Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática Método de Newton Paulo Evandro Viana Belo Horizonte, março de 006
AOS MEUS QUERIDOS E ESTIMADOS FAMILIARES E, COM AMOR, À DÉBORA. i
ii Sumário 1 PRELIMINARES 3 1.1 O Conceito de Sequências................................... 3 1. Convergência de Seqüências.................................. 5 1.3 Conceito de Derivada e Interpretação Geométrica...................... 8 1.4 Fórmula de Taylor, com resto de Lagrange.......................... 9 1.5 Ponto Fixo das Contrações.................................. 11 MÉTODO DE NEWTON PARA FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL 1.1 Método de Newton....................................... 1. Convergência quadratica do método de Newton....................... 17 3 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 0
SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO O primeiro esrito onde aparece o método de Newton, foi num manuscrito: De Analysi per aequationes numero terminorum infinitas, de Newton. Neste pequeno trabalho Newton expõe um método para encontrar soluções de equações polinomias de grau 3. Uma das primeiras aplicações mais importantes do método de Newton foi usado para resolver a chamada equação de Kepler, equação conhecida em astronomia, que serve para determinar a posição de um planeta em sua órbita elíptica. Foi nesta que se aplicou pela, primeira vez o método de Newton, como um lema geométrico. Outro exemplo de aplicação foi no estudo do lançamento de um projétil, para calcular o alcance de um disparo. Nesta Monografia estudamos o Método de Newton como uma das aplicações da derivada, estudamos os critérios de convergência e sua interpretação geométrica. Primeiramente. No capitulo 1, fizemos um breve estudo do Conceito de Sequências, Convergência de Sequências, Conceito de Derivada e sua interpretação Geométrica, fórmula de Taylor, com resto de Lagrage e enunciamos alguns resultados que usamos no capítulo seguinte, como o teorema de Ponto Fixo das Contrações. No capítulo, abordamos o Método de Newton para funções reais de uma variável, estudamos exemplos e demos a interpretação geométrica. Demonstramos que o Método de Newton converge quadraticamente.
SUMÁRIO AGRADECIMENTOS Não poderia deixar de agradecer a todos os professores do Curso de Especialização em Cálculo Avançado, mas gostaria de agradecer, em especial, ao Professor Alberto Berly Sarmiento Vera, grande incentivador, amigo e verdadeiro Mestre.
3 Capítulo 1 PRELIMINARES Neste capítulo faremos um breve estudo sobre o conceito de seqüências; convergência de seqüências; teoremas do Sanduíche; Rolle; Valor Médio; Fórmula de Taylor, com resto de Lagrange e Ponto fixo das contrações. O estudo deste capítulo é essencial para o melhor entendimento das demonstrações dos Teoremas do próximo capítulo. 1.1 O Conceito de Sequências Definição 1. Uma seqüência de números reais é uma lista de números ordenados pelos números naturais, isto é, uma função f: ℵ R, tal que, associamos f(1) = a 1, f() = a,, f(n) = a n,. Para denotarmos uma seqüência, usamos a notação (a n ) (ou simplesmente a n ) onde, para cada n, a n designa o n-ésimo termo da seqüência. Nos referiremos ao inteiro n como índice do termo a n. Exemplo 1. 1, 1, 1 3,..., 1 n,... é uma seqüência cujo primeiro termo é o número 1, o segundo é 1, o terceiro é 1 3 e em geral o n-ésimo termo 1 n. Exemplo. 1, 0, 1, 0, 1, 0,..., 1, 0, 1,... é uma seqüência cujo n-ésimo termo é 1 se n é ímpar, e 0 se n é par. Neste exemplo é dada a seqüência, x n definida por: x n é 1 se o índice n é um número ímpar, e 0 se n é par. Essa seqüência também pode ser definida pela fórmula para n 1. x n = 1 + ( 1)n+1 Exemplo 3.,,,...,,... é uma seqüência tal que qualquer termo é o número. É dada a seqüência y n =, para n 1, isto é, todos os termos dessa seqüência dão o mesmo número,. Seqüências assim, isto é, tal que todos os termos os termos dão um mesmo número são chamadas seqüências constantes.
