Matemática Discreta Aula nº 22 Francisco Restivo 2006-05-26 Definição: Um grafo cujos vértices são pontos no plano e cujos lados são linhas no plano que só se encontram nos vértices do grafo são grafos planos. Um grafo isomorfo de um grafo plano diz-se um grafo planar. Problema dos três fornecedores (utilities): Três fornecedores e três consumidores. Será possível ligá-los todos sem se cruzarem as ligações? K 3,3 não é planar http://mathworld.wolfram.com/utilitygraph.html 2
Fórmula de Euler: Um grafo planar conexo Γ divide o plano em regiões (faces). K 3 divide o plano em duas regiões, uma limitada e outra ilimitada. K 4 divide o plano em quatro regiões, três limitadas e uma ilimitada. K 5 não é um grafo planar (como se provará?) Uma conjectura: F = L - V + 2 V L F K 3 3 3 2 K 4 4 6 4 3 Teorema (fórmula de Euler): Se Γ é um grafo planar conexo com V vértices, E lados e dividindo o plano em F faces ou regiões, então F = E - V + 2. Este teorema prova-se por indução. Se E = 0, então V = 1 e há uma única região ( F = 1), pelo que se verifica o teorema. Se o teorema for verdadeiro para todos os grafos com menos de n lados, então pode dizer-se o seguinte: - Se o grafo com n lados for uma árvore, então V = n+1 e F = 1, pelo que o teorema se verifica (1 = n (n+1) + 2) - Se o grafo com n lados não for uma árvore, tem pelo menos um ciclo, e se removermos um dos lados do ciclo ficamos com um grafo com n-1 lados, e necessariamente F - 1 = ( E -1) - V + 2 F = E - V + 2 4
Exemplo: K 3,3 não é planar. Se fosse planar, pela fórmula de Euler dividiria o plano em F = E - V + 2 = 9 6 + 2 = 5 faces. A fronteira de cada face seria um ciclo, e cada lado de um ciclo faria parte da fronteira entre duas faces. Haveria assim 2 E lados pertencendo a fronteiras. Como em K 3,3 cada ciclo terá de ter pelo menos quatro lados, 2 E 4 F o que contradiz o resultado obtido pela fórmula de Euler. Logo a hipótese não é verdadeira. Outro exemplo: K5 também não é planar. Pode usar-se um argumento similar ao anterior para o provar. 5 Definição: Dois grafos são homomorfos se um grafo se pode obter do outro adicionando aos ou retirando dos seus lados vértices de grau 2. Teorema de Kuratowski: Um grafo é planar se e só se não contem nenhum subgrafo homomorfo de K 5 ou K 3,3. A prova deste teorema é longa e complicada... 6
Qual deles é planar? Grafo Dual: O grafo dual Γ de um grafo Γ obtem-se colocando um vértice de Γ no interior de cada face de Γ e ligando dois vértices de Γ se e só se as faces correspondentes de Γ tiverem um lado comum. v * = f; e * = e; f * = v 7 Qual deles é planar? Grafo Dual: O grafo dual Γ de um grafo Γ obtem-se colocando um vértice de Γ no interior de cada face de Γ e ligando dois vértices de Γ se e só se as faces correspondentes de Γ tiverem um lado comum. v * = f; e * = e; f * = v 8
Grafo dirigido: Um grafo dirigido ou digrafo D é constituído por - Um conjunto não vazio de vértices V D, - Um conjunto finito de lados E D, - Uma função δ : E V D V D tal que para cada lado e, δ(e) é o par ordenado (v, w). O lado e dirige-se de w para w. O vértice v é o vértice inicial e o vértice w é o vértice final. Se ignorarmos a direcção dos lados de um digrafo, obtemos o grafo não dirigido subjacente. O vértice v está adjacente ao vértice w, e o lado e emerge de v e incide em w. Matriz de adjacências: A matriz de adjacências de um digrafo não é necessariamente simétrica, nem são necessariamente iguais os semi-graus incidente e emergente de um vértice. 9 1 2 4 3 0 0 A = 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 0 2 1 1 0 Um digrafo é fracamente conexo se o grafo subjacente for conexo. Um digrafo é fortemente conexo se para cada par ordenado de vértices (v, w) existir um caminho dirigido de v para w. Um digrafo cujo grafo subjacente seja completo diz-se um torneio: jogam todos contra todos e cada jogo tem um vencedor. P B 2 0 S A 1 0 P A 3 1 S B 1 0 P S 3 1 B A 1 0 10
Um digrafo é Euleriano se existir um caminho dirigido fechado contendo todos os lados. Um digrafo é Hamiltoniano se um caminho dirigido fechado passando por todos os vértices. Terorema: Um digrafo conexo é Euleriano se e só se o semi-grau incidente e o semi-grau emergente de cada vértice são iguais. Terorema: Um torneio tem um caminho directo passando por todos os vértices, isto é, é semi-hamiltoniano. Um torneio fortemente conexo é Hamiltoniano. 11