Universidade Federal de São João Del-Rei MG 26 a 28 de maio de 200 Associação Brasileira de Métodos omputacionais em Engenharia Otimização Aplicada ao ontrole de emperatura A. Verly ; R. A. Ricco 2 ; H. M. Mazzini 3 ;,2,3 Departamento de Engenharia Elétrica UFSJ, São João Del-Rei, MG EP: 36307-352 e-mail: annyverly@yahoo.com.br, rodrigoricco@yahoo.com.br, hmazzini@ufsj.edu.br Resumo. Sabe-se que o controle de temperatura nem sempre é uma tarefa trivial, tendo em vista o alto valor da constante de tempo presente na maioria dos processos industriais que envolvem transferência de calor e medidas de temperatura. Para que um sistema obtenha uma resposta dentro do padrão esperado, devem ser empregados métodos de sintonia de controladores a fim de otimizar o processo. Este trabalho baseia-se na sintonia dos parâmetros do controlador PID (, I e D ) com base na minimização de funções objetivo do Algoritmo Genético. O Algoritmo Genético busca uma solução ótima para o controlador PID que melhore a resposta dinâmica de uma planta de temperatura. om a minimização de funções objetivo, a resposta dinâmica do sistema se tornou mais rápida e com um menor sobressinal. Os resultados obtidos com o uso dos Algoritmos Genéticos são comparados com métodos tradicionais de sintonia de controladores PID. Palavras chaves: OIMIZAÇÃO, ONROLE DE EMPERAURA, PID.
INRODUÇÃO Sistemas de controle automático são encontrados praticamente em todos os setores industriais, desde sistemas de potência até o controle de qualidade de produtos. ais sistemas têm assumido um papel preponderante no desenvolvimento tecnológico. O controle de processos é fundamental em ambientes industriais, tanto para segurança das pessoas quanto na qualidade do produto que está sendo processado. Busca-se também a proteção de equipamentos, bem como uma operação suave para evitar propagação de distúrbios, garantindo assim um aumento de lucros (Holm & Butler, 998). Dentre os principais controladores utilizados no processo industrial, destaca-se o PID (ações proporcional, integral e derivativa). Segundo (Astrom & Hagglund, 2006), cerca de 90% das malhas de controle industriais utilizam o PID. Para que o sistema de controle opere de maneira satisfatória, métodos de sintonia devem ser empregados a fim de otimizar o processo. A sintonia de um controlador PID consiste na determinação de seus parâmetros (, I, e D ) de maneira a se obter um sistema robusto e com desempenho aceitável de acordo com critérios estabelecidos. endo em vista que os sistemas térmicos são amplamente usados nos processos industriais, tais como: no controle da temperatura de caldeiras, motores, geradores, fornalhas, câmaras frias, entre outras. O estudo de métodos de controle que possam otimizar estes processos merecem grande atenção. O modelo escolhido para análise foi uma planta de controle de temperatura fornecida pela empresa Datapool Eletrônica. Este modelo é fornecido no módulo didático de temperatura 2302, para aplicação de técnicas de controle. O objetivo da planta é demonstrar a operação dos diversos processos que envolvem o segmento da indústria no que se refere à medição da variável temperatura (Datapool, 2008). Sendo assim, este trabalho baseou-se na otimização dos parâmetros do controlador PID por meio de Algoritmos Genéticos (AG. omo o próprio nome da ferramenta sugere, AG constituem-se de programas desenvolvidos com intuito de simular os mecanismos da evolução natural darwiniana. Alguns destes conceitos como genes, mutação, cromossomos, variabilidade genética, indivíduo mais adaptativo, seleção, cruzamento, são realizados por rotinas computacionais de forma a representar fielmente o processo de evolução natural. Uma das vantagens dos algoritmos genéticos é a simplificação que eles permitem na formulação e solução de problemas de otimização. Os resultados obtidos com o uso dos AGs foram comparados com os seguintes métodos de sintonia de controladores PID: Ziegler Nichols, ohen-oon, aya- Sheib e Ho et al. 2 DESENVOLVIMENO A Figura é uma representação de uma malha de controle: Em que: R( é o valor de entrada desejado; Z( é a perturbação; Y( é a saída; Figura - Malha de controle.
