Lista 10: Momento Angular NOME: Matrícula: Turma: Prof. : Importante: i. Ler os enunciados com atenção. ii. Responder a questão de forma organizada, mostrando o seu raciocínio de forma coerente. iii. Analisar a resposta respondendo: ela faz sentido? Isso lhe ajudará a encontrar erros! 1. Uma pedra de 2,0 kg possui uma velocidade horizontal com módulo de 12,0 m/s quando está no ponto P. Ver a figura. O ângulo é θ = 36,9 0. (a) Nesse instante, qual é o módulo, a direção e o sentido do seu momento angular em relação ao ponto O? (b) Caso a única força que atue sobre a pedra seja seu peso, qual é a taxa de variação (módulo, direção e sentido) do momento angular nesse instante? 1
2. Uma corda leve passa sobre uma polia muito leve sem atrito. Uma extremidade é amarrada a um cacho de bananas de massa M e um macaco de massa M se agarra à outra ponta. Ver a figura. O macaco escala a corda na tentativa de chegar às bananas. (a) Tratando o sistema como um conjunto macaco, bananas, corda e polia, encontre o torque resultante sobre ele em torno do eixo da polia. (b) Utilizando o resultado da parte (a), determine o momento angular total em torno do eixo da polia e descreva o movimento do sistema. (c) Será que o macaco chegará às bananas? 2
3. Uma haste uniforme de massa 300g e comprimento 50,0 cm gira em um plano horizontal em torno de um eixo vertical fixo, sem atrito, que passa por seu centro. Duas contas pequenas, densas, cada uma de massa m, estão montadas sobre a haste, de maneira que podem deslizar sem atrito ao longo dela. Inicialmente, as contas são mantidas por prendedores nas posições a 10,0cm de cada lado do centro, e o sistema está girando a uma velocidade angular de 36,0 rad/s. Os prendedores são soltos simultaneamente e as contas deslizam para fora ao longo da haste. (a) Encontre uma expressão para velocidade angular ω f do sistema no instante em que as contas deslizam para fora das extremidades da haste, uma vez que ela depende de m. (b) Quais os valores máximo e mínimo para ω f e os valores de m aos quais eles correspondem? 3
4. Um disco de massa m 1 = 80,0 g e raio r 1 =4,00cm desliza em uma mesa de ar com uma velocidade v = 1,50m/s, como representado na Figura(A). Ele sofre uma colisão com um segundo disco de raio r 2 = 6,00cm e massa m 2 = 120 g (inicialmente em repouso). De tal forma que suas bordas apenas se toca. Como as suas bordas estão cobertas com cola de ação instantânea, os discos grudam e giram após a colisão, Figura(B). (a) Explicar se o momento linear do sistema se conserva. Calcule o seu valor antes e após a colisão. (b) A energia cinética se conserva? Explicar. (c) O momento angular do sistema se conserva? Calcule o seu valor em relação ao centro de massa. (d) Descreva o movimento subsequente à colisão. (e) Qual é a velocidade angular em torno do centro de massa? (f) Qual é a velocidade do centro de massa do sistema após a colisão? (g) Calcule a perda de energia cinética na colisão. 4
5. Uma barata se encontra no centro de um disco circular de raio R que gira livremente como um carrossel sem torques externos. A barata caminha em direção à borda do disco, a uma distância radial R. A figura fornece a velocidade angular ω em rad/s do sistema barata-disco durante a caminhada. (a) Quando a barata encontra-se na borda do disco de raio R, qual é a razão entre o momento de inércia do inseto e o momento de inércia do disco, ambos calculados em torno do eixo de rotação? (b) Qual é a variação da energia cinética do sistema desde o instante em que a barata se encontra no centro do disco até ela se chegar na borda do disco? 5
