Coloração Equilibrada dos Grafos Ímpares e Triangulares

Coloração Equilibrada dos Grafos Ímpares e Triangulares Milene Pimenta IME, Universidade Federal Fluminense, Brasil, milene@vm.uff.br RESUMO Uma coloração de vértices de um grafo G(,E) é uma aplicação c: N ( N= { 1,,..., n} com c(u) c(v) sempre que (u, v) E. Uma coloração será dita equilibrada quando c -1 (i) - c -1 () 1, onde 1 i, n. O número cromático equilibrado corresponde à ordem da menor coloração equilibrada que pode ser obtida. Dado o grafo de Kneser K(n,r), o Grafo Ímpar é obtido quando n =r+1. O Grafo Triangular T(n), consiste no complementar do Grafo de Kneser K(n,). Neste trabalho, determina-se o número cromático equilibrado dos Grafos Ímpares e Triangulares. PALARAS CHAE: Coloração eqiuilibrada, Grafos ímpares, Grafos Triangulares, Número cromático equilibrado. ABSTRACT A coloring of vertices of a graph G (, E) is an application c: N (N = {1,,..., n} with c (u) c (v) where (u, v) E. In an equitable coloring we have the condition: c -1 (i) - c -1 () 1 where 1 i, n. The equitable chromatic number corresponds to the order of less equitable coloring that can be obtained. Given the Kneser Graph K(n,r), the Odd Graph occurs when n=r+1. The Triangular Graph T(n) is the complement of the Kneser Graph K(n,). In this work, we determine the equitable chromatic number of the Odd and Trinagular Graph. KEYWORDS: Equitable coloring, Odd graph, Triangular graph, Equitable chromatic number. 1 INTRODUÇÃO Considere G = (,E) um grafo não orientado, simples, sem laços e conexo. O conunto de vértices e arestas de G são denotados por (G) e E(G) e suas cardinalidades são G e G, respectivamente. Uma coloração de vértices de um grafo G(,E) é uma aplicação c : M ( M= { 1,,..., k}, sendo M o conunto de cores) com c(u) c(v) sempre que (u, v) E. Se existir uma coloração de G utilizando k cores, ela será chamada de coloração de ordem k de G ou então k-coloração e dizemos que G é k-colorível. O menor número k para que G sea k-colorível é denominado número cromático e é representado por (G) = k. Cada subconunto i = f -1 (i) de representa uma classe de cores.

Definição 1: Uma coloração equilibrada de um grafo G é uma k-coloração de G de modo que suas classes de cores satisfaçam a condição: i - 1, 1 i, k. Um grafo G é dito k-colorido equilibradamente se ele possuir uma k-coloração equilibrada. O menor inteiro k de modo que G possua uma k-colora ção equilibrada é denominado de número cromático equilibrado e é representado por eq (G). A definição de coloração equilibrada foi introduzida por Walter Meyer em 1973 [7]. Observe que as propriedades validas para a coloração usual, não são necessariamente validas para uma coloração equilibrada. Dados os grafos G(,E) e H(*,E*) onde H é subgrafo de G, ou sea, * e E* E*. Tem-se que (H) (G) mas na coloração equilibrada, nada se pode afirmar. É interessante notar que, para a coloração usual, se um grafo é k-colorível então também é (k + 1)-colorível. Já na coloração equilibrada, não temos esta propriedade. Por exemplo, o grafo K(5;5) é equilibradamente - colorível, mas não possui uma coloração equilibrada com 3 cores. Exemplo : Considere os grafos G e H abaixo. 