1 2 a Lista de Exercícios Potencial Elétrico - Capacitância e Dielétricos - Corrente e Resistência - Circuitos Elétricos circunferência. interseção da superfície euipotencial de 5,0V com o plano xy também é uma circunferência? 1. Em um relâmpago típico, a diferença de potencial entre os pontos de descarga corona é cerca de 10 9 V e a uantidade de carga transferida é cerca de 30C. (a) Quanta energia é liberada? (b) Se toda a energia ue foi liberada pudesse ser usada para acelerar um carro de 1000kg ue partiu do repouso, ual seria sua velocidade final? (c) Que uantidade de gelo a 0 o C seria possível derreter se toda a energia liberada pudesse ser usada para esse fim? O calor de fusão do gelo é 3,3 10 5 J/kg. 2. O campo elétrico no interior de uma esfera não condutora de raio R está radialmente direcionado e tem módulo dado por E = Kr/R 3, onde é a carga total da esfera (ue é uniformemente distribuída) e r é a distância ao centro. (a) Determine o potencial V(r), supondo ue V = 0 no centro da esfera. (b) Qual é a diferença de potencial elétrico entre um ponto situado na superfície da esfera e um no centro da esfera? Sendo positivo, ual deles está no potencial mais alto? 3. Considere dois pontos e B e uma carga pontual de 1µC. Calcule a diferença de potencial entre esses pontos nas duas situações (a) e (b) da figura 1. Você esperava esses resultados? Por uê? 1m 2m B (a) Figura 2: Exercício 6. 7. Duas grandes placas de metal, paralelas entre si e afastadas por uma distância igual a 1,5cm, possuem cargas iguais e de sinais contrários sobre suas superfícies. placa carregada negativamente está ligada a Terra e seu potencial é tomado como zero. Se o potencial no meio da distância entre as placas for igual a 5,0V, ual será o campo elétrico nesta região? 8. Seja λ a carga por unidade de comprimento distribuída uniformemente ao longo de um segmento de reta de comprimento L. Determine o potencial no ponto P da figura 3. Use esse resultado para calcular o componente do campo elétrico nessa direção. 2m B (b) λ P 1m L s Figura 1: Exercício 3. Figura 3: Exercício 8. 4. Considere uma carga pontual de 15nC. Detemine o raio da euipotencial ue tem um potencial de 30V. Estão igualmente espaçadas as superfícies cujos potenciais diferem de uma uantidade constante? 5. Usando V = kd/r, calcule o potencial elétrico criado por um anel carregado, de raio R, num ponto ao longo do eixo ue passa pelo centro do anel. partir dessa expressão para o potencial, ache a componente do campo elétrico nessa direção. 6. Uma carga pontual 1 = +6e é mantida fixa na origem de um sistema de coordenadas retangular; uma segunda carga pontual 2 = 10e é mantida fixa no ponto x = 8,6nm e y = 0. Mostre ue o lugar dos pontos no plano xy para os uais V = 0 (além do infinito) é uma circunferência com centro no eixo x, como mostrado na figura 2. Determine a posição x c do centro e o raio R da 9. (a) Determine a expressão V B = V V B para a situação descrita na figura 4. (b) Verifiue se o resultado obtido se reduz aos valores esperados uando d = 0; a = 0; = 0. a d a B Figura 4: Exercício 9. 10. Duas cargas de 2µC estão fixas no espaço e separadas pela distância de 2cm, como indicado na figura 5. (a) Qual o valor do potencial elétrico no ponto C? (b) traga uma terceira carga de 2µC, lentamente, desde o infinito até o ponto C. Quanto trabalho deve ser realizado para isto? (c) Qual a energia potencial da configuração uando a terceira carga está no ponto C?
