FRANCISCO CARLOS JACOB UMA CONSTRUÇÃO DO CONCEITO DE ÁREA PARA FIGURAS PLANAS

FRANCISCO CARLOS JACOB UMA CONSTRUÇÃO DO CONCEITO DE ÁREA PARA FIGURAS PLANAS Dissertação apresentada à Universidade Federal de Viçosa, como parte das exigências do PROFMAT (Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional), para obtenção do título de Magister Scientiae. VIÇOSA MINAS GERAIS BRASIL 2015

Ficha catalográfica preparada pela Biblioteca Central da Universidade Federal de Viçosa - Câmpus Viçosa T J15c 2015 Jacob, Francisco Carlos, 1968- Uma construção do conceito de área para figuras planas / Francisco Carlos Jacob. Viçosa, MG, 2015. vi, 45f. : il. (algumas color.) ; 29 cm. Orientador: Kennedy Martins Pedroso. Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Viçosa. Referências bibliográficas: f.45. 1. Geometria plana. 2. Geometria Sólida. 3. Teoria das medidas. I. Universidade Federal de Viçosa. Departamento de Matemática. Programa de Pós-graduação em Matemática. II. Título. CDD 22. ed. 516.15

A Deus e às minhas amadas esposa e filha, que me apoiaram em todos os momentos. II

Agradeço a Deus, que me deu sabedoria para vencer mais uma etapa de minha vida, e a meu orientador Kennedy Pedroso, pelas orientações precisas em todos os momentos solicitados, pela dedicação e carinho que me foram dispensados. III

Sumário Resumo Abstract V VI 1 Um pouco de história 3 2 Área de figuras planas elementares 7 2.1 Área do quadrado e do retângulo 7 2.2 Área do paralelogramo e do triângulo 11 2.3 Definição geral de área 14 3 O Método de Exaustão de Eudoxo-Arquimedes 18 4 Área de Lebesgue 23 4.1 Conceitos Preliminares 23 4.2 Figuras discretas 25 4.3 Figuras planas abertas 27 4.4 Área exterior 34 4.5 Área interior 37 4.6 Figuras mensuráveis 38 4.7 Experimento: cálculo da área de figuras planas não elementares 39 4.8 Conclusão 44 IV

RESUMO JACOB, Francisco Carlos, M.Sc., Universidade Federal de Viçosa, novembro de 2015. Uma Construção do conceito de Área para Figuras Planas. Orientador: Kennedy Martins Pedroso. A presente dissertação tem o objetivo de oferecer ao estudante uma visão global do conceito da área de figuras planas. No desenvolvimento, procuramos seguir uma ordem lógica na apresentação de definições e propriedades. Procuramos também, sempre que possível, expor os conceitos logo após as figuras, pois, com elas, o leitor poderá ter uma melhor compressão dos mesmos. Sempre que possível, apresentamos as demonstrações das fórmulas de cálculos de áreas das figuras planas elementares, pois estas demonstrações ajudam na compreensão da generalização do conceito de área. No final, temos um experimento prático usando triângulos e quadrados na aplicação do Princípio da Exaustão. Aconselhamos o leitor a buscar experimentos usando outras figuras planas, pois a prática constante aprimora o aprendizado, aguça a crítica e amplia a visão. Finalmente, como há sempre certa distância entre o anseio dos autores e o valor de sua obra, gostaria de receber dos colegas professores uma apreciação sobre este trabalho, notadamente os comentários críticos, pelos quais agradeço. V

ABSTRACT JACOB, Francisco Carlos, M.Sc., Universidade Federal de Viçosa, November, 2015. An Area Concept to Construction Figures Planas. Advisor: Kennedy Martins Pedroso. The present dissertation has the aim of offering students the global view of the concept of the area of flat figures. Throughout the development, we tried to follow a logical order in the presentation of definitions and properties. We also tried whenever possible to expose the concepts right after the figures, since with them, the reader will also have a better understanding. Whenever possible, we presented the demonstrations of the formulas for the calculation of the areas of elementary flat figures, for these demonstrations help the understanding of the generalization of the concept of area. At the end, we present a practical experiment using triangles and squares in the application of the Exhaustion Principle. VI

tr çã s rs r q r ss r r s r s t r s t r r r s s r t s ár t t s t é 1tr s s ór s r r s s t r s q t ár ss s r s s r t 3 r t r r s st s r r t s r s r s s st tr r s tr s çã s tr ár r tâ s tr â s s ét s q s à ár r s r r s t r t ss s r r t r t r r s tr t t s rát s q t s t ór s P r t s tr 3 r ár r s s r s st t 3 ç s r s s s s str ét 1 stã r st r 1 s s t r rq s r s t 3 s ár s r s s t r s r t çã ár tr s r s s t r rtâ r s t r s çõ s t r s r r st r s í sé s r s t 1 s çã q s r rt t t r ss r s s é rt r q r s ró r t r s s r t 1t r r s t str í ít tr 3 r stór s r á ár s r s s s s r ór s r s s tr çõ s rt t s s t át s 1 rq s t r s r r t t 3 á r s q ss s s rá ár é tr í r s s tr t é ss r r ít r s s s r çõ s r rê s ít á tr çã á ár r s s t r s t ár tár é q q r q r ç

