AULA 00: Conjuntos numéricos: números inteiros, racionais e reais. SUMÁRIO PÁGINA 1. Apresentação 1 2. Números inteiros, racionais e reais 3 3. Exercícios comentados nesta aula 24 4. Gabarito 27 1 Apresentação Olá, meu nome é Marcos Piñon, sou casado, baiano, torcedor do Bahêa e formado em Engenharia Eletrônica pela Universidade Federal da Bahia. Atualmente moro em Brasília e trabalho na Secretaria de Orçamento Federal do Ministério do Planejamento (MPOG), onde fui aprovado em 8º lugar para o cargo de Analista de Planejamento e Orçamento - APO, no concurso realizado em 2008. Fiz faculdade de Engenharia por sempre ter tido afinidade com a Matemática, pois realmente é um assunto que tenho prazer em estudar (cheguei até a dar aulas de reforço de Matemática na época da faculdade para ganhar um trocado). Após me tornar APO, decidi criar um site no intuito de aprender um pouco mais de informática e também poder ajudar os concurseiros (raciociniologico.50webs.com). Foi uma experiência maravilhosa, apesar de ser algo bem primitivo, mas que tenho um carinho enorme. Também recebi vários e-mails com agradecimentos, o que causou uma sensação muito boa. Isso me fez tomar gosto pela coisa e comecei a preparar materiais e estudar bastante a matéria. Com isso, recebi um convite do Professor Sérgio Mendes, amigo e colega de carreira, para fazer parte desta equipe. Com relação ao nosso curso de Matemática para Assistente Técnico Administrativo do Ministério da Integração Nacional - MI, cujo edital foi publicado no dia 22/03/2013, trata-se de uma disciplina que agrega alguns assuntos da matemática básica estudada no ensino fundamental e médio (em minha época era 1º e segundo graus). Vamos dar uma olhada no edital: 1 - Conjuntos numéricos: números inteiros, racionais e reais. 2 - Sistema legal de medidas. 3 - Razões e proporções: divisão proporcional; regras de três simples e compostas; porcentagens. Parte desse conteúdo é bastante comum em provas do CESPE, o que nos garante uma boa quantidade de questões. Pretendo chegar ao final do curso com uma grande quantidade de questões resolvidas, o que fará com que apareça na prova questões semelhantes às resolvidas em nosso curso. Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 1 de 27
Com base nesse edital, resolvi montar o curso da seguinte maneira: Matemática p/ MI Aula Conteúdo Data Aula 00 Conjuntos numéricos: números inteiros, racionais e reais. já disponível Aula 01 Sistema legal de medidas. Razões e proporções. Porcentagens. 05/04/2013 Aula 02 Divisão proporcional; regras de três simples e compostas. 12/04/2013 Procurarei abordar a teoria até o limite necessário e de forma resumida, e darei um foco maior na resolução de questões. Em outras matérias, talvez, o melhor seja aprofundar a teoria e resolver algumas questões. Posso afirmar sem medo de errar que em Matemática a lógica é outra. Sempre vou procurar, a cada assunto exposto, colocar exemplos de questões, sempre do CESPE. As questões comentadas em cada aula estão listadas no final do arquivo, caso o aluno queira tentar resolvê-las antes de ver a solução (eu recomendo!). Espero que gostem do curso, não economizem na resolução de questões e não deixem de aproveitar o fórum ou enviar um e-mail, seja para tirar dúvidas, ou para enviar críticas e sugestões. Um abraço e bons estudos!!! Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 2 de 27
2 Conjuntos numéricos: números inteiros, racionais e reais. Matemática p/ MI Nesse tópico, vou fazer uma revisão geral bem sucinta de assuntos bastante básicos, mas que algum aluno pode não se lembrar, pois faz muuuuuito tempo que vocês estudaram isso. Adição Os termos de uma adição são denominados de parcelas e o resultado é chamado de soma: X + Y = Z Parcelas Soma A primeira regrinha da adição é que a ordem das parcelas não altera a soma: X + Y = Y + X A segunda regrinha da adição é que o zero é seu elemento neutro: X + 0 = X Subtração O primeiro termo de uma subtração é denominado minuendo e o segundo termo é chamado de subtraendo. Já o resultado é chamamos de diferença. X Y = Z Minuendo Subtraendo Diferença Na subtração a ordem dos termos pode alterar o resultado: X Y Y X A subtração é operação inversa da adição: X Y = Z Z + Y = X Valor Absoluto O valor absoluto de um número inteiro indica a sua distância até o zero, quando representado numa reta numerada. Assim, o valor absoluto de um número nunca é negativo, pois representa uma distância. Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 3 de 27