2 C ponto médio da base, considerendo = 7,0µC. d/2 d/2 d/2 Figura 5: Exercício 10. 4cm 11. No retângulo da figura 6, os lados têm 5,0cm e 15, 0cm de comprimento, enuanto ue as cargas valem 1 = 5,0µC e 2 = 2,0µC. (a) Qual o valor do potencial elétrico nos pontos e B? (b) Que trabalho é necessário para se mover uma terceira carga de 3,0µC do ponto B ao ponto ao longo da diagonal do retângulo? 1 B 2 Figura 6: Exercício 11. 12. Uma partícula de carga é mantida fixa num ponto P e uma segunda partícula de massa m com mesma carga, está inicialmente em repouso a uma distância r 1 de P. segunda partícula é, então, liberada sendo repelida pela primeira. Determine a sua velocidade no instante em ue ela se encontra a uma distância r 2 de P. Dados: = 3,1µC; m = 20mg; r 1 = 0,90mm; r 2 = 2,5mm. 13. Considere duas esferas condutoras separadas, 1 e 2, sendo ue a segunda tem o dobro do diâmetro da primeira. Inicialmente, a esfera menor tem uma carga positiva, e a maior está descarregada. Vamos supor ue as esferas sejam ligadas por um fio fino e muito comprido. (a) Qual é o valor do potencial de cada esfera? (b) Determine as cargas finais sobre cada esfera. 14. Um campo elétrico uniforme de magnitude 250V/m está na direção x poitiva. Uma carga de 12µC se desloca da origem para o ponto(x, y) = (10cm, 50cm). Calcule a variação na energia potencial desse sistema carga-campo e a diferença de potencial na ual a carga se desloca. 15. O potencial numa região entre x = 0m e x = 6m é dado por V = a+bx, onde a = 10,0V e b = 7,0V/m. Dertermine o potencial em x = 0, 3m e 6m. Determine também a magnitude do campo elétrico nestes três pontos. 16. s três cargas da figura 7 estão nos vértices de um triângulo isósceles. Calcule o potencial elétrico no 2cm Figura 7: Exercício 16. 17. Um condutor esférico tem um raio de 14,0cm e a carga de 26µC. Calcule o campo elétrico e o potencial elétrico em r = 10,0cm, r = 20cm e r = 14cm a partir do centro da esfera. 18. Usando V = kd/r, (a) calcule o potencial elétrico criado por um disco carregado, de raio R, num ponto ao longo do eixo ue passa pelo centro do disco. partir dessa expressão para o potencial, ache a componente do campo elétrico nessa direção. Compare o valor do campo com o valor obtido por integração direta. (b) Refaça os cálculos supondo ue o disco esteja carregado com uma distribuição não uniforme dada por σ = 5ρ em µc/m 2, onde ρ é a distância de um elemento de carga sobre o disco até o centro do disco. 19. Um capacitor de placas paralelas possui placas circulares de raio igual a 8, 2cm e separação de 1, 3mm. (a) Determine sua capacitância. (b) Se aplicarmos uma diferença de potencial de 120V, ual será o valor da carga ue surgirá sobre as placas? 20. placa e o catodo de um diodo a vácuo têm a forma de dois cilindros concêntricos, com o catodo ocupando o cilindro central. O diâmetro do catodo é igual a 1,6mm e o da placa mede 18mm, sendo o comprimento de ambos os elementos igual a 2, 4cm. Calcule a capacitância do diodo. 21. Um capacitor de 6,0µF está ligado em série com outro capacitor de 4, 0µF. Uma diferença de potencial de 200V é aplicada a combinação. (a) Calcule a capacitância euivalente. (b) Qual o valor da carga sobre cada capacitor? (c) Determine a diferença de potencial entre as placas de cada capacitor. 22. Resolva o problema anterior considerando ue os capacitores sejam ligados em paralelo. 23. (a) Três capacitores são ligados em paralelo. Cada um deles possue placas de área e separação d entre as placas. Calcule a distância entre as placas