1 1 3 4 5 6 4 5 6 7 8 9 10 11 7 8 9 10 11 Tem-se que, eq (G) = (G) = e as classes de cores são: c 1 = { 1,7,8,9,10,11} e c = {, 3, 4,5, 6}. Em relação a H, (G) e as classes de cores são c 1 = { 1,7,8,9,10,11} e c = {, 4,5, 6}. Mas esta coloração exibida não é equilibrada nem existe uma coloração equilibrada de H com duas clases de cores. Neste caso, tem-se que eq (H) = 3 e as classes de cores são c 1 = { 1, 7, 8}, c = {, 4, 5,6} e c 3 ={ 9,10,11}. Considere G (v) ou simplesmente (v), o grau do vértice v no grafo G. Tem-se que (G) = max{(v), v }. RESULTADOS DE COLORAÇÃO EQUILIBRADA Nesta seção serão apresentados alguns resultados conhecidos de coloração equilibrada. (a) eq (K n ) = n, e cada classe de cores é unitária. (b) eq (P n ), e cada classe de cor tem cardinalidade n/ se n é par,ou no caso ímpar uma classe de cor tem cardinalidade (n+1)/ e a outra (n-1)/., se n é par, (c) eq (C n ) =. Se n é par, as duas classes de cores tem 3, se n é ímpar cardinalidade n/. Mas se n é ímpar, então: Se n 0 (mod. 3), as três classes tem cardinalidade n/3 Se n 1 (mod. 3), duas classes tem cardinalidade (n-1)/3 e a outra classe tem cardinlidade (n+)/3, Se n (mod. 3), duas classes tem cardinalidade (n+1)/3 e a outra classe tem cardinlidade (n-)/3.

(d) n eq (S n )= 1. Se n é ímpar, tem-se uma classe unitária e (n-1)/ classes de cardinalidade. Se n é par, tem-se duas classes unitárias e (n-)/ classes de cardinalidade. (e) n eq (W n )= 1, se n > 4 e as classes recaem no mesmo caso de S n. Se n = 4, segue que eq (W n )= 4, com todas as classes unitárias. 3 LIMITES E CONJECTURAS Em primeiro lugar, convém observar que toda coloração equilibrada é também uma coloração de vértices, portanto, considerando-se o grafo G(,E), segue imediatamente que: (G) eq (G). Em relação à coloração usual, tem-se que um algoritmo guloso pode fornecer uma ( (G)+1) coloração para um grafo G(,E) qualquer; segue então que dado qualquer grafo G, (G) (G) +1, ou sea (G) +1 é um limite superior para o número cromático. O Teorema de Brooks enunciado a seguir, indica quando um grafo pode ser -colorível. Teorema 3: (Teorema de Brooks): Um grafo G(,E) não é -colorível se e somente se G contem o grafo completo K (G)+1 ou se (G) = e G contém um ciclo ímpar. Em 1970, Hanal e Szemerédi [3]. mostraram que qualquer grafo G pode ser equibilbradamente colorido com k cores, se k (G) +1, estabelecendo assim uma cota superior para o número cromático equilibrado. Mas a demonstração apresentada por eles era extremamente complexa e não apresentava um algoritmo de ordem polinomial capaz de efetuar tal coloração. Em 008, Kierstead and Kostochka[4] apresentaram uma demonstração mais simples e também um algoritmo de ordem polinomial capaz de gerar a coloração equilibrada. O resultado é o seguinte Teorema. Teorema 4: Todo grafo G(,E) satisfazendo = n e (G) r, possui uma (r + 1) coloração equilibrada de ordem ( rn ). A seguir, será enunciada uma conectura em relação à coloração equilibrada. Essa conectura foi proposta por Chen, Wu e Luh, em 1994.[1] Conectura 5 ( A Conectura da -coloração Equilibrada ( ECC)): Sea G(,E) um grafo conexo com (G) = r. G não possui uma r-coloração equilibrada se e somente se G = K (G)+1 ou r = e G é um ciclo ímpar ou se r 3, r ímpar e G = K r,r. Chen, Wu e Lih, mostraram em [1], os Teoremas 6, 7 e 8. Teorema 6: Sea G(,E) um grafo conexo com (G) v /. Se G K m e G K m+1,m+1 então G possui uma (G)-coloração equilibrada. Teorema 7: A ECC é válida para todos os grafos conexos G(,E) tais que (G) 1 + /3. Teorema 8: A ECC é válida para todos os grafos regulares.

