Hewlett-Packard GRANDEZAS PROPORCIONAIS Aulas 01 a 03 Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz
Sumário GRANDEZAS... 2 O QUE É UMA GRANDEZA?... 2 PRELIMINAR 1... 2 PRELIMINAR 2... 2 GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS (GDP)... 2 GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS (GIP)... 3... 3 DIVISÃO EM PARTES DIRETAMENTE E INVERSAMENTE PROPORCIONAIS... 3... 3 VARIÁVEL PROPORCIONAL A VÁRIAS OUTRAS... 4... 4
AULA 01 GRANDEZAS O QUE É UMA GRANDEZA? Entenderemos por grandeza tudo aquilo que pode ser medido. Exemplos: Distância, velocidade, comprimento,... PRELIMINAR 1 Considere as grandezas a seguir. X: quantidade, em gramas, de comida Y: valor pago pela comida Sabendo-se que por 100g de comida são pagos 4 reais e que por 200g de comida são pagos 8 reais, responda: a) Quanto se paga por 1kg de comida? b) Ao se calcular a razão dos valores associados c) Ao se calcular o produto dos valores associados PRELIMINAR 2 Considere as grandezas a seguir. X: módulo da velocidade, em km/h, de uma pessoa Y: tempo de deslocamento da pessoa Sabendo-se que a 5 km/h a pessoa percorre um trajeto em 2h e que a 10 km/h ela o percorre em 1h, responda: a) Em quanto tempo ela percorrerá o trajeto a uma velocidade de 20 km/h? b) Ao se calcular a razão dos valores associados c) Ao se calcular o produto dos valores associados Considere uma grandeza X, com medidas x 1, x 2, x 3, positivas e uma grandeza Y, com medidas y 1, y 2, y 3,, também positivas. Tais que X Y x 1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3 x n GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS (GDP) Diremos que as grandezas X e Y são DIRETAMENTE PROPORCIONAIS se A RAZÃO entre medidas correspondentes de X e Y, numa mesma ordem, for CONSTANTE. Simbolicamente, podemos ter y x = k, y n com k R + Aplicando-se na tabela acima, tem-se y 1 x 1 = y 2 x 2 = = k Obs.1: Uma vez escrita essa sequência de igualdades, basta escolher duas partes convenientes e resolver a equação montada. Obs.2: Note que, cada y é encontrado multiplicandose cada x pelo valor de k. CUIDADO com pensamentos simplistas!! Note que não se trata apenas de quando um aumenta o outro também aumenta, mas sim de quando uma grandeza é multiplicado por um número, então a outra também é multiplicada pelo mesmo número! Reflita: Nos primeiros anos de vida, é normal que a altura de uma pessoa aumente à medida que sua idade aumenta. Mas não há proporcionalidade, nesse caso. Ou seja, as grandezas IDADE (anos) e ALTURA (em metros) não são GDP, mesmo uma aumentando enquanto a outra também aumenta. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 2
GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS (GIP) Diremos que as grandezas 𝑋 e 𝑌 são INVERSAMENTE PROPORCIONAIS se O PRODUTO entre medidas correspondentes de 𝑋 e 𝑌 for CONSTANTE. Simbolicamente, podemos ter 𝑥 𝑦 = 𝑘, com 𝑘 ℝ + Aplicando-se na tabela da página anterior, tem-se 𝑥1 𝑦1 = 𝑥2 𝑦2 = = 𝑘 Obs.3: Uma vez escrita essa sequência de igualdades, basta escolher duas partes convenientes e resolver a equação montada. Obs.4: Note que, cada 𝑦 é encontrado dividindo-se o valor de 𝑘 pelo seu respectivo 𝑥. AULA 02 DIVISÃO EM PARTES DIRETAMENTE E INVERSAMENTE PROPORCIONAIS MAIS PARA APLICAÇÃO DO QUE PARA MATÉRIA NOVA O que veremos a seguir são algumas aplicações clássicas nas quais utilizamos os conhecimentos sobre Grandezas Diretamente e/ou Inversamente Proporcionais. Ou seja, você não está aprendendo uma matéria nova, está aprendendo como utilizar a matéria da aula anterior em algumas situações. 2.1. Divida o número 180 em partes diretamente proporcionais a 2, 3 e 5. CUIDADO com pensamentos simplistas!! DE NOVO! Note que não se trata apenas de quando um aumenta o outro diminui, mas sim de quando uma grandeza é multiplicada por um número, a outra grandeza é multiplicada pelo inverso desse número. Por exemplo, se uma triplica, a outra vai a 1/3. 2.2. Paulo, Ana e Luís formaram uma sociedade e investiram, respectivamente, R$ 2.500,00, R$ 3.500,00 e R$ 4.000,00 num fundo de investimentos. Ao final de um ano, a aplicação estava com um saldo de R$ 12.500,00. Se os três investidores resgatarem somente o rendimento e o dividirem em partes diretamente proporcionais aos valores investidos, de quanto será a diferença entre os valores recebidos por Ana e Paulo? 1.1. PSA 21, 22, 23, 31 e 34. TAREFA 1 Ler, no capítulo 3, da página 14 à 20. Dê atenção às Observações 1 e 2; ao tópico 3.6 e aos exercícios resolvidos 13, 14 e 15. 2.3. Divida o número 1260 em partes inversamente proporcionais a 3, 5 e 6. 2.4. As prefeituras das cidades A, B e C construíram uma ponte sobre o rio próximo a estas cidades. A ponte fica a uma distância de 10 km de A, 12 km de B e 18 km de C. O custo da construção, R$ 7.095,00 foi dividido em partes inversamente proporcionais às distâncias das cidades à ponte. Qual foi o gasto que coube à prefeitura da cidade A? TAREFA 2 Ler, no capítulo 3: o tópico 3.8 (p.23), o Exercício 18, o tópico 3.9 e o Exercício 19. Além disso, fazer os PSA 26 e 27. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 3
AULA 03 VARIÁVEL PROPORCIONAL A VÁRIAS OUTRAS NOVAMENTE, NÃO É MATÉRIA NOVA! Lembra da tal Regra de três composta? Então, mais uma vez, o que faremos agora é mostrar como um bom domínio da parte de Grandezas Diretamente e Inversamente Proporcionais faz com que você não precise decorar novas regras para fazer esse tipo de questão. 3.1. Para alimentar 15 vacas durante 11 dias são necessários 2.200 kg de milho. Retirando-se 7 vacas, em quanto tempo serão consumidos 1.280 kg? 3.2. Quinze operários furam uma vala de 80 m de comprimento em 10 dias trabalhando 8 horas por dia. Quantos dias serão necessários para que 32 operários furem outra vala de 100 m de comprimento, trabalhando 12 horas por dia e cuja dificuldade seja 3 5 maior? TAREFA 3 Ler, no capítulo 3 os Exercícios 20, 21, 22, 23, 24 e 25. Além disso, fazer os PSA 30, 34, 37, 38 e 43. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 4