3 de um único capacitor com placa de área, se a sua capacitância for igual a da combinação paralela. (b) Qual será a distância se os três capacitores estiverem ligados em série? calcule a razão da energia armazenada antes e depois da introdução da placa. (c) Quanto trabalho é realizado sobre a placa uando esta é introduzida? 24. Um capacitor de 100pF é carregado até atingir uma diferença de potencial de 50V, mas, logo após, a bateria ue o carregou é retirada. O capacitor é, então, ligado em paralelo com um segundo capacitor ue, inicialmente, está descarregado. Se a diferença de potencial cair para 35V, ual será a capacitância do segundo capacitor? d COBRE b 25. Quando giramos a chave S da figura 8 para a esuerda, as placas do capacitor C 1 aduirem uma diferença de potencial V o. Inicialmente, C 2 e C 3 estão descarregados. chave S é, agora, girada para a direita. Quais os valores das cargas finais sobre os capacitores correspondentes? Vo S C1 C2 C3 Figura 9: Exercício 29. 30. Um capacitor de placas paralelas contém dois dielétricos diferentes, como mostrado na figura 10, cada um ocupando metade da separação entre as placas. Mostre ue ( o valor de sua capacitância é dado por C = 2εo k 1k 2 d k 1+k 2 ). Figura 8: Exercício 25. k1 k2 d 26. Um determinado capacitor é submetido a um potencial V. Havendo um aumento de 10% na energia armazenada, ual a porcentagem de aumento no potencial V? 27. Um capacitor é carregado até ue a sua energia armazenada seja igual a 4, 0J. Um segundo capacitor descarregado é, então, ligado ao primeiro em paralelo. (a) Se a carga se distribuir igualmente, ual será a energia total acumulada nos campos elétricos? (b) Para onde foi o restante da energia? 28. Uma certa substância possui uma constante dielétrica de valor 2,8 e uma rigidez dielétrica de 18MV/m. Se usarmos essa substância como material dielétrico a ser introduzido num capacitor de placas paralelas, ual será a área mínima ue as placas do capacitor devem ter para ue a sua capacitância seja de 7,0 10 2 µf e para ue o capacitor seja capaz de resistir a uma diferença de potencial de 4,0kV? 29. Uma placa de cobre de espessura b é introduzida exatamente no meio e entre as placas de um capacitor de placas planas e paralelas como é mostrado na figura 9. (a) Qual o valor da capacitância depois da introdução das placas? (b) Se a carga for mantida entre as placas, Figura 10: Exercício 30. 31. Um campo elétrico uniforme de magnitude 3000V/m existe dentro de uma certa região. Que volume de espaço contém uma energia total igual a 1,0 10 7 J? 32. (a) Quanta carga pode ser colocada em um capacitor com ar entre as placas antes ue ele sofra um rompimento dielétrico se a área da placa é 5,0cm 2? (b) Encontre a carga máxima se o poliestireno for utilizado entre as placas em vez do ar. 33. Uma corrente de 5,0 percorre um resistor de 10Ω durante o tempo de 4, 0min. Quantos coulombs e uantos elétrons passam através da seção transversal do resistor durante este intervalo de tempo? 34. Considere uma esfera condutora isolada de 10cm de raio. Um fio transporta para dentro dela uma corrente de 1, 0000020. Um outro fio transporta uma corrente de 1, 0000000 para fora da esfera. Quanto tempo levaria para a esfera sofrer um aumento de 1000V no potencial?
