Se faz favor INCLUIR AQUI: Figura 13-1 Juro simples.

Apontamento 2013-13 JURO SIMPLES E JURO COMPOSTO Juro Juro simples Juro composto Descrição breve O juro é a retribuição devida a quem cede temporariamente um capital O juro calculado com base no método dito simples é proporcional à extensão do prazo da cedência e ao valor do capital inicial O cálculo do juro com base no método dito composto define uma relação não linear entre o valor do juro e a extensão do prazo da cedência O método simples é usado em empréstmos cujo prazo não excede em geral um ano JURO Certas trocas financeiras tomam a forma duma transferência temporária da propriedade dum ativo e duma cedência do seu uso: São os chamados contratos de mútuo ou mútuos Num mútuo, o ativo é cedido pelo proprietário por um certo período de tempo ao fim do qual lhe deve ser restituído num outro tanto de igual género e qualidade juntamente com a retribuição acordada O ativo cedido é o capital do mútuo A parte a quem o capital é cedido temporariamente é o devedor (Lat debitor) A parte a quem pertence o capital cedido inicialmente é o credor (Lat creditor) O juro é a renda ou retribuição devida ao credor pelo uso do seu capital O período de tempo da cedência do capital é o prazo do mútuo O capital e o juro não são necessariamente medidos em termos duma mesma mercadoria; aqui tratamos sobretudo de situações em que são medidos em unidades monetárias duma mesma moeda, podendo o capital ser também chamado principal 1 Se faz favor INCLUIR AQUI: Figura 13-1 Juro simples A cedência temporária dum capital em dinheiro pode tomar a forma dum empréstimo, investimento, ou depósito Suponha que eu fiz a aplicação de ( ) 1000,00 euros num depósito a prazo no meu banco há um ano Hoje, volto ao banco para proceder à liquidação do depósito Nesta troca financeira, eu sou o credor ou depositante, enquanto o banco é o devedor ou depositário O banco tem a obrigação de restituir a quantia depositada há um ano e a de pagar o juro acordado pelo uso que fez do meu capital no último ano Foi-me prometido receber () 1040,00 euros ie 1000,00 euros relativos à restituição do capital, mais 40,00 euros em razão do juro acordado 1 Aqui não há risco de incumprimento: O devedor restitui sempre o valor total do capital, tal como efetua o pagamento do juro acordado atempadamente Quando tal não acontece, o credor deve esperar obter em princípio um juro maior Este juro adicional é chamado prémio de risco: o juro adicional é a retribuição adicional pelo risco acrescido

[ 2 ] A capitalização dum valor em dinheiro é este processo da sua transformação ao fim dum certo período de tempo num valor geralmente maior em razão tão-só do seu uso produtivo O juro é o incremento de valor dum capital ao fim dum certo prazo A variável central dum qualquer processo de capitalização é o tempo O incremento de valor de uma unidade de capital (medida em euros, dólares, ou ienes), ao fim de uma unidade de tempo (vg um dia, um mês, ou um ano) é a taxa unitária do juro ou simplesmente taxa de juro A taxa de juro representa assim o custo do empréstimo dum capital unitário, ou o retorno da aplicação ou investimento dum capital unitário No exemplo do meu depósito, o valor do juro pago pelo depositário (vg o banco) por cada euro do capital inicial é a taxa de juro do depósito: 40/1000 = 0,040 ou 4 por cento Uma vez conhecidos os valores do capital inicial e da taxa de juro, o cálculo do juro depende só do conhecimento do prazo JURO SIMPLES Há vários métodos de cálculo do juro dum empréstimo, investimento, ou depósito O método mais simples faz uso de três variáveis: o capital inicial, a taxa de juro, e o prazo da cedência temporária do capital Vamos retomar o exemplo do depósito com o prazo de um ano mas em que o capital é agora só de uma unidade, ou um euro O prazo do depósito é o número t de unidades de tempo que medeiam entre a data t = 0 da constituição do depósito e o vencimento do depósito uma unidade de tempo depois A unidade de tempo usada aqui é o ano e por isso tem-se o vencimento do depósito na data t = 1 O capital unitário é representado pelo valor X(0) = 1,00 euro, a quantia devida ao banco (o devedor) na data da constituição do depósito O juro J(0, 1) relativo ao período de tempo (0, 1) ficou acordado em 0,040 euros ou 4 cêntimos de um euro No final do ano, o saldo da conta do depósito a prazo é igual a 1,040 euros A unidade de tempo ao fim da qual o juro se diz produzido ou formado, é o período de formação do juro ou período de contagem do juro O período de contagem do juro pode ser diário, mensal, ou anual Neste exemplo, o período de contagem do juro é anual e coincide com o prazo inicial do depósito O valor capitalizado da aplicação de um euro é o valor final X(1) = 1,040 euros do processo de capitalização X ( 1) X(0) J(0, 1) 1,00 0,040 1,040 euros O juro J (0, 1) também pode ser representado através duma proporção r(0, 1) do capital 4 X ( 1) X (0) r(0, 1) X (0) 1,00 1,00 1,040 euros 100 A proporção r(0, 1) é a taxa anual do juro relativa ao período de um ano: É o incremento de valor de cada unidade de capital no fim do período de contagem do juro