r t t rá ár s sã s s ár s q r q q r r tâ s r r s tr â s í s r é str t ú t s çã ít tr t çã r ár é s q s r rã s r t ár str í t r s ít r s t ét 1 stã r st r 1 r r r rq s t t s r str çã r r st s t s s áss t r t r ss ít str çã r ár ít t r r ss t r r 3 r á ár r s s 1 s t é r s t ít s t ít str çã t ár s ár q r s s r r s r s tr t s sã q s t s ã s t q r s ss s r s s rã s s r t s ró1 ss é tr r t ár r r s s q s r ss t r r s s r t s ss t tr 3 s rt t t r rt s q ê s r s s rt s s rã r s t s s s str çã r ár 1t r r s t q rt rá t s s str çõ s ít 3 ss tr ít t é s tr 1 r t rát r á ár r s r s r s t r s r í 1 stã ss r t s t r s q 1 é t t 1t

ít stór s tr çõ s tr r r s t á stã r s s r t s tr s 1 r q s ét 1 stã tr t t é ssí s r t r s r t t s tr s ss s s t át s t s r r s ró r s t tr t át r t r r st s s tr çõ s s í s ô s s tr ô s r t t s r çã rát r s s 1 s r t s r s q s ô s rí st r r 3 s s r r s r s ár r tâ ár tr â r tâ tr â sós s t 3 ár tr â ér ár tr é3 r tâ r í r t r tâ s r t r s r t tr 3 s r s r rê tr s â tr ár ír é ár q r à r rê r s t r r s rr t s r π = 3 Pr s q s r s s r s s sã étr s t s s rr ór s s r çã ssár s r á ár s t rr s s rã s ss s q ár ír é à q r 8/9 â tr q r r t é r t ár s r t t r st çõ s r t s r str r q s í s s q ár tr â q q r é s r t s t r s r s r r t t â r tr s râ tr s str t t r s r rçõ s tr r stór s t r t s r t t s ã s tr ê t q s í s t ê s q s

rt r t r P tá r s s ú t s sé s s ê t st r t s ç s ô s ít s s 3 çõ s s r r r t ô tr s s s t s r s s ssír s s í s s r s ss r r r r t ss 3 çã s s s r s s s s st s s r s t r rt t t ré í t r tá sã r s r s t ç r r q ê ss t s r ré t s t r tí r í t át r s t ã t át s ós s q ã r r t t t át tí ç s r P tá r s t s r t q s r r s ss s s t s t r s ú r s s t ç t s s s t r st s ér r s r P tá r s s s s r s s s r t r tr í P tá r s s rt t t r s r s tr â s r tâ s rs t s q q r s r t s tr â r tâ é à s s q r s s r s t t s P tá r s r t q s ú r s t r s r tér ss r str çã rs P rt t s rt rr 2 r st r çã s s t ór s ã r s â ó q r t s 3 r s rç s r t r q stã s P r t r r s r 1 r t

s í P tã t ór rq t s tr és çã r rçã 1 r s t s t r s r rçõ s tr ss r r s s r t át r t s rt s s rá s q t r t rr t r s r rçõ s s t ór s str tr t t s s rá s r r 1 r q t r s t s s ss t 1 s çã r s ú r s rr s ã r rq s sé t át t ç s r r çã 3 q s r q 3 s t s ár s ár s t t r s é r s t át s r s s st rt r sé r r stã rq s ét 1 stã r r r s ú r s r s t s r t s r t s ár s s rs s r s étr s t é á tr s r s st s r s t s á r s s tr s r t r t s

r çã st á s r t t r rq s s ú t r t r s st s s ç s ss té ç r r t s ró1 t r st r t 3 sé r é s s P r s t át r ês st s r r r P r s r ss r 2 é r P ré 2 á s r t r q s r é ér s t té r é t s s ós t r té r r r t t r ss r s t át r â P t rs r t s tr str st t rs s è r s q s r s t r s r s ç s s r té r t t r r s t s r t s ç s s r s sér s tr étr q s r ss r ss st t r t át r rt r r ss r è r s r 3 t t r tr 3 ss t s s t r s s r 3 s s t r r t s s r 1 r t r s s t t t r s rr t rã á s rtâ s é s s r s t q s t r t r çã t r s ss sér r t ríst s rát s q t à t r

ít r r s s t r s ss ít r s tr t r r rçã r r F P r ss r r s F ár r s t ss r çã s rá ú r q rá 1 r r q t s 3 s r F té ár q r s s r s st é st r s s ór s r ár s r s étr s s s Pr s r rê s rá s t 3 s r q r r tâ q r é q r át r q ss s s s s â s r t s r s ár q r r t s á q r tár q r q r ç r t t rá r çã ár P r r s s s s s s r q r Q t ú r t r s t n n 2 q r s st st s s tár rt t ár ss q r Q t rá ár n 2 á s q r Q t r 1/n n é t r s t tã s r q r tár t r s s s s s n 2 q r s st st s t s r t s Q st s n 2 q r s r t s Q õ q r ár 1 s q ár Q s t s 3 r à çã n 2 [ár Q] = 1 rt t [ár Q] = 1/n 2