4 GRAFOS ÍMPARES Dados dois inteiros positivos t e r, o grafo de Kneser K(t, r) é o grafo cuos vértices representam r- subconuntos de {1,,, t}, onde t > r, e onde dois vértices são adacentes se e somente se correspondem a subconuntos disuntos. O grafo de Kneser t t r tem exatamente vértices e cada vértice tem grau. Se t = r+1 então r r K(r+1, r) é denominado Grafo Ímpar. Considere o conunto de vértices com as seguintes características: Todos os elementos de contém o numero, Nenhum elemento de contém um numero menor que. Exemplo 9: Em K(5,), o conunto de vértices é = {{1,}, {1,3}, {1,4}, {1,5}, {,3}, {,4}, {,5}, {3,4}, {3,5}, {4,5}} e os subconuntos 1,, 3 e 4 são descritos da seguinte forma: 1 = {{1,}, {1,3}, {1,4}, {1,5}}, = {{,3}, {,4}, {,5}}, 3 = {{3,4}, {3,5}} e 4 = {{4,5}}. Observe que 4 1 e uma partição de. r Considere K(r + 1, r) (, E), onde =, uma partição do seu conunto de vértices. 1 Teorema 10: Sea ímpar. Então eq( ( K(+1, )) = 3. Prova: Atribuímos a cor c a todos os vértices de W. Isso pode ser feito, pois todos os vértices tem pelo menos uma cor em comum. De fato, isso deve acontecer, pois cada 1 vértice contem pelo menos elementos de W, o que obriga a haver pelo menos uma coincidência. Da mesma forma, atribuímos a cor c 3 a todos os vértices de. Em principio, todos os vértices de 1 poderiam ser coloridos com a cor c 1, mas se isso fosse feito, essa coloração não seria equilibrada. Podemos remanear para os vértices 1 de 1 que contenham pelo menos remanear a mesma quantidade de vértices de 1 para W W 3 elementos de W. Da mesma forma, podemos W 3. Para mostrar que isso nos daria uma coloração equilibrada basta mostrar que o numero de vértices de 1 que não podem ser remaneados é menor que 3 1. Exemplo 11: Uma 3-coloração equilibrada de K(7,3). Os vértices de K(7,3) tem a forma {a, b, c}, onde a < b < c e a, b, c {1,, 3, 4, 5, 6, 7}. Uma das partições que fornece uma coloração equilibrada ótima de K(7,3) do conunto de vértices e = 3 P i onde: i1 P 1 = {(, 3,5), (, 3,6), (, 3,7), (, 4,5), (, 4,6), (, 4,7), (3, 4,5), (3, 4,6), (3, 4,7), (1,,3), (1,,4), (1, 3,4)} P = { (, 5,6), (3, 5,6), (4, 5,6), (, 5,7), (3, 5,7), (4, 5,7), (, 6,7), (3, 6,7), (4, 6,7), (5, 6,7), (1, 6,7)}