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 4 As seqüências a seguir são exemplos de uma classe muito importante de seqüências: são as seqüências definidas por uma fórmula de recorrência ou iteração. Exemplo 4. Seja (u n ) a seqüência definida pela fórmula: com u 0 =1. Fazendo n = 0 na fórmula nos dá: u n+1 = u n + /u n u 1 = u 0 + /u 0 = 1 + /1 = 3. Fazendo agora n=1 na fórmula, obtemos: u = u 1 + /u 1 = 3 + 3/ = 17 1. Repetindo esse procedimento obtemos u 3 e assim por diante. Ou seja, uma vez conhecido o valor de u n, podemos obter o valor do termo seguinte, u n+1, usando a fórmula de recorrência e o valor já calculado de u n. Exemplo 5. Seja (x n ) a seqüência dada por: x n+ = x n+1 + x n, com x 1 =1 e x =3. Como x 1 e x já são dados, queremos calcular x 3. x 3 = x + x 1 = 1 + 3 =. Obtemos x 3 =. Calculando x 4 : x 4 = x 3 + x = + 3 = 5. Em geral, neste exemplo, conhecidos os valores de dois termos consecutivos, x n e x n+1, a fórmula de recorrência nos fornece o termo seguinte, x n+. Exemplo 6. Dado um número real x, seja s n a seqüência dada por: s n+1 = s n + x n+1 com s 0 =1. Temos que: e, em geral,. s 1 = 1 + x s = 1 + x + x s 3 = 1 + x + x + x 3.. s n = 1 + x + x + x 3 +... + x n
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 5 1. Convergência de Seqüências Definição. Dizemos que uma seqüência a n converge ao número real a, quando n tende a infinito, se para cada número inteiro positivo K, pudermos encontrar um índice n 0 tal que se n > n 0 então a n a < 10 K Se a n é uma seqüência que converge ao número a quando n tende ao infinito, dizemos também que a n tende ao número a, quando n tende ao infinito. Informalmente dizemos que a n converge ao número a se os números a n ficam arbitrariamente próximos de a quando n é arbitrariamente grande. Em outras palavras, a n converge ao número a quando a distância dos números a n ao número a tende a zero. Denotamos lim a n = a ou (a n a). Observação Se a n é uma seqüência, então a n converge para o número real a se e somente se a seqüência d n = a n a, para n 1, converge a zero. Antes de apresentarmos alguns exemplos, chamamos a atenção para o fato de que em geral, o índice depende do número positivo K (ou, mais precisamente, da tolerância 10 K e da seqüência a n. Isto é, em geral, valores maiores de K exigem valores maiores para n 0, e dadas duas seqüências convergentes, a n e b n, e um mesmo inteiro K, um certo valor para n 0 pode servir para a n enquanto que para b n pode exigir um valor maior para n 0. Por exemplo, consideremos a n = 10 n e b n = 1 : e o canditado a limite a = 0 dado um inteiro positivo K, para a seqüência a n podemos escolher n 0 = K, já que se n > K então 10 n < 10 K e, portanto, se n > K então a n 0 < 10 K. Mas, no caso de b n, para o mesmo K necessitamos um valor maior para n 0, pois o índice n = K + 1 é maior do que K, mas 1 n = 1 K+1 > 10 K. É fácil verificar que para a seqüência o menor valor que podemos escolher para n 0 é 10 K. Exemplo 7. Seja a seqüência definida por b 1 = 0, 3, b = 0, 33, b 3 = 0, 333,..., b n = 0, 3 }{{}... 3. n3 s que é a seqüência do exemplo 9. Como sabemos, para cada n, o número b n coincide com a expansão decimal do número 1 3 até a n-ésima casa decimal, isto é, b n é o truncamento de 1 3 na n-ésima casa decimal. Portanto, pela construção da expansão decimal, temos que para cada n b n 1 3 < 10 n. Logo, se K é um inteiro positivo qualquer, e tomamos n 0 = K, temos que se n > n 0 então 10 n < 10 K e portanto, dado um inteiro positivo K, podemos encontrar um índice n 0 (basta tomar n 0 = K) tal que: se n > n 0 então b n 1 3 < 10 K. Isto é, provamos que a seqüência b n converge ao número 1 3.
