Aula 0 mtm B MATEMÁTICA BÁSICA
Estatística Medidas de Tendência Central Para melhor caracterizar um conjunto de números de uma amostra, é preciso escolher um valor único que represente todos os outros valores dessa amostra. Poderiam ser escolhidas inúmeras medidas, mas existem algumas que sugerem um concentração em torno delas, sendo por isso denominadas medidas de tendência central. Para uma amostra, as três medidas mais conhecidas são a média aritmética, a mediana e a moda.
Estatística Medidas de Dispersão ou Variabilidade É a maior ou menor diversificação dos valores de uma variável em torno de um valor de tendência central (média ou mediana) tomado como ponto de comparação. Para uma amostra, as duas medidas mais conhecidas são o desvio padrão e a variância. variância desvio padrão = ρ Σ( x i x) n σ = Σ( x x) i n
Estatística Medidas de Tendência Central Rol: Organização dos dados de uma pesquisa em ordem crescente ou decrescente. Quando dispostos desta maneira, fica fácil visualizar as principais medidas de tendência central. Mediana (M d ): A mediana é o valor que ocupa a posição central do conjunto de dados, estando os dados em ordem crescente ou decrescente. Quando a quantidade de dados é par, a mediana é dada pela média aritmética das duas posições centrais. Posição da mediana: n+ 1
Estatística Medidas de Tendência Central Moda (M o ) : A moda é o valor que mais aparece (aquilo que está na moda). Quando há apenas uma moda, a amostra denominase unimodal; duas modas bimodal; três, trimodal e quatro ou mais modas, polimodal ou multimodal. Se todos os valores ocorrem a mesma quantidade de vezes, a amostra denomina-se amodal.
Estatística Medidas de Tendência Central Exemplo 1: Encontre a média a mediana e a moda para o seguinte conjunto de dados:, 4, 6, 1, 5, 7, 9, 10,, 4, 6, 4. Média: +4+6+1+5+7+9+10++4+6+4 1 Rol: 1 4 4 4 5 6 6 7 9 10 60 = 1 =5 Mediana: Posição da mediana: n+1 = 1 +1 = 6, 5ª d 4+5 M = = 4,5 Moda: M o = 4
Estatística Medidas de Tendência Central Exemplo : As notas de um candidato no vestibular UFSC/007 foram as seguintes: 7,8 em Língua Portuguesa, 6,9 em Redação, 8,1 em Língua Estrangeira, 6, em Geografia, 6, em Biologia, 9,5 em Matemática, 8,1 em Física, 7,4 em História e 8,4 em Química. A nota média, a nota mediana e a nota modal desse aluno, são respectivamente: Média: Rol: 7, 8 + 6, 9 + 8,1+ 6, + 6, + 9, 5 + 8,1+ 7, 4 + 8, 4 6, 6, 6,9 7,4 7,8 8,1 8,1 8,4 9,5 9 68, 6 = 9 = 7, 6 Mediana: Posição da mediana: n+1 = 9+1 = 5ª M = 7, 8 d Moda: M o = 6, e 8,1 (Bimodal)
Média: Uma média de uma lista de números é um valor que pode substituir todos os elementos da lista sem alterar uma certa característica da lista. Média Aritmética Simples: Quando a característica é a soma dos elementos. x i n Exemplo 1: Calcule a média aritmética simples dos números pares naturais menores que 10. {0,, 4, 6, 8} 0++4+6+8 5 0 = =4 5
Média Aritmética Ponderada: Média associada à valores que vem aos pares. Ex.: tabelas, histogramas, gráficos,... P.x i P Exemplo 1: Comprei 0 kg de ração por R$ 6,00 cada quilo, 35 kg por R$4,00 cada quilo e 70 kg por R$1,00 cada quilo. Qual o preço médio que paguei por cada quilo? quando a pergunta é um, o peso é o outro. i i 0.6 + 35.4 + 70.1 =, 64 0 + 35 + 70
Média Geométrica: Quando a característica é o produto dos elementos. n Π x i Exemplo 1: Calcule a média geométrica dos números 4 e 9. X = 4.9 = 36 = 6
Média Harmônica: Quando a característica é a soma dos inversos dos elementos. Exemplo 1: Calcule a média harmônica dos números, 3 e 6. 3 1 1 1 + + 3 6 n 1 x i 3 = 3++1 6 =3
Média Aritmética Simples X Média Harmônica Média Aritmética Simples Média Harmônica Média associada à valores diretamente proporcionais. Média associada à valores inversamente proporcionais.
Harmônico Global: Média associada também a valores inversamente proporcionais, porém todos os agentes atuam sobre uma mesma ocorrência. Logo, podemos usar a média harmônica com n = 1. 1 1 x Pode-se usar também as fórmulas de harmônico global. contribuindo x.y x+y i contrariando x.y x-y
Harmônico Global: Exemplo 1: Baiano faz um almoço em 3 minutos, Erivaldinho faz o mesmo almoço em 6 minutos. Quanto tempo eles levariam se fizessem o mesmo almoço juntos? 3.6 18 = = min 3+6 9 Exemplo : Baiano faz um castelo de areia em 6 minutos, Erivaldinho desfaz o mesmo castelo em 10 minutos. Quanto tempo o castelo estaria pronto se as crianças brincassem juntas? 10.6 10-6 60 = = 15min 4
Reconhecimento de Média Exemplo 1: (SBM) Uma empresa produziu, durante o primeiro trimestre 500, 00 e 00 unidades, em janeiro, fevereiro e março, respectivamente. Qual foi a produção média mensal nesse trimestre : Média Aritmética Simples 500 + 00 + 00 3 900 = = 300unidades 3
Reconhecimento de Média Exemplo : (SBM) Uma empresa aumentou sua produção durante o primeiro bimestre do ano passado. Em janeiro e em fevereiro, as taxas de aumento foram de 1% e de 44%, respectivamente. Qual foi a taxa média de aumento mensal nesse bimestre: 11 144. 100 100 Média Geométrica 11 144 11 1 =. =. 100 100 10 10 13 = 100 = 1, 3 Taxa média de aumento de 3% ao mês.
Reconhecimento de Média Exemplo 3: (SBM) Um automóvel subiu uma ladeira a uma velocidade média de 60km/h e, em seguida, desceu a mesma ladeira à velocidade média de 100km/h. A velocidade média desse veículo no percurso inteiro foi de: Média Harmônica 1 1 + 60 100 = 5+3 300 = 8 300 = 75km / h
Reconhecimento de Média Exemplo 4: (IME) Uma das grandes aplicações da média harmônica, é no sistema financeiro, onde ela é usada para calcular o custo médio de ações compradas durante um período. Analise os dois estudos de caso e resolva cada um deles : Caso 1, um investidor compra R$ 500,00 em ações todo mês durante dois meses. Se os preços na hora de compra forem de R$4 e R$6, então o preço médio que o investidor pagou por ação é: Caso, um investidor compra 500 ações por mês, Se os preços na hora de compra forem de R$4 e R$6, então o preço médio que o investidor pagou por ação é:
Tabelas e Histogramas (FUVEST) O histograma a seguir apresenta a distribuição de freqüência das faixas salariais numa pequena empresa. Com os dados disponíveis, pode-se concluir que a média desses salários é, aproximadamente,
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