O valor absoluto de um número x é representado por x (lê-se valor absoluto de x ou módulo de x). Exemplos: 1 = 1 3 = 3 4 = 4 1 = 1 2 1 0 1 2 3 4 Dois números são ditos simétricos, quando sua soma é igual a zero. Os módulos de dois números simétricos são iguais. Exemplo: 1 + 1 = 0, ou seja, 1 = 1 = 1 Multiplicação Os termos de uma multiplicação são denominados de fatores e o resultado é chamado de produto: A x B = C Fatores Produto Aqui, semelhante à adição, a ordem dos fatores não altera o produto: A x B = B x A O elemento neutro da multiplicação é o número 1: A x 1 = A Números Inteiros Simbolizamos o conjunto de todos os números inteiros por Ζ (z maiúsculo). Como o próprio nome já diz, ele é formado por todos os números inteiros. Ζ = {..., 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4...} Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 4 de 27
Toda adição, subtração e multiplicação entre números inteiros resulta em outro número inteiro. Por outro lado, a divisão, a potenciação e a radiciação entre números inteiros, nem sempre resultam em outro número inteiro. Divisão Inteira Na divisão inteira de N por D, com D diferente de zero, existirá apenas um Q e um R, tais que: Q x D + R = N e 0 R < D Onde N é o dividendo, D o divisor, Q o quociente e R o resto. Temos duas restrições: O D nunca pode ser igual a zero (não existe divisão por zero). O R nunca pode ser negativo. Quando o R é igual a zero, dizemos que a divisão é exata. Quando isso ocorre, dizemos que N é divisível por D, ou que D é divisor de N, ou ainda, que N é múltiplo de D. O zero é divisível por qualquer número não nulo: 0 D = 0 Todo número inteiro é divisível por 1: N 1 = N Todo número inteiro que, ao ser dividido pelo número dois, resulta em um número inteiro, é chamado de número par. Caso contrário esse número é chamado de ímpar. Divisores Vou relembrar agora algumas regrinhas que podem ser bastante úteis na prova: como identificar se um número é ou não é divisível por outro, ou múltiplo de outro. Números divisíveis por 2 Todo número par é divisível por 2, ou então, todo número terminado em 2, 4, 6, 8 ou 0 é divisível por 2. Números divisíveis por 3 Um número será divisível por 3, se a soma de seus algarismos for divisível por 3. Exemplo: Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 5 de 27
13548 é divisível por 3 pois 1 + 3 + 5 + 4 + 8 = 21, e 21 é divisível por 3. Números divisíveis por 4 Um número será divisível por 4 se os dois últimos dígitos forem 0, ou formarem um número divisível por 4. Exemplo: 1200 é divisível por 4, pois os dois últimos dígitos são zero. 1388 é divisível por 4, pois os dois últimos dígitos (88), formam um número divisível por 4. Números divisíveis por 5 Todo número terminado em 5 ou 0 é divisível por 5. Números divisíveis por 6 Quando um número é divisível por 3 e por 2 ao mesmo tempo, este número também é divisível por 6. Exemplo: 1548 é divisível por 2, pois é par, e é divisível por 3 pois 1 + 5 + 4 + 8 = 18, e 18 é divisível por 3. Assim, podemos afirmar que 1548 é divisível por 6. Números divisíveis por 7 para sabermos se um número é divisível por sete, duplicamos o algarismo das unidades e subtraímos da parte que sobra do número. Se o resultado for divisível por 7, então o número é divisível por 7. Exemplo: 1519 fazemos: 9 x 2 = 18. Em seguida subtraímos: 151 18 = 133. Como 133 é divisível por 7, então 1519 também é divisível por 7. Se no resultado da subtração ainda restar dúvida se o número é ou não divisível por 7, repete-se a operação. 133 3 x 2 = 6. Em seguida: 13 6 = 7. Pronto, não resta mais dúvida. Números divisíveis por 8 Um número será divisível por 8 se os três últimos dígitos forem 0, ou formarem um número divisível por 8. Exemplo: 11000 é divisível por 8, pois os três últimos dígitos são zero. 9056 é divisível por 8, pois os três últimos dígitos (056), formam um número divisível por 8. Números divisíveis por 9 Um número será divisível por 9, se a soma de seus algarismos for divisível por 9. Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 6 de 27