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 6 Exemplo 8. Seja a seqüência dada por a 1 = 0, 9, a = 0, 99, a 3 = 0, 999,..., a n = 0, 9 }{{}... 9. n9 s Vamos verificar que a n converge para a = 1, quando n tende a infinito. Temos que a n 1 = 10 n, para n 1 e, portanto, se K é um inteiro positivo dado e tomamos n 0 = K + 1, temos que se n > n 0, então, 10 n > 10 n0 > 10 K donde, e, portanto, 10 n < 10 n 0 < 10 K a n 1 = 10 n < 10 K, para n > n 0 = K + 1. Ou seja, dado um inteiro positivo K, se tomamos n 0 = K + 1, temos que: se n > n 0 então a n 1 < 10 K. Isto é, provamos que a n converge a 1 (essa é a razão pela qual ouvimos dizer que 1 = 0,999...). Como vimos no exemplo 10 a seqüência b n converge ao número 1 3 e, por outro lado, pela identificação de um número com sua representação decimal, vale a igualdade 1 3 = 0,333... Em analogia (e apenas em analogia pois a expansão decimal do número 1 é 1,000..., ou simplesmente 1 e não 0,999...) a identificações como essa e considerando que a seqüência a n definida acima converge ao número 1, admitimos dizer que 1 = 0,999... Exemplo 9. Seja x n = ( 1)n n, podemos mostrar que x n 0. De fato x n 0 = x n = 1 n n e, como já sabemos que 1 n 0, isto é, x n 0 0, podemos usar o fato que: Se a n é uma seqüência, então a n converge para o número real a se e somente se a seqüência d n = a n a, para n 1, converge a zero para concluir que ( 1)n (n) 0. Exemplo 10. O exemplo mais simples de seqüência convergente é uma seqüência constante: se c é um número real dado e a n = c, para n 1, então a n 0, pois a n c = 0 e, portanto, é sempre menor que qualquer tolerância dada, qualquer que seja o índice n. Teorema 1 (Teorema do Sanduiche). Sejam a n, b n e c n sequências, tais que, a n b n c n, para todo n ℵ, e com a n a e c n a. Então b n também tende a a. = 1 n Demonstração Dado K pertencente aos naturais e como a n a, então existe n 1, tal que, para todo n > n 1 tem-se a n a < 10 K. Do mesmo modo, existe um n, tal que c n a < 10 K para todo n > n. Dizer que a n a < 10 K é equivalente a: a 10 K < a n < a + 10 K, para todo n > n 1. Do mesmo modo, dizer que c n a < 10 K é equivalente a a 10 K < c n < a + 10 K, para todo n > n. Tomemos n 0 igual ao máximo entre n 1 e n. Assim podemos escrever a desigualdade a 10 K < a n b n c n < a + 10 K
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 7 para todo n > n 0. Então, também para todo n > n 0 : a 10 K < b n < a + 10 K b n a < 10 K Portanto b n a Corolario 1. Se x n a n e a n 0, então x n 0. Demonstração Como x n a n, temos que: a n x n a n. Mas, a n 0. Então 0 lima n 0. Pelo teorema do Sanduiche, x n 0. Em particular, deste resultado decorre que: Lema 1. Se lim b n = b, então lim b n = b. Demonstração Como b n b, existem dois números, K e n 0, pertencentes aos naturais, tal que b n b < 10 K, para todo n > n 0. E, como b n b < b n b, temos: Logo b n b < 10 K. Portanto b n b. b n b < b n b < 10 K. Exemplo 11. A seqüência a 1 =, 13509, a =, 1350099, a 3 =, 135000999,..., a n =, 1350 }{{}... 09 {}}{... 