E( é o erro; U( é a saída do controlador; Gc( e Gp( são as funções de transferência do controlador e da planta do processo, respectivamente. Devem-se considerar duas possíveis condições de operação do sistema de controle:. Servomecanismo (Z( =0) Gc( Gp( Y ( R( () Gc( Gp( 2. Regulador (R( =0) Gp( Y ( Z( (2) Gc( Gp( omo os numeradores das funções de transferência de malha fechada () e (2) são diferentes, um bom ajuste do controlador para operar como servomecanismo não necessariamente proverá um bom funcionamento como regulador. Por esta razão, há necessidade de se usar métodos específicos para cada caso. Em se tratando do controle de temperatura o sistema especificado opera como servomecanismo. A função de transferência do controlador PID utilizada é dada por (3): Ds (3) s I Em que: é ganho proporcional, I é a constante de tempo integral e D a constante de tempo derivativo. O processo simulado foi representado por um modelo de primeira ordem mais tempo morto, como pode ser visto em (4): k s G( e (4) ( s ) Sendo: : onstante de tempo do sistema; : empo morto; : Ganho. São desejadas algumas características pré-estabelecidas das respostas dinâmicas dos sistemas de controle. Estas características usualmente estão relacionadas a entradas de referência do tipo degrau. A Figura 2 representa uma resposta ao degrau típica de um sistema dinâmico linear, onde a variável saída de interesse do sistema pode oscilar de forma amortecida até atingir um valor estável. É desejável que este valor seja o mais próximo possível de V F, ou seja, que o erro (e) do sistema tenda a um valor dentro de uma faixa especificada ( 5 % ) ou que seja nulo. O tempo que o sistema leva para atingir esta faixa de erro e permanecer dentro desta é conhecido como tempo de acomodação (t s ). A resposta ainda pode apresentar um valor máximo de sobressinal (S), eventualmente este pico pode ser nulo, não ultrapassando o valor de referência (resposta superamortecida). O tempo que a resposta leva para atingir este sobressinal máximo é chamado de tempo de pico (t p ). O tempo de subida (t r ) é o tempo que a resposta leva para partir de % até passar pela primeira vez em 95% de seu valor final (V F ). Uma malha de controle não deve apresentar respostas oscilatórias crescentes, que caracterizam um sistema instável. omo pode ser observado na Figura 2, a representa o período entre as oscilações da resposta dinâmica amortecida.
Figura 2: Resposta dinâmica de um sistema linear. Por meio de controladores é possível manipular a resposta do sistema dinâmico, de maneira que ela apresente os parâmetros, t r, t p, t s, S e erro em regime permanente, conforme desejados. Os controladores PID interferem nas características das respostas dos sistemas através de suas ações, proporcional, integral e derivativa sob o erro (e), de acordo com a equação (3). Estas ações podem apresentar uma melhor compreensão quando analisadas no domínio do tempo. t de( t) u ( t) Pe( t) e( t) dt D ; (5) 0 dt I No controlador proporcional existe uma relação linear entre o sinal de erro de entrada (e) e saída da malha (ver Figura ), assim à saída terá uma resposta proporcional ao sinal de comando do atuador (u). Este controle ocasiona um erro estacionário. Na ação integral, o sinal de saída do controlador, em qualquer instante, é a área sob a curva do sinal de erro atuante até aquele momento. Esta ação remove o erro estacionário, mas pode conduzir a uma resposta oscilatória com amplitude crescente ou decrescente. A ação derivativa responde a uma taxa de variação do erro atuante e pode produzir uma ação significativa antes que o valor do erro atuante se torne muito elevado. Este controle tende a aumentar a estabilidade do sistema (Ogata, 2003). Este trabalho busca sintonizar os ganhos do controlador PID utilizando Algoritmos Genéticos com funções objetivo que minimizam os parâmetros característicos, t r, t s, S, da resposta dinâmica. Vale destacar que se utilizou diferentes AGs para funções objetivo distintas. Ou seja, os objetivos eram minimizar o tempo de subida, o tempo de acomodação e o sobressinal. Os desempenhos dos AGs foram comparados entre si e com os métodos determinísticos de sintonia PID, que serão descritos a seguir. 2. Métodos Determinísticos de Sintonia de ontroladores PID Método de Ziegler-Nichols (942) Em malha fechada mediante um processo iterativo o ganho de um controlador proporcional é aumentado gradativamente até que ocorram oscilações sustentadas na resposta ao degrau do sistema. Sendo u o ganho máximo crítico e P u o período da oscilação crítico. As equações de sintonia para o controlador PID ideal são apresentadas na abela :