Exemplo: Matemática p/ MI 1548 é divisível por 9, pois 1 + 5 + 4 + 8 = 18, e 18 é divisível por 9. Números divisíveis por 10 Todo número terminado em 0 é divisível por 10. Números Primos Um número natural (são números inteiros não nulos) é dito primo se ele for divisível apenas por 1 e por ele mesmo. Números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37,... Vale observar que o único número primo que é par é o número 2. MDC, MMC e Fatoração Esse assunto vocês já viram há muito tempo atrás, mas não custa nada relembrar (até porque ele ajuda na resolução de algumas questões). Primeiro, vamos lembrar o que significam essas siglas: MDC: Máximo Divisor Comum MMC: Mínimo Múltiplo Comum Bom, de forma simplificada, dados dois ou mais números naturais diferentes de zero, o MDC indica qual o maior número inteiro que estes dois ou mais números são divisíveis ao mesmo tempo (lembrando que um número é considerado divisível por outro quando o resto da divisão entre eles é igual a zero). Já o MMC indica qual o menor número diferente de zero que é múltiplo, ao mesmo tempo, destes dois ou mais números. Vamos ver alguns exemplos: Exemplo: Encontrar o MDC e o MMC entre 4 e 6: Divisores de 4: 1, 2 e 4 Divisores de 6: 1, 2, 3 e 6 MDC entre 4 e 6 = 2 (o maior dos divisores em comum) Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,... Múltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30,... MMC entre 4 e 6 = 12 (o menor múltiplo em comum diferente de zero) Exemplo: Encontrar o MDC e o MMC entre 15 e 20: Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 7 de 27
Divisores de 15: 1, 3, 5 e 15 Divisores de 20: 1, 2, 4, 5, 10 e 20 Matemática p/ MI MDC entre 15 e 20 = 5 (o maior dos divisores em comum) Múltiplos de 15: 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90,... Múltiplos de 20: 0, 20, 40, 60, 80, 100,... MMC entre 15 e 20 = 60 (o menor múltiplo em comum diferente de zero) Cálculo do MDC e do MMC Bom, numa prova, listar todos os divisores e todos os múltiplos de um número pode não ser interessante, devido ao tempo que pode ser necessário para isso (imagine descobrir o MDC entre 1.200 e 1.800). Assim, existem algumas técnicas para o cálculo do MDC e do MMC que facilitam bastante o trabalho. - Fatoração A primeira coisa a se lembrar é da fatoração. Lembram-se o que é fatoração? E como fatorar um número? A fatoração, que nos interessa nesse momento, é um termo que indica a decomposição de um número em um produto de números primos (fatores). Fatorar o número 36 36 2 18 2 9 3 3 3 1 36 = 2 x 2 x 3 x 3 = 2 2 x 3 2 Fatorar o número 56 56 2 28 2 14 2 7 7 1 56 = 2 x 2 x 2 x 7 = 2 3 x 7 Agora, podemos definir o MDC e o MMC a partir da fatoração dos números: MDC: O MDC entre dois ou mais números é igual ao produto dos seus fatores primos comuns de menor expoente. Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 8 de 27
MMC: O MMC entre dois ou mais números é igual ao produto dos seus fatores primos comuns de maior expoente e de seus fatores primos não comuns com seus respectivos expoentes. Exemplo: Encontrar o MDC e o MMC entre 36 e 56. MDC: 36 = 2 2 x 3 2 e 56 = 2 3 x 7 (perceba que tanto 36 quanto 56 possuem o 2 como fator comum, assim, o MDC entre eles será o 2 com o menor expoente, ou seja, 2 2 ). MDC entre 36 e 56 = 2 2 = 4 MMC: 36 = 2 2 x 3 2 e 56 = 2 3 x 7 (perceba que tanto 36 quanto 56 possuem o 2 como fator comum e 3 e 7 como fatores não comuns, assim, o MMC entre eles será o produto do 2 com o maior expoente, com 3 2 e 7, ou seja, 2 3 x 3 2 x 7). MMC entre 36 e 56 = 2 3 x 3 2 x 7 = 504 Outra técnica para encontrar o MDC entre dois números é dividir o maior pelo menor. Em seguida, dividimos o divisor da primeira divisão pelo resto dessa divisão. E assim sucessivamente, até o resto ser igual a zero. O MDC será igual ao divisor que resultou no resto zero. Vamos ver como seria com o exemplo anterior: MDC entre 36 e 56 56 = 1 (resto = 20) 36 36 = 1 (resto = 16) 20 20 = 1 (resto = 4) 16 16 = 4 (resto = 0) 4 Portanto, o MDC entre 36 e 56 é igual a 4. Fração Uma fração é uma forma de representar uma divisão, onde os números inteiros utilizados na fração são chamados numerador e denominador, separados por uma linha horizontal ou traço de fração. A B = B A = Numerador Denominador Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 9 de 27
