Eixo Temático 7: Resolução de problemas e investigação matemática.

AIRES, C. N.A; LAMAS, R. C. P. Equação do segundo grau na perspectiva da Eixo Temático 7: Resolução de problemas e investigação matemática. EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU NA PERPECTIVA DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS: UM CAMINHO PARA A APRENDIZAGEM POR COMPREENSÃO Cristiane Nogueira Aires- IBILCE/UNESP (cristiane.aires@hotmail.com) Rita de Cássia Pavani Lamas- IBILCE/UNESP (rita@ibilce.unesp.com) Resumo: No ensino tradicional do tópico Equação do 2 grau, em geral define-se uma equação do 2 grau, logo em seguida equações completas e incompletas, introduz sem dedução a fórmula conhecida como a Fórmula de Bhaskara, e é proposta uma série de exercícios rotineiros que podem ser solucionados pela substituição de dados específicos no problema genérico resolvido antes sem participação efetiva do aluno em sala de aula e sem que o estudante sinta a necessidade de aprender um novo conceito que lhe permita solucionar um problema. O ensino tal como descrito, tem ocasionado um mau desempenho dos alunos na resolução de problemas matemáticos, podendo ser observado que a não resolução se explica também pela não compreensão do problema, ou seja, o aluno não está habituado a questionar quais são os dados do problema, as incógnitas, executar um plano para resolvê-lo e analisar a resposta obtida. O trabalho tem o objetivo de apresentar uma alternativa de ensino-aprendizagem do tópico Equação do 2 grau, via a Metodologia de Resolução de Problemas em Matemática, baseado nas quatro etapas de Polya (2006), tal como realizado com alunos do 9 ano do Ensino Fundamental da Escola Municipal Paul Percy Harris de São José do Rio Preto-SP, junto ao Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência PIBID/UNESP, financiado pela CAPES (EDITAL -2009), no subprojeto Matemática Campi Ilha Solteira, São José do Rio Preto e Presidente Prudente, coordenado pela Professora Doutora Dalva Maria de Oliveira Villarreal, sob orientação da Professora Doutora Rita de Cássia Pavani Lamas e supervisão da Professora Maristela Albertoni Lisboa, professora de Matemática da escola parceira. Palavras-chave: Resolução de problemas, ensino-aprendizagem, equação do 2 grau, PIBID. Introdução De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) (BRASIL, 1997), as necessidades cotidianas fazem com que os alunos desenvolvam uma inteligência essencialmente prática, que permita reconhecer problemas, buscar e selecionar informações, tomar decisões, e, portanto desenvolver uma ampla capacidade para lidar com a atividade matemática. No entanto, o ensino-aprendizagem da Matemática, muitas

2 vezes é realizado de maneira tradicional, onde o professor é o detentor do conhecimento e o aluno é ouvinte e reprodutor de definições e teoremas matemáticos abstratos e incompreensíveis. Dessa maneira, na atividade matemática escolar, o aluno olha para as coisas prontas e definitivas, não constrói o conhecimento, não transforma sua realidade. Diante dessas necessidades que os PCN apontam, a Metodologia da Resolução de Problemas é uma alternativa que permite o aluno lidar com a atividade matemática, pois de acordo com Onuchic (1999) nessa concepção de ensino, o ponto de partida de cada atividade não são as definições, mas o problema. Assim, o aluno compreende que o conhecimento matemático é necessário para a resolução de um problema e sente a necessidade de aprender um novo conceito que lhe permita solucioná-lo. Entretanto, na escola muitas vezes não se trabalha com problemas, mas com exercícios, já que os problemas são utilizados apenas como aplicação de conhecimentos adquiridos anteriormente pelos alunos. Dessa forma, é preciso fazer a distinção entre o que é um exercício e o que é um problema. Exercício, como o próprio nome diz, serve para exercitar, para praticar um determinado algoritmo ou processo. O aluno lê o exercício e extrai as informações necessárias para praticar uma ou mais habilidades algorítmicas. Problema é a descrição de uma situação onde se procura algo desconhecido e não tem de imediato nenhum algoritmo que garanta sua solução. A resolução de um problema exige certa dose de iniciativa e criatividade aliada ao conhecimento de algumas estratégias. (DANTE, 1989, p. 43). POLYA (2006) estabelece quatro etapas para a resolução de um problema: compreender o problema, estabelecer um plano em busca da solução, executar o plano e fazer o retrospecto, verificação da resolução completa. Tais etapas são desenvolvidas por meio do diálogo professor-aluno. Assim, cabe ressaltar que o professor tem papel fundamental, pois é ele quem deve estimular seus alunos na resolução do problema, ajudando-os a construir e organizar suas ideias. Se o professor de matemática preenche o tempo que lhe é concedido a exercitar seus alunos com operações rotineiras, aniquila o interesse e tolhe o desenvolvimento intelectual dos estudantes, mas se ele desafia a curiosidade dos alunos, apresentando-lhes problemas compatíveis com os conhecimentos destes e auxiliando-os por meio de indagações estimulantes, poderá incutirlhes o gosto pelo raciocínio independente e proporcionar-lhes certos meios para alcançar este objetivo. (POLYA, 2006, p. 5)