P rt t s q r Q t r ú r r m/n s t tã s r Q m s t s s q s r t 1/n r ç r s s s Q rt r s t s sã t s s çã Q m 2 q r s s q s 1/n ss ár ss s q r s r s é 1/n 2 s q ár Q s r m 2 1 n 2 = m2 n 2. s ( m ) 2. [ár Q] = n P s tã r q ár q r Q t r ú r r a = m/n é 1 r ssã [ár Q] = a 2. s 1 st q r s s s sã s rá s s t tár Q ss s Q t ú r rr a str r s r q st s s t r [ár Q] = a 2.

s r r r t q q r ú r b < a 2 str r s q s r b < [ár Q] s r r s q a 2 < c [ár Q] < c st str rá q ár Q ã s r ú r b r ú r c r q a 2. P rt t r s q [ár Q] = a 2 s str r r r rt st r çã s rt é t r t á r ss s rá t s b ú r t q b < a 2 s ú r r r r r a ré tã ró1 a q s t b < r 2 < a 2 st t r r r 1 çã r t a rr r r a b tã b < r < a rt t b < r 2 < a 2 t r r Q t s q r Q r r r ár st q r é r 2 Q stá t t r r Q s t r [ár Q ] < [ár Q] s r 2 < [ár Q] s s s q b < r 2 sã b < [ár Q] ss t ú r r b r r a 2 é t é r q ár Q s r s r q t ú r r c r q a 2 é r q ár Q ár Q ã s r r r q a 2 í s st r q ár q r Q a s r 1 r ss ór [ár Q] = a 2. ór a é ú r r s t q q r t r r ár rr s r s r ár r tâ r tâ é q r át r q t s q tr â s r t s

s s r tâ R tê r s s ú r s t r s m n tã t r s s s s r R mn q r s tár s q s t r [ár R] = mn s r t s s s r tâ R tê s s ú r s r s a b s s r r st s ú r s s r çõ s a = p/q b = r/q s r q s R s t s r t q q a rá st p s t s st st s s 1/q q b rá s r s t s s r t 1/q r ç r s s s rt r s t s s sã r tâ R rá s p r q r s s 1/q ár ss s q r s é (1/q) 2 = 1/q 2 ár R rá s r s [ár R] = ab (pr) 1 q = pr 2 q = p 2 q r q s ss q q s s r tâ R tê r s s ú r s r s a b ár R é 1 r ss ór [ár R] = ab 3 s tã q ár r tâ é r t s t r st str s q a b sã ú r s r s s é ór r á s q s ú r s a b s rr s s é r tr rr s r r ss s rt í s s t 3 r r ár r tâ ár q r Pr ss s s s s s s r r s r t s q s t r tê s r s

r tâ R s b t r a str ír s q r Q a+b q té ó s R s s q r s a tr b s s [ár Q] = (a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2. P r tr s q r s r s tê ár s s a 2 b 2 r s t t t s [ár Q] = a 2 +b 2 +2 [ár R]. s q [ár R] = ab r r r tr â ár r tâ ss s t r ár r r r r é q r át r q s s st s sã r s s t r r s s t r r r s t r r q s st s r t ABDC r r ár S q r s r s q s s AB t r t b s t r DE t r t a

r r ABDC stá t r tâ s b + c t r a s ár ss r tâ é (b + c) a = ba + ca P r tr r tâ é r r r s s tr â s q t s r r tâ ár ca P rt t ba+ca = S+ca s q S = ba ss ár r r é r t r t q q r s s s s r t t r rr s t rt r s q r t r t q q r s r r r t t r rr s t é st t ã s s s t é q s s r t s r s r s s t AB s r r t s s r r s ABDC C D s r r t s tê s ár ár r r ss s t t r ár tr â s t tr â é t r r s r s t tr â ABC ár s s r tr ç s s ért s C B r s t t r s s s AB AC st s r t s s tr t D r r r ABDC s t r CE st r r AB = b CE = a s s q [ár ABDC] = ba ss s tr â s ABC BCD sã r t s tê r tr s â s s tê s ár

P rt t [ár ABDC] = 2 [ár ABC] r s t [ár ABC] = 1 2 ba. st s 1 r 3 q ár tr â é t r t s t r rr s t tr â t s três s s r s b rt t três s s r t r a q r s r t ba s rá s s s r r ár tr â r s r t s r s b ú r r s t s ór q t s s tr â s ABC ért A s r r s BC s r s BC = b tê s ár P r í q q r r ss r s ár s ç q r s st s tr â s r r s q sq r tr s r s s ár s s s r ár í r r s rá s s ár s s r s q s s P r 1 s r q r q r t s r t rt t ár tár s 1á ABCDEF r q q r s r s ár

S r s r ss S = [ár ABDE]+[ár AFE]+[ár BCD] = 2 6+ 3 6 2 + 3 6 = 12+9+9 = 30. 2 P rí s t é t r S r s ár s s q r s tár s tr â s s s t r s s q 1á ABCDEF té q r s tár s tr â s s t r s s ss S = 12 1 1 2 +24 1 = 6+24 = 30. çã r ár s rá r s t r r s str s q s ss r í P ú r r ã t ár P s s t s r r s P í s r t s tê ár s s P é q r tár tã [ár P] = 1 P s r st r ã n í s P 1,...,P n t s q s q sq r s tê á1 s s tã ár P é s s ár s s P i s t r r r r q s í P stá t í Q tã ár P é r q ár Q