Números Racionais Simbolizamos o conjunto dos números racionais por Q (q maiúsculo). Ele é formado por todos os números que podem ser escritos em forma de uma fração y x onde x e y são números inteiros e y é diferente de zero (devemos lembrar que não existe divisão por zero). 2 4 385 Exemplos: ; ; 0,385 (pois pode ser escrito como ); 3,3333... (pois pode 5 9 1000 10 9 ser escrito como ), 9 (pois pode ser escrito como ), etc.. 3 1 Assim, toda fração, todo número decimal, toda dízima periódica e todo número inteiro pertencem ao conjunto Q. Para transformar um número decimal finito em fração, basta colocar no numerador todos os algarismos do número decimal e no denominador o número 1 seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais: Exemplos: 546 5,46 = 100 65 0,065 = 1000 Para transformar uma dízima periódica em fração, fazemos o seguinte: Suponha que a,bcdpppp... seja a dízima periódica, onde os algarismos a, b, c e d não fazem parte do período e apenas o p se repete infinitamente. A fração que originou esta dízima é a seguinte: abcdp abcd 9000 No numerador da fração nós colocamos a diferença entre a parte não periódica seguida do período pela parte não periódica. No denominador nós colocamos tantos noves quantos forem os algarismos do período seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não periódica depois da vírgula. Exemplos: Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 10 de 27
12,56777777... = 12567 1256 900 = 11311 900 45 0 0,00454545... = 9900 45 = 9900 13,333... = 133 13 9 = 120 9 Uma observação importante é que o período só começa a contar após a vírgula. Para somar ou subtrair duas frações, temos duas opções: Quando os denominadores são iguais: conserva-se o denominador e somam-se ou subtraem-se os numeradores 12 3 12 + 3 + = 5 5 5 15 = 5 Quando os denominadores são diferentes: substitui-se a frações por outras equivalentes com um mesmo denominador que seja múltiplo dos denominadores das frações originais. Em seguida, procede-se da mesma forma anterior. 12 7 36 35 36 = = 5 3 15 15 1535 = 15 1 Para multiplicarmos duas frações, devemos multiplicar seus numeradores, encontrando um novo numerador e multiplicar os denominadores encontrando um novo denominador: 12 7 12 7 x = 5 3 5 3 84 = 15 Para dividirmos duas frações nós mantemos a primeira e a multiplicamos pelo inverso da segunda: 12 7 12 3 12 3 = x = 5 3 5 7 5 7 36 = 35 Números Reais Simbolizamos o conjunto dos números reais por R (r maiúsculo). Ele é formado por todos os números racionais adicionando-se as dízimas não periódicas (que são números irracionais). Assim, todo número inteiro e todo número racional também é um número real. Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 11 de 27
Exemplos: Matemática p/ MI π = 3,14159... (dízima não periódica) 5 = 2,2360... (toda raiz não exata é uma dízima não periódica) 1 (é um número inteiro, portanto também é real) 0,47 (é um número racional, portanto também é real) Bom, essa teoria não é novidade para a maioria de vocês. De qualquer forma, serve como consulta se surgir alguma dúvida na resolução das questões. Por falar nas questões, vamos a elas! -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 01 - (Prefeitura de Rio Branco 2007 / CESPE) Considere que, somando-se 5 unidades a um dos fatores em uma multiplicação, o produto fique aumentado de 120 unidades. Nesse caso, é correto afirmar que o outro fator é superior a 25 unidades. Vamos chamar de A e de B os dois fatores e de C o produto. Assim: A x B = C Somando-se 5 unidades ao A, o produto fica aumentado em 120. Assim, temos: (A + 5) x B = C + 120 A x B + 5.B = C + 120 Sabemos que A x B = C, assim: C + 5.B = C + 120 5.B = 120 B = 120 5 B = 24 Portanto, o item está errado. 02 - (Prefeitura de Rio Branco 2007 / CESPE) Considere que, em uma divisão não exata, o quociente é igual a 7, o resto é o maior possível e a Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 12 de 27
