Nível 2 Instruções para a realização da Prova Leia com muita atenção Prova da segunda fase Caro Aluno, Parabéns pela sua participação na décima terceira edição da Olimpíada de Matemática de São José do Rio Preto! Lembre-se de que uma Olimpíada é diferente de uma prova escolar. Muitas vezes, as questões que você vai enfrentar não serão compreendidas na primeira leitura. Leia-as novamente para entender perfeitamente o que se pede. Depois, pense... Bem-vindo ao mundo dos desafios!!! Não importa a quantidade de questões que vai acertar ou errar ao final da prova. Cada exercício que você conseguir resolver representa uma vitória. Dos erros você poderá tirar várias lições e, com certeza, passará a entender um pouco mais dessa apaixonante ciência que é a Matemática. Desejamos a todos uma boa prova. Atenciosamente, Comissão Organizadora Instruções: O tempo de duração da prova é de três horas. Esta é uma prova de múltipla escolha. Cada questão é seguida por cinco alternativas (a, b, c, d, e). Somente uma delas é correta. Marque as opções no quadro de respostas da folha em anexo, utilizando caneta azul ou preta. Por exemplo, para marcar a opção B na questão 10: 10) A B C D E Realização: Departamento de Matemática do Ibilce - Unesp, São José do Rio Preto. SOMA - Sociedade dos Matemáticos. Apoio: CNPq - Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico. AOBM - Associação Olimpíada Brasileira de Matemática. Diretoria Regional de Ensino de São José do Rio Preto. Secretaria Municipal de Educação de São José do Rio Preto. O gabarito estará disponível no site www.mat.ibilce.unesp.br/olimpiada a partir das 20 horas de 04/06/2015 (quinta-feira). OMRP
RASCUNHO Gabarito 1. Alternativa C 2. Alternativa C 3. Alternativa A 4. Alternativa D 5. Alternativa B 6. Alternativa A 7. Alternativa C 8. Alternativa D 9. Alternativa B 10. Alternativa A 11. Alternativa B 12. Alternativa D 13. Alternativa E 14. Alternativa A 15. Alternativa C 16. Alternativa E 17. Alternativa C 18. Alternativa A 19. Alternativa B 20. Alternativa C 21. Alternativa A 22. Alternativa E 23. Alternativa C 24. Alternativa E 25. Alternativa E
1. Ana Lítica se diverte criando sequências de números. Ela escolhe um número inteiro como o primeiro número da sequência. Ela calcula o próximo número da sequência multiplicando os dois algarismos do primeiro número. Em seguida, Ana faz a mesma coisa com o resultado e continua até que tenha encontrado um número de apenas um algarismo. Por exemplo, se ela começa com 68, a sequência fica assim determinada: 68, 48, 32, 6. Qual dos números a seguir determina a sequência mais longa? a) 98. b) 87. c) 77. d) 62. e) 44. 5. Ari Timético tem um certo número de rosas e quer presentear suas amigas. Se entregar 8 rosas para cada uma sobram 15 rosas, mas se quiser entregar 11 rosas para cada uma faltam 3. Quantas rosas tem Ari? a) 55. b) 63. c) 61. d) 69. e) 78. 6. O diagrama abaixo é composto de um retângulo AGHB, um triângulo equilátero AFG, um retângulo ADEF e um paralelogramo ABCD. Determine a medida do ângulo BAD, em graus. 2. Quantos são os números primos, de dois algarismos, tais que a soma de seus algarismos é igual a 11? a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5. 3. Os cinco números 17, 98, 39, 54 e n têm média aritmética igual a n. Determine n. a) 120. b) 130. c) 135. d) 140. e) 150. a) 52. b) 64. c) 72. d) 86. e) 98. 4. Para evitar que sua irmã descubra o que escreve no seu diário, Ari Timético inventou um código em que cada letra corresponde a um número com um ou mais algarismos. Infelizmente sua irmã conseguiu descobrir que a frase O dia estava de sol 7. Observe a figura: E C A D AB = 20 cm CD = 5 cm BE = 10 cm tinha sido codificada para 52 85567 534437467 855 34526. Qual é o código que corresponde à letra T? a) 3. b) 4. c) 37. d) 43. e) 44. Determine a medida de AC. a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14 B Olimpíada de Matemática de Rio Preto - OMRP 3
8. Chico das Contas escolheu um número inteiro e, com esse número, somou os dois números pares imediatamente anteriores a ele e os dois ímpares imediatamente posteriores a ele, obtendo 738. A soma dos algarismos do número escolhido por Chico é: a) 10. b) 11. c) 12. d) 13. e) 14. 9. Maicon Combinatória estava construindo casas, pontes e castelos, com um jogo de blocos muito conhecido. Para construir um castelo e uma casa, Zé utilizou 120 peças. Na construção de uma ponte e um castelo precisou de 200 peças. Já na construção de uma casa e de uma ponte usou 160 peças. Para construir a casa, o castelo e a ponte, quantas peças, no total, são necessárias? a) 220. b) 240. c) 260. d) 280. e) 300. 