4 35. (a) densidade de corrente por unidade de área ue atravessa um condutor cilíndrico de raio R varia de acordo com a euação J = J o (1 r/r), onde r é a distância a partir do eixo central. Desse modo, a densidade de corrente J o é máxima no eixo r = 0 e descresce linearmente para zero na superfície r = R. Calcule a corrente em termos de J o e da área da seção transversal do condutor. (b) Suponha agora ue a densidade de corrente é máxima na superfície e decresce linearmente para zero no eixo, assim J = J o r/r. Calcule a corrente. 36. Um fio condutor tem um diâmetro de 1,0mm, um comprimento de 2,0m e uma resistência de 50mΩ. Qual é a resistividade do mateiral? 37. Um condutor, cuja extensão é de 4m e cujo diâmetro é 6mm, tem uma resistência de 15mΩ. Se uma d.d.p. de 23V for aplicada em suas extremidades, ual será a corrente através do condutor e a densidade de corrente? Você pode identificar o material do ual este condutor é feito? 38. Um fio de nicromo (liga níuel-cromo-ferro) tem 1,0m de comprimento e 1,0mm 2 de área de seção transversal. o aplicarmos uma d.d.p. de 2, 0V entre as suas extremidades, ele transporta uma corrente de 4, 0. Sendo a condutividade de um material definida como o inverso de sua resistividade, calcule a condutividade do nicromo. 39. Dois condutores são feitos do mesmo material e têm o mesmo comprimento. O condutor é sólido e tem 1,0mm de diâmetro. O condutor B é um tubo oco de diâmetro interno de 1,0mm e diâmetro externo de 2, 0mm. Quanto vale a razão entre as resistências medidas entre as suas extremidades? 40. Uma barra de alumínio uadrada tem 1, 3m de comprimento e 5,2mm de aresta. (a) Calcule a resistência entre as duas extermidades. (b) Qual deverá ser o diâmetro de uma barra de cobre circular com 1,3m de comprimento, se a resistência das barras for a mesma? 41. Um cabo elétrico consiste em 125 fios de um condutor delgado, sendo ue cada um tem uma resistência de 2, 65µΩ. mesma d.d.p. é aplicada entre as extremidades de cada fio e resulta numa corrente total de 0,75. (a) Calcule a corrente em cada fio. (b) Determine a diferença de potencial ue foi aplicada. (c) Qual é a resistência do cabo? 42. Quando uma d.d.p. de 115V é aplicada através de um condutor cujo comprimento mede 10m e cujo raio é de 0,30mm, a densidade de corrente é igual a 1,4 10 4 /m 2. Determine a resistividade do condutor. 43. Um estudante pegou seu rádio portátil de 9,0V e 7,0W e o deixou ligado das 9h às 14h. Que uantidade de carga passou através dele? 44. Um resistor cilíndrico, de raio igual a 5,0mm e de comprimento igual a 2,0cm é feito de um material cuja resisitividade é de 3,5 10 5 Ωm. Quais são a densidade de corrente e a diferença de potencial uando a potência dissipada é de 1,0W? 45. Uma esfera peuena ue tem uma carga gira em um círculo na extremidade de um fio isolante. freüência angular de rotação é ω. Qual é a corrente média representada por esta carga em rotação? 46. uantidade de carga ue atravessa uma superfície de área 2,00cm 2 varia no tempo de acordo com = 4t 3 + 5t + 6, com t em segundos e em coulomb. Calcule a corrente e a densidade de corrente através desta área no instantne de tempo de 1,0s. 47. Suponha ue a corrente num condutor diminua exponencialmente com o tempo de acordo com a euação I(t) = I o e t/τ, onde I o é a condição inicial e τ é uma constante com dimensões de tempo. Considere um ponto de observação fixo dentro do condutor. (a) Quanta carga passa por este ponto entre t = 0 e t = τ? (b) E entre t = 0 e t = 10τ? (c) Quanta carga deve ter passado se esperarmos t? 48. Uma d.d.p. de 0,9V é mantida em um fio de tungstênio de 1,50m de comprimento ue tem uma área de seção transversal de0,6mm 