REVISÃO DOS CONTEÚDOS As quatro operações fundamentais As operações fundamentais da matemática são quatro: Adição (+), Subtração (-), Multiplicação (* ou x ou.) e Divisão (: ou / ou ). Em linguagem comum, elas são chamadas de aritmética ou operações aritméticas. Adição (Soma): É a operação matemática que explica o montante do total de objetos juntos de uma coleção. Por exemplo, se José tem 2 maçãs e Laura tem 3 maçãs, e queremos saber quantas maçãs eles têm juntos. Então, devemos unir os dois conjuntos e eles terão 5 maçãs juntos (2 de José + 3 de Laura = 5 maçãs no total). Subtração: A subtração representa a operação aritmética que é a oposta da adição. Ela é usada quando você quer saber quantos objetos são deixados no grupo, depois que você retirar uma certa quantidade de objetos a partir desse grupo. Por exemplo, Maria tem 5 maçãs e ela dá 2 maçãs para Paulo. Com quantas maçãs que ela ficou? Ela ficou com 3 maçãs (5 maçãs que ela tinha menos 2 maçãs que ela deu a Paulo que é igual a 3 que são as maçãs que ficaram para ela: 5 3 = 2). Multiplicação: A multiplicação de dois números é equivalente à adição de um número com ele próprio, tantas vezes quanto o valor que o outro número representa. Podemos simplificar isso, se você tem 5 grupos de maçãs e cada grupo tem 3 maçãs, você pode resolver isso assim: 3 maçãs + 3 maçãs + 3 maçãs + 3 maçãs + 3 maçãs= 15 maçãs no total. Em outras palavras, a multiplicação é uma operação matemática que é usada quando você quer saber quantas vezes um número é multiplicado em uma equação. Por Ex. 3 x 4 = 12, isto é o número 3 é 4 vezes multiplicado nesta equação que tem um produto ou resultado 12. Divisão: A divisão é a quarta operação básica de matemática. Basicamente, você pode dizer que significa dividir repartindo objetos em partes iguais ou em grupos. Por exemplo, você tem 12 maçãs que precisa ser dividido igualmente em 4 pessoas. Quantas maçãs receberá cada pessoa? Cada pessoa vai ter 3 maçãs (12 maçãs 4 pessoas = 3 maçãs por pessoa). A operação da divisão é o oposto da multiplicação: 3 x 4 = 12 12/4 = 3 ou 12 4 = 3 Operações com números racionais Adição e Subtração de Frações: Para somar ou subtrair duas ou mais frações, é necessário que o denominador em todas as frações seja o mesmo. Após verificar isso ou
reduzir os denominadores a um mesmo valor por meio do Mínimo Múltiplo Comum (MMC) ou das frações equivalentes, basta conservar o denominador e somar/subtrair os expoentes. Veja: Utilizando o MMC para reduzir os denominadores: 1-2 + 4 = 1-2 + 4 = 3-4 + 24 = 23 2 3 2 3 1 6 6 Cálculo do MMC 2, 3, 1 2 1, 3, 1 3 1, 1, 1 MMC (2, 3, 1) = 2 x 3 = 6 Para obter os números do numerador, foi feito o seguinte: dividimos o resultado do MMC pelo denominador e multiplicamos pelo numerador: 6 : 2 = 3 x 1 = 3 6 : 3 = 2 x 2 = 4 6 : 1 = 6 x 4 = 24 Adição e Subtração de dois ou mais números decimais: Na soma ou subtração de números decimais, juntamos número inteiro com inteiro, parte decimal com decimal, parte centesimal com centesimal e assim por diante. Observe o exemplo abaixo: adição. 2,57 + 1,63 = 2 e 1: partes inteiras 0,5 e 0,6: partes decimais 0,07 e 0,03: partes centesimais Para resolver a soma de números decimais, podemos estruturar o algoritmo da 2,57 + 1,63 4,20 Multiplicação/Divisão de frações Na multiplicação de frações, devemos multiplicar os numeradores com numeradores e os denominadores com denominadores. Confira: 3 x 6 = ( 3 x 6 ) = 18 7 4 ( 7 x 4 ) 28 Já na divisão de duas ou mais frações, utilizamos uma regra prática: conservase a primeira fração, multiplicando-a pelo inverso da segunda. Recorde-se que o inverso de uma fração é dado ao trocarmos o seu denominador pelo numerador.