soma do resto com o divisor é igual a 21. Nesse caso, é correto afirmar que o dividendo é um número superior a 90. Numa divisão nós temos o seguinte: Quociente x Divisor + Resto = Dividendo Foi dito que o resto é o maior possível. Com isso, podemos concluir que este resto é apenas uma unidade menor do que o divisor, pois caso o resto fosse maior ou igual ao divisor ele não seria o resto: Divisor = Resto + 1 Além disso, foi dito que a soma do resto com o divisor é igual a 21: Divisor + Resto = 21 Assim, podemos substituir o valor do divisor: Divisor + Resto = 21 Resto + 1 + Resto = 21 2 x Resto = 21 1 20 Resto = 2 Resto = 10 Logo, Divisor = Resto + 1 Divisor = 10 + 1 Divisor = 11 Ainda, foi dito que o quociente é igual a 7: Quociente = 7 Assim, temos: Quociente x Divisor + Resto = Dividendo 7 x 11 + 10 = Dividendo Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 13 de 27
77 + 10 = Dividendo Dividendo = 87 Portanto, o item está errado. 03 - (Prefeitura de Rio Branco 2007 / CESPE) Considere que, para curar uma infecção bastante grave, o médico receitou a um paciente 3 tipos de antibióticos, em comprimidos, A, B e C, que deverão ser ingeridos, respectivamente, de cinco em cinco horas, de doze em doze horas e de quinze em quinze horas. No sábado, às seis horas da manhã, o paciente ingeriu os três comprimidos juntos. Nessa situação, o paciente ingerirá os três comprimidos juntos novamente às dezoito horas de segunda-feira. Nessa questão, o paciente irá ingerir os três comprimidos simultaneamente a cada período múltiplo de 5, 12 e 15 horas. Assim, deveremos encontrar o MMC entre 5, 12 e 15 para saber o intervalo de tempo entre os momentos em que o paciente ingere os três comprimidos simultaneamente: Múltiplos de 5: 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65,... Múltiplos de 12: 0, 12, 24, 36, 48, 60, 72,... Múltiplos de 15: 0, 15, 30, 45, 60, 75,... Portanto, a cada 60 horas o paciente ingere os três comprimidos simultaneamente. Assim, se ele tomou os três comprimidos às 6 horas da manhã do sábado, o próximo horário será: 6 da manhã de sábado 6 da manhã do domingo 6 da manhã da segunda 18 horas de segunda 24 horas 24 horas 12 horas 24 + 24 + 12 = 60 horas Portanto, o item está correto. 04 - (Prefeitura de Rio Branco 2007 / CESPE) Considere que, em uma 12 escola, uma pesquisa feita com os alunos revelou que deles preferem 100 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 14 de 27
as aulas de música, 25 9, as aulas de educação física, e o restante, 260 alunos, prefere as aulas de geografia. Nessa situação, é correto afirmar que, nessa escola, há mais de 480 alunos. Chamando de x o total de alunos da escola, podemos montar a seguinte equação: 12 9 x =.x +.x + 260 100 25 12 9 x.x.x = 260 100 25 100 12 36.x = 260 100 52.x = 260 100 52.x = 26000 x = 26000 52 x = 500 alunos Portanto, o item está correto. (Texto para a questão 05) Considerando que a soma das idades de 2 meninos seja igual a 8 anos, que essas idades, em anos, sejam medidas por números inteiros e que cada menino tenha pelo menos 2 anos de idade, julgue os itens a seguir. 05 - (PM/ES 2010 / CESPE) Se a diferença entre as idades dos meninos for 2 anos, então o produto das medidas dessas idades, em anos, será inferior a 14. Nessa questão, vamos chamar de A a idade do mais velho e de B a idade do mais novo. Assim, temos: a soma das idades de 2 meninos seja igual a 8 anos A + B = 8 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 15 de 27
a diferença entre as idades dos meninos for 2 anos A B = 2 A = 2 + B Assim, sabendo que A + B = 8 e que A = 2 + B, temos: A + B = 8 2 + B + B = 8 2.B = 8 2 2.B = 6 6 B = 2 B = 3 Com isso, como A = 2 + B, temos: A = 2 + B A = 2 + 3 A = 5 Por fim, resta verificar se o produto das idades é inferior a 14: A x B = 5 x 3 = 15 Portanto, o item está errado. (Texto para as questões 06 e 07) Para incrementar a frota de veículos, uma corporação militar adquiriu automóveis e motocicletas. Considerando que a soma dos 2 pneus de cada moto e dos 4 pneus de cada automóvel é igual a 152 pneus, julgue os itens a seguir. 06 - (CBM/ES 2011 / CESPE) Se a quantidade de motos compradas corresponde a um múltiplo de 4, então a de automóveis corresponde a um número par. Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 16 de 27