2. Qual é a corrente no fio? 49. Uma certa torradeira tem um elemento auecedor feito de um fio de resistência de nicromo. Quando a torradeira é ligada primeiramente a 120V (e o fio está a uma temperatura de 20 o C), a corrente inicial é de 1,80. Contudo, a corrente começa a diminuir à medida ue o elemento resistivo se auece. Quando a torradeira atinge uma temperatura operacional final, a corrente caiu para 1, 53. (a) Encontre a potência fornecida uando a torradeira está a sua temperautra operacional. (b) Qual é a temperatura final do elemento auecedor? 50. Um carro elétrico é projetado para utilizar um conjunto de baterias de 12,0V com um total de armazenagem de energia de 2,00 10 7 J. (a) Se o motor elétrico utiliza 8,00kW, ual é a corrente no motor? (b) Se o motor elétrico utiliza 8, 00kW uando o carro se desloca a uma velocidade constante de 20, 0m/s, ue distância o carro percorre antes de ficar sem combustível? 51. O cobre e o alumínio estão sendo considerados para uma linha de transmissão de alta voltagem ue deve carregar uma corrente de 60. resistência por unidade de comprimento é de 0, 15Ω/km. Calcule para cada opção do material do cabo: (a) a densidade de corrente e (b) a massa por metro de cabo. s
5 densidades do cobre e do alumínio são 8960 e2700kg/m 3. 52. Na figura 11, ue valor terá R se a corrente no circuito tiver 1,0m? Considere ε 1 = 2,0V ; ε 2 = 3,0V ; r 1 = r 2 = 3,0Ω. Qual a taxa na ual a energia térmica aparece em R? 57. (a) Calcule a intensidade das três correntes ue aparecem no circuito da figura 13. (b) Calcule V ab. Considere R 1 = 1,0Ω; R 2 = 2,0Ω; ε 1 = 2,0V e ε 2 = ε 3 = 4,0V. a R2 E3 r2 r1 b Figura 13: Exercício 57. R Figura 11: Exercício 52. 53. corrente em um circuito de uma única malha tem 5,0. Quando uma resistência adicional de 2,0Ω é inserida em série, a corrente cai para 4,0. Qual era a resistência no circuito original? 58. Na figura 14, (a) calcule a potência ue aparece como energia térmica em R 1, R 2 e R 3. (b) Calcule as potências fornecidas porε 1 eε 2. Suponha ueε 1 = 3,0V ; ε 2 = 1,0V ; R 1 = 5,0Ω; R 2 = 2,0Ω e R 3 = 4,0Ω. R3 R2 54. Uma bateria solar gera uma d.d.p. de 0,10V, uando um resistor de 500Ω é conectado a ela, e uma d.d.p. de 0,15V, uando o resistor é substituído por um outro de 1000Ω. Quais são a resistência e a fem da bateria solar? área da bateria é de 5,0cm 2 e a intensidade da luz é de 2,0mW/cm 2. Qual é a eficiência da bateria ao converter a energia luminosa em calor, tendo o resistor externo 1000Ω? 55. Na figura 12, calcule o valor da corrente em cada um dos resistores e a d.d.p. entre os pontos a e b. Considere: ε 1 = 6,0V ; ε 2 = 5,0V ; ε 3 = 4,0V ; R 1 = 100Ω e R 2 = 50Ω. Figura 14: Exercício 58. 59. figura 15 mostra uma bateria ligada a um resistor uniforme R o. Um contato deslizante pode mover-se através do resistor de x = 0 até x = 10cm à esuerda. che uma expressão para a potência dissipada no resistor R como função de x. Faça o gráfico da função para ε = 50V ; R = 2000Ω e R o = 100Ω. x R Ro E3 R2 a b E Figura 15: Exercício 59. Figura 12: Exercício 55. 56. Duas lâmpadas, uma de resistência R 1 e a outra de resistência R 2 (R 2 < R 1 ) estão ligadas: (a) em paralelo e (b) em série. Qual é a lâmpada mais brilhante em cada caso? 60. Um capacitor de 1, 0µF e energia inicialmente armazenada de 0, 50J é descarregado através de um resistor de 1,0MΩ. (a) Qual a carga inicial do capacitor? (b) Qual o valor da corrente através do resistor no momento em ue a descarga se inicia? (c) Determine V C, a voltagem através do capacitor, e V R, a voltagem através do resistor em função do tempo. (d) Expresse a taxa de geração de energia térmica no resistor em função do tempo.