3 Ao se tratar do conceito de equações do segundo grau, observa-se que em muitas vezes ele é feito de maneira tradicional, tal que o professor define uma equação do 2 grau, logo em seguida equações completas e incompletas, introduz sem dedução a fórmula conhecida como a Fórmula de Bhaskara, e é proposta uma série de exercícios rotineiros. No entanto alguns autores como Fanti, (2008) já vem abordando a importância de trabalhar esse tema na perspectiva da resolução de problemas. Dessa forma, com o objetivo de melhorar o desempenho dos alunos do nono ano da Escola Municipal Paul Percy Harris de São José do Rio Preto- SP, além de motivá-los para aprender os conceitos relativos à Equação do 2 grau, a Metodologia de Resolução de Problemas foi utilizada baseada em Polya (2006) e Onuchic (1999). A seguir apresentamos como isso se deu e os resultados obtidos nesta escola, em 2011, junto ao Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência (EDITAL CAPES/2009) no subprojeto de Licenciatura em Matemática. Desenvolvimento Baseado em Onuchic (1999), primeiramente foi proposto aos alunos o problema: As medidas Incompletas do Terreno, com o objetivo de motivá-los para o ensinoaprendizagem do tópico Equação do 2 Grau, sem revolvê-lo. Foram desenvolvidas as quatro etapas da resolução de problemas (POLYA, 2006), via diálogos professor-aluno. O silêncio dos alunos é indicado com reticências. Problema (As medidas Incompletas do Terreno): Diana recebeu a proposta de um terreno composto de dois lotes: lote 1 e lote 2. No entanto, as medidas do terreno estavam incompletas. Ela sabia que a área do terreno era de, mas ela gostaria de saber sobre as medidas que estavam faltando. Como resolver esse problema? 1ª ETAPA- COMPREENSÃO DO PROBLEMA: - Qual é a incógnita do problema? - As medidas incompletas do terreno.

4 - Quais são os dados? - O comprimento do lote 1 que é de 6m e a área total do terreno, que é de. 2ª ETAPA- ESTABELECIMENTO DE UM PLANO: - É possível estabelecer alguma relação entre os dados e a incógnita? -... - Como é possível obter a medida de? - Pela soma das áreas dos lotes 1 e 2. - E qual é a área do lote 1? E do lote 2? - e. - Então, é possível estabelecer uma relação entre os dados do problema e a incógnita? - Sim,. - O problema está resolvido? - Sim. - Qual é a incógnita? - As medidas incompletas do terreno. - Descobrimos essa medida? - Não, então o problema não está resolvido. - Como podemos descobrir a incógnita? -... - Já viram uma relação do tipo? -... - Vocês conhecem algum problema parecido com esse? -... - Vocês aprenderam algum conceito matemático envolvendo o sinal de igualdade? - Sim, a equação. - é uma equação? - Sim. - Então vocês são capazes de resolver o problema? - Não, porque nos outros problemas não aparecia.