10. Gê Ométrica corta um quadrado de três dias por três dias da página de um calendário. Se a soma das nove datas desse quadrado é um número divisível por 10 e a data do vértice superior esquerdo é múltiplo de 4, qual é a data do vértice inferior direito? a) 28. b) 27. c) 25. d) 24. e) 22. 11. Na figura a seguir sabe-se que AB = BC, DC = DE e m(dfb) ^ = 105. A medida do ângulo FDA ^ é: a) 5. b) 10. c) 15. d) 20. e) 30. 12. Por ocasião de uma gincana no colégio, Ana Lítica, Gê Ométrica, Chico das Contas, Maicon Binatória e Zé da Álgebra partcicipam de uma corrida em equipe. Todos atingem a linha de chegada, chegando nessa mesma ordem em intervalos de 5 minutos. Sabe-se que Ana corre duas vezes mais rápido que Zé. Quanto tempo Chico das Contas demorou para atingir a linha de chegada? a) 1h. b) 45min. c) 40min. d) 30min. e) 15min. 13. A soma de 42 números inteiros e consecutivos sempre é um número: a) múltiplo de 42. b) múltiplo de 6. c) múltiplo de 7, mas não múltiplo de 3. d) múltiplo de 43. e) múltiplo de 21, mas não múltiplo de 2. 14. O produto de três inteiros positivos é 50. Qual é a menor soma possível para esses três números? a) 12. b) 13. c) 14. d) 15. e) 16. 15. Um número natural, diferente de zero, se diz curioso se quando lido da esquerda para a direita, cada par de seus dígitos, escritos de forma consecutiva, formam um número quadrado perfeito. Por exemplo, o número 3649 é curioso pois 36, 64 e 49 são quadrados perfeitos. Quantos números inteiros formados por 4 ou 5 algarismos (incluindo o número do exemplo) são curiosos? a) 2. b) 3. c) 4. d) 5. e) 6. Olimpíada de Matemática de Rio Preto - OMRP 4
16. Ari Timético, Chico das Contes e Zé da Algebra organizaram uma competição de natação entre eles. Ficou combinado o total de pontos para o primeiro, o segundo e o terceiro lugares em cada prova. A pontuação para o primeiro lugar é maior do que a do segundo que, por sua vez é maior do que a do terceiro lugar. As pontuações são números inteiros positivos. O desafio consistiu de várias provas e ao final observou-se que Ari fez 20 pontos, Chico 9 pontos e o Zé da Álgebra 10 pontos. Quantas provas foram disputadas? a) 1 b) 13 c) 39 d) 5 e) 3 17. Quantos triângulos isósceles não congruentes têm lados com medidas dadas por números inteiros e perímetro 20 cm? a) 9. b) 7. c) 4. d) 3. e) 1. 18. Chico das Contas aprendeu que um número palíndromo é um número que não se altera quando é lido ao contrário. Por exemplo, 808 e 15751 são palíndromos. Chico ficou tão empolgado com esses números que fez uma lista com os palíndromos com cinco algarismos (os números não podem começar com 0), por ordem crescente e observou que o décimo primeiro número era o número de sua casa. Que número é esse? a) 11011. b) 11111. c) 12012. d) 12112. e) 12121. 20. Quantos triângulos há na figura abaixo? a) 5 b) 30 c) 15 d) 10 e) 14 21. Dizemos que um número é olímpico quando for a soma de dois naturais consecutivos e também for a soma de três naturais consecutivos. Qual número abaixo é olímpico? a) 2013 b) 2014 c) 2015 c) 2016 e) 2017 22. A soma das áreas de dois quadrados é 650 cm 2. Se as medidas dos lados desses quadrados são números inteiros, pode-se afirmar que: a) não existem quadrados nessas condições. b) existe apenas um par de quadrados, nessas condições, cujos lados medem 5 cm e 25 cm. c) existe apenas um par de quadrados, nessas condições, cujos lados medem 20 cm e 25 cm. d) existem exatamente dois pares de quadrados, nessas condições. e) existem exatamente três pares de quadrados, nessas condições. 19. Maicom Binatória joga várias vezes um par de dados de seis faces e registra a soma dos dois valores dos dados. Pelo menos quantas vezes, Maicom deverá jogar os dados para ter certeza de que uma das somas que ele registra aparece pela terceira vez? a) 33. b) 23. c) 22. d) 13. e) 12. Olimpíada de Matemática de Rio Preto - OMRP 5
23. Na cidade onde vive a família de Ana Lítica há 2015 habitantes. Uma parte desses habitantes nunca diz a verdade e todos os outros nunca mentem. Nas últimas eleições, para presidente do time de futebol, havia três candidatos e cada habitante tinha preferência por um único candidato. A cédula de votação tinha três questões: 1. Prefere o candidato A? SIM NÃO 2. Prefere o candidato B? SIM NÃO 3. Prefere o candidato C? SIM NÃO Cada um dos habitantes respondeu às três questões. Se, foram apurados 3000 votos SIM, quantos são os habitantes dessa cidade que nunca mentem? a) 975. b) 1015. c) 1030. d) 2013. e) 2015. 24. Considere um trapézio isósceles, ABCD, cuja base maior AB mede 20 cm, o lado AD mede 12 cm e o ângulo ADB ^ é reto. A distância entre o lado AB e o ponto E em que as diagonais se intersectam mede: a) 10 cm. b) 8 cm. c) 6 cm. d) 13 cm. 2 15 e) cm. 2 25. O resto da divisão do número (2015 2015 + 2014 2014 + 2013) por 13 é igual a: a) 1. b) 2. c) 10. d) 11. e) 12. Olimpíada de Matemática de Rio Preto - OMRP 6