9 n0 s converge a,135. De fato, para cada n o número a n coincide com,135 até n + 3 dígitos decimais, logo: a n, 135 < 10 (n+3), para n 1. Agora, como 10 (n+3) < 10 n e já sabemos que a seqüência y n = 10 n tende a 0. podemos usar o Lema 1 para concluir que a distância de a n ao número,135 tende a zero. Mas isso, já sabemos, quer dizer que a n converge a,135. Exemplo 1. Já a seqüência a 1 =, 13519, a =, 1351199, a 3 =, 135111999,..., a n =, 1351 }{{}... 19 {}}{... 9 n1 s converge a 40 115. De fato, para cada n 1, temos que o número a n e o número,1351111... possuem o mesmo truncamento na n-ésima casa decimal e, portanto, a n 1, 1351111... < 10 n, para n 1. Como 10 n = 1 10 0, podemos usar o Lema 1 para concluir que a n n 1, 1351111... 0, o que é equivalente a a n 1, 1351111... O resultado se segue do fato de que 40 115 =, 1351111... n9 s n9 s
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 8 Exemplo 13. Se a é um número real e, para cada n 1, a n é o truncamento da expansão decimal de a até a n-ésima casa decimal, então a n converge para a. Sabemos que a n a < 10 n, para n 1. Logo usando o Lema 1e o fato da seqüência 10 n converge a zero para concluirmos que a n a 0, donde a n a. Nos exemplos de seqüências convergentes que demos acima, nós podemos dizer qual era o limite, mas essa não é a situação geral. Na maioria dos casos relevantes, as seqüências aparecem como aproximações cada vez melhores de um número que não conhecemos. Esse é o caso quando calculamos numericamente soluções de uma equação polinomial, por exemplo, a equação 3x 5 x + x 1 = 0 Não sabemos qual é a solução exata da equação, embora possamos provar que existem soluções, mas usando métodos numéricos devidamente respaldados por resultados teóricos, podemos calcular aproximações arbitrariamente boas dessa solução. Em relação ao conceito de limite, uma observação, que devemos fazer, é que decorre da definição de convergência, que um número finito de termos de uma seqüência não interfere na convergência da seqüência. Ou seja, se ignorarmos um número finito de termos de uma seqüência a n obteremos uma outra seqüência b n, que tem o mesmo comportamento de a n em termos de convergência: b n converge se e somente se a n converge, e nesse caso o limite é o mesmo. 1.3 Conceito de Derivada e Interpretação Geométrica Definição 3. Dizemos que uma função f é derivável (ou diferenciável) num ponto x 0 de seu domínio, f(x) f(x 0 ) se f está definida em algum intervalo aberto contendo x 0 e existe o lim. Esse limite, x x 0 x x 0 caso exista, será chamado derivada de f no ponto x 0. Se f é uma função derivável em x 0, a derivada de f no ponto x 0 é denotada por f (x 0 ), isto é, f (x 0 ) = lim x x 0 f(x) f(x 0 ) x x 0. Interpretação Geométrica f(x) f(x 0 ) Notemos que a razão,, chamado também quociente de Newton, é a inclinação de x x 0 uma reta que passa pelos pontos, Q = (x, f(x)) e P = (x 0, f(x 0 )), do gráfico de f(ver Figura 1.1). Imaginemos que, fixando P, o ponto Q aproxima-se de P, passando por sucessivas posições Q 1, Q, Q 3, etc. Espera-se que o quociente de Newton se aproxime de um número real, ou seja, se f(x) f(x 0 ) existe lim, este será a inclinação da reta tangente ao gráfico de f passando pelo ponto x x 0 x x 0 P = (x 0, f(x 0 )). No caso que f (x 0 ) 0, então a reta tangente interceptará o eixo x.