abela : Regras de sintonia de Ziegler-Nichols. ontrolador c I D PID u /.67 P u /2 P u /8 Método de ohen-oon (953) ohen e oon introduziram um índice de auto-regulação, definido como: ; (6) Sendo e como definido anteriormente. Para sintonia de um controlador PID ideal as equações baseiam-se em um modelo de ª ordem mais tempo morto, que são mostradas na abela 2: abela 2: Regras de sintonia de ohen-oon. ontrolador c I D PID 32 6 6 3 * k 2 3 8 4 2 Método de Ho et al. (995) Nesse método as equações de controle também são baseadas em um modelo de primeira ordem mais tempo morto. Mas estas equações levam em consideração a minimização da integral de erro absoluto (IAE), no qual é definida como: IAE e( t) dt ; (7) 0 A abela 3 mostra as equações divididas em respostas ao distúrbio (R( =0) e entrada de referência (Z(S)=0). abela 3: Regras de sintonia de Ho et al. Entradas c I D IAE-Distúrbio.435 k 0.92 0.878 0.749 0.482.37 IAE-Referência 0.869.086 k 0.74 0. 3 0.348 0.94 Método de aya-sheib (988) Este método baseia-se também nos parâmetros de um modelo de primeira ordem mais tempo morto. As equações são divididas em respostas ao distúrbio e entrada de referência para controladores PID série, paralelo e industrial, e são apresentadas na abela 4:
abela 4: Regras de sintonia de aya e Sheib. Regulador k a b i c d d e f Servomecanismo k a b i c d( / ) d e f Onde os valores de a, b, c, d, e, f são dados pelas abelas 5 e 6: abela 5: ritério IAE (Distúrbio). ontrolador A B c d E F PID-Série 0.9809-0.767 0.903 -.052 0.5997 0.8982 PID-Paralelo.35-0.8826.2587 -.3756 0.5655 0.4576 PID-Industrial 0.900-0.7938.050 -.0040 0.544 0.7848 abela 6: ritério IAE (Referência). ontrolador A B c d E F PID-Série 0.6500 -.0443 0.9895 0.0954 0.508.0843 PID-Paralelo.303-0.83 5.7527-5.724 0.328 0.77 PID-Industrial 0.870 -.0040.09-0.2239 0.4428 0.979 2.2 Aplicando o método probabilístico AG a sintonia do PID Algoritmos Genéticos (AG constituem uma técnica de busca e otimização, altamente paralela, inspirada no princípio Darwiniano (Darwin, 859) de seleção natural e reprodução genética (Goldberg, 989). Foi proposto inicialmente por John Holland (Holland, 975), com intuito de aplicar a teoria de Darwin, ou seja, utilizar os conceitos da evolução biológica, tais como: genes, cromossomos, cruzamento, mutação e seleção em problemas de otimização através de algoritmos computacionais. Os princípios da natureza nos quais os AGs se inspiram são simples. De acordo com a teoria de Darwin, o princípio de seleção privilegia os indivíduos mais aptos com maior longevidade e, portanto, com maior probabilidade de reprodução. Indivíduos com mais descendentes têm mais chance de perpetuarem seus códigos genéticos nas próximas gerações. ais códigos genéticos constituem a identidade de cada indivíduo e estão representados nos cromossomos. Estes princípios são imitados na construção de algoritmos computacionais, que buscam uma melhor solução para um determinado problema. Em AGs um cromossomo é uma estrutura de dados que representa uma das possíveis soluções do espaço de busca do problema. romossomos são então submetidos a um processo evolucionário que envolve avaliação, seleção, recombinação sexual (crossover) e mutação. Após vários ciclos de evolução a população deverá conter indivíduos mais aptos (Pacheco, 999). Os AGs têm sido aplicados a diversos problemas de otimização tais como: Otimização de Funções Matemáticas, Otimização ombinatorial, Otimização de Planejamento, Problema do aixeiro Viajante, Problema de Otimização de Rota de Veículos, Otimização de Layout de ircuitos, Otimização de Distribuição, Otimização em Negócios, entre outros (Michalewicz, 994). A idéia básica do Algoritmo Genético pode ser descrita de maneira sucinta como mostrado na Figura 3:
Saída y(t) Nono Simpósio de Mecânica omputacional 3 APLIAÇÃO DOS MÉODOS Figura 3: Idéia básica do AG. A função de transferência do sistema a ser otimizado é dada pela Equação (8), este modelo representa uma resistência elétrica utilizada em um processo de aquecimento de um tanque de água. O modelo foi obtido por métodos identificação de sistemas, em que foram realizadas medidas experimentais para várias entradas e saídas do sistema operando em malha aberta de acordo com (Aguirre, 2007). G ( 4 600s e 95s (8) A resposta ao degrau do sistema não compensado é apresentada na Figura 4. 0.8 Resposta ao Degrau unitário 0.6 0.4 0.2 0-0.2 0 500 000 500 2000 t( Figura 4: Resposta ao degrau do sistema não compensado G (. De posse do modelo do sistema, G (, e da resposta ao degrau (Figura 4), observou-se que este apresentava um erro em regime permanente de 20% do valor desejado e alto tempo para se estabilizar. Assim, foram calculados os parâmetros, i e D do controlador para cada método de sintonia descrito anteriormente. São apresentados nas abelas 7 e 8 os valores dos parâmetros para os respectivos métodos. Os termos destas tabelas foram calculados para um controlador PID ideal. O algoritmo genético desenvolvido foi o de codificação real, com uma população de cinqüenta indivíduos, uma probabilidade de cruzamento de 90%, probabilidade de mutação de,5% e um número máximo de 50 iterações. Observou-se que como foram realizadas 50 iterações (um número alto de geraçõe os resultados obtidos pelas funções objetivo (abela 8) variavam pouco de realização para realização, sendo assim optou-se por tomar a média de dez realizações diferentes como solução dos AGs.