Veja: 13 : 9 = 13 x 2 = 26 7 2 7 9 63 Multiplicação e Divisão de números decimais Prof. a : Patrícia Caldana Multiplicação: Ao multiplicarmos números decimais, devemos estruturar o algoritmo. Para saber a posição da vírgula no produto obtido, contamos quantas casas decimais possui cada número decimal e deslocamos a vírgula em relação aos algarismos do produto da direita para a esquerda. Observe o exemplo: 2,4 x 1,2 = Inicialmente estruture o algoritmo da multiplicação. 2,4 x 1,2 48 24+ 2,88 Observe que a vírgula ficou entre os algarismos 2 e 8. Isso aconteceu porque o número 2,4 possui uma casa decimal, e o número 1,2 também possui uma casa decimal. Assim, temos, no total, duas casas decimais. Sendo assim, devemos deslocar a vírgula do produto obtido (288) duas casas da direita para a esquerda (2,88). Divisão: Para realizar a divisão de números decimais, devemos igualar a quantidade de casas decimais dos números e efetuar a divisão. Confira o exemplo abaixo: decimal. 1,23 : 0,5 = O número 1,23 possui duas casas decimais, e o número 0,5 possui uma casa Para igualar a quantidade de casas decimais, devemos multiplicar ambos os números pelo termo decimal, ou seja, 10, 100, 1000..., que possui a maior quantidade de casas decimais. Sendo assim, temos que multiplicar 1,23 e 0,5 por 100. (1,23 x 100) : (0,5 x 100) = 123 : 50 Utilizando o algoritmo da divisão, temos 123 : 50. 123 50-100 2,46 230-200 300-300 0 1,23 : 0,5 = 2,46
Matemática fincanceira A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixa. Capital: O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Juros: Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos. Taxa de juros: A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um determinado período. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da especificação do período de tempo a que se refere: 8 % a.a. - (a.a. significa ao ano); 10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre). Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual a taxa percentual dividida por 100, sem o símbolo %: 0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês). Juros simples: O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou simplesmente Capital é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos: J = C. i. t Onde: J = juros C = capital i = taxa de juros t = tempo de aplicação (mês, bimestre, trimestre, semestre, ano...) Para calcularmos o valor do montante final, utilizamos a seguinte equação: M = C + J Onde: M = montante final C = capital J = juros Juros Compostos: Os juros compostos, também chamados de juros capitalizados ou juros sobre juros, é um cálculo muito presente no sistema financeiro,
e muitas pessoas são iludidas com os anúncios de juros baixos, mas acabam pagando muito acima do valor à vista. Diferente dos juros simples, o juro composto é calculado sobre o montante obtido no período anterior. Somente no primeiro período é que os juros são calculados sobre o capital inicial. Através da fórmula abaixo, poderemos calcular o montante adquirido ao longo do tempo em que certa quantia fica submetida ao regime de juros compostos. Montante (M) - Capital (C) - Taxa (i) - Período de tempo (t) M = C. (1 + i) t Para encontrar somente juros basta subtrairmos o capital inicial do montante encontrado. Vejam a fórmula: J = M C Potenciação (exponenciação) Seja a multiplicação 2. 2. 2. 2, onde todos os fatores são iguais. Podemos indicar este produto de modo abreviado: 2. 2. 2. 2 = 2 4 = 16 Denominamos: Base: o número que se repete. Expoente: o número de fatores iguais. Potência: o resultado da operação. A operação efetuada é denominada potenciação. Observação: Um número natural é um quadrado perfeito quando é o produto de dois fatores iguais. Por exemplo, os números 4, 36 e 100 são quadrados perfeitos, pois 2² = 4 6² = 36 10² = 100 Propriedades OPERATÓRIAS DA POTENCIAÇÃO Produto de potências de mesma base: Considere o produto. Observe que: Assim:
Tomando por base o exemplo acima, podemos concluir que: Para multiplicar potências de mesma base, devemos conservar a base e somar os expoentes. Genericamente: Divisão de potências de mesma base: Considere o quociente. Observe que: Assim: Tomando por base o exemplo acima, podemos concluir que: Para dividir potências de mesma base, não-nula, devemos conservar a base e subtrair os expoentes. Genericamente: Potência da potência: Considere a potência. Observe que: Assim: Tomando por base o exemplo acima, podemos concluir que: Para elevar uma potência a um novo expoente, devemos conservar a base e multiplicar os expoentes. Genericamente: Radiciação Já sabemos que 6² = 36. Aprenderemos agora a operação que nos permite determinar qual o número que elevado ao quadrado equivale a 36., pois 6 elevado ao quadrado é 36. Essa operação é a inversa da potenciação e denomina-se radiciação. Sendo assim:
Notação Observação: Na indicação de raiz quadrada, podemos omitir o índice 2. Por exemplo,. Raízes de índice par: Quando elevamos um número positivo ou um número negativo a um expoente par, o resultado sempre é um número positivo. Exemplo: definido que: Porém, como em matemática o resultado de uma operação deve ser único, fica Genericamente: Qualquer raiz de índice par de um número positivo é o número positivo que elevado ao expoente correspondente a esse índice equivale ao número dado. Observação: Não existe raiz real de um número negativo se o índice for par. Exemplo: não existe, pois não há nenhum número real que elevado ao quadrado dê -4. Raízes de índice ímpar: Quando o índice de uma raiz é ímpar e o radicando é positivo, a raiz é positiva. Quando o índice de uma raíz é ímpar e o radicando é negativo, a raiz é negativa. Exemplos:
Resolvendo raízes por meio da fatoração: Ao lidar com radicandos maiores, podem surgir dúvidas, pois o valor da raiz não aparecerá tão facilmente. Para situações como essas, devemos utilizar o processo de fatoração para obter a raiz. Vale lembrar que na fatoração há um número que deve ser dividido pelo menor número primo possível sucessivas vezes até que o quociente seja um. Vejamos como encontrar a raiz quadrada de 729: