Análise de Fibras Ópticas pelo Método dos Elementos Finitos em Sistema de Processamento Paralelo: Uma Implementação em Matlab

Análise de Fibras Ópticas pelo Método dos Elementos Finitos em Sistema de Processamento Paralelo: Uma Implementação em Matlab Marcos A. R. Franco* e Marco A. H. Cunha Instituto de Estudos Avançados IEAv/CTA, Divisão de Física Aplicada EFA, São José dos Campos SP, Brasil, 18-840 * também com o Instituto Tecnológico de Aeronáutica ITA/ CTA, Pr. Mar. Eduardo Gomes, 50 - São José dos Campos SP, 18-900. Resumo Este trabalho apresenta uma implementação computacional paralelizada do Método dos Elementos Finitos em aproximação escalar para a análise bidimensional de fibras ópticas. O programa utiliza dados (modelo geométrico, malha, atribuição de propriedades físicas e condições de contorno) gerados pelo sistema de software LevSoft em desenvolvimento no IEAv. As rotinas implementadas foram escritas para o pacote de processamento numérico Matlab. A implementação no Matlab faz uso de um toolbox que permite gerenciar tarefas a serem executadas em máquinas remotas. O toolbox denominado ParMatlab é fornecido livremente na rede mundial de computadores e possui código aberto. O ParMatlab destina-se a implementações que visam a paralelização de grão grosso e pode ser utilizado em sistemas computacionais heterogêneos com diferentes sistemas operacionais e computadores com diferentes capacidades de processamento. Palavras-chaves Elementos Finitos, Computação Paralela, Fibras Ópticas, ParMatlab, Matlab. I. INTRODUÇÃO Apesar do contínuo aumento da capacidade de processamento dos computadores de baixo custo, a complexidade de vários sistemas físicos envolvendo fenômenos acoplados e a grande demanda dos métodos numéricos por memória e velocidade de cálculo, restringem a aplicação das ferramentas para projeto assistido por computador ou o grau de precisão das análises e simulações. Neste contexto, várias iniciativas têm sido feitas para superar esta demanda sem elevar demasiadamente o custo de sua implementação. Uma das alternativas é a utilização de um sistema composto de computadores de baixo custo, ligados em rede, para a operação conjunta de tarefas formando uma máquina de processamento paralelo. No Laboratório de Engenharia Virtual (LEV) da Divisão de Física Aplicada (EFA) do Instituto de Estudos Avançados (IEAv/CTA), vêm sendo implementadas máquinas de processamento paralelo, para aplicações multidisciplinares, baseadas no conceito de computadores da classe Beowulf [1]. O projeto de desenvolvimento dessas máquinas de processsamento paralelo recebeu o nome de BELIEVe ( Beowulf do Laboratório de Marcos A. R. Franco, marcos@ieav.cta.br, +55-1-3947-55, Fax +55-1-3944-1177, Marco A. H. Cunha, marco.hidalgo@iconet.com.br,. Este trabalho foi parcialmente financiado pela FAPESP (Proc. 0/1344-1). Engenharia Virtual do IEAv ) []. Atualmente o BELIEVe conta com dois clusters de computadores: O primeiro possui nove computadores com processadores Athlon de 1,3 GHz, 56 Mb de RAM, 0 Gb de disco, rede 100 Mbs e sistema operacional Linux. O segundo possui 1 computadores com processador Athlon 500+, 1 Gb de RAM, 40Gb de disco, rede 100 Mbs e sistema Linux. A máquina BELIEVe foi concebida como uma ferramenta para aplicações multi-institucionais e multidisciplinares. Das atividades de pesquisa desenvolvidas no IEAv, o presente trabalho está inserido no desenvolvimento de programas de aplicação do Método dos Elementos Finitos (MEF) para a solução de problemas do eletromagnetismo. Em várias das etapas do desenvolvimento destes programas emprega-se o pacote de processamento numérico Matlab. O Matlab é utilizado tanto na prototipação de rotinas para futura implementação em C e C++, quanto na implementação final de códigos de análise numérica. Devido ao elevado tempo de processamento para realizar as análises numéricas com códigos Matlab, procurou-se uma alternativa para implementá-los utilizando um sistema de processamento