5 - É verdade. Como aparece o termo, esse é um exemplo do que chamamos de equação do segundo grau. Assim para resolver esse problema, vocês necessitam aprender esse novo conceito matemático. Assim o conceito matemático não foi apresentado aos alunos como um conjunto de definições e regras abstratas e sem sentido, mas como algo necessário para a resolução de um problema prático. Dessa forma, para cumprir a 3ª etapa (executar um plano) e a 4ª etapa (fazer um retrospecto) é preciso da definição e sistematização do conceito, pois é o momento de o professor munir o aluno de conhecimento, para que assim, possa resolver os problemas propostos. Dessa forma: A sistematização do conceito é de extrema importância, pois a Problematização provoca desconforto conceitual, pois, além de questionar os saberes iniciais dos alunos não lhes oferece as respostas das questões que levanta, caracterizando-se em uma atividade pedagógica instigante, que gera inquietações e dúvidas. Dessa forma, durante a sistematização o professor retoma e discute o problema inicial, trabalhando as informações científicas do conceito estudado e propiciando ao aluno a compreensão das mesmas, e não apenas sua memorização. Portanto, não se trata de o professor declamar o conceito científico, lê-lo no texto didático ou escrevê-lo na lousa, e, sim estabelecer uma conversação sobre o saber científico que resolve a problematização. (ARNONI, 2007, p.46) A sistematização do conceito de equação do 2 grau envolveu: a definição de equação do 2 grau, o estudo sobre os coeficientes da equação, quando uma equação é incompleta ou completa, a definição de raiz de uma equação, resolução das equações incompletas usando a fatoração, resolução das equações completas utilizando o método de completar quadrados e por conseqüência a utilização da fórmula, conhecida como Fórmula de Bhaskara. Foi utilizado o recurso da lousa digital (Fotos 1 e 2), o que propiciou ainda mais a participação ativa dos alunos, garantindo a iteração entre professor, aluno e o conhecimento. Após a sistematização, os discentes resolveram o problema inicial proposto. Eles perceberam que era uma equação do 2 grau e que sua solução poderia ser obtida através da aplicação da Fórmula de Bhaskara. 3ª ETAPA- EXECUÇÃO DO PLANO:

6 isso, A Fórmula de Bhaskara foi aplicada pelos alunos para a=1, b=6 e c= -112. Com Ou seja, foram obtidas as raízes da equação, e. 4ª ETAPA- VERIFICAÇÃO DA RESOLUÇÃO COMPLETA - Qual é a solução do problema? -14 não pode ser a solução, porque estávamos procurando uma medida, então a solução deve pertencer ao conjunto dos números naturais. Logo, a medida do terreno que estava faltando é 8 metros. - Vamos verificar se a solução está correta? Como verificamos se um número é solução de uma equação? - Basta verificar se é verdade. Dessa maneira, os estudantes utilizaram todas as etapas da Resolução de Problemas (POLYA, 2006): 1ª. Compreender o problema, 2ª. Encontrar uma conexão entre os dados e a incógnita para ter um plano, 3ª. Executar o plano, 4ª. Fazer um retrospecto da resolução completa. Diante disto, e com o objetivo de que os alunos compreendessem ainda mais os conceitos apresentados e pudessem aplicá-los no seu cotidiano, foi elaborado o projeto, Os Futuros Engenheiros, descrito a seguir. Projeto: Os Futuros Engenheiros Tema: Equação do 2 grau. Objetivos gerais: cálculo da área do retângulo. Objetivos específicos: cálculo dos lados da quadra aumentada com o uso de Equação do 2º Grau. Prática: medição da largura e do comprimento da quadra da Escola Paul Percy Harris e sua respectiva área. Pesquisa: Quantos metros devem ser acrescentados igualmente, na largura e no comprimento da quadra da Escola Paul Percy Harris, para que sua área seja de 400

