Tradicionalmente tornou-se consensual na literatura definir problema como uma situação que envolve o aluno em atividade, mas para a qual não conhece à partida, ou não é óbvio, um caminho para chegar à solução Isabel Vale, Teresa Pimentel e Ana Barbosa, Ensinar Matemática com Resolução de Problemas, 2015
Exercício Atividade cujo resolvedor já tem habilidades ou conhecimentos suficientes para resolvê-la Problema... o problema é visto como ponto de partida para a construção de novos conceitos e novos conteúdos; os alunos sendo co-construtores de seu próprio conhecimento e, os professores, os responsáveis por conduzir esse processo Lourdes R. Onuchic e Norma S. Allevato, 2011 Resolução de exercícios se baseia no uso de técnicas e habilidades aprendidas previamente As técnicas e habilidades são recursos/meios para a resolução de problemas, mas não são suficientes
Problemas bem definidos Problemas matemáticos O extremo seria a resolução de um exercício Problemas mal definidos Problemas das ciências sociais O extremo seria um problema cuja resolução é impossível Problemas rotineiros Problemas não rotineiros Aqueles que exigem criatividade e originalidade
Resolução de Problemas no Currículo 1945: Publicação da obra How to solve it por George Polya 1977: National Council of Supervisors of Mathematics 1980: An Agenda for Action do National Council of Teachers of Mathmatics A resolução de problemas deve ser o foco central do currículo de matemática An Agenda for Action, NCTM, 1980
Ensino acerca da Resolução de Problemas
Compreensão do problema Compreensão Interesse Estabelecimento de um plano Conhecimentos prévios Plano próprio de cada aluno Execução do plano Concentração Raciocínio Retrospecto Consolidação
Qual é a incógnita? Quais são os dados? Quais são as condições? Elas são suficientes? É possível satisfazê-las? Compreensão do problema Estabelecimento de um plano Execução do plano Retrospecto
Você conhece um problema parecido? É possível reformular o problema? É possível utilizá-lo neste caso? Podemos fazer uma generalização? Uma particularização? Uma analogia? Compreensão do problema Estabelecimento de um plano Você está levando em conta todos os dados? Todas as condições? Execução do plano Retrospecto
Os passos estão corretos? As etapas foram feitas na ordem estabelecida inicialmente? Compreensão do problema Estabelecimento de um plano Execução do plano Retrospecto
É possível verificar o resultado? E o argumento? É possível chegar ao resultado por um caminho diferente? Quais a essência do problema? Você consegue usar o resultado ou o método em outro problema? Compreensão do problema Estabelecimento de um plano Execução do plano Retrospecto
Heurística 1. arte de inventar, de fazer descobertas; ciência que tem por objeto a descoberta dos fatos 1.1 Rubrica: história. ramo da História voltado à pesquisa de fontes e documentos 1.2 Rubrica: informática. método de investigação baseado na aproximação progressiva de um dado problema 1.3 Rubrica: pedagogia. método educacional que consiste em fazer descobrir pelo aluno o que se lhe quer ensinar Dicionário Houaiss da Língua Portuguesa
Analogia Heurística Generalização Indução Variação do Problema Problema Auxiliar Problema Resolvido Anteriormente Especialização Decomposição e Recombinação Trabalhar olhando para trás Desenhar uma Figura Elementos Auxiliares Descrição Informal Você pode achar um problema análogo para o seu problema e resolvê-lo? Você pode achar um problema mais geral para seu problema? Você pode resolver seu problema por uma generalização derivada a partir de alguns exemplos? Você pode variar ou mudar seu problema para criar um novo problema (ou conjunto de problemas) cujas solução(ões) pode(m) te ajudar a resolver seu problema original? Você pode achar um subproblema cuja solução poderá ajudá-lo a resolver seu problema? Você pode achar um problema relacionado ao seu que já tinha sido resolvido anteriormente e usá-lo para resolver seu problema? Você pode achar um problema mais especializado/específico? Você pode decompor o problema e reconstruir seus elementos de uma nova maneira? Você pode iniciar com um objetivo e trabalhar em sentido contrário de acordo com algo que você já conhecia? Você pode desenhar uma figura do seu problema? Você pode adicionar novos elementos ao seu problema para chegar mais perto da solução?