P 3 = { (1,,5), (1,,6), (1,,7), (1, 3,4), (1, 3,5), (1, 3,6), (1, 3,7), (1, 4,5), (1, 4,6), (1, 4,7), (1, 5,6), (1, 5,7)}. Se você observar, na partição P 1, o par 3, ou 4, ou 34, aparece em cada elemento, garantindo que os vértices não seam adacentes. Na partição P, o par 56 ou 57 ou 67, aparece em cada partição. E, por ultimo, na partição P 3 sempre aparece o algarismo 1. O caso par exige algumas modificações no processo anterior. Particionamos o conunto { 1,, 3,..., + 1} em três subconuntos: S 1 = {1}, S = {,..., } e S 3 = { +1, +,..., + 1}. Tem-se que S 1 =1, S = 1 e S 3 = + 1. Tomamos todos os vértices de que contenham pelo menos contenha o elemento 1. Chamamos este conunto de que contenham pelo menos 1 + S elementos de S e não. Tomamos todos os vértices de elementos de S 3 e não contenha o elemento 1. Chamamos este conunto de. Temos que = 1 + +. S 3 S S 3 Teorema 1: Sea par. Então eq( ( K(+1, )) = 3. Prova: Atribuímos a cor c a todos os vértices de S. Isso pode ser feito, pois todos os vértices tem pelo menos uma cor em comum. De fato, isso deve acontecer, pois cada vértice contem pelo menos elementos de S, o que obriga a haver pelo menos uma coincidência. Da mesma forma, atribuímos a cor c 3 a todos os vértices de S 3. Em principio, todos os vértices de 1 poderiam ser coloridos com a cor c 1, mas se isso for feito, essa coloração não seria equilibrada. Podemos remanear para S os vértices de 1 que contenham pelo menos remanear a mesma quantidade de vértices de 1 para elementos de S. Da mesma forma, podemos W 3. Para mostrar que isso nos daria uma coloração equilibrada basta mostrar que o numero de vértices de 1 que não podem ser remaneados e menor que o numero de vértices de S ( ou de S ). 3 Exemplo 13: Uma 3-coloração equilibrada para K(9, 4) Os vértices de K(9,4) tem a forma {a, b c, d}, onde a < b < c < d e a, b, c, d {1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9}. K(9, 4) possui 16 vértices e, portanto, cada partição em uma coloração equilibrada possui exatamente 4 vértices. Uma das partições que fornece uma coloração equilibrada ótima de K(9,4) do conunto de vértices é: P 1 = {{6, 7, 8,9}, {5, 6, 7,8}, {5, 6, 7,9}, {5, 6, 8,9}, {5, 7, 8,9}, {4, 5, 6,7}, {4, 5, 6,8}, {4, 5, 6,9}, {4, 5, 7,8}, {4, 5, 7,9}, {4, 5, 8,9}, {4, 6, 7,8}, {4, 6, 7,9},

{4, 6, 8,9}, {4, 7, 8,9}, {3, 5, 6,7}, {3, 5, 6,8}, {3, 5, 6,9}, {3, 5, 7,8}, {3, 5, 7,9}, {3, 5, 8,9}, {3, 6, 7,8}, {3, 6, 7,9}, {3, 6, 8,9}, {3, 7, 8,9}, {, 5, 6,7}, {, 5, 6,8}, {, 5, 6,9}, {, 5, 7,8}, {, 5, 7,9}, {, 5, 8,9}, {, 6, 7,8}, {, 6, 7,9}, {, 6, 8,9}, {, 7, 8,9}, {1, 5, 7,8}, {1, 5, 7,9}, {1, 5, 8,9}, {1, 6, 7,8}, {1, 6, 7,9}, {1, 6, 8,9}, {1, 7, 8,9}}, P = {{, 3, 4,5}, {, 3, 4,6}, {, 3, 4,7}, {, 3, 4,8}, {, 3, 4,9}, {, 3, 5,6}, {, 3, 5,7}, {, 3, 5,8}, {, 3, 5,9}, {, 3, 6,7}, {, 3, 