[ 3 ] Esta taxa anual do juro é também uma taxa periódica do juro relativa ao prazo (0, 1) de um ano: É o incremento de valor duma unidade de capital no fim do prazo do processo de capitalização O juro formado num processo de capitalização cujo prazo é igual ao período de contagem do juro, é um juro simples O juro simples pode por isso ser interpretado como uma proporção do capital inicial Considere agora um processo de capitalização cujo prazo é de dois anos e que inclui dois períodos anuais de contagem do juro: Seja então um depósito a dois anos de um euro com uma taxa de juro anual de 4 por cento a pagar anualmente O juro formado no primeiro período de contagem do juro é igual ao juro formado na aplicação de um euro a um ano O valor X(1) no início do segundo período de contagem do juro ie o período (1, 2) depende do destino dado ao montante J(0, 1) do juro formado no primeiro período de contagem do juro As alternativas sobre o destino a dar ao juro entretanto formado são duas: (1) o juro pode ser creditado na conta à ordem do depositante sem rendimento adicional ie numa conta sem juros, ou (2) o juro mantém-se na conta do depósito a prazo sendo logo acrescentado ao valor do capital entretanto acumulado Um processo de capitalização simples segue a primeira alternativa: O juro pago no final de cada período de contagem deixa de ser parte do processo de capitalização 2 Neste caso, o valor do capital que serve de base ao cálculo do juro no segundo período de contagem do juro é o valor do capital inicial O valor X(2) no fim do segundo período de contagem do juro é igual ao total do capital inicial mais os juros formados em cada um dos períodos de contagem Tem-se assim que: X( 2) X(0) J(0, 1) J(1, 2) X(0) r(0, 1) X(0) r(1, 2) X(0) A proporção r(1, 2) é a taxa anual do juro relativa ao período (1, 2) As condições do depósito a prazo são normalmente contratadas na data da sua constituição, e as taxas de juro anuais relativas aos dois períodos de contagem dos juros são geralmente iguais Assim, tem-se que r( 0,1) r(1, 2) r X ( 2) X (0) 2r X (0) Pegando novamente no exemplo da aplicação de um euro mas agora por um prazo de dois anos, conclui-se que o valor capitalizado do depósito inicial de um euro na data do vencimento (ao fim de dois anos) é igual ao total do capital inicial mais os saldos da conta do depósito a prazo e da conta à ordem 2 Alguns Autores distinguem dois tipos de processos de capitalização simples: (1) o processo que leva só em conta o saldo da conta do depósito a prazo, o processo puro de capitalização simples; e (2) o processo que inclui os saldos das duas contas, o processo dito de capitalização simples Deste modo, o processo de capitalização simples que é analisado aqui é um processo dito de capitalização simples em que a decisão de destinar o saldo da conta à ordem ao consumo imediato é independente da decisão financeira

[ 4 ] 4 4 X ( 2) 1,00 1,00 1,00 1,080 euros 100 100 O valor capitalizado dum processo segundo a regra de capitalização simples é sempre igual à soma do capital mais o total dos juros formados em todos os períodos de contagem Exercício 1 Considere um depósito de mil euros com o prazo de trinta anos a que está associada uma taxa de juro anual de 4 por cento Calcule o valor capitalizado do depósito na data do seu vencimento segundo a regra de capitalização simples Solução O saldo da conta do depósito no final de cada ano do prazo até à data do vencimento pode ser acompanhado na última coluna do Quadro seguinte Ano Saldo inicial 4% Juro simples Saldo final 1 1000,00 0,04 1000, 00 = 1,04000 2 1000,00 0,04 1000, 00 = 1,08000 3 1000,00 0,04 1000, 00 = 1,12000 4 1000,00 0,04 1000, 00 = 1,16000 30 1000,00 0,04 1000, 00 = 2,20000 Usando a regra de capitalização simples, o juro formado em cada período de contagem é calculado com base no valor do capital inicial O montante do juro formado em cada período anual é sempre igual a 40,00 euros Definição 2 (Juro dito simples): O juro simples J(0, t) que o principal X(0) vence ao fim de t unidades de tempo à taxa r(0, t) de juro por unidade de tempo, é igual a: J( 0, t) r(0, t) t X (0) onde N é o conjunto dos inteiros positivos t N O valor capitalizado dum empréstimo, investimento, ou depósito, ao fim de t unidades de tempo ou anos, é igual à soma do capital inicial mais o juro dito simples

[ 5 ] X ( t) X (0) J(0, t) X (0) 1 r(0, t) t A expressão entre parêntesis, 1 r(0, t) t, é o chamado fator de acumulação ou fator de capitalização que corresponde ao juro simples O valor do factor de capitalização obtém-se ao dividir o valor capitalizado pelo valor do capital inicial X ( t) 1 r(0, t) t X (0) O factor de capitalização simples representa o valor acumulado ou capitalizado dum capital unitário até ao fim dum número t de unidades de tempo que é calculado usando a regra de capitalização simples O juro simples foi definido até aqui para prazos que são múltiplos da unidade do tempo (vg um, dois, e trinta anos) Porém, a regra de capitalização simples é usada sobretudo no cálculo do juro de empréstimos, investimentos, ou depósitos, com prazos inferiores a um ano Os prazos abaixo de um ano são assim representados como uma fracção do número efetivo de dias do prazo do processo a dividir pelo número de dias da unidade do tempo A unidade de tempo em certos países corresponde ao Ano comercial (de 360 dias); noutros países, a unidade de tempo corresponde ao Ano civil (365 dias) As duas convenções mais usadas sobre a contagem de dias em prazos abaixo de um ano são designadas Actual/360 e Actual/365 A convenção Actual/360 é usada nos mercados do dinheiro em euros, dólares dos EUA, francos Suíços, e nas moedas dos países Nórdicos Definição 3 (Juro simples em prazos curtos) O juro simples J(0, n) que o principal X(0) vence ao fim de n dias à taxa r (0, n) de juro anual, é igual a: n J( 0, n) r(0, n) X (0) onde Ano n Q Ano é o número de dias da unidade de tempo relevante (360 ou 365 dias) conjunto dos racionais positivos Q é o Quando se trata dum crédito em euros com um prazo inferior a um ano, há que contar o número efetivo de dias do prazo O juro J(0, n) que o capital X(0) denominado em euros vence ao fim de n dias efetivos à taxa anual r(0, n) de juro em regime de capitalização simples, é então igual a: n J( 0, n) r(0, n) X (0) 360 Exercício 4 Considere um depósito de mil euros com o prazo de 180 dias que paga um juro simples à taxa anual de 4 por cento Calcule o valor do juro simples

[ 6 ] Solução O valor do juro simples em euros ao fim de meio ano, é igual a: 180 4 180 J ( 0,180) r(0,180) X (0) 1000,00 20,00 euros 360 100 360 O saldo da conta do depósito a seis meses no vencimento é igual a 1020,00 euros A taxa de juro é apresentada normalmente sob a forma duma percentagem, vg 4 por cento Uma percentagem é um valor que divide por 100 Para efeitos de cálculo, a taxa corresponde a um factor decimal como é 0,040 ou uma fracção como é 4/100 A convenção Actual/365 é usada sobretudo nos mercados do dinheiro dos países da Commonwealth britânica e no Japão: nos mercados do dinheiro em libras, dólares da Austrália, Canadá e Nova Zelândia, e no mercado do dinheiro em ienes Exercício 5 Considere um depósito de mil libras esterlinas com o prazo de 180 dias que paga um juro simples à taxa anual de 4 por cento Calcule o valor do juro simples Solução O valor do juro simples em libras ao fim de meio ano, é igual a: 180 4 180 J ( 0,180) r(0,180) X (0) 1000,00 19,7260 libras 365 100 365 O saldo da conta do depósito a seis meses no vencimento é igual a 1019,73 libras O valor capitalizado dum crédito no fim do prazo de t anos é igual ao total do principal mais o juro X ( 0, t) X (0) J(0, t) Do mesmo modo, o valor capitalizado dum crédito no fim do prazo de n dias é igual ao total do principal mais o juro X ( 0, n) X (0) J(0, n) A característica fundamental do juro simples dum empréstimo, investimento, ou depósito, é que o juro formado deixa de vencer qualquer outra retribuição quando é creditado na conta à ordem a que está associado: O juro formado sai do processo de capitalização Esta é a inconsistência fundamental do juro simples nos prazos mais longos, quando precisamente o período de contagem do juro é normalmente anual O exemplo seguinte ilustra esta inconsistência fundamental do juro simples Exemplo 6 Considere uma sequência de dois depósitos: Suponha um primeiro depósito de mil euros com o prazo de um ano que paga um juro dito simples à taxa anual de 4 por cento Na data de vencimento deste primeiro depósito, ao fim de um ano, o valor do saldo da conta do depósito é aplicado num segundo depósito a um ano com iguais

[ 7 ] condições de retribuição Calcula-se agora o valor capitalizado do segundo depósito no seu vencimento O juro simples do segundo depósito no final do segundo ano, é igual a: 4 J ( 1, 2) 11040,00 41,60 euros 100 O saldo final da conta do segundo depósito é igual a 1081,60 euros Este valor é assim inconsistente com o valor capitalizado de 1080,00 euros do depósito a dois anos cujo juro é calculado com base na regra de capitalizaçãosimples Perguntas de revisão 1 Quantos dias são precisos para transformar o capital inicial de 1450,00 euros em 1500,00 euros com base numa taxa de juro anual de 4 por cento em regime de capitalização simples? 2 Qual é a taxa de juro anual que permite transformar em regime de capitalização simples o capital inicial 1450,00 euros em 1500,00 euros ao fim de 30 dias? JURO COMPOSTO Analisamos agora o cálculo do juro num processo que usa a regra de capitalização composta Suponha novamente um depósito de um euro com o prazo inicial de dois anos que inclui dois períodos de contagem do juro O cálculo do juro formado no fim do primeiro período de contagem é idêntico ao cálculo que usa a regra de capitalização simples O saldo da conta do depósito a prazo no fim do primeiro ano é igual ao total do capital inicial mais o valor do juro simples X ( 1) X (0) r(0, 1) X (0) Contrariamente ao que se fez no processo que usa a regra de capitalização simples, o valor do capital no início do segundo período de contagem do juro é o valor X(1) do saldo da conta do depósito a prazo no fim do primeiro período de contagem O juro formado no primeiro período de contagem não é aqui deixado fora do processo X ( 2) X (1) R(1, 2) X (1) Com o valor X(1) igual ao saldo da conta do depósito no fim do período (0, 1), tem-se: X( 2) X(0) R(0, 1) X(0) R(1, 2) X(0) R(0, 1) R(1, 2) X(0) Mais uma vez: As condições do depósito a prazo são normalmente contratadas na data da sua constituição, pelo que as taxas de juro anuais relativas aos vários períodos de

[ 8 ] contagem dos juros são geralmente iguais Assim, os valores das taxas anuais relativas aos dois períodos de contagem dos juros são iguais ie então que: r( 0,1) r(1, 2) r Tem-se 2 X (2) X (0) 2r X (0) r X (0) (1 r) X (0) Exercício 7 Considere um depósito de mil euros com o prazo de trinta anos a que está associada uma taxa de juro anual de 4 por cento Calcule o valor capitalizado do depósito na data do seu vencimento segundo a regra de capitalização composta Solução O saldo da conta do depósito no final de cada ano do prazo até à data do vencimento pode ser acompanhado na última coluna do Quadro seguinte Para calcular o valor do juro formado em cada período de contagem, há que multiplicar a taxa indicada pelo saldo inicial de cada período 2 Ano Saldo inicial 4% Juro composto Saldo final 1 1,00000 0,04 1000,00 = 1040,00 2 1,04000 0,04 1040,00 = 1081,60 3 1081,60 0,04 1081,60 = 1124,86 4 1124,86 0,04 1124,86 = 1169,86 30 3118,65 0,04 3118,65 = 3243,40 Quando é usada a regra de capitalização composta, o juro formado em cada período de contagem é baseado no capital inicial e no juro entretanto acumulado em anteriores períodos de contagem Definição 8 (Juro composto): O juro composto J(0, t) que o capital X(0) vence ao fim de t unidades de tempo à taxa r(0, t) de juro por unidade de tempo capitalizada com a mesma frequência, é igual a: t J( 0, t) ((1 r(0, t)) 1) X (0) onde t N N é o conjunto dos inteiros positivos Quando se comparam os saldos finais de dois processos de capitalização com o mesmo prazo de vários anos que usam a regra simples e a regra composta, o desvio crescente

[ 9 ] dos dois saldos é justificado sobretudo pelo valor crescente da capitalização do juro ou juro de juro Exemplo 9 Vamos usar os dois exemplos sobre um depósito de mil euros com o prazo de trinta anos e a taxa de juro anual de 4 por cento, para decompor o saldo da conta do depósito no final de cada período de contagem do juro em três parcelas: o capital inicial, o montante correspondente ao juro simples, e o montante restante que corresponde ao juro de juros Ano Saldo final Capital inicial Juro simples Juro de juro 1 1040,00 1000,00 40,00 = 0,00 2 1081,60 1000,00 80,00 = 1,60 3 1124,86 1000,00 120,00 = 4,86 4 1169,86 1000,00 160,00 = 9,86 30 3243,40 1000,00 1200,00 = 1043,40 Este exemplo ilustra o crescimento linear do juro simples e o crescimento exponencial do montante relativo ao juro de juro Como já foi referido, as condições de empréstimos, investimentos, e depósitos, são normalmente definidas na data da contratação, e as taxas de juro relativas aos vários períodos de contagem dos juros são muitas vezes iguais e constantes Nada obsta porém a que sejam tão-só determináveis (vg como é o caso dos créditos indexados às médias Euribor), podendo ser taxas variáveis e nomeadamente crescentes Quando as as taxas relativas aos vários períodos de contagem dos juros são variáveis, importa muitas vezes para efeitos de comparação calcular a taxa média dos períodos de contagem vg a taxa anual média dos vários períodos anuais do prazo Considere um depósito de um euro com o prazo inicial de k anos que vence juros a uma taxa anual variável prédeterminada r(0, k) relativa ao período de contagem (k 1, k) O valor capitalizado do depósito na data do vencimento em regime de capitalização anual, vem dado por: k X ( k) ( 11 r(0, k)) X (0), onde X(0) = 1 k O valor capitalizado do mesmo depósito com base na taxa média r por ano, em regime de capitalização anual, vem dado por:

[ 10 ] X ( k) (1 r) k X (0), onde X(0) = 1 O valor r da taxa de juro anual média, pode então ser calculado através de: k 1/ k r ( 1 r(0, k)) 1 k1 Exercício 10 Vamos retomar o exemplo do depósito de mil euros com o prazo de trinta anos cujo juro é calculado com base no regime de capitalização composta, mas em que as taxas anuais são de 4 por cento na primeira década, de 5 por cento na segunda década, e de 6 por cento na terceira década Calcule a taxa anual média do depósito Solução O valor capitalizado do depósito no vencimento, calculado em regime de capitalização anual, vem dado por: X (30) 1 4 100 10 1 5 100 10 1 A taxa média pode então ser calculado através de: 6 100 10 1000,00 euros 1/ 30 10 10 10 4 5 6 4,9968 r 1 1 1 100 100 100 100 A taxa média deste depósito a prazo com taxa crescente é de 4,997 por cento ao ano Sumário O juro é a retribuição paga pelo devedor pelo uso temporário dum capital financeiro que pertence ao credor O juro simples é a retribuição que se calcula com base tão-só no capital de tal modo que o juro entretanto acumulado não vence juros O juro composto é o total do juro simples mais o juro de juros A acumulação do juro entretanto corrido ao capital é o chamado processo de capitalização Conceitos chave Empréstimo, loan, préstamo, Darlehen, prêt, prestito Investimento, investment, inversión, Investition, investissement, investmento Depósito, deposit, depósito, Einlage, dépôt, deposito Juro, interest, interés, Zinsen, intérêt, interesse Taxa de juro, interest rate, tipo de interés, Zinssatz, taux d intérêt, tasso d interesse

[ 11 ] Juro simples, simple interest, interés simple, Kapitalzinsen, intérêt simple, interesse semplice Juro composto, compound interest, interés compuesto, Zinseszins, intérêts composés, interesse composto Questões 1 Qual é o valor do juro simples dum empréstimo de um milhão de dólares dos EUA a 5 anos com base numa taxa anual de 4 por cento? 2 Qual é o valor do juro composto anualmente dum investimento de um milhão de libras esterlinas a 3 anos com base numa taxa anual de 5 por cento? 3 Qual é o capital inicial dum empréstimo a 5 anos cujo valor capitalizado de 1000,00 euros foi conseguido com uma taxa anual de 4 por cento? 4 Qual é o capital inicial dum empréstimo a 3 anos cujo valor capitalizado de 1000,00 libras esterlinas foi conseguido com uma taxa anual de 5 por cento? Exercícios 1 Calcule o valor acumulado no vencimento duma aplicação de um milhão de euros durante 3 anos em regime de capitalização simples A taxa de juro praticada no primeiro ano foi de 4 por cento, no segundo ano foi de 5 por cento, e no terceiro ano foi de 6 por cento Calcule a taxa média anual da aplicação 2 Calcule o valor acumulado no vencimento duma aplicação de um milhão de euros durante 3 anos em regime de capitalização anual A taxa de juro praticada no primeiro ano foi de 4 por cento, no segundo ano foi de 5 por cento, e no terceiro ano foi de 6 por cento Calcule a taxa média anual da aplicação 3 Qual é a taxa que em regime de capitalização simples corresponde à taxa anual de 4 por cento em regime de capitalização composta anualmente? Primeira versão: 30 Maio 1995 Copyright (c) 2013 Francisco J Comprido NB Todas as correcções, sugestões e comentários são desde já agradecidos Muito obrigado

[ 12 ] Figura 13-1: Juro simples 1000,00 1040,00 0 1 2 3 Período 1 Período 2 Período 3 Figura 13-2: Juro simples 1000,00 40,00 1040,00 0 1 2 3 Período 1 Período 2 Período 3 Figura 13-3: Juro composto 1000,00 1081,60 0 1 2 3 Período 1 Período 2 Período 3