P r q s ór s r s ár s q r r tâ tr â r r q t s r t s 3 s rt r st s três r r s s r r çã r ár r F ár r F s r ú r r ã t q r s r a(f). s rá t r s r s s s r s r 1 s r t r 1 ss s r s a(f) r 1 s r t sã r çã s ár s s í s P t s F s r s a(f) r 1 s r 1 ss sã s ár s s í s P q té F ss q sq r q s s í s P t s F P t F ú r r a(f) s t s 3 a(p) a(f) a(p ). P r s r 3 s r s í s q sq r s s r s í s r t r s r s q s é s á r ár í r t r é r ã ár s r tâ s st st s st é s ss s r tâ s tê á1 ár í r t r é s s ár s s r tâ s q õ P s t é r r F q r t s s q r s sã tár s ár ss r a(f) r 1 r t s rá s s ár s t s s q r s tár s t s F r a(f) r 1 r 1 ss s rá s s ár s t s s q r s tár s q té F s F r q r q r s tár s

q r r F té q r s tár s stá t q r s tár s ss s 3 r q r a(f) r t é r 1 ss é rt t 19 a(f) 39 s r tr és r s s s s r q r tár r r t r r q r s r t s ár 1t r t s q s tr r 146 q r s ár 1/16 ár t r s r 112 q r s ár 1/16 ss s t r r 1 çã r t a(f) r r 1 çã r 1 ss a(f) P rt t 19+ 112 16 < a(f) < 39 146 16 26 < a(f) < 29,875. Pr s r q t r r s r tr és r s s s r q r tár r 100 q r s r t s

ár 1t r t s q s tr r 1010 q r s ár 1/100 ár t r s r 791 q r s ár 1/100 ss s t r r 1 çã r t a(f) r r 1 çã r 1 ss a(f) P rt t 19+ 791 100 < a(f) < 39 1010 100 26,9 < a(f) < 28,9. Pr st r s 3 s t r r 1 çã r t r r 1 çã r 1 ss té t r s r a(f) ró1 ít r s str çã r á ár ír t 3 ét 1 stã 1

ít ét 1 stã 1 rq s ét 1 stã é t é r r í 1 rq s r t r s s t r s r rçõ s r s t r 1 r rq s r s t r s t át q r s st r t r q r t r ír ét 1 s st s r r í s r r s r r í r r ú r s té q r ç tr ár r í s r t s t r ss r q q q r q t rq s r ôs r t ss ét r r tr s tr s s ár s t r r r s tr r s 1 t r ss t ss ét é ár ír q r r í s s r t s r s r t s q t s ú r s s s ár s s r 1 ár r rê s r ç tr s ár s s s í s s r t r r q q q r q t s t q ú r s t P r ss r 3ã r s q rq s s ét r t r ár r s r í s s r s s rq s ár ír r r r s çã s s r s s t s ír ss r s çã é r t r r ár ír tr r r t í tr â s ár s à ár ír ss r s t s ú s s s s s é r

t é á r Pr s çã s t s s tr í s 1 str çã s r í t s Pr s çã r s t s s Pr s çã s 1 st s s t s s s s r s s tr í r q t q é 1 r q t ss t ç s r t s rá 1 q s rá r q r t 1 st tr s r s s s r 3 s A B s s r q A >B s s tr ír s t r r r 3 C 1 A s C 1 r q t A t r s R 1 t r ss s s tr ír s tr r 3 C 2 R 1 s C 2 r q t R 1 t r s R 2 Pr ss r n s t t r t r s r 3 R n r q r 3 B t r s çã r t tã q s t r r r ç R n r q q q r r 3 r r r s t ss r ss s r s t s r t s r 3 s r s t çã q r s t é t s t s r s ss é s r str r ár ír Pr s çã rq s s t s s ár ír é à tr â r tâ q s s q r â r t é r tr q r â r t é r rê st ír str çã é r str çã é r 1 r ár ír s ár s í s r r s s r t s r s r t s s s sã s ss t s í é ã tr â s

ár í é à ár tr â t r é ót s é rí tr ss s ót é r ír s rí tr í é rí tr r rê t s t r C T s ár s ír tr â I n C n í s n s r s t t s r t s r s r t s r rê r s s r C > T C < T t r tr çõ s q str q C = T s t C > T ss s s t r q t d = C T > 0 s q I n t s ár tr â r tâ q s s q r â r t sã s r s t t ót rí tr í r r n s s r t ír ár rí tr ót s ót s s rí tr s s í s s r t s sã s ss t r s q r r rê ír st é r s q s s rr s t s tr â ár T é ssí r q [ár I n ] < T r t n [ár I n ] < T < C [ár I n ] < C 1 st q t k n = C [ár I n ] r s t s s q q t s ú r s í ss q t s r t r r q q q r q t r n s t t r é ssí t r k n < d s [ár I n ] < T < C d = C T < C [ár I n ] = k n q tr çã st str r q s çõ s Pr s çã s sã s t s t s tr s r s r r q k n s r t r r q q q r q t t s str r q r ú r s í st s r t r ss q t s q s t