Questões A. Por que um equilibrista utiliza uma barra comprida para ajudá-lo a caminhar em fio esticado? B. Suponha que você esteja caminhando em um trilho estreito e começa a perder o equilíbrio. Para que lado você gira o corpo, se você começar a cair par a direita? Explique. C. Se o aquecimento global continuar durante muito os próximos cem anos, é provável que parte do gelo polar derreta e a água seja distribuída mais perto do equador. (a) Como isso mudaria o momento de inércia da Terá? (b) A duração do dia (uma revolução) aumentaria ou diminuiria? D. Explique, em termos de momento angular e momento de inércia, como uma pessoa sentada em um balanço pode aumentar o deslocamento do balanço. E. Um gato normalmente aterrissa sobre seus pés independente da posição a partir da qual caia. Um filme em câmera lenta de um gato caindo mostra que a metade superior de seu corpo gira em uma direção, enquanto a inferior gira na direção oposta. Por que este tipo de rotação ocorre? Exercícios e Problemas 1. Um projétil de massa m é lançado com uma velocidade v i formando um ângulo θ com a horizontal, como mostrado na Figura. O projétil se move no campo gravitacional da Terra. Encontre o momento angular do projétil em torno da origem: (a) quando projétil está na origem, (b) quando ele está no ponto mais alto de sua trajetória, e (c) logo antes de bater no chão. (d) Qual é o torque que faz seu momento angular mudar? 2. Uma partícula de massa m move-se em um círculo de raio R a uma velocidade escalar constante v, como mostrado na figura. O movimento começa no ponto Q no instante t = 0. Determine o vetor momento angular da partícula em torno do eixo, perpendicular à página pelo ponto P, em função do tempo. 6
3. Um disco de massa m d = 2,0kg movendo-se com velocidade v di = 3,0m/s atinge um bastão de 1,0kg e 4,0m de comprimento que está plano sobre o gelo, como mostra a figura. O disco bate na extremidade do bastão, a uma distância r=2,0m do centro do bastão. Considere que a colisão é elástica e o disco não desvia de sua linha original de movimento. O momento de inércia do bastão em torno de seu centro de massa é 1,33 kg m 2. (a) Calcule os momentos linear e angular antes da colisão e a energia cinética antes da colisão. (b) Calcule as velocidades escalar de translação do disco, escalar de translação do bastão e angular do bastão após a colisão. 4. Uma força impulsiva F(t) atua, num intervalo pequeno t, sobre um corpo rígido que gira com momento de inércia I. Mostre que τ dt =< F > b t = I( ω ω ) f i onde τ é o torque devido à força, b é o braço do momento da força, <F> é o valor médio da força durante o tempo que ele atua sobre o corpo e ω i e ω f são as velocidades angulares imediatamente antes e imediatamente depois da atuação da força. A quantidade τ dt denomina-se impulso angular que corresponde a uma grandeza linear análoga a <F> t, denominada impulso linear. 5. Uma barra de comprimento de 1,23m e massa de 4,42 kg é colocada sobre uma superfície horizontal sem atrito. Com um martelo, dá-se um impulso de 12,8 N s num ponto da barra a 46,4 cm do centro. (a) Descreva o movimento subsequente da barra. (b) Determine as velocidades linear do centro de massa e angular ao redor do centro de massa da barra. 6. Um projétil de massa m move-se para a direita com uma velocidade escalar v i (ver a figura a). O projétil bate e fica preso na extremidade de uma haste fixa de massa M, comprimento d, articulada em torno de um eixo perpendicular à página passando por O (figura b). (a) Qual é o modelo de análise apropriado para descrever o projétil e a haste? (b) Qual é o momento angular do sistema antes da colisão em relação ao eixo que passa por O? (c) Qual é o momento de inércia do sistema em torno de um eixo que passa por O depois que o projétil fica preso na haste? (d) Se a velocidade angular do sistema após a colisão é ω, qual é o seu momento angular após a colisão? (e) Encontre a velocidade angular ω após a colisão em termos das quantidades fornecidas. (f) Qual é a energia cinética do sistema antes da colisão? (g) Qual é a energia cinética do sistema após a colisão? (h) Determine a variação fracionária de energia cinética devida à colisão.. 7
