Sérgio Capparelli Ilustrações Ana Gruszynski Elementos de geometria poética
Apresentação / 6 Plano / 9 Ponto / 10 Ponto e linha/ 11 Linha reta / 12 A folga da linha reta / 13 Venha me visitar! / 14 Linha quebrada / 15 Curva / 16 E ela ali, a olhar... / 17 Linha sinuosa / 18 Linha pontilhada / 19 Paralelas / 20 Ângulo reto / 21 Ângulo agudo / 22 Retrato 3 x 4 de um ângulo agudo / 23 Ângulo obtuso / 24 Retrato 3 x 4 de um ângulo obtuso / 25 Perpendicular / 26 Bissetriz / 27 A decepção de Bissetriz / 28 Triângulo / 29 Triângulo retângulo / 30 Triângulo isósceles / 31 Triângulo escaleno / 32 A obstinação do escaleno / 33 Quadrado / 34 Um barato ao quadrado / 35 Retângulo / 36 O retângulo dengoso / 37 Losanjo / 38 Hipotenusa / 39 Trapézio / 40 O trapézio e o trapezista / 41 Hexágono / 42 O que era doce... / 43 Paralelogramo / 44 Círculo / 45 Tangente / 46 Secante / 47 Teorema do amor não correspondido / 48 Ilusão de ótica / 49 Ciranda / 50 Elipse / 52 Parábola / 53 A parábola boa de bola / 54 Hipérbole / 55 Espiral / 56 Espiral de Arquimedes / 57 Espiral logarítmica / 58 Fantasia de uma tríplice espiral / 59 Geometria de manicômio / 60 Problema de geometria / 61 Teorema duvidoso / 62 Cubo / 63 O mergulho do jovem Niemeyer / 64 Romboedro / 65 Cone truncado / 66 Pirâmide / 67 O cilindro / 68 Ilusão de ótica do cilindro / 69 Esfera / 70 Esfera II / 71 Ponderações à sombra de uma esfera / 72 Festa na casa de Euclides / 73 Bibliografia / 75 Índice por formas geométricas / 77 Sumário
Apresentação 6 Euclides viveu há muito tempo, na Grécia, e gostava de números. Um de seus professores foi Platão, diretor de uma das escolas em Atenas. Uma vez, Platão dava aula, mas Euclides tinha se distraído com um sonho que tivera naquela noite. Em canteiros retangulares, rosas desabrochavam em hastes perpendiculares formadas por linhas retas. Euclides ficou muito impressionado com esse sonho. Mas ele teve também outros. Muitos. Dali em diante, procurou separá-los de suas preocupações, pois, como os triângulos agudos, não queria perder o foco. Evitava distrair-se durante o trabalho. Mas, à noite, ia dormir e via um ponto na parede que se colocava em movimento, desenhando uma figura. O círculo é feito só de abraços. Quando terminou seus estudos, mudou-se para Alexandria, onde tinha nascido, em 325 a.c., e decidiu dedicar-se à geometria, que era uma parte da matemática preocupada em estudar pontos, linhas, ângulos, curvas, superfícies, sólidos e suas relações no espaço. Decidiu então organizar uma equipe para estudar geometria. Sua ideia era recolher tudo o que as outras pessoas tinham estudado nessa ciência especial de medir a terra e o que ela continha, porque a palavra geometria tem origem em duas outras: geo = terra e metria = medir. E ele não iria apenas medir o que os outros já tinham medido, mas inventar outras formas de medir e suas implicações no estudo das relações que elas criam no espaço. Mas por que figuras? Acontece que Euclides tinha sido aluno de Platão, e para Platão e os outros gregos o mundo era constituído de formas geométricas. (O próprio Platão fez um estudo importante sobre os poliedros, ou seja, corpos sólidos com um número finito de faces planas de vários lados. São os até hoje chamados poliedros de Platão.) A equipe de Euclides se pôs ao trabalho. Primeiro, retomou as obras de Pitágoras e de Hipócrates. Depois, as de Eudóxio, também discípulo de Platão, que mostrou muitas coisas interessantes para a geometria. Igualmente Teeteto, outro bamba daquele tempo. Finalmente, consultou inúmeros trabalhos depositados na Biblioteca de Alexandria, a maior da época antiga. Euclides avançou em certas reflexões que esses estudiosos tinham feito, manteve outras, garimpou outros
estudos de geômetras e, no fim, tinha em mãos um belo trabalho, dividido em treze livros, dando a ele o título Elementos de geometria. Os primeiros seis livros são de geometria plana. Trazem estudos sobre figuras como paralelas, triângulos, paralelogramos, retângulos, quadrados, círculos. Tratam também de coisas que podem ser medidas, de outras que não podem ser medidas e suas proporções. Resolvem problemas que o mesmo Euclides e outros estudiosos propuseram e mostram como podem ser aplicados. Nos livros de número 7 a 9, Euclides expõe a teoria dos números. O livro 10 fala dos números irracionais e é baseado no trabalho de Teeteto. E os livros de 11 a 13 tratam da geometria tridimensional, ou seja, aquele campo que estuda os sólidos ou figuras geométricas de um espaço tridimensional. Os treze livros propostos por Euclides constituem uma das obras mais lidas do mundo. Entretanto, não são propriamente estes livros que vamos apresentar aqui, mas poemas geométricos baseados nas figuras e sólidos de Euclides. O poeta francês Guillevic publicou em 1967 um livro intitulado Euclidiennes sobre esse mundo poético da geometria. Em parte, foi sua leitura que me levou a revisitar essas figuras, levando-se em conta que, nos últimos tempos, a geometria passou por grandes mudanças. Muitos matemáticos, por exemplo, recusaram um dos postulados de Euclides e lançaram as bases para uma geometria não euclidiana. Este livro, porém, não é um manual de geometria. Fica fora dessas discussões, portanto, se bem que o poeta possa se sentir como o jovem arquiteto Niemeyer, em seu mergulho nas linhas retas e curvas de Brasília. O autor reconhece que seria impossível uma memória visual do mundo de hoje sem a organização revolucionária que Euclides promoveu. Ela até poderia existir, mas seria outra memória e diria respeito a outro mundo, observado por outros homens e mulheres. Daí a opção, neste livro, de as figuras e sólidos se apresentarem e se anunciarem por si mesmos, se bem que a cavalo entre a razão da geometria e a razão poética. Bem-vindos à Casa de Euclides! Sérgio Capparelli 7
Plano Um plano Aberto a tudo. Sou infinito, Mas me contenho, Como ideia servida Na sala de jantar Ou numa folha branca. * Ir além Da abstração. É sobre o plano liso Que me pertenço. Mas não me basto. 9
Ponto O ponto final Pode ser o princípio De um novo ponto. E nunca ser final! Sempre a postos, sempre pronto, sempre no ponto. Ele nunca saiu ou sairá da linha. Esta é a lei. E ponto! 10
Ponto e linha O ponto vinha veloz Pela superfície vazia. Para trás ele deixava Um rastro de linha. Sempre acontece, Quando me movimento. Eu sou ponto, Eu sou linha. 11
Linha reta O menor caminho Entre dois pontos Que se estende Sempre igual E longe segue Ao infinito. 12