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 9 1 P a x o b Figura 1.1: 1.4 Fórmula de Taylor, com resto de Lagrange Teorema. (Teorema de Rolle) Seja f : [a, b] R. Se f for contínua no intervalo [a, b], derivável no intervalo (a, b) e f(a) = f(b), então existe um c ɛ (a, b), tal que, f (c) = 0. (Ver Figura 1.) a c c' b Figura 1.: Teorema 3. (Teorema do Valor Médio) Se f é uma função contínua em [a, b] e derivável em (a, b) então existe c pertencente a (a, b) tal que a reta tangente ao gráfico de f traçada pelo ponto (c, f(c)) é paralela à reta que passa por (a, f(a)) e (b, f(b)), isto é, f f(b) f(a) (c) =. (Ver Figura 1.3) b a
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 10 a c c' b Figura 1.3: Teorema 4. (Fórmula de Taylor, com resto de Lagrange) Seja f : [a, b] R uma função n vezes derivável no intervalo aberto (a, b), com f (n 1) contínua em [a, b]. Existe c ɛ (a, b) tal que f(b) = f(a) + f (a)(b a) +... + f n 1 (a) (n 1)! (b a)n 1 + f n (c) (b a) n. n! Pondo b=a+h, isto quer dizer que existe θ, com 0 < θ < 1, tal que f(a + h) = f(a) + f (a).h +... + f n 1 (a) (n 1)! hn 1 + f n (c) h n. n! Demonstração Seja ϕ : [a, b] R definida por ϕ(x) = f(b) f(x) f (x)(b x)... f n 1 (x) (n 1)! (b x)n 1 K (b x)n n! onde a constante K é escolhida de modo que ϕ(a) = 0. Então ϕ é contínua em [a, b], diferenciável em (a, b), com ϕ(a) = ϕ(b) = 0. Vê-se que ϕ (x) = K f n (x) (b x) n 1. (n 1)! Pelo Teorema de Rolle, existe c ɛ (a, b) tal que ϕ (c) = 0. Isto significa que K = f n (c). A Fórmula de Taylor, com resto de Lagrange se obtém fazendo x = a na definição de ϕ e lembrando que ϕ(a) = 0.
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 11 1.5 Ponto Fixo das Contrações Definição 4. Uma função f: X R chama-se uma contração quando existe uma constante k ɛ[0, 1) tal que f(y) f(x) k y x para quaisquer x, yɛx. O seguinte teorema será utilizado posteriormente e a sua demonstração pode ser encontrada em [Lima]. Teorema 5. (Teorema do Ponto Fixo das Contrações) Se X R é conjunto fechado então toda contração f : X X possui um único ponto fixo. Mais precisamente, fixando qualquer x 0 ɛ X, as seqúências das aproximações sucessivas x 1 = f(x 0 ), x = f(x 1 ) = f (x 0 ),..., x n+1 = f(x n ) = f n+1 (x 0 ),... converge para o único ponto aɛx tal que f(a) = a. Exemplo 14. A função f: R R, dada por f(x) = 1 + x, não possui ponto fixo pois f(x) > x para todo x ɛr. Sua derivada f = x cumpre f 1+x < 1, logo tem-se f(y) f(x) < y x, para quaisquer x, y ɛr. Este exemplo mostra que a condição f(y) f(x) < y x sozinha não basta para se obter um ponto fixo. Exemplo 15. A função f: [1, + ) R, dada por f(x) = x, é uma contração mas não possui ponto fixo a ɛ [1, + ). Isto monstra que, no método das aproximações sucessivas, é essencial verificar que a condição f(x) X é satisfeita. Neste exemplo, não se tem f([1, + )) [1, + ). Exemplo 16. f: (0, 1) (0, 1), dada por f(x) = x tem derivada f (x) = 1 pois (0, 1) não é fechado. mas não possui ponto fixo
1 Capítulo MÉTODO DE NEWTON PARA FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL De uma maneira geral, o Método de Newton é usado para resolver numericamente uma equação f (x) = 0, onde f é uma função diferenciável. Isto é, o método consiste na construção de uma seqüência de números que converge para um número real a que satisfaz f(a) = 0. A importância dos métodos numéricos decorre do fato, que já conhecemos, de que não só a maioria dos números reais só é acessível por intermédio de aproximações com as quais podemos efetuar cálculos, mas também de que a maioria das equações não existe um método de resolução exato..1 Método de Newton Para dar uma idéia de como encontrar solução da equação da equação f(x) = 0, começamos com um número real x 0 denominado condição inicial. Se f (x 0 ) 0, então a reta tangente ao gráfico de f em (x 0, f(x 0 )) é uma reta não-horizontal e, portanto, intercepta o eixo horizontal