7. Uma barra de comprimento L e massa M repousa sobre uma mesa horizontal sem atrito. Um taco de hóquei de massa m movendo-se com velocidade v 0, como mostrado na figura, colide elasticamente com a barra a uma distância d do centro da barra. (a) Que grandezas são conservadas na colisão? (b) Qual deve ser a massa do taco em termos de M, L e d para que ele fique em repouso após a colisão? 8. Um alvo é constituído por uma placa quadrada de madeira vertical com lado 0,250m e massa de 0,750 kg que roda em torno de um eixo horizontal situado em seu topo. A placa é atingida frontalmente em seu centro por uma bala de massa igual a 1,90 g que se move a 360 m/s e que fica retida no interior da placa. (a) Qual a velocidade angular da placa logo após impacto da bala? (b) Qual é a altura máxima atingida pelo centro da massa da placa antes que ela comece a oscilar para baixo novamente? (c) Qual deveria ser a velocidade mínima da bala para que a placa completasse a rotação passando a girar em torno do eixo depois do impacto? 9. Duas bolinhas de massas m e M podem deslizar livremente em um trilho circular de raio R, sem atrito. Certa mola, suposta sem massa, está comprimida entre as bolas unidas por uma linha, mas não está presa a elas. (a) Se a linha romper, a mola lançará as duas bolas em sentidos opostos e ficará para trás. As bolas colidem quando se encontram novamente no trilho, como mostrado na figura. Onde ocorre a colisão? Expresse o resultado em termos do arco, em radianos, percorrido pela bola de massa M. (b) A energia potencial armazenada inicialmente pela mola era U 0. Ache o intervalo de tempo entre o rompimento da linha e a colisão. (c) Supondo que a colisão seja perfeitamente elástica e frontal, determine o ponto em que as bolas colidirão novamente. 10. Uma plataforma circular e horizontal de raio 2,0m e momento de inércia I= 200 kg m 2 gira a π/8 rad/s enquanto uma criança de massa 42 kg está de pé a 1,20m do eixo de rotação que passa pelo centro da plataforma. A criança caminha lentamente em direção à borda da plataforma. Desprezando qualquer atrito no eixo da plataforma e considerando a criança como partícula, responda: (a) qual é a velocidade angular do sistema quando a criança chega à borda da plataforma? (b) qual é o trabalho realizado pela criança? 8
Respostas 1. (a) zero; (b) (-m v i 3 sen 2 θ cos θ/2g)k, (c) (-2 m v i 3 sen 2 θ cos θ/g)k, (d) Força gravitacional para baixo que exerce um torque gravitacional sobre o projétil na direção negativa z. 2. L = m v R [cos(v t/r) + 1] k 3. (b) v df = 2,3 m/s; v b = 1,3 m/s; ω = -2,0rad/s. 4. 5.. (a) Devido ao impulso recebido, o centro de massa move(translada) na direção da força impulsiva e gira ao redor do seu centro de massa. (b) v cm =2,90 m/s; ω = 10,7 rad/s. 6. (a) Conservação do momento linear e momento angular; (b) m v i d/2; (c) (M/12 + m/4) d 2 ; (d) (M/12 + m/4) d 2 ω; (e) 6m v i /[(M + 3m)d]; (f) m v i 2 /2; (g) 3 m 2 v i 2 /[2(M+3m)]; (h) M(M+3m). 7. (a) Energia; momento linear e momento angular. (b) M/[1+12(d/L) 2 ]. 8. (a) 5,46rad/s; (b) 3,17cm; (c) 1,01x 10 3 m/s. 9. (a) θ 2 = 2 πm/(m+m); (b) t = {2 π 2 m M R 2 /[(m+m) U 0 ]} 1/2 ; (c) Na posição de onde partiu inicialmente. 10. (a) 0,28 rad/s; (b) -5,64 J. 9