ss s str r q 1 ss tr ár r rê í 2n s é r q t 1 ss tr ár r rê í n s s k 2n < k n s q r ír é 2 s 1 ss é í t r r q ss é str r s Pr s çã s s M t é r r rê AMB r s tr â AM B r r s s í s r t r rê RS é í r s r t ár tr â AMB é t ár r tâ ARSB é r q t ár s t r r AMB 3 q r tâ é r r ç í r s r t á r rê ss s tr í s t r r AMB tr â AMB r t r s r ár r q t ár s t r r t r t r 1 r tr â AN M r r s s í s r t r ú r s í r t s s r r t r r ár q r st q t r q t ár s t r r r ss r ç k n tr ár ír í s r t r r q q q r q t ss str q q r s ú r s í 1 ss tr ár ír í é í r t r r q

t à str çã Pr s çã rq s ss q s t r k n < d r t t r r P r 3 r str çã s s r q C < T s tr r t tr çã C < T t s d = T C > 0 r t é á s í s r s r t s q str r s çã r rq s r ss t á ss é t 3 r st r t s r r 3ã tr r rê r ír s r q t q s π

ít r s r t s q t ú ss ít ss s r t r q q r r ss r q t r 3 rs tr tór á s t r s t r t r s s P s s s s s tr tór s rs ú r s çõ s s t s á t s Pr r s sí R s rá t 3 r r r s t r t s ú r s r s s r s ú r s r s x y r t ε > 0 t s x y < ε tã x = y str çã ss x y t rí s x y > 0 s r s ε = x y rí s tr çã A R q A ss t t s r r s ú r a R t q x a r q q r x A P r 1 a = 1/3 é t t s r r r A = {0.3, 0.33, 0.333,...}. t q q q r ú r r q 1/3 t é é t t s r r r A r t s 3 r é 1 st t t s r r r A q s r q 1/3 r s st é ã t s q 1 st c R t q x c < 1 3

r q q r x A ss ú t r çã 0.9 < 3c < 1 0.99 < 3c < 1 0.999 < 3c < 1 q s r q 1 3c < 10 m r q q r m = 1,2,3,..., ss ε > 0 t m > log(1/ε) t s c = 1/3 tr çã 1 sup(a) / A s t s s t s A ró r sup(a) sã ú r s r s q A R t t t s r r tã A t t t s s r r s r tr ss s t t s s r r s s s r A t r sup(a) 1 stê sup(a) R é r t 1 r r q q r t A R q ss t t s r r s q t r J = (, sup(a)] é t r ss t q r s st t A s t q A J r q q r tr t r I = (, a] t q A I t s J I tr r r r ss st é ε > 0 1 st x A t q x > sup(a) ε t t B R q ss t t r r s ú r b R t q b x r q q r x B 1 st inf(b) í B r tr s s t t s r r s çã í s t r r ε > 0 1 st x B t q x < inf(a)+ε P r 1 í t B = {x r s t : x 2 > 2}, t r r t r b = 1 é ú r rr 2 ss 1 1 r q s s r s s ú r s r s 1 stê í tr s ú r s r s ã s r ss r str q r r inf(b) é ú r r ã ss r t r r s t s r str r t r q s r t r s r q s t s t A B ss t t s r r A B R tã sup(a) sup(b) str çã st t r q sup(b) é t t s r r r A r s t á r q s A B sã s t s R ss t t r r A B tã inf(b) inf(a)

s sup( ) = inf( ) = + < x < + r t x R t q ss t t s r r s t t s s r r s é t út s r r q s A R é t t t tã sup(a) é r t A inf(a) é r t A r s s r t s s t r q q q r r stá t q r t r s t é q q r t s ár α = 2 2k k é ú r t r s r tr r t s s t r r ár q r r q s r s t t r s r t s s q r q r r t s r q r q r t ár α Q α t t s s r s s r s r õ s t s t s t s ár α ss X Q α 1 st n t r s t t q X = Q 1 Q 2... Q n, Q j é t ár α r j = 1,...,n s trár X é r r r t s t s ár α s r s Q α s rã s r s s r t s r 1 r 1 t n = 334 t s ár α = 1 2

X Q α s ss r ú r s t λ 1 (X) r nα, s X = Q 1 Q 2... Q n, λ 1 (X) = +, s X é r r t s t s ár α. çã λ 1 : Q α (0,+ ] ss t é ár s s r s s r t s rt t s r r q ár s r s s r t s s é q ár q á st s t s s r çã q s t s ár α q õ r ss á1 ért s r st s ã r s s r t s Q α é r s r t Q α r t q q r r s r t Q α r r s s t s ár α s r st ã s r s s r t s Q α X,Y Q α X Y tã λ 1 (X) λ 1 (Y) ss s q λ 1 é r s t s t ss r t ríst ár s s r s s r t s X,Y Q α X Y é r st ért 3 tã λ 1 (X Y) = λ 1 (X)+λ 1 (Y) ss r r s t r s t s λ 1 (X Y) λ 1 (X)+λ 1 (Y) r q sq r X,Y Q α α = 2 k 1 X Q α t s q β st t α β = 2 l l > k t r r λ1 (X) é s r X st r s r t Q α Q β β < α 3 s q Q β t

r s çã r q Q α k l sã s r s s r s çõ s Q α Q β r s t t s ár r s r t ã r t r s çã t 3 s r ssí t r r s çã r s r t à s q 3 s r r ú r q r r s t ár q r r r s çã t k r k + 1 ú r t s ár α = 2 2k t n r 4n t s ár β = α/4 P rí s s r tr str çã r s s r t s ss s s t s ár s r tr â s q át r s s r rí s t t s s r s s r t s r s r õ s t s t s tr â s tr r s s rt s s r q r rt r t q r t r s s s q r t s r s tr s r s s rt s t r s r 3 s q r G é rt q s s t s s x G é tr ír rt r r t t G P t s t r r s rã s t s t r r s t t s s t s t r r s G s rá t r r G