num único ponto x 1. Tomamos então o número x 1 no eixo horizontal. Se x 1 pertence ao domínio da função e f (x 1 ) 0, então podemos repetir o processo e obter uma nova iteração x. Isto é, x é dado pela interseção da reta tangente ao gráfico de f em (x 1, f(x 1 )) com o eixo-x. Assim, repetindo sucessivamente esse procedimento (se possível), estaremos construindo uma seqüência (x n ) n 1 de números reais. Mais precisamente, se para um inteiro n 1, já obtivemos os números x 1, x,..., x n, e a função f está definida em x n com f (x n ) 0, podemos determinar o termo seguinte da seqüência, x n+1, que é o número que corresponde ao ponto de interseção do eixo horizontal com a reta tangente ao gráfico de f em (x n, f(x n )).(Ver Figura.1) Se em alguma etapa desse processo nos depararmos com um número, x i, no qual a função não
CAPÍTULO. MÉTODO DE NEWTON PARA FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL 13 Figura.1: está definida ou no qual sua derivada se anula, o processo é interrompido (não podemos construir uma seqüência) e dizemos que x 0 não é um boa condição inicial (como veremos mais adiante essa não é a única situação em que x 0 não é uma boa condição inicial). Devemos então escolher uma outra condição inicial e reiniciar o processo.(ver Figura.) Figura.: Nosso objetivo é, a partir dessa descrição geométrica do Método de Newton, obter uma fórmula, por recorrência, que, conhecido o número x n, forneça o número x n+1. Vejamos como podemos calcular x 1 a partir da condição inicial x 0 : primeiro achamos a equação da reta tangente ao gráfico de f em x 0. Sabemos que seu coeficiente angular é f (x 0 ), logo a equação é. y = f (x 0 )x + b Para determinarmos b, usamos a condição de que a reta passa pelo ponto (x 0, f(x 0 )) e, portanto y = f(x 0 ) e x = x 0 satisfazem a equação acima, isto é, f(x 0 ) = f (x 0 )x 0 + b,
CAPÍTULO. MÉTODO DE NEWTON PARA FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL 14 donde obtemos b = f(x 0 ) f (x 0 )x 0. Logo a equação que procuramos é y = f (x 0 )x + f(x 0 ) f (x 0 )x 0. Agora, como x 1 é definido geometricamente pela interseção dessa reta com o eixo-x, temos que, algebricamente, x 1 é a solução da equação 0 = f (x 0 )x 1 + f(x 0 ) f (x 0 )x 0, ou, f (x 0 )x 1 = f (x 0 )x 0 f(x 0 ), ou seja, x 1 = x 0 f(x 0) f (x 0 ). Observe que usamos o fato de que f (x 0 ) 0 para poder resolver essa equação e obter x 1. Sabemos que esse fato reflete a informação (geométrica) de que a reta tangente ao gráfico de f em x 0 não é horizontal. Agora observamos que, como x é obtido pelo mesmo processo colocando x 1 no lugar da condição inicial x 0, podemos concluir que x = x 1 f(x 1) f (x 1 ), e, em geral, x n+1 = x n f(x n) f (x n ), que é a fórmula de recorrência dada pelo Método de Newton. Observe que essa fórmula já reflete as condições que apontamos acima para que se possa realmente obter uma seqüência: para calcular o número x n+1 é preciso que f esteja definida emx n (isto é, x n deve ser um número do domínio de f) e f (x n ) 0 para que possamos efetuar a divisão f(x n) f (x n ). Como vimos acima, é possível que existam condições iniciais para as quais o processo é interrompido (ou nem pode começar) e, nesse caso, o que devemos fazer é escolher uma outra condição inicial. Suponhamos então que temos uma condição inicial, x 0, a partir da qual é possível construir uma seqüência, x n, isto é, o processo nunca é interrompido. A pergunta que nos interessa agora poder responder é qual é o comportamento de x n? Nem sempre uma tal seqüência converge, como veremos mais adiante. Por outro lado se a seqüência converge, então converge para uma solução da equação f(x) = 0, como veremos no seguinte Teorema. Teorema 6. Seja f uma função diferenciável com f contínua e c um número de seu domínio. Se x n é uma seqüência obtida pelo Método de Newton a partir de uma condição inicial x 0 e x n c, então f(c) = 0.