Desenvolver nos alunos um maior número de estratégias mais específicas, mais ligadas a determinadas categorias de problemas Ensinar estratégias metacognitivas para que os alunos aprendam a aplicar no momento adequado as estratégias de resolução de problemas e os conhecimentos adquiridos Estudar modos de eliminar crenças contraproducentes dos alunos e fomentar crenças produtivas sobre a matemática, a resolução de problemas e as suas próprias competências pessoais Alan Schoenfeld
Ensino para a Resolução de Problemas
Deve-se ensinar os alunos para que eles estejam aptos a resolver problemas. Prática de problemas de palavras Aprendizagem de conceitos e procedimentos Treinar diferentes estratégias Aplicação das competências adquiridas em novos problemas Resolução de Problemas como algo independente e isolado Questionamentos acerca da eficácia desta metodologia ao separar a resolução de problemas da aprendizagem dos conceitos
Ensino através da Resolução de Problemas
Ensino através da Resolução de Problemas Resolução de Problemas como um modo de instrução Aplicação de tarefas matemáticas proporcionando desafio intelectual com vistas a aumentar a compreensão dos alunos sobre os conteúdos A resolução de problemas não é um tópico distinto, mas um processo que atravessa todo o programa e fornece o contexto em que os conceitos devem ser aprendidos e as competências desenvolvidas (National Council of Teachers of Mathematics, 1989)
Critérios para a Escolha de um Problemas 1. Ter incorporadas ideias matemáticas importantes e úteis 2. Requer pensamento de ordem elevada 3. Contribuir para o desenvolvimento conceitual 4. Permitir ao professor avaliar a aprendizagem dos alunos 5. Permitir múltiplas formas de abordagem e estratégias de resolução 6. Ter várias soluções e permitir opiniões ou tomadas de decisão 7. Envolver os alunos e fomentar o seu discurso 8. Conectar-se com outras ideias matemáticas importantes 9. Desenvolver a habilidade para usar a matemática 10. Ser uma oportunidade para praticar destrezas importantes
Problemas e Modelagem
Situação problema interpretada matematicamente Resolução de Problemas tem que acontecer no contexto da aprendizagem da matemática Ênfase nas representações, interpretações e reflexões dos alunos, em conjunto com os cálculos e procedimentos matemáticos Resolução de problemas não é um caminho dos dados aos objetivos, mas envolve ciclos interativos de descrição, teste e revisão de interpretações matemáticas, bem como identificação, integração, modificação ou refinamento de conjuntos de conceitos matemáticos decorrentes de fontes variadas
Este vínculo entre Resolução de Problemas e Modelagem serve de metodologia para os níveis de escolaridade mais avançados, pois os estudantes necessitam de diversas ferramentas matemáticas e de estratégias já adquiridas Para os primeiros anos, pode-se pensar em situações cujo nível de exigência das ferramentas matemática seja menor Importância dos exercícios e do treino de procedimentos de rotina
Contextos em que os alunos tenham a oportunidade de resolver problemas, usando diferentes estratégias, mas também formular problemas, permite que se envolvam diretamente nos processos, aumentem os níveis de motivação, sendo encorajados a investigar, tomar decisões, procurar padrões, estabelecer conexões, generalizar, comunicar, discutir ideias e identificar alternativas. tornou-se consensual na literatura definir problema como uma situação que envolve o aluno em atividade, mas para a qual não conhece à partida, ou não é óbvio, um caminho para chegar à solução Isabel Vale, Teresa Pimentel e Ana Barbosa, Ensinar Matemática com Resolução de Problemas, 2015
O procurar ver como estratégia para a Resolução de Problemas e suas ligações com a Criatividade
Procurar ver Aquisição progressiva de um repertório de estratégias pode auxiliar no desenvolvimento da criatividade em matemática Análise de estratégias de modo natural em sala de aula, não como um tópico a mais no currículo escolar Necessidade de trabalhar estratégias específicas, como problemas com contexto visual Visualização: processo de formar imagens e usá-las na compreensão matemática Olho geométrico e intuição geométrica: capacidade de ver propriedades geométricas a separar-se de uma figura
Criatividade e Resolução de Problemas Tarefas que permitam múltiplas resoluções para trabalhar a capacidade inventiva dos alunos Trabalhar a reflexão, a divergência e o diálogo em sala de aula Importância da intuição, do insight, na resolução de problemas ao permitir que os alunos compreendam e abstraia conceitos a partir dos problemas
O quadrado maior tem área 1. Qual a área do quadrado menor?
A Joana gastou 4/7 do seu dinheiro num par de sapatos. Os sapatos custaram 68 Que dinheiro tinha a Joana antes de comprar os sapatos? 68 : 4 = 17 Logo, 7 17 = 119
Desenhe um quadrado e una cada um dos vértices com o ponto médio do lado oposto, como mostra a figura. Qual é a área do quadrado cinza?
Referências Bibliográficas ECHEVERRÍA, María del Puy Pérez; POZO, Juan Ignacio. Aprender a Resolver Problemas e Resolver Problemas para Aprender. In: POZO, Juan Ignacio (org.). A Solução de Problemas: aprender a resolver, resolver para aprender. Porto Alegre: ArtMed, p. 13-42, 1998. PÓLYA, George. A arte de resolver problemas: um novo aspecto do método matemáticos. Heitor Lisboa de Araújo (trad.). 2ª reimpr. Rio de Janeiro: Interciência, 1995. VALE, I.; PIMENTEL, T; BARBOSA, A. Ensinar Matemática com Resolução de Problemas. Quadrante Revista de Investigação em Educação Matemática. v. XXIV, n. 2, p. 39-60, 2015.