ã s r s s rt s é rt rq q q r t ã é t t r r s s r s r çã s r s t rs çã t rs çã s r s s rt s é r rt str çã G 1 G 2 s r s s rt s x G 1 G 2 tã 1 st ír s rt s s C 1 C 2 s tr s x t s q C 1 G 1 C 2 G 2 t G 1 G 2 st s r r r q r s s ír s stá s r S ã s rt 1 st t s x S t s q r q q r ír rt C tr x C S C S c sã ã 3 s S c t t r S r çã P t s ss s s rã s t s r t r t t s s t s r t r G s rá r t r G ss r rt G é q q s s t s r t r ã rt G t s s s s t s sã t r r s t t ã s r t r r r t r s t t 3 ró r sã 1 s t s rt s rq s tê r t r 3 t 3 t é ã t t s t r r s s ã s r r ss r t çã r t t çã t r t r s t r s t s r s s S S c tê s r t r r S q té s ró r r t r é r r s s r t s sã 1 s r s s s ã r q q r S t s s s s t s r t r é

t r S r S çã q s r s t r s rt S é r tã S c é r r s s q s st s t s r t r r 1 s s r st s q r sã 1 s r s s s t r r é 3 r S q q r s t r t t s s s s t s t r r s r t(s) t t s s s s t s r t r r r(s) ã é í r r q t(s) é ss r t r rt q r(s) é P rr r s q t ã rt ss s s s s s t s r t r s q 1 st r s s q ã sã rt s s é ss s r rê s s s r s r s s r t r r t s rs s r çã às r s s t r s str s t r t 1 q r s t rã r çã q q r r t s r t r t q é r t tr 1 st t s t r r s é t P r s ú r s r s (r, s) rt t s q r [0, 1] [0, 1] s r çã q q q r ú r r s r r 1 r ú r s

r s ã é í r r q P ã ss t s t r r s t s s t s [0,1] [0,1] sã t s r t r P s r r t Q t s s r s s r t s q ss r s çõ s r trár s Q = Q α, s Q é t s r s s r t s r s r t s ár α q q r s r s ssí s r α = 2 2k k t r s st r ár s r t Q A A é t t s s r s s rt s r ss çã λ 2 : Q A [0,+ ] q λ 1 Q st é λ 2 (W) = λ 1 (W) r q q r W Q r é t s 1 st r tâ R Q q t r r t Y Q A r r ã t rr r s s r s ár s t t q s t r r s t s r λ 2 (Y) < λ 2 (Y) = r s t t rt r é rt ár s t st q A s r q λ 2 ( ) = 0 tr 1 é r E Q A 1 ç sq r r r t q r ár 1 é s t r tâ r t s 1 t r à t t r r t t t r r ã é í r r q ár s E é t 2 s r E ã s r t tã q Y Q A é r t 3 s λ 2 (Y) = sup{λ 1 (X) : X Y, X Q}. ss r ár s r rt é r 1 r t ár r s s r t s

D é r s r t r s çã r t 3 s r 1 s r t r r M r ã st r r r 1 t q M é r rt rq s t r r é ã 3 s r t r r çã é ár q ã rt t rr tór s s r çã t r q λ 2 (M) é r 1 t r r 1 t λ 1 (D) r s t s r r q t r r s çã r r r 1 çã r á ár s r rt t Pr s çã t q t s P r q sq r G A β < α G t β s t sup{λ 1 (X) : X G, X Q α } < sup{λ 1 (X) : X G, X Q β } λ 2 (G).

str çã A = {λ 1 (X) : X G, X Q α } B = {λ 1 (X) : X G, X Q β } t q A B sã t s t s rq G é t 3 q Q α Q β sã s t s Q t s q A B sã s t s {λ 1 (X) : X G, X Q} s q sup(a) sup(b) ã s r r λ 2 (G) s str r r q sup(a) < sup(b) s ã 1 st X Q α t q X G tã A = sup(a) = r s t s s r s β s t t q t 1 st r X Q β t q X G s trár s W r r s r t Q α t G P s s r r G = (G W c ) W. P W c é rt G W c t é é rt r β s t t q 1 st t ár β s Q t G W c s r Y = W Q r s r t Q β ss sup(b) λ 1 (Y) = λ 1 (W)+β > λ 1 (W) = sup(a) s r q t G s r r rt é 1tr t rt t rq ss t 1 stê s t ár α s t t q s Q Q t q Q G ss ár s r s Q A é s r s t t G A t λ 1 (R) é t t s r r r {λ 1 (X) : X G, X Q} R é r tâ Q t G r t ss q λ(g) t r t ã é í r r q λ 2 (W) = λ 1 (W) r q q r W Q t 3 q W W W Q t s λ 1 (W) λ 2 (W) r s çã λ 2 P r tr t t λ 1 r s q λ 1 (W) é t t s r r r {λ 1 (X) : X W, X Q} s λ 1 (W) λ 2 (W) U V s r s s rt s ã 3 s W U V r s r t s t r s str çã q 1 st D, E Q t s q D U E V W = D E ss t s s str çã é t r q s r s r s t r é s q ê ú r s q r t 1 stê α s t t q ú r s r q