CAPÍTULO. MÉTODO DE NEWTON PARA FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL 15 Demonstração Como vimos acima, a seqúência (x n ) é definida pela fórmula de recorrência x n+1 = x n f(xn) f (x n ). Para cada n 1 seja y n = x n+1, isto é, a lista ordenada infinita de números reais dados pela seqúência (y n ) é obtida da lista de número da sequência (x n ) simplesmente eliminando o número x 1. Em particular, y n também converge a c e, portanto lim n (x n y n ) = 0. Mas e portanto, x n y n = x n x n+1 = f(x n) f (x n ) f(x n ) = f (x n )(x n y n ). (1) Como estamos assumindo que f é contínua, então f (x n ) f (c), logo aplicando limite quando n na equação (1) temos que: lim f(x n) = [ lim f (x n )][ lim (x n y n )] = f (c).0 = 0. n n n Mas f é contínua em c, logo f(c) = lim n f(x n ) = 0. Exemplo 17. Consideremos a função f : R R dada por f(x) = x 5 5x 3 + 16x, cuja derivada é f (x) = 5x 4 15x + 16, e a condição inicial x 0 = 1. Notemos que f(1) = 1 e f (1) = 6, logo em seguida, calculemos x, para isto x 1 = 1 f(1) f (1) = 1 = 1, f(-1) = -1 e f (-1) = 6, logo x = 1 f( 1) = 1 + = 1. f ( 1) Notemos que, como o valor de um termo da seqüência dada pelo Método de Newton só depende do valor do termo anterior, vemos que a seqüência x n satisfaz x n = 1 se n é ímpar e x n = 1 se n é par e, portanto não é uma seqüência convergente. (Ver Figura.3) Por outro lado, para esta função, qualquer número do intervalo ( -1, 1) é uma boa condição inicial, e a seqüência dado pelo Método de Newton a partir de uma condição inicial x 0 ɛ (- 1, 1) converge a c = 0 que é a única solução da equação f(x) = 0. Voltando então à situação geral, vemos que o problema de resolver numericamente uma equação f(x) = 0 pelo Método de Newton se resume à escolha de condições iniciais boas. Isso poderia parecer complicado mas, de fato, para funções bem comportadas a maioria das escolhas possíveis resulta numa condição inicial boa.
CAPÍTULO. MÉTODO DE NEWTON PARA FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL 16 Figura.3: O aspecto mais importante do Método de Newton é que se x 0 é uma boa condição inicial, então a convergência é muito rápida, no sentido de que com um número muito pequeno de etapas podemos obter aproximações de uma solução da equação f(x) = 0 com uma precisão muito grande. Dada f : I R associamos a função de Newton, N : I R definida por N(x) = x f(x) f (x). Teorema 7. Se f:i R possui derivada segunda contínua f : I R, com f 0 para todo x ɛ I, então cada ponto a ɛ int I onde f(a) = 0 tem uma vizinhança J = [a δ, a + δ] tal que, começando com qualquer valor inicial x 0 ɛ J, a seqüência de pontos x n+1 = N(x n ) converge para a. Demonstração Como a derivada da função N é: N (x) = f(x)f (x)/f (x), então os Pontos Críticos são quando N (x) = 0. Como f(a) = 0, N se anula no ponto x = a. N é contínua, pois f tem segunda derivada contínua, então ε > 0, em particular para ε ɛ (0,1), existe δ > 0 e x ɛ (a δ, a + δ), tal que mas como N (a) = 0, temos N (x) N (a) < ε, N (x) ε < 1. x ɛ (a δ, a + δ)