7 (Fotos 3 e 4). Para desenvolver essa pesquisa, os discentes foram levados à quadra da escola Desenvolvimento do Projeto 1ª ETAPA- COMPREENSÃO DO PROBLEMA - Qual o problema a ser resolvido no projeto? - Quer saber quantos metros devem ser acrescentados na largura e no comprimento da quadra. 2ª ETAPA- ESTABELECIMENTO DE UM PLANO - Tem alguma restrição para esse acréscimo? - A área deve ser 400. - Vocês têm alguma ideia para resolver o problema? - Basta que a quadra tenha a dimensão 20m x 20m. - Com essas medidas da quadra teremos que figura matemática? - Um quadrado. - É o formato das quadras poliesportivas? - Não, então, essa não é a solução do problema. - Tem algum outro dado que nos permita solucionar o problema? - Sim, fala que devemos acrescentar o mesmo valor na largura e no comprimento. - É possível estabelecer alguma relação? 3ª ETAPA- EXECUÇÃO DO PLANO - Sim, o problema se resume em resolver uma equação do tipo:, que é equivalente a, onde. Como x2 é negativa só serve a solução x1. 4ª ETAPA- VERIFICAÇÃO DA RESOLUÇÃO COMPLETA (verdade).

8 Resultados e Conclusões O trabalho desenvolvido junto ao Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência PIBID/UNESP, financiado pela CAPES (EDITAL CAPES-2009), no subprojeto Matemática Campi Ilha Solteira, São José do Rio Preto e Presidente Prudente, revelou que a aprendizagem está ligada à compreensão do conceito, de forma que o significado da matemática para o aluno está nas conexões que ele estabelece entre ela e seu cotidiano. No entanto, muitas vezes a aprendizagem é medida pela reprodução/imitação correta dos conceitos, sendo a imitação um indicativo de que o aluno aprendeu a reproduzir, mas não aprendeu o conteúdo. A aplicação da Metodologia da Resolução de Problemas em sala de aula no ensino de equação do segundo grau propiciou a aprendizagem por compreensão aos discentes. Ao desenvolverem o projeto Futuros Engenheiros os alunos constataram a importância do conteúdo matemático para solucionar problemas práticos e concretos. Essa forma diferenciada de ensinar matemática, quando comparada com a tradicional, revelou também, que os alunos que dizem não gostar da Matemática, podem passar a gostar dessa ciência. Isso confirma a afirmação: O ensino da Matemática na perspectiva da Resolução de Problemas pode despertar a curiosidade, o desejo de compreender os meios e as maneiras, as motivações e os procedimentos da resolução. Logo a Matemática pode ser tão divertida, quanto um jogo de palavras cruzadas, basta que se reverta um ensino centrado em procedimentos mecânicos, desprovidos de significado para o aluno. (POLYA, 2006, p.6) Essa experiência é fruto deste excelente Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência PIBID/UNESP financiado pela CAPES. Recomendamos que tal projeto seja ampliado, de forma que todos os licenciados em matemática possam vivenciar essa prática, fundamental para a sua formação. Referências ARNONI, Maria Eliza Brefere, OLIVEIRA, Edilson Moreira de, ALMEIDA, José Luís Viera de. Mediação Dialética na Educação Escolar: teoria e prática: Edições Layola, 2007. BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: matemática/ Secretaria de Educação Fundamental. - Brasília: MEC/SEF, 1997.

9 DANTE, L.R. Didática da Resolução de Problemas de Matemática. São Paulo: Editora Ática, 1989. FANTI, E.L.C.; et.al. Várias abordagens metodológicas para o ensino de equação do segundo grau: Uma experiência em escola pública. São José do Rio Preto-SP: PROGRAD, 2008. ONUCHIC, L R. Ensino-Aprendizagem de Matemática através da Resolução de Problemas. In: BICUDO, M.A.V. (ORG.). Pesquisa em Educação Matemática. São Paulo: Editora UNESP, 1999. Cap. 12, p 199-220. POLYA, G: A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Editora Interciência, 2006; ANEXO: FOTOS DAS ATIVIDADES Foto 1: Sistematização do conceito de equação do 2 grau Foto 2. Participação do aluno Foto 3: Coleta de dados do projeto Futuros Engenheiros. Foto 4: Resolução de problema do projeto.