazendo ou que empregue os instrumentos de maneira inadequada. Em atividade experimental, alguns erros são perdoáveis porque são inevitáveis, mas nem todos são inevitáveis...! A decomposição do erro em parcelas Como já foi antecipado, o erro de uma medida pode ser definido pela expressão: Na maioria dos experimentos, podemos considerar que há várias fontes de erro em jogo. Ou seja, podemos considerar que o erro na equação acima resulta da contribuição de diversas fontes de erro relativamente independentes. Cada uma dessas fontes contribuiria com uma 35
Freqüência Relativa Mecânica experimental parcela de erro para mais ou para menos. Dessa maneira, o erro seria representado como o resultado da soma de todas essas parcelas. Com isso: Essa possibilidade de decompor o erro em parcelas relativamente independentes (cada uma correspondendo a uma fonte de erro) é fundamental para justificarmos um pressuposto frequentemente adotado na análise de dados experimentais: que a grandeza que estamos medindo obedece uma distribuição normal. O bilhar de Galton O bilhar de Galton (também chamado Quincunx) é uma tábua de madeira com pregos fixados em posições alternadas e em fileiras equidistantes conforme mostra a Figura 1. Esse bilhar é muito importante porque nos ajuda a compreender o que é uma distribuição normal e qual é sua importância experimental. Figura 1. Bilhar de Galton. O bilhar representado na Figura 1 possui 10 fileiras de pregos. Da posição marcada com um x na figura, é solta uma esfera. Ao passar de uma fileira de pregos para a fileira seguinte, a esfera colide frontalmente com um prego, sendo obrigada a virar ora à direita, ora à esquerda. A menos de pequenas imperfeições e falhas eventuais, uma esfera que seja solta do topo do bilhar deve ter igual probabilidade de tomar um caminho ou outro. Expressando matemáticamente essa afirmação, o resultado do bilhar após um lançamento pode ser representado pela seguinte equação: Nela, é resultado do i-ésimo passo da esfera (podendo ser ½ ou -½ com igual probabilidade). Como há 10 fileiras de pregos, a esfera realiza sempre 10 movimentos ao total e o resultado final será sempre um número inteiro compreendido entre -5 e 5. Como cada movimento pode ser considerado independente dos anteriores, é esperado que, frequentemente, os passos cancelem uns aos outros e que os resultados finais mais freqüentes estejam em torno de. Após lançar uma esfera em um bilhar idêntico ao da Figura 1 mais de 500 vezes, obtivemos os dados representados no Gráfico 1. Gráfico 1. Histograma das freqüências relativas no bilhar de Galton. 30,00% 25,00% 20,00% 15,00% 10,00% 5,00% 0,00% -5-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 5 Resultado no bilhar 36
Como é possível perceber, o resultado mais provável de se obter com o bilhar é. Os outros resultados são tão mais prováveis quanto mais se aproximam desse máximo central. Essa característica decorre do fato de que o resultado do bilhar é composto por uma soma de parcelas independentes ( ). Como cada parcela contribui para mais ou para menos, elas tendem a se anular tornando mais provável o resultado nulo. Além disso, é possível perceber que as barras verticais no Gráfico 1 sugerem um desenho em formato de sino. Essas são características do que chamamos distribuição normal de probabilidades. Assim como o bilhar de Galton possui diversas fileiras de pregos, medidas de grandezas experimentais possuem necessariamente diversas fontes de erros. Por isso, esse bilhar é tão importante. Ele nos ajuda a perceber que grandezas experimentais têm, geralmente, distribuições de probabilidade semelhantes à distribuição normal. Qual é a importância de saber a distribuição de probabilidades das grandezas experimentais? Bem, é somente de posse dessa informação que podemos construir intervalos de confiança com níveis de confiança bem definidos a partir das médias e desvios padrão dessas médias conforme apresentado em texto anterior. A incerteza da medição Por definição, incerteza é um parâmetro utilizado para avaliar quantitativamente a confiabilidade do resultado de uma medição. É importante destacar que incerteza não é erro. O cálculo do erro depende de conhecermos o valor verdadeiro daquilo que estamos medindo. Em contrapartida, o cálculo da incerteza não tem esse tipo de restrição. A incerteza pode (e deve) ser calculada mesmo quando não temos nenhuma idéia do valor verdadeiro em jogo. Por isso a incerteza é um conceito muito mais instrumental que o erro. A saber, há dois tipos de incerteza: do tipo A e do tipo B. Grandezas experimentais têm, geralmente, distribuições de probabilidade semelhantes à distribuição normal. As incertezas são de tipos diferentes porque são calculadas por procedimentos distintos. No primeiro grupo de procedimentos de avaliação da incerteza estão todos os métodos que envolvem a análise estatística de uma série de observações. No outro grupo, o restante. Por definição, as avaliações da inceteza do tipo A dependem que seja feita uma série de observações da mesma grandeza física. Nesta disciplina, a avaliação da incerteza do tipo A ocorre essencialmente quando calculamos o desvio padrão da média de uma série de observações 5. Nesses casos, a média das observações é o resultado da medição. Assim, para a série de observações, o resultado da medição 6 e sua incerteza são determinadas por: 5 Para saber mais sobre o desvio padrão da média, leia o texto de apoio Desvio padrão da média e intervalos de confiança. 