Chamando de M a quantidade de motos e de A a quantidade de automóveis, temos: a soma dos 2 pneus de cada moto e dos 4 pneus de cada automóvel é igual a 152 pneus 2.M + 4.A = 152 Dividindo tudo por 2, temos: M + 2.A = 76 2.A = 76 M a quantidade de motos compradas corresponde a um múltiplo de 4 Bom, se M é um número múltiplo de 4, podemos concluir que 76 M também será múltiplo de 4, já que 76 é múltiplo de 4. Assim: 2.A = 76 M 2.A = Número múltiplo de 4 A = Número múltiplo de 4 2 Com isso, podemos concluir que A é um número par, já que qualquer número múltiplo de 4 quando dividido por 2 resulta em outro número divisível por 2, e portanto par. Item correto. 07 - (CBM/ES 2011 / CESPE) Se a quantidade de automóveis comprados foi inferior a 30, então a quantidade de veículos adquiridos foi superior a 45. Sabemos que: M + 2.A = 76 M = 76 2.A Bom sabendo que a quantidade de automóveis foi inferior a 30, podemos testar qual o valor de M para A = 30. Assim: M = 76 2.A M = 76 2 x 30 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 17 de 27
M = 76 60 Matemática p/ MI M = 16 V = A + M = 30 + 16 = 46 Agora, testamos A = 29: M = 76 2.A M = 76 2 x 29 M = 76 58 M = 18 V = A + M = 29 + 18 = 47 Podemos perceber que à medida que A diminui o M aumenta e a soma dos dois também aumenta. Assim, podemos concluir que para A menor que 30, a soma de A + M será sempre maior que 45. correto. 08 - (Correios 2011 / CESPE) Em uma empresa, os empregados têm direito a descanso remunerado de um dia a cada 15 dias trabalhados. Em determinado ano, os dias trabalhados e os dias de descanso somaram 224 dias. Com base nessa situação, é correto afirmar que, nesse ano, a quantidade de dias de descanso desses empregados foi superior a 16. Nessa questão temos o seguinte: Trabalha 15, folga 1, trabalha 15, folga 1,... Ou seja, a cada ciclo de 16 dias, temos 15 trabalhados e 1 de folga. Assim, se o total de dias foi 224, basta dividirmos este número por 16 para sabermos quantos dias de descanso os empregados tiveram: 224 16 0 14 Portanto, nesse período de 224 dias, os empregados descansaram 14 dias. Item errado. Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 18 de 27
(Texto para a questão 09) Em um evento em que foram realizadas provas em dois turnos, os colaboradores assinaram contrato para trabalhar em um ou nos dois períodos. No período da manhã, os colaboradores trabalharam quatro horas e, no período da tarde, cinco horas. O CESPE/UnB pagará R$ 100,00 para os colaboradores que trabalharam um período e, para os que trabalharam nos dois períodos, R$ 180,00. Considerando a situação hipotética acima descrita, julgue os item subsequente. 09 - (FUB 2010 / CESPE) O colaborador que trabalhar em ambos os turnos receberá o mesmo valor pela hora trabalhada que aquele que trabalhar somente no turno vespertino. O colaborador que trabalhar nos dois turnos trabalhará por 4 + 5 = 9 horas e receberá R$ 180,00. Assim, o valor da hora trabalhada será: Hora trabalhada (2 turnos) = 180 = R$ 20,00 por hora trabalhada. 9 Já o colaborador que trabalhar apenas no período da tarde trabalhará 5 horas e receberá R$ 100,00. Assim, o valor da hora trabalhada será: Hora trabalhada (tarde) = 100 = R$ 20,00 por hora trabalhada. 5 Portanto, os dois colaboradores receberão o mesmo valor pela hora trabalhada. Item correto. (Texto para as questões 10 e 11) Uma empresa contratou 10 empregados de nível superior e 15 de nível médio. Em cada nível, os salários mensais dos empregados são iguais e a soma do salário mensal de um empregado de nível superior com o salário mensal de um empregado de nível médio é igual a R$ 3.500,00. Considerando que a despesa mensal da empresa com os salários desses 25 empregados é de R$ 41.000,00, julgue os itens que se seguem. 10 - (SEBRAE 2008 / CESPE) O salário mensal de cada empregado de nível superior é inferior a R$ 2.400,00. Vamos chamar de S o salário de nível superior e de M o salário de nível médio. Assim, sabendo que a soma do salário mensal de um empregado de nível superior com o salário mensal de um empregado de nível médio é igual a R$ 3.500,00, temos: Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 19 de 27
