Exercícios desafiadores de Física I Sears & Zemansy (in memoriam) setembro 2009 5.3 rampa rugosa com gelo - Y & F cap.6-00 Uma rampa está inclinada de um ãngulo α com o plano horizontal. Ela está parcialmente coberta de gelo e na sua base existe mais gelo do que no seu topo, de modo que o coeficiente de atrito entre a rampa e as caixas a serem empilhadas em cima da rampa, aumenta com a distância x ao longo da rampa : µ = x, onde é uma constante positiva e a base da rampa corresponde a x = 0. Supomos que o coeficiente de atrito estático e cinético sejam iguais. Uma caixa é empurrada para cima da rampa com velocidade inicial v 0. Qual é a condição sobre a velocidade para que a caixa continuar em repouso, depois de ter atingida um estado de repouso momentânea ao longo da rampa? Solução : reação normal da rampa sobre a caixa é : N = mg cos α (5.3.) força de atrito cinética, dirigida para baixo, depende de x e é dada por : F C at = µ(x)mg cosα = (mg cos α) x (5.3.2) O trabalho feito pela força de atrito ao subir até um ponto x f, onde a caixa fica momentaneamente ao repouso, é : xf W at = 0 dx (mg cosα) x = 2 (mg cos α) (x f) 2 (5.3.3) Nesse ponto a energia cinética é nula e temos, pelo teorema Trabalho-Energia, (K f + U f ) (K i + U i ) = W at (5.3.4)
onde U é a energia potencial gravitacional. Tomando U i = 0, teremos U f = mg x f sin α (5.3.5) mgx f sinα mv2 0 = 2 2 (mg cosα) (x f) 2 (5.3.6) distância máxima x f que a caixa vai percorrer até parar momentaneamente, é dada pela raiz positiva da equação : cos αx 2 f + 2 sinαx f v2 0 g = 0 (5.3.7) Ora a força de atrito estática, dirigida para cima, é dada por F E at = mg sinα e, para a caixa ficar parada, deve satisfazer à condição F E at x f N. ou x f tan α (5.3.8) onde x f é a raiz positiva da equação (5.3.7). Isso acontece se cos α ( ) tanα 2 + 2 sinα ( ) tanα (v 0) 2 g 0 (5.3.9) ou, se (v 0 ) 2 3g sinα tan α (5.3.0) 2
5.4 Uma mola com massa - Y & F cap.6-0 Seja M a massa de uma mola com constante elástica e comprimento relaxado L 0. O trabalho realizado ra esticar ou comprimir a mola até um comprimento L é dado por : W = (/2) (L L 0 ) 2. Suponha que uma extremidade da mola esteja fixa e a outra se move com velocidade V. Suponha também que a velocidade v varia linearmente com a distância l até a extremidade fixa. Suponha também que a massa M seja uniformemente distribuida ao longo da mola. a. Calcule a energia cinética da mola em função de M e V. b. Numa espingarda de mola com massa M e constante, a mola está comprimida de uma distância. Puxando o gatilho, a mola exerce ums força horizontal sobre uma bala de massa m. Calcule, desprezando a massa da mola, a velocidade V da bala quando a mola attinge seu comprimento sem deformação. c. Calcule V 2 essa velocidade sem desprezar a massa da mola N, usando o modelo do ítem [a.]. d. Nesse último ítem, determine a energia cinética da bala e compare com a da mola. Solução : a. densidade linear de massa depende do comprimento da mola : µ = M/L, e a velocidade de um elemento dl da mola na distância l será v = V l/l. energia cinética infinitesimal é obtida como : ( ) 2 V l (5.4.) dk = 2 dl M L L energia cinética total é : L 0 dk = 6 MV2 (5.4.2) b. Conservação da energia (/2)mV 2 = (/2) 2, resulta em : V = m (5.4.3) 3
c. gora temos : donde : 2 mv 2 2 + 6 MV 2 2 = 2 2 (5.4.4) V 2 = m + (/3)M (5.4.5) d. K bala = 2 mv 2 2 = K mola = 6 MV 2 2 = m m + (M/3) M/3 m + (M/3) onde a soma de (5.4.6) e (5.4.7) resulta em (5.4.4). 2 2 (5.4.6) 2 2 (5.4.7) 4
5.5 Moysés, cap.6-9 Um sistema formado por duas lâminas delgadas de massa m e m, presas por uma mola de constante elástica e massa desprezível, encontra-se sobre uma mesa horizontal. ( ver figura virtual) a. De que distância a mola está comprimida na posição de equilíbrio? b. Comprime-se a lâmina superior, abaixando-a de uma distância adicional x a partir da posição de equilíbrio. De que distância ela subirá acima da posição de equilíbrio, supondo que a lâmina inferior permanece em contato com a mesa? c. Qual é o valor mínimo de x no ítem [b.] acima, para que a lâmina inferior salte da mesa? Solução : a. Tomamos um eixo OZ vertical para cima, com origem na mesa, onde a lâmina de massa m está colocada. Se z 0 for o comprimento relaxada da mola, a equação de movimento dessa lâmina será : ma = mg (z z 0 ) posição de equilíbrio z eq é obtida como : 0 = mg (z eq z 0 ), z eq = z 0 mg (5.5.) b. energia potencial gravitacional e elástica pode ser escrita como U = mgz + 2 (z z 0) 2 (5.5.2) ou como U = 2 (z z eq) 2 (5.5.3) mbas expressôes diferem apenas de uma constante. partir da posição z in = z eq x, onde a energia potencial vale U = (/2)x 2, a lâmina pode subir até a posição z fin = z eq + x. 5
c. o supor que a lâmina inferior permanece em contato com a mesa, justificamos o uso da equação (5.5.). Para examinar se isso é possível, a conservação de energia nâo é suficiente e precisamos das equações de Newton também para a lâmina inferior. m a = N m g + (z z 0 ) (5.5.4) Com z = z eq x, achamos : m a = N m g x mg (5.5.5) e, com a = 0, teremos uma força normal N 0, se x (m + m )g (5.5.6) 6