6 Um traço feito sobre uma variável geralmente representa a média dessa variável (por exemplo, representa a média dos valores de ). Nesta disciplina, representaremos com um traço superior os todos os resultados das medições (mesmo quando eles não forem obtidos da média de uma série de observações. 37
As avaliações da incerteza do tipo B são utilizadas principalmente quando é muito difícil realizar observações repetidas (ou quando não faz sentido realizar tais observações). Do ponto de vista teórico, os procedimentos de avaliação da incertezada do tipo B são bastante sofisticados, mas não precisam ser discutidos agora. Por enquanto, podemos assumir que o resultado da avaliação da incerteza do tipo B é igual à metade da menor divisão da escala. Ou seja, para medidas com régua e trena, a incerteza associada ao resultado de uma medição individual pode ser considerada igual a. No caso de alguns instrumentos com leitura digital, a incerteza pode ser considerada igual ao menor valor apresentado no visor. Por exemplo, em um cronômetro digital que apresenta os intervalos de tempo em centésimos de segundo, a incerteza do tipo B pode ser considerada igual a 0,01 s. Em caso de dúvida, consulte o manual do fabricante! Assim como ocorre com a incerteza do tipo A, o resultado da avaliação da incerteza do tipo B pode ser interpretado como um desvio padrão. Ou seja, tanto a incerteza do tipo A quanto a incerteza do tipo B pode ser utilizada para construir intervalos de confiança. Enfim, o Quadro 1 resume os procedimentos e definições apresentados. Nos casos em que é muito difícil realizar uma série de observações, recorre-se à avaliação da incerteza do tipo B. Incertezas do tipo A e B podem ser interpretadas como desvios padrão! Quadro 1. Conceitos-chave da nomenclatura atual de metrologia (GUM). Nome Significado/Definição Observações Erro É igual á diferença entre o resultado da medição e o valor verdareiro. É muito útil para compreender de que maneira e por que motivos a medida se desvia do seu valor verdadeiro. Contudo, tem pouco uso instrumental pois requer conhecer de antemão o valor verdadeiro em questão para calcular o respectivo erro. Incerteza Parâmetro que permite avaliar quantitativamente a confiabilidade do resultado de uma medição. Pode ser obtida por meio de uma avaliação do tipo A ou do tipo B. Pode ser utilizada para construir intervalos (chamados intervalos de confiança) cuja probabilidade de ocorrência do valor verdadeiro é conhecida. Incerteza não é erro! Incerteza do tipo A Incerteza do tipo B Incerteza calculada a partir de um procedimento que envolve observações repetidas. Incerteza calculada a partir de um procedimento que não envolve observações repetidas. Nesse caso, o resultado de uma medição é igual á média das observações e a incerteza (do tipo A) é igual ao desvio padrão dessa média. Nesse caso, o resultado da medição é igual ao resultado da primeira (e única) observação e a incerteza (do tipo B) pode ser considerada igual à metade da menor divisão da escala. Este texto de apoio foi escrito com pretenções introdutórias, levando em consideração o que será efetivamente necessário nesta disciplina. Para uma apresentação mais completa e especializada dos procedimentos de determinação da incerteza da medição, consulte as referências. Referências JOINT COMMITEE FOR GUIDES IN METROLOGY (JCGM). International vocabulary in metrology: Basic and general concepts and associated terms (VIM). 3 ed. Sèvres: BIPM, 2008a. 90 p. Disponível em <www.bipm.org/en/publications/guides>. Acesso em 17 set. 2010. JOINT COMMITEE FOR GUIDES IN METROLOGY (JCGM). Evaluation of measurement data: Guide to the expression of uncertainty in measurement (GUM). 1 ed. Sèvres: BIPM, 2008b. 120 p. Disponível em <www.bipm.org/en/publications/guides>. Acesso em 17 set. 2010. 38
Como citar este texto de apoio LIMA JUNIOR, P.; SILVA, M.T.X.; SILVEIRA, F.L. Os conceitos de erro e incerteza. In:. Mecânica experimental: Subsídios para o laboratório didático. Porto Alegre: IF-UFRGS, 2011. p. 34-38. No prelo. Disponível em <www.if.ufrgs.br/fis1258>. Acesso em 15 mar. 2011. 39