CAPÍTULO. MÉTODO DE NEWTON PARA FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL 17 Pelo Teorema do Valor Médio, existe um z, z ɛ J e x < z < a, tal que N(x) N(a) = N (z).(x a) aplicando módulo, temos que: N(x) N(a) = N (z). x a, como N (x) ε < 1, x ɛ J, então: N(x) N(a) < ε. x a x ɛ J. Portanto, N: J J é uma contração. Pelo Teorema 5, do Ponto Fixo das Contrações, x n, a seqüência x 1 = N(x 0 ), x = N(x 1 ),...,x n+1 = N(x n ) converge para o único ponto fixo b ɛ J. Como f(a) = 0 e N(x) = x f(x) f N(a) = a, logo a é o único Ponto Fixo de N, portanto x n a. (x) Exemplo 18. (Cálculo aproximado de n c.) Dados c > 0 e n ɛ ℵ, consideremos o intervalo I = [ n c, + ) e a função f: I R, dada por f(x) = x n c. Como f (x) = nx n 1, a função de Newton N: I R assume a forma N(x) = x f(x) f (x) = 1 [(n 1)x + c n x n 1 ] = 1 [(x + x +... + x) + c n }{{} x n 1 vezes c Assim, para todo x > 0, N(x) é a média aritmética dos n números x, x,..., x,. Como a média xn 1 geométrica desses números é n c, concluímos que N(x) n c para todo x > 0. Em particular, x ɛ I N(x) ɛ I. Além disso, N (x) = n 1 n [1 c x n ], logo 0 N (x) (n 1) n para todo x ɛ I. Tudo isto mostra que N: I I é uma contração. Portanto, tomando-se qualquer x 0 > 0, temos N(x 0 ) = x 1 ɛ I e as aproximações sucessivas x n+1 = N(x n ) corvegem rapidamente para n c. Exemplo 19. A partir do gráfico de f(x) = x, podemos concluir que qualquer número não-nulo é uma condição inicial boa e que para condições iniciais possitivas darão aproximações de, enquanto que condições iniciais negativas darão aproximações de.(ver Figura.4) n 1 ].. Convergência quadratica do método de Newton Teorema 8. (O Método de Newton converge quadraticamente) Seja f : I R, uma função de classe C onde I é um intervalo compacto e f (x) 0, para todo xɛj. Então se f(a) = 0 para algum a ɛ int(i), o Método de Newton converge quandraticamente. Demonstração Seja I um intervalo compacto. Como f: I R de classe C, f e f são contínuas, desde que f (x) 0 x ɛ I, então existe B > 0 tal que f (x) B x ɛ I. Por outro lado, existe um A > 0 tal que f (x) A x ɛ I.Pelo Teorema 7, vimos que, tomando a aproximação inicial x 0 suficientemente próxima de um ponto a onde f(a) = 0, a seqüência de aproximações de Newton x n+1 = x n f(x n) f (x n )
CAPÍTULO. MÉTODO DE NEWTON PARA FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL 18 Figura.4: converge para a. Usando o Teorema de Taylor, com resto de Lagrange, para estabelecermos uma comparação entre os erros x n+1 a e x n a. Existe um número c entre a e x n, tal que 0 = f(a) = f(x n ) + f (x n )(a x n ) + f (c) (a x n ). Então f (x n )x n f(x n ) f (x n )a = f (c) (x n a). Dividindo por f (x n ) obtemos: x n f(x n) f (x n ) a = f (c) f (x n ) (x n a) x n+1 a = f (c) f (c) (x a). Aplicando módulo e maiorando o segundo termo temos x n+1 a A B x n a. Quando x n a < 1, o quadrado x n a é muito menor, o que exibe a rapidez da convergência no Método de Newton.
CAPÍTULO. MÉTODO DE NEWTON PARA FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL 19 Exemplo 0. Se f(x) = x n c, então f (x) = nx n 1 e f (x) = n(n 1)x n. Logo, f (x) n(n 1)xn f = (x) nx n 1 = n 1 x. Portanto, se querermos calcular valores aproximados de n c, onde c > 1, podemos começar com x 0 > 1 e teremos sempre x k+1 n c n 1 x k n c. Para n 3 vem x k+1 n c x k n c. Logo, se x k tem p algarismos decimais exatos, x k+1 tem p. O que comprova a convergência quadrática do Método de Newton.
0 Capítulo 3 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [Lima ] Lima, Elon Lages, Análise Real, vol 1, 1993. [Lopes ] Malta, Pesco, Lopes, Cálculo a uma variável, vol 1, 00. [Lopes ] Malta, Pesco, Lopes, Cálculo a uma variável, vol, 00.