6 61. Um capacitor C inicialmente descarregado é totalmente carregado por uma fem de valor constante em série com um resistor R. (a) Mostre ue a energia final armazenada no capacitor é metade da energia fornecida pela fem. (b) Por integração direta de i 2 R sobre o tempo de carga, mostre ue a energia térmica dissipada pelo resistor também é metade da energia fornecida pela fem. 62. Uma bateria tem uma fem de 15,0V. voltagem entre os terminais da bateria é de 11,6V uando ela está fornecendo 20, 0W de potência para um resistor de carga externo R. Determine o valor de R e o valor da resistência da bateria. 63. No circuito da figura 16, a chave S fivou aberta por muito tempo. Ela é, então, subitamente fechada. Determine a constante de tempo (a) antes de a chave ser fechada e (b) após a chave ser fechada. (c) Se a chave for fechada em t = 0, determine a corrente na chave como função do tempo. RESPOSTS Figura 16: Exercício 63. 1. 3 10 10 J; 7,75km/s; 9 10 4 kg r 2. 2 8πε or ; 3 8πε or 3. V B = 4,5 10 3 V 4. 4,5m 6. x c = 4,8nm; R = 8,1nm; Não. 7. 667N/C 8. λ 9. ( 4πε o ln d 2πε oa(a+d) s L+s ) ; λ 4πε o L s(l+s) 11. 7,8 10 5 V ; 0,6 10 5 V ; 2,5J 12. 2, 48km/s 13. V 1 = V 2 ; 1 = /3; 2 = 2/3 14. 0,3mJ 15. 10V, 11V, 32V ; 7N/C na direção +x 16. 12MV 19. 144pF; 17,3nC 20. 0,551pF 21. 2,4µF; 480µC; 80V ; 120V 22. 10µF; 1200µC; 800µC; 200V 23. d = d/3; d = 3d 24. 43pF C 25. 1 = 1C 2+C 1C 3 C 1C 2+C 2C 3+C 3C 1 C 1 V o ; C 2 = 3 = 2C 3 C 1C 2+C 2C 3+C 3C 1 C 1 V o 26. 4,88% 27. 2,0J 28. 0,63m 2 29. εo d b ; d d b ; 2 b 2ε o 31. 2,51l 32. 13,3nC; 272nC 33. 1200C; 7,5 10 21 34. 5,6ms 35. J o /3; 2J o /3 36. 1,96 10 8 Ωm 38. 2,0 10 6 (Ωm) 1 41. 6,00m; 1,59 10 8 V ; 21,2nΩ 42. 8,21 10 4 Ωm 43. 14kC 45. ω 2π 47. 0,632I o τ; 0,99995I o τ; I o τ 48. 6,43 49. 184W; 461 o C 50. 667; 50,0km 51. 5,32 10 5 /m 2 e 1,01kg/m para o cobre. 3,27 10 5 /m 2 e 0,495kg/m para o alumínio 52. 990Ω; 9,4 10 4 W 53. 8Ω 54. 1000Ω; 300mV 55. i 1 = 50m; i 2 = 60m; V ab = 9V 56. r 2 ; r 1 57. ramo esuerdo: 0, 67 para baixo; ramo central: 0, 33 para cima; ramo direito: 0, 33 para cima; 3, 3V ( ) 2, x 59. 50kW 2000+10x x x em cm 2 60. 1mC; 1m; V C = 1000e t ; V R = 1000e t 62. 6,73Ω; 1,97Ω 63. 1,50s; 1,00s; 200µ+(100µ)e t/1,00s