6,8}, {, 3, 6,9}, {, 3, 7,8}, {, 3, 7,9}, {, 3, 8,9}, {, 4, 5,6}, {, 4, 5,7}, {, 4, 5,8}, {, 4, 5,9}, {, 4, 6,7}, {, 4, 6,8}, {, 4, 6,9}, {, 4, 7,8}, {, 4, 7,9}, {, 4, 8,9}, {3, 4, 5,6}, {3, 4, 5,7}, {3, 4, 5,8}, {3, 4, 5,9}, {3, 4, 6,7}, {3, 4, 6,8}, {3, 4, 6,9}, {, 3, 7,8}, {3, 4, 7,9}, {3, 4, 8,9}, {1,, 3,4}, {1,, 3,5}, {1,, 3,6}, {1,, 3,7}, {1,, 3,8}, {1,, 3,9}, {1,, 4,5}} e P 3 = { {1,, 4,6}, {1,, 4,7}, {1,, 4,8}, {1,, 4,9}, {1,, 5,6}, {1,, 5,7}, {1,, 5,8}, {1,, 5,9}, {1,, 6,7}, {1,, 6,8}, {1,, 6,9}, {1,, 7,8}, {1,, 7,9}, {1,, 8,9}, {1, 3, 4,5}, {1, 3, 4,6}, {1, 3, 4,7}, {1, 3, 4,8}, {1, 3, 4,9}, {1, 3, 5,6}, {1, 3, 5,7}, {1, 3, 5,8}, {1, 3, 5,9}, {1, 3, 6,7}, {1, 3, 6,8}, {1, 3, 6,9}, {1, 3, 7,8}, {1, 3, 7,9}, {1, 3, 8,9}, {1, 4, 5,6}, {1, 4, 5,7}, {1, 4, 5,8}, {1, 4, 5, 9,}, {1, 4, 6,7}, {1, 4, 6,8}, {1, 4,6, 9}, {1, 4, 7,8}, {1, 4, 7,9}, {1, 4, 8,9}, {1, 5, 6,7}, {1, 5, 6,8}, {1, 5, 6,9}}. Observe que em P 1, os algarismos 5, 6, 7, 8 e 9 aparecem pelo menos 3 vezes em cada elemento. Em P, os algarismos, 3 e 4 aparecem pelo menos vezes em cada elemento. Em P 3, todos os elementos possuem o algarismo 1. ocê também pode observar que o numero de elementos de P 1 que não possui o algarismo 1 é igual ao numero de elementos de P que não possui o algarismo 1. Teorema 14: eq (K( + 1, )) = 3 = (K( + 1, )) Prova: Conseqüência imediata dos teoremas 10 e 1. 5 GRAFOS TRIANGULARES n O espaço de Johnson k consiste em todos os k-subconuntos de N = { 1,, 3,..., n}, para um inteiro positivo n e 0 < k n. Ao espaço de Johnson, associa-se o Grafo de n n Johnson J(n, k) cuo conunto de vértices é k e onde dois k-subconuntos de k são adacentes se e somente se sua interseção possuir ordem igual a k 1. Observa-se que no caso em que k = 1, o Grafo de Johnson J(n, 1) corresponde ao grafo completo Kn. erifica-se imediatamente que os Grafos de Johson J(n, k) e J(n, n - k) são isomorfos. Portanto, serão considerados somente os Grafos de Johnson onde n k. Uma consequência da definição é que no grafo Johnson J (n, k), existe uma correspondència biunívoca entre as cardinalidades de interseções e as distàncias. Mais precisamente, a distància entre dois vértices u e v num Grafo de Johnson é dada por: d( u, v) = u \ v = v \ u = k - u v Consequentemente, tem-se que o Grafo de Johnson possui diâmetro k. Além disso, pode-se mostrar que o Grafo de Johnson J (n, k), é a distância-transitivo, isto é, para quaisquer vértices u, v, x,e y, com d (u, v) = d (x,y), existe um automorfismo de u para x e de w para y.