Na fase de seleção de indivíduos realizou-se uma amostragem estocástica, em que a chance de cada indivíduo ser selecionado é diretamente proporcional ao valor de sua aptidão, para isto foi utilizado o método de seleção conhecido como Universal ou Por roleta. Este método é considerado simples, pois consiste em criar uma roleta na qual cada indivíduo possui um segmento proporcional à sua aptidão. A roleta será girada o número de vezes necessárias à seleção a fim de que seja composta a população auxiliar que será utilizada na propagação da espécie; nesta otimização proposta a roleta foi girada cinqüenta vezes, por iteração. Os indivíduos com aptidão maior possuem uma área maior na roleta, acarretando maior probabilidade de seleção aos elementos mais aptos de cada geração. O tipo de cruzamento utilizado dentro da codificação real foi o cruzamento aritmético, onde são escolhidos aleatoriamente dois indivíduos de uma geração (roleta) e estes geram os dois novos cromossomos. Funciona como o cruzamento de um ponto, porém com valores reais, onde o ponto de cruzamento é escolhido aleatoriamente (desde que não sejam os pontos extremos do cromossomo). O cruzamento aritmético foi realizado através da aplicação de duas fórmulas: P,4* 0.2)( P ); (9) ( P2 2 Se apt P ) apt( ) P,4* 0.2)( P ); ( P2 2 ( P2 2 Se não P,4* 0.2)( P ); 2 2 ( 2 P Onde e 2 são os cromossomos filhos, P e P 2 são os cromossomos pais, β é um número aleatório U(0, ) e apt(p) a aptidão dos cromossomos pais. abela 7: Parâmetros de ontrole PID (métodos determinístico. Métodos Ziegler-Nichols 4,048 85,893 46,473 ohen-oon 5,676 228,4 34,76 Ho et al. 3,59 284,950 42,47 aya-sheib 3,0 607,770 38,044 Função Objetivo Minimizada abela 8: Parâmetros de ontrole PID (AG). Sobressinal 3,000 3000,000 63,870 empo de Subida 4,000 333,333 49,996 empo de acomodação 4,000 379,30 25,000 4 RESULADOS E DISUSSÕES A seguir são comparados os desempenhos dos métodos de sintonia utilizando os Algoritmos Genéticos com os desempenhos dos métodos determinísticos apresentados neste artigo. A Figura 5 indica uma comparação entre as respostas ao degrau unitário para a sintonia do PID por meio dos AGs, para as diferentes funções objetivo utilizadas. A Figura 6 compara as respostas obtidas pelos métodos de sintonia determinísticos com a obtida pelo AG que minimiza o sobressinal da resposta ao degrau unitário. i i D D
Saída y(t) Saída y(t) Nono Simpósio de Mecânica omputacional Analisando as Figuras 5 e 6 bem como a abela 9, pode ser observado que os AGs minimizaram com eficácia o que lhes foi proposto pela função objetivo. O AG cuja função objetivo é a minimização do sobressinal apresentou menor sobressinal em comparação com os métodos de sintonia de Ziegler-Nichols, ohen-oon e aya-sheib. O AG que minimiza o tempo de subida apresentou melhores resultados em comparação com os métodos de sintonia de Ziegler-Nichols, Ho et al. e aya-sheib, também o seu desempenho com base nos outros critérios de resposta dinâmica foram muito superiores ao método de ohen-oon, apesar de apresentar um sobressinal de 25,5%. Na proposição da minimização do tempo de acomodação o AG foi superior aos métodos de sintonia de Ziegler-Nichols, ohen-oon e Ho et al..4 Resposta ao Degrau Unitário para Entrada de Referência.2 0.8 0.6 0.4 0.2 0-0.2 AG(Sobressinal) AG(empo de subida) AG (empo de acomodação) -0.4 0 00 200 300 400 500 600 700 t( Figura 5: Respostas ao degrau dos métodos de sintonia PID utilizando os AGs. 2 Resposta ao Degrau Unitário para Entrada de Referência.5 0.5 0 Ziegler-Nichols ohen-oon Ho et al. aya-sheib AG (Sobressinal) -0.5 0 00 200 300 400 500 600 700 t( Figura 6: omparação das respostas ao degrau entre métodos de sintonia determinísticos e o método utilizando o AG que minimiza o sobressinal da resposta.