S + M = 3500 S = 3500 M Além disso, foi dito que a empresa contratou 10 empregados de nível superior e 15 de nível médio e a despesa mensal da empresa com os salários desses 25 empregados é de R$ 41.000,00: 10.S + 15.M = 41000 Substituindo o valor de S: 10.(3500 M) + 15.M = 41000 35000 10.M + 15.M = 41000 5.M = 41000 35000 5.M = 6000 M = 6000 5 M = R$ 1.200,00 Com isso, podemos encontrar o salário de nível superior: S = 3500 M S = 3500 1200 S = R$ 2.300,00 Portanto, o item está correto. 11 - (SEBRAE 2008 / CESPE) A diferença entre o salário mensal de um empregado de nível superior e o de um de nível médio é superior a R$ 1.200,00. Utilizando as informações da questão anterior, temos: S M = 2300 1200 = R$ 1.100,00 Portanto, o item está errado. Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 20 de 27
12 - (SEAD/SE 2008 / CESPE) O produto de dois números racionais não inteiros é um número racional não inteiro. Para matar esta questão, basta pensar em um exemplo. 3 2 e 2 3 são números racionais não inteiros. Vejamos o que acontece com seu produto: 2 3 2 3 x = 3 2 3 2 = 6 6 = 1 Portanto, o item está errado. 13 - (SEAD/SE 2008 / CESPE) Se a soma de dois números reais é um número irracional, então um desses números é, necessariamente, irracional. Esta questão é verdadeira, pois se somarmos dois números racionais o resultado será com certeza um número racional (lembrem-se que os números racionais podem sempre ser escritos como frações). Assim, a única forma de somarmos dois números reais e o resultado ser irracional é se pelo menos um dos números for irracional. Item correto. (Texto para as questões 14 e 15) Se a soma de dois números reais é igual a 21 e se a razão entre eles é igual a 4 3, então é correto afirmar que 14 - (SEAD/SE 2008 / CESPE) um desses números é menor que 7. Vamos chamar os dois números de A e B. Assim, sabendo que a soma deles é igual a 21, temos: A + B = 21 A = 21 B Além disso, foi dito que a razão entre eles é igual a 4 3 : A 3 = B 4 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 21 de 27
4.A = 3.B Matemática p/ MI Substituindo o valor de A: 4.(21 B) = 3.B 84 4.B = 3.B 84 = 3.B + 4.B 7.B = 84 84 B = 7 B = 12 Agora, falta encontrarmos o A: A = 21 B A = 21 12 A = 9 Portanto, nenhum dos números é menor que 7. Item errado. 15 - (SEAD/SE 2008 / CESPE) o produto desses números é superior a 120. Utilizando as informações da questão anterior: A x B = 9 x 12 = 108 Assim, o produto desses números é menor que 120. Item errado. 16 - (Prefeitura de Rio Branco 2007 / CESPE) Paulo e José apostavam em um jogo de sinuca ao valor de R$ 5,00 a partida. No início do jogo, Paulo tinha R$ 230,00 e José, R$ 120,00. No final do jogo, Paulo e José ficaram com quantias iguais. Nessa situação, a diferença entre o número de partidas vencidas por José e o número de partidas vencidas por Paulo foi superior a 12. Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 22 de 27
Chamando de N a diferença entre o número de partidas vencidas por José e o número de partidas vencidas por Paulo, e sabendo que as quantias finais de Paulo e de José foram iguais, temos: 230 5.N = 120 + 5.N 230 120 = 5.N + 5.N 110 = 10.N 110 N = 10 N = 11 Portanto, o item está errado. Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 23 de 27
3 - Exercícios comentados nesta aula Matemática p/ MI 01 - (Prefeitura de Rio Branco 2007 / CESPE) Considere que, somando-se 5 unidades a um dos fatores em uma multiplicação, o produto fique aumentado de 120 unidades. Nesse caso, é correto afirmar que o outro fator é superior a 25 unidades. 02 - (Prefeitura de Rio Branco 2007 / CESPE) Considere que, em uma divisão não exata, o quociente é igual a 7, o resto é o maior possível e a soma do resto com o divisor é igual a 21. Nesse caso, é correto afirmar que o dividendo é um número superior a 90. 03 - (Prefeitura de Rio Branco 2007 / CESPE) Considere que, para curar uma infecção bastante grave, o médico receitou a um paciente 3 tipos de antibióticos, em comprimidos, A, B e C, que deverão ser ingeridos, respectivamente, de cinco em cinco horas, de doze em doze horas e de quinze em quinze horas. No sábado, às seis horas da manhã, o paciente ingeriu os três comprimidos juntos. Nessa situação, o paciente ingerirá os três comprimidos juntos novamente às dezoito horas de segunda-feira. 