paralelo. Das várias opções para a paralelização de códigos Matlab [3], adotamos o toolbox de código aberto, denominado ParMatlab, distribuído livremente na rede mundial de computadores [4 ], [5]. Neste trabalho, apresentamos uma implementação do MEF para análise de fibras ópticas em sistema de processamento paralelo. Em especial, serão analisadas fibras ópticas baseadas em cristais fotônicos ( Photonic Crystal Fiber PCF ) [6], [7]. II. FIBRAS ÓPTICAS BASEADAS EM CRISTAIS FOTÔNICOS Fibras ópticas são atualmente a mais difundida tecnologia de transmissão de sinais ópticos a longa distância e vêm sendo empregadas em diversas outras áreas da engenharia, medicina, etc. Atualmente, uma nova classe de fibras ópticas, baseadas em cristais fotônicos, tem chamado atenção por se tratar do mais recente e inovador desenvolvimento na área de transmissões ópticas. Tais fibras foram primeiramente propostas por Philip Russel em 1996, por meio da confecção de fibras de sílica pura com uma microestrutura composta de centenas de furos preenchidos com ar ao longo de seu comprimento (no plano transversal da propagação óptica) [6]. Fibras ópticas que incorporam esta nova concepção têm sido construídas

desde então e revelaram novas propriedades para a propagação do sinal óptico quando comparadas às fibras convencionais [6], [7]. As fibras ópticas PCF são normalmente fabricadas utilizando um procedimento relativamente simples. Inicialmente, tubos de sílica pura de aproximadamente 0 mm são transformados em capilares de 1 mm de diâmetro por meio de técnicas convencionais de construção de fibras ópticas a partir de uma pré-forma. Posteriormente, estes tubos são unidos em um arranjo de bastões e tubos de sílica pura organizados manualmente para formar a préforma da fibra PCF. Essa pré-forma pode ser puxada até se transformar em uma fibra óptica, para tanto é utilizado um arranjo convencional normalmente encontrado em indústrias deste setor. Como resultado, obtém-se uma fibra óptica com furos aproximadamente cilíndricos, preenchidos com ar e geralmente organizados em uma estrutura hexagonal regular com furo central. Na montagem do arranjo da pré-forma, introduz-se um defeito na estrutura periódica de furos na região central da fibra (remoção do furo central do hexágono localizado no centro da fibra). A região onde existe o defeito possibilita a propagação da luz (núcleo), enquanto a região que a envolve funciona como a casca. Nos últimos anos, as fibras PCF têm se firmado como um excitante e novo campo da tecnologia de fibras ópticas. Muitos tipos de fibras PCF têm sido propostos e fabricados, resultando interessantes propriedades dispersivas, como por exemplo: operação monomodo em largos intervalos de comprimento de onda, grande intervalo espectral de dispersão anômala, alta dispersão negativa para uso como elemento de compensação de dispersão e alta birrefringência, bem como, efeitos nãolineares como a geração contínua no espectro do visível e regeneração óptica. núcleo Λ d casca microestrutura Fig. 1. Fibra PCF com arranjo hexagonal de furos e definição dos parâmetros: d e Λ representam o diâmetro do furo e o espaçamento entre furos vizinhos, respectivamente. Fibras PCF com arranjo hexagonal de furos são caracterizadas por dois parâmetros principais: os diâmetros dos furos, representados pelo parâmetro geométrico d, os quais podem variar de valor na secção transversal da fibra óptica e o espaçamento entre furos vizinhos, representado pelo parâmetro Λ ( pitch ). Para um arranjo regular de furos, o espaçamento entre furos Λ é mantido inalterado. Aplicações especiais podem requerer furos com secção transversal não circular (por exemplo: elíptica) e espaçamento Λ variável ao longo da secção transversal da fibra óptica. Nas análises numéricas de fibras PCF, realizadas com o MEF, foram escolhidos os seguintes parâmetros de projeto: o índice efetivo ( n eff = β k0 ) em função do comprimento de onda (λ), que permite construir a curva de dispersão dos modos guiados e a distribuição de campos ópticos, que permite classificar os modos. Adicionalmente, serão calculados os seguintes parâmetros derivados do n eff e dos campos ópticos: o parâmetro de dispersão (D) o a inclinação da curva de dispersão (S), a velocidade de grupo (V g ) e a área efetiva (A eff ), que podem ser calculados a partir de [8]: neff λ d D =, c dλ d D S = dλ V = g k + + 0 + + E c β, + n E ( x, y) A eff = + 4 E E ( x, y) onde c é a velocidade da luz no vácuo, E(x,y) é o campo elétrico do modo óptico e n é o índice de refração. III. ANÁLISE MODAL DE FIBRAS ÓPTICAS PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS O Método dos Elementos Finitos (MEF) é uma excelente ferramenta para ser utilizada no projeto numérico e avaliação das características eletromagnéticas de fibras e guias ópticos. O MEF permite considerar nãohomogeneidades e anisotropias arbitrárias, além de permitir análises de não-linearidades e fenômenos acoplados. A. Formulação do Método dos Elementos Finitos Considere uma onda propagando-se harmonicamente ao longo do eixo z, em um meio dielétrico anisotrópico, homogêneo, sem perdas, com permeabilidade magnética relativa µ r = 1 e tensor permissividade elétrica relativa = x y ε = x y e com elementos diagonais ε ( ), ( ) ( x y) zz = n z, xx n x,, yy n y, ε, sendo n x, n y e n z os índices de refração nas direções cartesianas x, y e z, respectivamente. Partindo-se das equações de Maxwell, pode-se escrever as equações de onda para os modos HE x e HE y que se propagam em uma fibra óptica. Na aproximação de propagação por modos HE x, tem-se que o componente de campo E y é nulo (E y 0). Na aproximação de propagação por modos HE y, tem-se que o componente de campo E x é nulo (E x 0). A equação de onda para estas duas polarizações será representada por: φ φ A + B β φ + C k0 φ = 0, () x y onde: para modos HE x, φ = E x, A = n C = C = x n z n x e para os modos HE y, φ = E y, A = 1, B = n y., B = 1 e y n z n e

Aplicando em () o Método dos Resíduos Ponderados associado à técnica de Galerkin, que utiliza para a interpolação das variáveis de estado e das funções peso as mesmas funções de base { N }, resulta o seguinte sistema matricial de autovalores e autovetores generalizado [9]: onde: T [ F]{ } n [ M ]{ φ} T = { 0} T φ, (3) T T T [ F] = A { N} { N} + B { N} { N} C k { N} { N} eff [ x x y y 0 ] T [ M ] = k { N} { N} { N} x Ω Ω 0 { N} = x e, { N} y { N}. = y Os parâmetros A, B e C foram assumidos constantes no interior de cada elemento finito. IV. COMPUTAÇÃO PARALELA COM CÓDIGOS MATLAB Um programa de análise de fibras ópticas pelo MEF foi implementado, para o ambiente do software Matlab, com execução em sistema de computação paralela. O toolbox ParMatlab, adotado neste trabalho, gerencia automaticamente a execução das tarefas em máquinas remotas (denominadas workers ). A máquina principal é denominada Master. A. Descrição do ToolBox ParMatlab Parmatlab é um toolbox de paralelização para códigos escritos na linguagem Matlab, podendo ser utilizado em qualquer tipo de computador que execute uma versão do Matlab (versão 5 ou mais recente) e esteja conectado à uma rede intranet, internet ou rede privada. O ParMatlab não requer arquivos de sistema comuns entre as máquinas conectadas à rede e todas as comunicações ocorrem via TCP-IP. A rede de máquinas remotas pode ser modificada dinamicamente, de modo que um novo worker pode unir-se a um processo paralelo já iniciado. O ParMatlab utiliza o método de implementação paralela na qual cada processo executa suas tarefas sem qualquer interação com o processo em execução em outro worker. O ParMatlab utiliza regras do protocolo de comunicação TCP/IP implantados pelo toolbox TCP-IP versão 1. fornecido juntamente com o ParMatlab. Com o ParMatlab é possível transferir qualquer tipo de variável, exceto objetos. Uma documentação simplificada sobre o ParMatlab pode ser encontrada em [5]. B. Descrição do Funcionamento da Função parallelize.m A função parallelize é a principal função do toolbox ParMatlab. Ela é usada para criar automaticamente instâncias paralelas e gerenciá-las com qualquer quantidade de máquinas workers disponíveis. A função parallelize, ao executar a distribuição de tarefas, permite enviar aos workers blocos de dados que são sub-matrizes acessadas por meio de um vetor de índices de controle. O vetor de índices inclui informação de incremento em linha, (4) e coluna que se relaciona aos dados a serem enviados para cada tarefa de paralelização. A seguir, tem-se a declaração da função parallelize.m, com a descrição de seus parâmetros de entrada e saída. function [o1,o,...]=parallelize (sendsoc,receivesoc,errhan, verbose,func,nargout,i1,c1,i,c,...) Parâmetros de entrada sendsoc: receivesoc : errhan: socket tcpip para enviar tarefas. socket tcpip para receber tarefas. usado para decidir que ação tomar quando ocorrer um erro em uma máquina worker. 0 ignora e continua ( padrão ). 1 para a máquina remota para permitir analisar o workspace. pausa o Master e pergunta. verbose: flag para ver a comunicação entre esta função e workers. func : string com a função passada à parallelize. nargout: número de argumentos de saída esperados de func. Resultados serão ordenados de acordo com os sub-índices i1,c1,.... i#: variáveis (usualmente matrizes) que podem ter até cinco dimensões. c# vetor de índices de controle para acesso aos dados da variável i#. Parâmetros de saída o1, o, : argumentos de saída Índices de Controle (c#) c# = A, F B, G C, H D, I E, J A B C D E F G H I J Se = 1, relaciona os índices da mesma linha às linhas da matriz Se =, relaciona os índice da mesma linha às colunas da matriz Define a quantidade de tarefas a serem distribuídas. Especifica uma posição inicial na matriz. Especifica um incremento de posições em linha ou coluna da matriz conforme especificado em A e F. Especifica um tamanho para o bloco a partir da posição inicial especificada em C e H. C. Modificações Inseridas no Toolbox ParMatlab Algumas poucas modificações foram necessárias para adaptar o funcionamento do toolbox ParMatlab às aplicações desenvolvidas pelo grupo de pesquisa do IEAv. As modificações inseridas em algumas das funções do

toolbox ParMatlab podem ser obtidas com os autores deste trabalho. Modificações na Função Parallelize.m O toolbox TCP-IP, para Matlab, permite a transferência de arquivos entre as máquinas da rede. Utilizando a função parallelize.m para executar as funções tcpip_sendfile e tcpip_getfile, é possível transferir um arquivo entre as máquinas da rede de processamento paralelo. Entretanto, logo após o envio do comando tcpip_getfile a porta de comunicação é fechada impedindo a transferência de mais arquivos. Para evitar este inconveniente e, além disso, permitir a distribuição de qualquer quantidade de arquivos automaticamente para todos os workers, foi introduzida uma modificação na função parallelize.m. Tal modificação visa impedir que a conexão seja interrompida até que o comando tcpip_sendfile seja completamente executado. Modificações na Função Worker.m A função worker.m ativa a máquina remota ( worker ), estabelecendo uma porta de comunicação diretamente com a máquina que gerencia a paralelização (máquina Master), recebe um nome de função com seus respectivos parâmetros, na seqüência, monta uma string de comando para essa função e executa-a em ambiente Matlab local (no worker ). No caso de transferência de arquivos entre a máquina Master e a máquina worker, algumas modificações foram necessárias. No código modificado, se a função a ser executada for tcpip_getfile, o código não executa a montagem original da string de comando. Neste caso, o código armazena o parâmetro de entrada (string contendo o nome do arquivo a ser transferido) e executa a função tcpip_getfile. V. PROGRAMA PARA ANÁLISE DE FIBRAS ÓPTICAS EM SISTEMA PARALELIZADO O toolbox ParMatlab foi concebido para paralelização do tipo grão grosso. Deste modo, a implementação do programa de análise de fibras ópticas gerencia a execução de várias cópias do programa, na versão seqüencial, nas máquinas remotas. Essas cópias têm o mesmo núcleo de cálculo da versão seqüencial, mas foram adaptadas para receber os dados da máquina principal (Master), armazenar arquivos temporários para análises futuras e retornar dados com formatação específica para gerenciamento no Master. Para as análises por elementos finitos utilizamos o sistema de software LevSoft que é um ambiente para projeto de dispositivos eletromagnéticos utilizando o MEF-D [10]. O LevSoft, atualmente em fase de desenvolvimento no IEAv, permite gerar o modelo geométrico do dispositivo em estudo, gerar a malha de elementos finitos não estruturada, atribuir propriedades físicas e condições de contorno e explorar resultados com visualização gráfica de campos, isolinhas, etc. O LevSoft, desenvolvido para plataforma Intel e sistema operacional Windows, conta com interface gráfica amigável e de simples utilização. Para a análise de fibras PCF foram incluídas opções de geração automática de modelos geométricos com possibilidade de geração de múltiplas camadas de furos com diferentes diâmetros (Fig. ). O modelo geométrico gerado representa ¼ da fibra com a definição de linhas de simetria. A implementação da formulação matemática do MEF, para a análise modal de fibras ópticas, é realizada no código escrito para o Matlab e objeto de paralelização. VI. RESULTADO DAS ANÁLISES NUMÉRICAS O programa para análise de fibras ópticas foi empregado para a determinação das características modais de vários conjuntos de fibras PCF definidos pelos seguintes parâmetros geométricos: Λ =,3 µm e d/λ = 0,1; 0,; 0,3; 0,4; 0,5 e 0,6. Além da determinação do índice efetivo (n eff ) e amplitudes de campo transversal, serão também calculadas a área efetiva de cada modo guiado (A eff ), a velocidade de grupo (V g ), o parâmetro de dispersão (D) e a inclinação da curva de dispersão (S). Para o cálculo acurado do parâmetro de dispersão e da inclinação da curva de dispersão, deve-se determinar n eff para vários valores de λ, pois, D e S envolvem respectivamente a segunda e terceira derivadas parciais de n eff em relação a λ. Para avaliar D e S foram utilizados 101 intervalos de λ regularmente espaçados entre 0,7 µm λ,0 µm. As derivadas parciais em D e S foram calculadas utilizando-se: n i n i+1 n i+ n i+3 valores de índice efetivo i i+1 i+ i+3 pontos para λ λ ni+ ni+ 1 + ni D ( λ ) = i+ 1, (5) c λ 3 3 3 1 ( λ λ n + + 1 ) i+ ni + ni + ni S i+ + = λ. (6) 3 Os modelos geométricos foram discretizados em elementos finitos triangulares de primeira ordem de aproximação. As malhas de elementos finitos têm em média 11000 pontos nodais e 000 triângulos. A malha foi adensada nas regiões onde ocorrem as maiores variações nos campos E x ou E y, dependendo da polarização estudada. A Fig. 3 apresenta uma típica distribuição de isolinhas do componente de campo elétrico E x do modo fundamental HE x. Neste caso, a fibra PCF é definida por: Λ=,3 µm e d/λ=0,4 e λ=1,5 µm. Na Fig. 4, são apresentados os resultados obtidos para n eff, A eff, V g, D e S, em função do comprimento de onda, para seis valores da razão d/λ de uma fibra PCF com Λ =,3 µm. Dos resultados apresentados nas Figs. 4a e 4b, pode-se verificar que os valores de n eff decrescem não-linearmente com λ e assumem valores maiores para fibras com furos de menores diâmetros. Por outro lado, a área efetiva aumenta com λ, o que significa maiores perdas por propagação e maior limiar para efeitos não-lineares. Por outro lado,

quando o diâmetro dos furos é pequeno o efeito de confinamento de campo óptico é reduzido e conseqüentemente a área efetiva aumenta. Fig. Interface gráfica para auxílio à geração automática de modelos geométricos que representam ¼ das fibras PCF. Fig. 3 Isolinhas de campo elétrico E x do modo óptico fundamental em uma fibra PCF com Λ=,3 µm e d/λ=0,4 para um sinal óptico de λ=1,5 µm. Na Fig. 4c, observa-se que a velocidade de grupo, para cada arranjo de furos, varia não linearmente com λ e atinge valores máximos para λ entre 0,9 µm e 1,5 µm, exceto para d/λ=0, (d=0,46 µm) que passa por um máximo em 1,5 µm. O parâmetro de dispersão (D) aumenta de valor com λ, para todos os diâmetros de furos estudados (Fig. 4d). Porém, os valores de D, para fibras com d/λ > 0,, experimentam uma saturação para valores de λ acima de 1, µm. É interessante notar que para a fibra com d/λ=0,3 (d=0,96 µm), a dispersão é próxima de zero para valores de λ > 1,1 µm. A variação da dispersão, com respeito à λ, é obtida pelo parâmetro S. Dos valores calculados pode-se observar que S é sempre decrescente com λ e se aproxima de zero para λ > 1, µm (Fig. 4e). VII. TEMPOS DE EXECUÇÃO DO PROGRAMA PARALELIZADO Programas destinados a paralelização de grão grosso, na melhor das condições de otimização, conseguem reduzir o tempo de processamento na mesma proporção do número e capacidade dos processadores disponíveis. Se há necessidade de grande transferência de dados entre os computadores, um dos principais limitantes será a máxima taxa de transferência da rede e a latência na tarefa de envio e recebimento de dados. Por este motivo, optou-se por utilizar um esquema de distribuição em que a menor quantidade de arquivos fosse transferida para cada worker e que estes arquivos ficassem pré-armazenados nestas máquinas até o fim das análises numéricas, evitando o reenvio dos dados. Quando se utilizam sistemas heterogêneos (computadores com diferentes capacidades de processamento), deve-se evitar distribuir o mesmo número de tarefas entre as máquinas. Em nossa abordagem, uma tarefa (cálculo completo para um dado valor de λ) foi enviada para cada worker e somente após a finalização da tarefa é que uma nova é enviada ao worker. O custo adicional é a maior complexidade na organização dos resultados recebidos de cada worker de forma aleatória. Utilizando um computador Pentium IV 3.0 GHz com Gb de memória RAM e sistema Windows, o programa na versão seqüencial executa a análise de modos, para 101 valores de λ, em 174 segundos, considerando uma fibra PCF com Λ =,3 µm, d/λ = 0,4 e malha com 11449 pontos nodais e 611 triângulos. Os tempos de processamento para a versão paralelizada são apresentados na Tabela I. Em todos esses testes utilizou-se como máquina Master um computador com processador Athlon de 900 MHz e 51 Mb de RAM. A capacidade de processamento do Master não influi no tempo gasto para resolução paralelizada do problema. Ao Master cabe apenas a função de distribuir as tarefas, receber as soluções encontradas por cada worker e organizar os dados para cálculo de grandezas derivadas e armazenar resultados para futura exploração de resultados. Para o teste A, apresentado na Tabela I, observa-se que o tempo total de processamento foi reduzido em 3,07 vezes quando comparado ao tempo de execução em um único computador (teste S). Neste caso, foram utilizados três computadores de mesma capacidade de processamento e cada um executou aproximadamente o mesmo número de tarefas (3 a 35), com tempo médio de 16,6 s por tarefa. Para os demais testes (B a D), pode-se observar que o tempo total de processamento foi maior (teste B) quando os computadores utilizados tinham menor capacidade de processamento, embora em maior número (quatro ao todo). Já para os testes C e D o tempo de processamento foi apenas ligeiramente inferior ao do teste A, embora se tenha utilizado cinco e sete computadores, respectivamente. Isto ocorre devido à utilização de computadores com muito menor capacidade de processamento que conseguem executar apenas algumas tarefas de cálculo e ainda podem comprometer a tomada de tempo, pois demoram excessivamente para finalizar sua última tarefa, enquanto os demais já finalizaram todas as tarefas restantes. VIII. CONCLUSÕES Uma implementação do MEF em sistema paralelizado foi utilizada para o estudo de fibras ópticas, permitindo estabelecer os procedimentos para geração e adaptação de programas, escritos para Matlab, para processamento em sistema de computação paralela. Um toolbox para gerenciamento das tarefas de paralelização foi adotado e testado possibilitando obter reduções substanciais de tempo de processamento. Os testes mostraram ser possível utilizar recursos computacionais heterogêneos disponíveis

em nossa rede intranet inclusive recursos ocasionalmente ociosos. Entretanto, o melhor desempenho é obtido quando se utilizam computadores com capacidades de processamento semelhantes. Velocidade de grupo (m/s) Indice Efetivo Area Efetiva ( m ) Dispersao (ps/nm/km) 1000 100 10 1.06E+8.05E+8.04E+8.03E+8.0E+8.01E+8 Slope da Dispersao (ps/nm /km) 1.46 1.44 1.4 1.40 1.38 100 50 0-50 -100-150 -00 0.8 0.6 0.4 0. 0.0-0. 0.6 0.8 1.0 1. 1.4 1.6 1.8.0 (c) (d) d=0.3 d=0.46 d=0.69 d=0.9 d=1.15 d=1.38 d = 0.3 d = 0.46 d = 0.69 d = 0.9 d = 1.15 d = 1.38 d=0.3 d=0.46 d=0.69 d=0.3 d=0.46 d=0.69 d=0.9 d=1.15 d=1.38 (a) 0.6 0.8 1.0 1. 1.4 1.6 1.8.0 d=0.9 d=1.15 d=1.38 (b) 0.6 0.8 1.0 1. 1.4 1.6 1.8.0 0.6 0.8 1.0 1. 1.4 1.6 1.8.0 d = 0.3 d = 0.46 d = 0.69 d = 0.9 d = 1.15 d = 1.38 (e) 0.6 0.8 1.0 1. 1.4 1.6 1.8.0 TABELA I TEMPOS DE PROCESSAMENTO TTW, TMW e T representam o tempo total de processamento em cada worker, o tempo médio de processamento de cada tarefa no worker e o número total de tarefas realizadas por cada worker, respectivamente. TESTE S A B C D TEMPO DE PROCESSAMENTO (S) COMPUTADORES PARA PARALELIZAÇÃO TTW* TMW T PIV 3 GHZ, GB RAM PROGRAMA SEQÜENCIAL TEMPO TOTAL* 174,0 17,07 101 174 P IV 3 GHZ, GB RAM 560,91 17,5 3 P IV 3 GHZ, GB RAM 561,88 16,05 35 P IV 3 GHZ, GB RAM 553,91 16,30 34 ATHLON 1,33GHZ, 56 MB 93, 61,55 15 ATHLON 1,33GHZ, 56 MB 880,66 6,91 14 P IV 3 GHZ, GB RAM 897,84 17,7 5 P IV 1,6 GHZ, 56 MB 97,49 46,37 0 P IV 3 GHZ, GB RAM 47,74 16,30 9 P IV 3 GHZ, GB RAM 478,0 17,08 8 P IV 3 GHZ, GB RAM 484,37 16,69 9 P IV 1,6 GHZ, 56 MB 506,78 46,07 11 P III 650 MHZ, 56 MB 54,71 131, 4 P IV 3 GHZ, GB RAM 48,00 18,54 6 P IV 3 GHZ, GB RAM 473,90 17,55 7 P IV 3 GHZ, GB RAM 469,90 16,0 9 P IV 1,6 GHZ, 56 MB 488,00 48,80 10 P III 1 GHZ, 51 MB 557,10 185,7 3 P III 650 MHZ, 56 MB 494,10 47,1 P III 450 MHZ, 56 MB 498,40 14,6 4 REFERÊNCIAS 561,0 97,5 506,8 557,1 [1] www.beowulf.org [] A.B. d Oliveira, J.M. Machado, A. Passaro, L.N.F. Guimarães, N.M. Abe, A. Muraro Jr., A.D. Caldeira, F. Sircilli, C.R.S. Stopa, Proposta de um Computador Beowulf para o Laboratório de Engenharia Virtual, IV Congresso Brasileiro de Eletromagnetismo CBMag 000, Natal, RN, 19 a de Novembro de 000. [3] www.mathtools.net/matlab/parallel/ [4] www.cdsp.neu.edu/info/students/landrade [5] L. Andrade e E.S. Manolakos, PARMATLAB: Coarse Parallelization of Matlab Processes in Heterogeneous Networks, XIII Research Workshop, Communications and Digital Signal Processing Center, Northeastern University, May 00. www.cdsp.neu.edu/info/students/landrade/. [6] Knight, Birks, Atkin and Russel, Pure silica single-mode fibre with hexagonal photonic crystal cladding, Optical Fiber Communication Conference, paper PD3-1, 1996. [7] J. Broeng, D. Mogilevstev, S.E. Barkou e A. Bjarklev, Photonic Crystal Fibers: A New Class of Optical Waveguides, Optical Fiber Technology 5, pp. 305-330, 1999. [8] G. P. Agrawal, Nonlinear Fiber Optics, Academic Press, San Diego, 1995. [9] M.A.R. Franco, F. Sircilli, A. Pássaro, N.M. Abe e H.T. Hattori, Dispersão em Fibras Ópticas Baseadas em Cristais Fotônicos: Uma Análise pelo Método dos Elementos Finitos, X Simpósio Brasileiro de Microondas o Optoeletrônica SBMO000, Recife, PE, 1 a 16 de Agosto de 00, pp. 51-55, 00. [10] N.M. Abe, A. Pássaro, M.A.R. Franco, F. Sircilli, V.A. Serrão, D.H. Odan e F.J.R. Santos, Um Sistema de Software para Análise de Óptica Integrada, Fibras Ópticas e Microondas, Congresso Brasileiro de Eletromagnetismo CBMag 00, 00. Fig. 4. Resultados das análises numéricas das fibras PCF com Λ =,3 µm. (a) n eff x λ,(b) A eff x λ, (c) V g x λ, (d) D x λ e (e) S x λ.