t ár α q st t W st r r t t s rt s U V çã λ 2 : Q A [0,+ ] t é é ár P r ró1 r s çã str λ 2 s rt t sõ s õ s á s r s s r s s r t s é st t s s s tr r s s s r s s rt s P r strá r s s s t r s t s r s r s s t s q A,B R ss t t s s r r s s r t A+B = {x+y R : x A y B}. tã sup(a + B) = sup(a) + sup(b) s A,B R ss t t s r r s t r s inf(a + B) = inf(a) + inf(b) str çã x sup(a) y sup(b) r q sq r x A y B s q x+y sup(a)+sup(b) r q q r x+y A+B sup(a+b) sup(a)+sup(b) x+y sup(a+b) r q sq r x A y B t s q y B sup(a+b) y é t t s r r r A ss sup(a) sup(a+b) y r q q r y B s q t t y sup(a + B) sup(a) r t y B s q sup(b) sup(a+b) sup(a) str çã r s í é á Pr s çã U V s r s s rt s t s t U V tã λ 2 (U) λ 2 (V) t r λ 2 (U V) λ 2 (U)+λ 2 (V) t U V = tã λ 2 (U V) = λ 2 (U)+λ 2 (V) str çã st s r r q λ 1 (X) λ 2 (V) r q q r X Q t q X U U V é 3 r s t s W Q t q W U V U V sã ã 3 s tã 1 st D,E Q t s q D U E V W = D E çã λ 2 s t λ 1 s q λ 2 (U) + λ 2 (V) λ 1 (D) + λ 1 (E) λ 1 (D E) s λ 2 (U)+λ 2 (V) é t t s r r r {λ 1 (W) : W U V, W Q} W Q t D,E Q t s q D U E V s q ê U V = t s t é D E =

t λ 1 t s λ 1 (D)+λ 1 (E) = λ 1 (D E), ss λ 2 (U V) = sup(s) S = {λ 1 (D)+λ 1 (E) : D U,E V D,E Q}, q λ 2 (U)+λ 2 (V) = sup(s) = λ 2 (U V) r 1t r r X r q q r s ár 1t r r s r λ (X) = inf{λ 2 (G) : G X, G A}. X r t s çã λ : F [0,+ ] F é t t s s r s s ss ár 1t r r s r q q r X é r 1 r 1 ss ár r rt G q r X r s tã q G r X q X G q t G X t q í t {λ 2 (G) : G X, G A} s r 1 st rq λ 2 (G) é ú r r ã t r q q r G A λ 2 (G) = + s s 3 r Γ(X) í t s s r s s rt s q r r X r s t s r é s q ê t rr t út r tr r r s s ár 1t r r s X F r q q r ε > 0 1 st G ε Γ(X) t q λ 2 (G ε ) < ε tã λ (X) = 0. P r 1 r rt r r 1 t r ár r tr r t q r q ε t s r st s r t s r s rt s s t s à r r s r t s q q r tr r t r tr â r r q r r tâ ír s q r r s s r st s r t r t ár 1t r r s

Pr s çã s r r r r s t rt t s r ár 1t r r s q t r ít r á ár r s s t s r á r s s s t q A R t t t s r r s r t ε > 0 1 st x A ss t t ε t q x < c + ε r rt c R tã inf(a) c str çã t q inf(a) > c ç ε = inf(a) c 1 st r tã x A t q x < c+inf(a) c = inf(a), s r Pr s çã X Y F t s t X Y tã λ (X) λ (Y) t r λ (X Y) λ (X)+λ (Y) t str t 1 st U Γ(X) V Γ(Y) t s q U V = tã λ (X Y) = λ (X)+λ (X) str çã G Y Y X tã G X st é s ót s X Y t r rt q r Y t é r rá X {λ 2 (G) : G Γ(Y)} {λ 2 (G) : G Γ(X)}, q λ (Y) = inf{λ 2 (G) : G Γ(Y)} inf{λ 2 (G) : G Γ(X)} = λ (X) ε > 0 1 st U Γ(X) V Γ(Y) ss t t s ε t s q λ 2 (U) < λ (X)+ ε 2 λ 2 (V) < λ (Y)+ ε 2. Pr s çã t t s λ 2 (U V) λ 2 (U)+λ 2 (V) < λ (X)+ λ (Y) + ε r q q r ε > 0 s q λ (X Y) λ (X) + λ (Y) s r q U V Γ(X Y) s s r s s t s t s r s s rt s M = Γ(X Y) N = {U V : U Γ(X), V Γ(Y) U V = }. s q ê t ót s t s N é ss G M 1 st H = U V N t q H G çã í q ε > 0 1 st G M t q λ 2 (G) λ (X Y) + ε ss Pr s çã t s t s λ 2 (U)+λ 2 (V) = λ 2 (H) λ 2 (G) < λ (X Y)+ε, s q λ (X)+λ (Y) < λ (X Y)+ε r t ε > 0 P

