Capítulo 10 - Gravitação O movimento dos astros celestes fascina a humanidade há milênios. Os primeiros modelos astronômicos propunham que as estrelas e os planetas se movimentavam em esferas celestes com centro na Terra. Somente 5 planetas eram então conhecidos: Mercúrio, Vênus, Marte, Júpiter e Saturno (Urano, 1781; Netuno, 1846; e o planeta anão Plutão só em 1930). Os primeiros modelos não conseguiam explicar o movimento retrógrado dos planetas. Teoria Geocêntricas - Ptolomeu e os epiciclos Cláudio Ptolomeu de Alexandria (século II, D.C.) propôs um modelo geocêntrico de epiciclos. No seu primeiro modelo, a Terra estava no centro de uma circunferência e os planetas giravam em epiciclos, isto é, em círculos cujos centros percorriam o perímetro da grande circunferência. Circunferências e esferas, durante milênios foram as únicas formas plausíveis de manisfestação da natureza, pela sua estética e simetria. No segundo e último modelo de Ptolomeu, para ajustá-lo aos dados astronômicos, Ptolomeu deslocou a Terra do centro do grande círculo (veja fig.). 1
Este modelo vigorou por 15 séculos e tinha uma precisão de cerca de 2% na determinação das posições dos planetas. Para os árabes, a obra de Ptolomeu era tão magistral que seu livro ficou conhecido como o Almagesto que significa, o maior dos livros. Teoria Heliocêntrica - Copérnico Um dos primeiros a propor a teoria heliocêntrica foi Aristarco de Samos (século III A.C.). Seus contemporâneos rejeitaram essa teoria porque ela conduziria ao efeito paralaxe das estrelas (só observada em 1838, com o telescópio). Nicolau Copérnico (1473-1543) propôs, à guisa de simplificação matemática (e isto o salvou da Inquisição), o modelo heliocêntrico. Sua teoria permitiu, por exemplo, estimar as escalas relativas das distâncias dos planetas em relação ao Sol. Planetas internos como Mercúrio e Vênus nunca são observados muito afastados do Sol. Para Mercúrio (Vênus) o ângulo máximo é ( ). Se é a distância Terra-Sol (que define 1 unidade astronômica = 150 milhões de km) e a distância do planeta então. Para planetas externos é só inverter e na equação. A tabela abaixo mostra que os resultados obtidos por Copérnico foram muito bons Em 1600, Giordano Bruno defendeu a doutrina de Copérnico e, por este motivo, foi queimado em Roma. A obra de Copérnico foi colocada no Index em 1616, pelaa Igreja. O livro do Moysés traz uma ótima revisão histórica dos primórdios da Astronomia. 2
Tycho Brahe e Kepler O dinamarquês Tycho Brahe (1546-1601) passou sua vida inteira fazendo observações astronômicas muito cuidadosas das posições dos planetas. Suas medidas se revelaram pelo menos 2 vezes mais precisas do que as anteriores. Johannes Kepler (1571-1630) foi seu assistente (por apenas 1 ano, logo em seguida Tycho faleceu) e ficou com o legado dos dados astronômicos de Tycho Brahe. Inicialmente, Kepler adotou a teoria de Copérnico com os planetas executando órbitas circulares em torno do Sol. Entretanto, para a órbita de Marte persistia um desvio de 8 minutos de arco (sendo que os dados de Tycho Brahe eram confiáveis dentro de pelo menos 4 minutos de arco). Kepler resolve então abandonar o mundo perfeito das órbitas circulares e pensar na órbita elíptica. Daí surgiram as 3 Leis de Kepler. A 1a. Lei de Kepler (lei das órbitas) As órbitas descritas pelos planetas ao redor do Sol são elípticas, com o Sol num dos focos. A equação da elipse é dada por onde ( ) é o semi-eixo maior (menor) e estamos escolhendo o semi-eixo maior ao longo do eixo x. A excentricidade da elipse é definida por, onde é a distância do foco à origem do sistemas de coordenadas e vale. Logo, 3
A circunferência tem excentricidade zero. Vemos na tabela da figura, que Mercúrio e depois Marte são os planetas (conhecidos na época) com maior valor de excentricidade. A 2a. Lei de Kepler (lei das áreas) O raio vetor que liga um planeta ao Sol descreve áreas iguais em tempos iguais É uma consequência direta da conservação do vetor momento angular já que sua derivada é o torque cujo valor é nulo para força central. Na figura abaixo temos a área infinitesimal varrida num tempo infinitesimal Logo, Como L é constante, a chamada velocidade areolar,, também será constante. Isso demonstra a 2ª. lei de Kepler. Isso explica porque no periélio um planeta se move mais rapidamente do que no afélio ( ). 4
A 3a. Lei de Kepler (lei dos períodos) Os quadrados dos períodos de revolução de 2 planetas T 1 e T 2 estão entre si como os cubos de suas distâncias médias ao Sol, R 1 e R 2 Como veremos adiante, esta lei é uma consequência direta da força gravitacional variar com o inverso do quadrado da distância. Abaixo segue uma tabela dos valores obtidos por Copérnico e os valores atuais. Kepler foi um dos primeiro escritores de ficção científica, no livro Somnium ele descreve uma viagem à Lua. Galileu Galilei (1564-1642) Galileu tomou conhecimento da teoria de Copérnico. Ele não inventou o telescópio, mas construiu um bem poderoso para a época e o dirigiu para a Lua e depois para Júpiter. Perto de Júpiter encontrou 4 pontos luminosos que por vezes se eclipsavam eram 4 satélites orbitando Júpiter. Logo a primazia de ter corpos celestes orbitando em volta não mais pertencia à Terra Júpiter tinha 4 satélites. 5
Convencido de que a teoria heliocêntrica de Copérnico e depois de Kepler era a correta começou a defendê-la abertamente. Julgado pelo Santo Ofício, teve que abjurar seus erros e heresias. Isaac Newton (1642-1727) Newton teve saúde muito frágil quando ele era criança, mas viveu até idade bem avançada. Foi um dos formuladores do Cálculo Integral e Diferencial (junto com Leibnitz). Quando uma peste se abateu sobre Londres dizimando 1/7 da população, ele se retirou para sua fazenda. Com ou sem a lenda da maçã, foi lá que ele propôs a sua Teoria da Gravitação Universal. A Força variando com o inverso do quadrado da distância Supondo uma órbita circular de raio e período para um planeta, conhecendo a sua 2ª. Lei, e combinado com a 3ª. Lei de Kepler,, teremos Supondo que essa força deveria depender também da massa concluiu que do Sol ele Que é a chamada Lei da Gravitação Universal de Newton. universal. é a constante Para testar sua teoria Newton se perguntou: essa força é a mesma para Terramaçã e Terra-Lua? Ele já sabia o valor do módulo da aceleração que a Terra faz sobre a Lua, pois, O período da Lua conhecido desde priscas eras e a distância Terra-Lua determinada havia sido determinada por Hiparco 1700 anos antes. A Distância Terra-Lua Hiparco de Nicéia (190-120 A.C.) baseou-se em uma idéia de Aristarco de Samos (320-250 A.C.) 6
Na figura acima vemos um eclipse lunar. O ponto T3 da Lua ingressa na sombra terrestre e sai em T4. Hiparco cronometrou esse intervalo de tempo Ts (em minutos). Como ele sabia que o ciclo da Lua em sua órbita é de 29,5 dias = 42.480 minutos, ele pôde calcular o ângulo 2β que a sombra da Terra faz para um observador na Terra. Supondo velocidade constante e órbita circular, temos por uma simples regra de três: 360 o 29,5 dias 2β Ts 2β ~ 1,3 o O ângulo 2α é o ângulo com que um observador da Terra vê o diâmetro aparente do Sol. A Lua e o Sol têm, praticamente, o mesmo diâmetro aparente com 2α ~ 0,5 o Da figura, vemos que α + β = a + b O ângulo a pode se tomado igual a zero, devido à enorme distância Terra-Sol. Dessa maneira, determina-se o ângulo b. Da trigonometria, sabemos que D TL sen(b) = R T Como o raio da Terra já era conhecido desde Eratóstenes, Hiparco obteve a distância Terra-Lua: 385.079 km, nada mal... pois o resultado atual é de 384.400 km. Observe que, deste resultado, segue imediatamente o raio da Lua R L Como a aceleração da gravidade da Terra ele já sabia que é a aceleração da maçã na superfície Pela sua teoria, onde são a massa e o raio da Terra, respectivamente. Logo 7
Por outro lado,, logo Portanto, Validando sua teoria!! A sua obra monumental, Princípios Matemáticos da Filosofia Natural, dá explicações científicas para: Os Cometas Como a queda da maçã e a aceleração da Lua eram explicadas por sua fórmula, Newton concluiu que os cometas, como os planetas, também tinham órbitas elípticas só que com excentricidade muito próxima de 1. Na sua época, o cometa de Halley já havia reconhecido em 3 aparições: 1531, 1607 e 1682, com um período de 75 a 76 anos. A forma da Terra Newton sabia que, caso a Terra não girasse em torno do seu eixo, os efeitos apenas gravitacionais deveriam torná-la numa esfera perfeita. Mas o efeito da força centrífuga de rotação deveria achatá-la nos polos transformando-a num esferóide oblato. Newton estimou que a razão do diâmetro polar para o diâmetro do equador deveria ser algo como, conduzindo a uma elipticidade de (elipticidade =, na fórmula da elipse). Os valores de hoje dão para a elipticidade um valor um pouco menor. 8
A Precessão dos Equinócios Hiparco em 130 A.C. já havia reparado que a posição do Sol nos equinócios migravam em relação às estrelas fixas ao longo dos séculos. Como vimos no capítulo 12, essa precessão se deve ao torque cuja origem está no achatamento dos nosso planeta. A Lua tem maior contribuição para a precessão do que o Sol. As marés Newton também foi o primeiro a atribuir a existência das marés à força gravitacional da Lua (e, menor escala, do Sol). Na figura abaixo temos uma ideia do porque temos duas marés altas e duas marés baixas no dia. Há que se acrescentar ainda o efeito da força centrífuga sobre as marés. 9
A Existência de Satélites Artificiais Newton também previu a possibilidade de satélites artificiais orbitando a Terra (veja figura abaixo). Mesmo sem conhecer o valor da constante universal, podemos calcular o período de rotação de um satélite em órbita circular de raio O primeiro satélite artificial, o Sputnik 1 (1957), tinha uma altitude média de 550 km e, portanto, período de aproximadamente 96 minutos. Se fizermos, obteremos para a distância (ou altura do satélite) de cerca de 42.000 km, são os satélites em órbita geoestacionária, estacionados sobre o mesmo ponto do planeta. 10
A Determinção de G A Experiência de Cavendish Para determinar é necessário medir a força gravitacional entre dois corpos. Como essa força é muito pequena, levou um século desde o lançamento do Principia de Newton. Em 1798, Cavendish utilizou a balança de torção no experimento que determinou. Ao par de massas, ligados por uma barra em cujo centro há uma fibra fina de quartzo, aproxima-se o par de massas. Isso produz um torque que gira um espelho onde reflete um feixe de luz. Calibrado o pêndulo e medindo o ângulo de giro do espelho, Cavendish conclui encontrou o valor, muito próximo do valor atual Cavendish denominou seu experimento de a Pesagem da Terra, já que sua determinação permite imediatamente calcular a massa da Terra A Massa do Sol Uma vez conhecido o valor de pode-se calcular a massa do Sol Onde é a distância Terra-Sol. Essa distância havia sido (muito mal) estimada por Aristarco no século III A.C. Kepler determinou por paralaxe a distância 11
Terra-Marte. Como a razão entre as distâncias Terra-Sol e Marte-Sol eram conhecidas da sua 3ª. Lei. Segue-se que cerca de 333.000 vezes a massa da Terra. Os Satélites de Júpiter e a Velocidade da Luz O satélite mais interno de Júpiter descoberto por Galileu, Io, tem período conhecido e pequeno. O astrônomo dinamarquês Olaf Römer em 1675 observou que o intervalo entre 2 eclipses consecutivos de Io aumentava quando a Terra se afastava de Júpiter (ponto 2 na fig) e diminuía quando se aproximava (ponto 4 na fig). O intervalo de tempo independente da velocidade da luz poderia ser obtido nos pontos 1 e 3. Conhecendo a velocidade de rotação da Terra em torno do Sol, ele encontrou o valor, cerca de 25 % inferior ao de hoje Outros Planetas Com a popularização dos telescópios, a busca por novos planetas se intensificou e, em 1781, William Herschel detectou Urano. Entretanto, a órbita de Urano apresentava desvios da Teoria da Gravitação de Newton. Confiantes na teoria de Newton, Adams e depois Le Verrier propuseram a existência de um outro planeta e utilizando a lei de Bode ( 17712) para o n-ésimo planeta do sistema solar 12
Por sorte, Netuno estava numa posição tal da órbita que as consequências desse erro eram mínimas. Assim Galle, descobriu Netuno a da posição prevista por Adams e Le Verrier. Descobriu-se depois que Lalande, 50 anos antes já havia encontrado Netuno no telescópio, mas pensava ser uma estrela. Além do Sistema Solar Com a melhoria dos telescópios, ficou claro que as estrelas também não eram fixas. Várias estrelas duplas e triplas foram descobertas. Indo além das estrelas detectáveis pelos telescópios (que estão todas em nossa galáxia a Via Láctea), existiam as nebulosas. Em 1871, Charles Messier catalogou cerca de 100 delas (catálogo e nomenclatura usados até hoje). Messier não queria estudar as nebulosas, apenas localizá-las para que esses irritantes objetos não fossem confundidos com cometas. As nebulosas só foram reconhecidas como outras galáxias em 1923, quando Hubble mediu suas distâncias usando as cefeídas. A nossa galáxia é espiral e suas dimensões estão mostradas na figura abaixo A Via Láctea é bem achatada. O sistema solar está há cerca de 30.000 anos luz do seu centro, com velocidade orbital de e período de rotação de anos. Se tratarmos esse movimento como um movimento circular com uma massa da Via Láctea no seu centro ( ) obtemos. Se considerarmos o Sol uma estrela típica ( estimativas de estrelas na Via Láctea! ) teremos uma Todo esse sucesso imenso da Mecânica de Newton levou Laplace a enunciar a ideia de uma dinâmica completamente determinística: Dê-me as posições e as velocidades de todos os corpos celestes e eu te direi o futuro do Universo. 13
O Caos Determinístico O entusiasmo com o determinismo da Mecânica diminuiu tremendamente mesmo no contexto da Mecânica Clássica (na Mecânica Quântica, o Princípio da Incerteza de Heisenberg, automaticamente joga por terra os ideais determinísticos de Laplace). Poincaré demonstrou que equações diferenciais podem ter condições iniciais infinitesimalmente próximas e levar a resultados completamente diferentes. Esse caos determinístico foi descrito por Lorenz (1963) num artigo intitulado o bater das asas de uma borboleta no Brasil pode provocar uma furacão no Texas? A meteorologia, que trata de um sistema enormemente complexo como a atmosfera, é uma das ciências que mais sofre com o caos determinístico. Energia Potencial e Princípio de Superposição Vimos que a força gravitacional associada a ela uma energia potencial é conservativa. Portanto, tem O vetor deslocamento pode ser decomposto numa base ortogonal de coordenadas esféricas, portanto,. Integrando a equação (1), temos onde a constante de integração é nula pois, escolhemos o referencial zero no infinito (. Para um sistema de N partículas interagindo gravitacionalmente vale o princípio de superposição (propriedade das equações diferenciais lineares, como a 2ª. Lei de Newton). onde é a distância entre as partículas de massas e e o fator ½ aparece para não contar 2 vezes a interação entre i e j. 14
Para corpos macroscópicos e contínuos de massa M (não pontuais), podemos calcular a energia potencial gravitacional infinitesimal de interação desse corpo com uma partícula pontual de massa m e que está a uma distância s do infinitésimo de massa dm A Casca Esférica homogênea de raio a Seja uma casca esférica homogênea de raio a e uma partícula pontual de massa m a uma distância r do centro da casca A área infinitesimal da fatia mostrada na figura vale logo Substituindo em du ou 15
A lei dos cossenos fornece Derivando a equação acima em relação a θ (a e r constantes) ou que pode ser substituída imediatamente na expressão (4), só precisamos reescrever os limites de integração da variável θ para a variável s quando Para a região exterior r > a que é a energia potencial como se toda a massa M da casca estivesse concentrada no seu centro. Para a região interior r < a Observe que na fronteira a energia potencial gravitacional é contínua! Como, teremos A força é descontínua na fronteira! 16
No mundo real não existe casca de espessura zero e veremos a força decair como na figura abaixo Esfera maciça homogênea de raio R A Terra é uma esfera não homogênea com a densidade aumentando no seu centro por um fator próximo de 5 Para uma esfera maciça e homogênea de raio R, a energia potencial fora da esfera, r > R, se comportará como a superposição de camadas ou cascas, logo e a força 17
No interior, r < R e a contribuição para o potencia vem exclusivamente da esfera de raio r e massa M r. então A força acima é restauradora e, ao longo do eixo radial, se comporta como uma mola de constante Como podemos integrar e obter a energia potencial A constante de integração c pode ser obtida pela continuidade de fronteira r = R na ou seja, portanto 18
Duas Esferas A figura abaixo mostra duas esferas cujos centros estão a uma distância r. Como elas se comportam como se toda a massa tivesse colapsado no seu centro, a força entre elas é a mesma que de duas partículas de massas m 1 e m 2 separadas entre si pela distância r. Massa Reduzida A 1ª. Lei de Kepler está incorreta, pois tanto os planetas como o próprio Sol giram elipticamente em torno do CM. Como a massa do Sol é muito maior (99,9% da massa do sistema solar corresponde à massa do Sol). Vejamos onde está o CM do sistema Terra-Sol T 150 x 10 6 km O S Com a origem no centro do Sol, teremos Como o raio do Sol é de 700 mil km, o CM está praticamente no centro do Sol. 19
A situação é muito diferente no caso, por exemplo, das estrelas duplas. Elas tem massas da mesma ordem de grandeza. Para analisar isso vejamos a situação de 2 partículas de massas m 1 e m 2 passando do referencial de laboratório (origem O da figura) para o referencial de CM (origem O na figura). No lab, o vetor posição do CM é Definindo o vetor de coordenadas relativas E, lembrando que: e As equações de movimento no CM são onde Substituindo (1) e (2) nas 2 equações de (3) obtemos uma única equação onde é a chamada massa reduzida 20
A equação (5) mostra que o problema de 2 corpos foi transformado no problema de um único corpo de massa reduzida μ, com vetor posição e sujeito à força Vemos que se uma massa, por exemplo, m 2 é muito maior do que a outra m 1 então ou seja, a massa reduzida se aproxima da do corpo de menor massa. Se as massas forem iguais, então Voltando à equação (5), tudo se passa como se uma partícula fictícia de massa igual à massa reduzida estivesse sob a ação da força gravitacional. O que acontece se essa partícula fictícia executa um movimento circular? então mas a aceleração centrípeta vale de (6) e (7) concluímos Isso corrige a 3ª. Lei de Kepler, onde a única massa que aparece é a massa do Sol. A equação (8) continua válida para elipses, é só substituir o raio do círculo pela distância média (ou, equivalentemente, pelo semi-eixo maior). Observação: pelas equações Vemos que se a partícula fictícia de massa reduzida tem o seu vetor posição descrevendo uma elipse então de (1) e (2) os corpos 1 e 2 também descreverão uma elipse. 21
Para comparar vejamos o sistema Sol com o maior planeta Júpiter, supondo uma órbita circular. Dados: Logo o corpo fictício de massa circular de raio distância (do centro do Sol) do que o raio do Sol de circular de raio, executa um movimento. O CM do sistema Sol-Júpiter está a uma que é um pouco maior. Portanto, Júpiter executará um movimento em torno do CM e o Sol executará um movimento circular de raio em torno do CM (que está um pouquinho além do seu raio). Podemos imaginar uma barra sem massa ligando Sol-Júpiter, com o Sol numa extremidade e Júpiter na outra e girando em torno do CM. Esse movimento (wobble) do Sol e de qualquer estrela devido à presença de um planeta bem massivo foi a primeira técnica utilizada na determinação de exoplanetas. A outra técnica é a de trânsito do planeta na frente de sua estrela, já que altera a luminosidade medida dessa estrela. Se 2 astros têm mesma massa e estão separados por uma distância L, então eles giram em torno do CM num movimento circular de raio L/2. O Campo Gravitacional Definimos para uma partícula de massa o campo gravitacional Dizemos que o corpo de massa cria ou gera em todos os pontos do espaço 3D, um vetor campo gravitacional. A cada ponto do espaço está associado um vetor. Se o corpo de massa for macroscópico, então para calcular o campo gravitacional temos que integrar dm 22
Para ilustrar o cálculo de campo gravitacional, vamos generalizar o exercício 10.17 do Moysés. Um fio homogêneo de massa tem a forma de um anel circular de raio. Perpendicular a seu plano e com direção passando pelo centro está uma barra unidimensional de densidade uniforme, massa, comprimento e cuja extremidade está a uma distância do centro do anel. Calcule a força gravitacional exercida pelo anel sobre a barra. dm M a D x α dm L m Por simetria, as componentes y e z (plano que contém o anel) se anulam já que para toda contribuição haverá outra igual mas de sentido oposto a. Logo, o campo gravitacional infinitesimal gerado por M será e integrando, teremos Esse campo cria uma força infinitesimal sobre onde chamando 23
A hipótese de uma estrela ter a mesma densidade que a Terra é ruim. Vejamos a Terra e o Sol. ou seja, o Sol é cerca de 4 vezes menos denso do que a Terra. Sejam raio e a densidade da estrela, conforme proposto por Laplace., a massa, o Então, Um corpo de massa velocidade de escape para escapar da superfície dessa estrela tem ter uma A massa da estrela calculada é cerca de 100 milhões de vezes a massa do Sol...a Relatividade Geral reduziu esse valor para cerca de 10 vezes a massa do Sol. 24
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