04 - (Prefeitura de Rio Branco 2007 / CESPE) Considere que, em uma escola, 12 uma pesquisa feita com os alunos revelou que deles preferem as aulas de 100 9 música,, as aulas de educação física, e o restante, 260 alunos, prefere as 25 aulas de geografia. Nessa situação, é correto afirmar que, nessa escola, há mais de 480 alunos. (Texto para a questão 05) Considerando que a soma das idades de 2 meninos seja igual a 8 anos, que essas idades, em anos, sejam medidas por números inteiros e que cada menino tenha pelo menos 2 anos de idade, julgue os itens a seguir. 05 - (PM/ES 2010 / CESPE) Se a diferença entre as idades dos meninos for 2 anos, então o produto das medidas dessas idades, em anos, será inferior a 14. (Texto para as questões 06 e 07) Para incrementar a frota de veículos, uma corporação militar adquiriu automóveis e motocicletas. Considerando que a soma dos 2 pneus de cada moto e dos 4 pneus de cada automóvel é igual a 152 pneus, julgue os itens a seguir. Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 24 de 27
06 - (CBM/ES 2011 / CESPE) Se a quantidade de motos compradas corresponde a um múltiplo de 4, então a de automóveis corresponde a um número par. 07 - (CBM/ES 2011 / CESPE) Se a quantidade de automóveis comprados foi inferior a 30, então a quantidade de veículos adquiridos foi superior a 45. 08 - (Correios 2011 / CESPE) Em uma empresa, os empregados têm direito a descanso remunerado de um dia a cada 15 dias trabalhados. Em determinado ano, os dias trabalhados e os dias de descanso somaram 224 dias. Com base nessa situação, é correto afirmar que, nesse ano, a quantidade de dias de descanso desses empregados foi superior a 16. (Texto para a questão 09) Em um evento em que foram realizadas provas em dois turnos, os colaboradores assinaram contrato para trabalhar em um ou nos dois períodos. No período da manhã, os colaboradores trabalharam quatro horas e, no período da tarde, cinco horas. O CESPE/UnB pagará R$ 100,00 para os colaboradores que trabalharam um período e, para os que trabalharam nos dois períodos, R$ 180,00. Considerando a situação hipotética acima descrita, julgue os item subsequente. 09 - (FUB 2010 / CESPE) O colaborador que trabalhar em ambos os turnos receberá o mesmo valor pela hora trabalhada que aquele que trabalhar somente no turno vespertino. (Texto para as questões 10 e 11) Uma empresa contratou 10 empregados de nível superior e 15 de nível médio. Em cada nível, os salários mensais dos empregados são iguais e a soma do salário mensal de um empregado de nível superior com o salário mensal de um empregado de nível médio é igual a R$ 3.500,00. Considerando que a despesa mensal da empresa com os salários desses 25 empregados é de R$ 41.000,00, julgue os itens que se seguem. 10 - (SEBRAE 2008 / CESPE) O salário mensal de cada empregado de nível superior é inferior a R$ 2.400,00. 11 - (SEBRAE 2008 / CESPE) A diferença entre o salário mensal de um empregado de nível superior e o de um de nível médio é superior a R$ 1.200,00. 12 - (SEAD/SE 2008 / CESPE) O produto de dois números racionais não inteiros é um número racional não inteiro. Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 25 de 27
13 - (SEAD/SE 2008 / CESPE) Se a soma de dois números reais é um número irracional, então um desses números é, necessariamente, irracional. (Texto para as questões 14 e 15) Se a soma de dois números reais é igual a 21 e se a razão entre eles é igual a 4 3, então é correto afirmar que 14 - (SEAD/SE 2008 / CESPE) um desses números é menor que 7. 15 - (SEAD/SE 2008 / CESPE) o produto desses números é superior a 120. 16 - (Prefeitura de Rio Branco 2007 / CESPE) Paulo e José apostavam em um jogo de sinuca ao valor de R$ 5,00 a partida. No início do jogo, Paulo tinha R$ 230,00 e José, R$ 120,00. No final do jogo, Paulo e José ficaram com quantias iguais. Nessa situação, a diferença entre o número de partidas vencidas por José e o número de partidas vencidas por Paulo foi superior a 12. Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 26 de 27
4 - Gabaritos 01 - E 02 - E 03 - C 04 - C 05 - E 06 - C 07 - C 08 - E 09 - C 10 - C 11 - E 12 - E 13 - C 14 - E 15 - E 16 - E Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 27 de 27