t λ (X)+λ (Y) λ (X Y) 0 ss λ (X)+λ (Y) = λ (X Y) t Pr s çã ã é s t s r s X Y = r t r s λ (X Y) = λ (X)+λ (Y) rr t λ 1 λ 2 r ss r r t r str t 1 s t s X,Y F t s q X Y = r s q s ã t ár 1t r r s r q r r t s t ór s é q s q s r s r s t r q r s s q t r ç r s 1 r s t s 3 r ót s r str çã 1 st U Γ(X) V Γ(Y) t s q U V = rr r 1 t P r s ú r s r s (r,s) rt t s q r [0,1] [0,1] s t r r çã q r s I = P c [0,1] [0,1] P I sã s t s st é P I = s ã 1 st rt s s t s t P I r ár r s s t r s tr â r r q r r tâ ír s ã tê s ár 1t r r s t r q s r t r s s r st s rt r X Q t t s λ (X) = λ ( t(x)) str çã t q q q r r t r S é ã r t r rt rr s t t(s) s r t r r(s) st é S = t(s) r(s) P s t λ t s λ (S) λ ( t(s))+λ ( r(s)) = λ ( t(s)). t λ s q λ ( t(s)) λ (S) s X Q st s st t r s q r s s q tê r t r r q r s rt s r s t r str t λ ró1 r s t ss ít str q 1t r r s st s Q A r F rát ss s q q q á s í s r s λ 2 ã r s s r r s r s λ P r q q r r rt W t s λ 2 (W) = λ (W) str çã 3 q W é rt t s W Γ(W) çã λ s q λ (W) λ 2 (W) s λ 2 (W) λ (W) 0 P r tr ε > 0 1 st G Γ(W) t q λ 2 (G) < λ (W) + ε

t λ 2 t s λ 2 (W) λ 2 (G) < λ (W)+ε, s λ 2 (W) λ (W) < ε r q q r ε > 0 λ (W) = λ 2 (W) λ 2 Q é t ár α tã λ 1 (Q) = λ (Q) str çã G Γ(Q) t s λ 1 (Q) λ 2 (G) çã λ 1 (Q) é t t r r r {λ 2 (G) : G Γ(Q)} ss çã λ s q λ 1 (Q) λ (Q) P r tr λ (Q) = λ ( t(q)) s q ê r ár çã λ 2 t λ 1 s q λ ( t(q)) = λ 2 ( t(q)) λ 2 (Q) Pr s çã P r q q r Y Q A t s λ (Y) = λ 2 (Y) str çã Y A tã r s çã s r s s tã Y Q ss çã λ 2 λ 1 (Y) λ 2 (G) r q q rg Γ(Y) λ 1 (Y)é t t r r r {λ 2 (G) : G Γ(Y)} ss çã λ s q λ 1 (Y) λ (Y) P r tr s t λ t λ 1 t s λ (Y) n λ (Q j ) = j=1 ( n n ) λ 1 (Q j ) = λ 1 Q j = λ 1 (Y), j=1 j=1 Y = Q 1 Q 2... Q n Q j Q α r j = 1,...,n α s t t q r 3 r q t s s q r s q st t Y t s ár α ú t rt str çã r ár λ 1 (X) = λ (X) r q q r X Q r t r r r K é t q r t s t r r K t t s s r s s t s s r s s t r s s sã 1 s r s t s t 3 é t t P é s t Q s r s s r s r õ s t s q r s q r tã P K s q q r t P é r t ár t r r s r q q r X é r

λ (X) = sup{λ (K) : K X, K K}. ró1 r s çã str r çã s r tr ár t r r ár 1t r r r Pr s çã P r q q r X F λ (X) λ (X) str çã K X t tã t λ t s λ (K) λ (X) λ (X) é t t s r r r {λ (K) : K X, K K} s ró1 s s r s t s r 1 s r s s r s q s Pr s çã Pr s çã G A tã λ (G) = λ (G) str çã q t W Q é t q λ 1 (W) = λ (W) s q {λ 1 (W) : W G, W Q} {λ (K) : K G, K K}. λ 2 (G) λ (G) Pr s çã s q λ (G) λ (G) t s Pr s çã Pr s çã W K tã λ (W) = λ (W) str çã st s r r q λ (W) {λ (K) : K W, K K} r s s rá s r X é s rá q λ (X) = λ (X) r é t r λ(x) çã ss λ : M [0,+ ] é ár s t t s s r s s s rá s é t r M ró1 r s çã r q t r é s s rá Pr s çã sã M F é ró r str çã Pr s çã r q r s 1 s q é ç s r s s ó s s t s r s t s

stá é s ss s r ós t s q q q r r r r 1 t r t r ss rá s t r 1 r t á ár r s s ã t r s ss 1 r t s s t s s t s t r r t s ss s ét 1 stã à ár s s tr r ár r ã t r s s r s t r s tr â s q r s P r t s s r r ã t r rt r s ár r tr r r s r s t r s s s s r r r t r t r r tr â q r s r s s s s rt s r t r s ár s 1t r r s s s ár s t r r s

sã s q é ssí r ár r ã t r t 3 r s t r s tr és ét 1 stã ss à ár s t r s q t t 3 s r s tr â s q r s s r ár s r ç t s t P rt t é ssí r s ss ét s t s é t é tr çã r rs s s r r

rê s rá s tr çã à stór t át r 2 s s t r r stór t át ã P r ü r r tr r ã tr r P t r çã r t stór t át sã rít s 3 t s s r r á s r P