Neste trabalho, será obtido o número cromático equilibrado do Grafo de Johnson J(n,), que é denominado de Grafo Triangular T(n). O complemento do Grafo de Johnson J(n,), corresponde ao Grafo de Kneser K(n,). Determinar o número cromático equilibrado de um Grafo de Johnson qualquer é extremamente complexo; uma vez que não foi determinado seu número cromático para a família toda. Conhece-se apenas seu valor em alguns casos. O número cromático do Grafo de Johnson J( n, k) só foi determinado quando k = e em alguns casos onde k = 3, como se encontra em []. Teorema 15: ( J ( n, )) = n, se n é ímpar; n 1, se n é par. Teorema 16: (J(n,3) = n,se n 1(mod. 6) e n > 7. Neste trabalho, será determinado o número cromático equilibrado do Grafo de Johnson J(n,k) quando k =. Para tal, devem ser considerados os seguintes resultados. Lema 17: eq(j(n, ) ) = ( J ( n, )) = n - 1, se n é par. Prova: Em J(n, ), tem-se que = n(n-1)/.observe que cada partição de - subconuntos disuntos de n tem no máximo n/ elementos.como ( J ( n, )) = n 1, segue que cada partição tem exatamente n/ -subconuntos disuntos de N. Portanto, esta coloração obtida é uma coloração equilibrada e eq(j(n,)) = n. Exemplo 18: Uma 5-coloração equilibrada para J(6, ). Os vértices de J(6,) tem a forma {a, b}, onde a < b e a, b {1,, 3, 4, 5, 6}. Uma das partições que fornece uma coloração equilibrada ótima de J(6,) do conunto de vértices é: P 1 = { {1,},{4,6}, {3,5}}, P = { {1,3}, {,4}, {5,6}}, P 3 = {{1,4}, {,5}, {3,6}}, P 4 = {{1,5}, {3, 4}, {, 6}} e P 5 = {1, 6}, {, 3}, {4,5}} Lema 19: eq (J(n, ) ) = ( J ( n, )) = n, se n é ímpar. Prova: Em J(n, ), tem-se que = n(n-1)/.observe que cada partição de - subconuntos disuntos de n tem no máximo (n-1)/ elementos. Como ( J ( n, )) = n, segue que cada partição tem exatamente (n-1)/ elementos. Como ( J ( n, )) = n, segue que cada partição tem exatamente (n-1)/ -subconuntos disuntos de N. Portanto, esta coloração obtida é uma coloração equilibrada e eq (J(n,)) = n 1. Exemplo 0: Os vértices de J(5,) tem a forma {a, b}, onde a < b e a, b {1,, 3, 4, 5}. Uma das partições que fornece uma coloração equilibrada ótima de J(5,) do conunto de vértices é: P 1 = { {1,},{3,4}}, P = { {1,3}, {,5}}, P 3 = {{1,4}, {3,5}}, P 4 = {{1,5}, {, 4}} e P 5 = { {, 3}, {4,5}}

Como consequencia dos lemas 17 e 19, pode-se determinar o número cromático equilibrado de J(n,), como será visto a seguir. Teorema 1: : eq(j ( n, )) = n, se n é ímpar; n 1, se n é par. 6 CONCLUSÕES Determinar o número cromático equilibrado de um grafo é um problema extremamente complexo. Os Grafos Ímpares e Triangulares abordados neste trabalho são grafos fortemente regulares e seus números cromático e cromático equilibrado coincidiram. Debe-se procurar establecer todos os grafos fortemente regulares em que a igualdade é satisfeita. 7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1.- Chen, B. L., Lih, K.-W. and Wu, P.-L. (1994). Equitable coloring and the maximum degree, Europ. J. Combinatorics, 15, 443 447..- Etzion, T., Bitan, S. ( 1996). On the chromatic number, colorings and codes of the Johnson Graph, Discrete Applied Mathematics 70, 163-175. 3.- Hanal, A. and Szemerédi, E.(1970). Proof of a conecture of Erd os, in: A. R enyi and. T. S os, eds., Combinatorial Theory and Its Applications,ol. II, Colloq. Math. Soc. J anos Bolyai 4 (North-Holland, Amsterdam) 601-63. 4.- Kierstead, H. A. and Kostochka, A..(008). A Short Proof of the Hanal- Szemerédi Theorem on equitable coloring, Combinatorics, Probability and Computing, 17, 65 70. 5.- Lih, K.-W. and Wu, P.-L.(1996). On equitable coloring of bipartite graphs, Discrete Math., 151, 155-160. 6.- Lovasz, L.(1978). Kneser s Conecture, Chromatic Number and Homotopy, Journal of combinatory theory series A v. 5, 319-34. 7.- Meyer, W.(1973). Equitable coloring, Amer. Math. Monthly, 80, 90-9.