abela 9: Índices de desempenho da resposta ao degrau de G (. Métodos empo de subida (segundo Máximo Sobressinal (% de V F ) empo de acomodação (segundo Ziegler-Nichols 4,00 0,509 757,000 ohen-oon 34,700 0,907 709,000 Ho et al. 88,00 0,00 354,000 aya-sheib 92,300 0,023 85,000 AG (Sobressinal) 62,600 0,0 534,000 AG (empo de subida) 4,700 0,255 455,000 AG (empo de Acomodação) 69,500 0,256 333,000 5 ONLUSÕES O estudo de técnicas de sintonia é de grande importância para o controle de processos automáticos. Através de análise comparativa é possível selecionar o método mais adequado ao sistema, baseando a escolha nos índices de desempenhos pré-estabelecidos. Após a análise detalhada das respostas, entende-se que os AGs utilizados apresentaram um bom desempenho, tendo em vista a resposta ao degrau do sistema não compensado. Em alguns aspectos eles foram superiores aos métodos determinísticos aplicados. Em situações em que se deseja a otimização de algum parâmetro especifico, os AGs se mostraram altamente eficientes. Entende-se que para obter um desempenho superior da resposta dinâmica, o AG pode ser melhorado já que se trata de um método estocástico, possibilitando diferentes arranjos. omo por exemplo, alterar a sua função objetivo, impondo restrições que possam ser atingidas entre dois objetivos considerados muito importantes ao desempenho da resposta dinâmica do sistema. ambém é possível alterar o número de gerações ou probabilidades de mutações de maneira a se obter melhores resultados. Agradecimentos A FAPEMIG pelo apoio, que possibilitou a realização desta pesquisa. 6 BIBLIOGRAFIA Aguirre, L. A., Introdução à Identificação de Sistemas écnicas Lineares e Não-Lineares Aplicadas a Sistemas Reais, 3 a Edição, Editora UFMG, 2007. Astrom,. J., & Hagglund,., Advanced PID ontrol, SA- instrumentation, System, and Automation Society, 2006. ohen, G. H., oon, G. A., heoretical considerations of retarded control. ransactions of the ASME, 827-834, 953. Darwin,., On he Origin of Species, st edition, Harward University Press, MA, 859. Datapool - Apostila de experiências, Manual de Manutencao e alibracao, Módulo de emperatura 2302, 2008.
Goldberg, D., Genetic Algorithms in Search, Optimization and Machine Learning, Addison-Wesley, 989. Ho, W.., & Hang,.., & ao, L.S., uning of PID ontrollers Based on Gain and Phase Margin Specifications Automatic, Vol.3, M.3, 995. Holland, J.H., Adaptation in natural And artificial systems, 975. Holm, O., & Butler, A., Robustness and performance analysis of PI and PID controller tunings, under advisement of Prof. Sigurd Skogestad for NNU 52075, (5//998). Michalewicz, Z., Genetic Algorithms + Data Structures = Evolution Programs, Springer- Verlag-994. Ogata,., Engenharia de controle moderno, São Paulo, 4 a Edição, Pearson Prentice Hall, (2003). Pacheco, M. A.., Algoritmos Genéticos: Princípios e Aplicações, Departamento de Engenharia Elétrica, Pontifícia Universidade atólica do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 999. Ziegler, J. G., Nichols, N. B. Optimum settings for automatic controllers. ransactions of the ASME, 759-768, (942). 7 DIREIOS AUORAIS Os autores são os únicos responsáveis pelo conteúdo do material impresso incluído no seu trabalho.