Aluno (a): Série: 3ª Turma: TUTORIAL 2B Ensino Médio Equipe de Matemática Data: Matemática Unidades de Medidas Medidas de Comprimento A unidade fundamental de comprimento é o metro. Designa-se abreviadamente por m. Aritmética. Marcondes, Oswaldo. Múltiplos e submúltiplos em suas formações, empregam-se os prefixos gregos deca (dez), hecto (cem) e quilo (mil) e os prefixos latinos deci (décimo); centi )centésimo) e mili (milésimo). Usando esses prefixos, montamos o quadro abaixo. Quilômetro Hectômetro Decâmetro Metro Decímetro Centímetro Milímetro Km hm dam m dm cm mm Na tabela acima, cada vez que andamos uma casa para a direita, multiplicamos por 10. Cada vez que voltamos uma casa para a esquerda, dividimos por 10. Isto ocorre porque a relação entre os múltiplos e submúltiplos do metro é decimal. Assim, por exemplo, 9 m são iguais a 900 cm (andamos duas casas para a direita) e 5 cm são iguais a 0,00005 km (voltamos cinco casas para a esquerda). Unidades de Áreas Neste caso, como a área de uma superfície plana é a medida da extensão de sua superfície e sua unidade fundamental é o metro quadrado, cada vez que andamos uma casa para a direita, multiplicamos por 10 2. Cada vez que voltamos uma casa para a esquerda, dividimos por 10 2. Assim, por exemplo, 1 km 2 = 1 000 000 m 2 e 6 m 2 = 60000 cm 2. Unidades de Volumes Neste caso, como o volume de um corpo é a quantidade de espaço que esse corpo ocupa e sua unidade fundamental é o metro cúbico, cada vez que andamos uma casa para a direita, multiplicamos por 10 3. Cada vez que voltamos uma casa para a esquerda, dividimos por 10 3. Exemplo: 73,42 dm 3 equivalem a 73420000 mm 3. Obs.: Formalmente, o sistema metrológico brasileiro adota somente um múltiplo da unidade legal de volume o quilômetro cúbico, e três submúltiplos o decímetro cúbico, o centímetro cúbico e o milímetro cúbico. Unidades de Capacidade A quantidade de líquido é igual ao volume interno de um recipiente pois, ao enchermos esse recipiente, o líquido assume a forma do mesmo. Assim, capacidade é o volume interno de um recipiente. A unidade fundamental de capacidade é o litro. O litro é o volume de um quilograma de água destilada e isenta de Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem - 1 - NANDA/MARÇO/2014-269
ar, à temperatura de 4 C e sob pressão atmosférica normal. A capacidade de um cubo que tem 1 dm de aresta é 1 litro. Relação entre unidades de capacidade e unidades de medida Não devemos confundir uma coisa e outra. Uma garrafa tem a capacidade de armazenar certo volume de líquido em seu interior. Se um corpo é oco, ele tem capacidade. Se um corpo é maciço, ele tem volume. Conversões mais usuais: 1 dm 3 = 1 litro; 1 cm 3 = 1 ml; 1 m 3 = 1000 litros. Obs.: As mudanças de unidades entre os múltiplos e submúltiplos do litro são feitas de forma análoga às das unidades de comprimento. A prova do ENEM de 2010 abordou o tema. Vejamos a questão: A siderúrgica Metal Nobre produz diversos objetos maciços utilizando o ferro. Um tipo especial de peça feita nessa companhia tem o formato de um paralelepípedo retangular, de acordo com as dimensões indicadas na figura que segue: O produto das três dimensões indicadas na peça resultaria na medida da grandeza a) massa. b) volume. c) superfície. d) capacidade. e) comprimento. O produto das três dimensões indica o volume do objeto maciço. Opção (B). Peso e Massa Não devemos confundir peso e massa. Massa é a quantidade de matéria de um corpo. É uma propriedade constante dos corpos e não depende do local onde eles se encontram. Peso é a força de atração exercida pela terra sobre a massa de um corpo. Depende da gravidade no local onde se faz a medida. A unidade fundamental da massa é o quilograma e só tem um múltiplo, a tonelada, que vale 1000 quilogramas, e vários submúltiplos. Referidos ao grama, as mudanças de unidades entre seus múltiplos e submúltiplos são feitas de forma análoga às das unidades de comprimento. Assim, por exemplo, 1 kg = 1000 g. Escalas Pode-se definir escala como sendo a relação ou proporção direta existente entre as distâncias lineares representadas em um desenho (um mapa, por exemplo) e aquelas existentes na vida real (em um terreno, ou seja, na superfície real). É graças às escalas que os objetos ou lugares são reduzidos ou aumentados para caber numa folha de papel. Toda escala é diretamente proporcional. Quando se diz que um modelo está em escala 1:50, isso significa que ele é 50 vezes menor que o original. Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem - 2 - NANDA/MARÇO/2014-269
Em questões envolvendo escalas, é necessário que as medidas em questão estejam em uma mesma unidade. Por exemplo, uma escala 1 : 100 significa que cada 1 parte em um desenho corresponde a 100 partes da realidade. Ou seja, 1 cm corresponde a 100 cm; 1 m corresponde a 100 m; 1 km corresponde a 100 km, etc. Repare que a unidade de medida é a mesma quando se faz a comparação. Exemplo: Um mapa foi construído na escala 1 : 400 000. Neste mapa, um trecho retilíneo da Avenida Brasil com 2 km de extensão terá quantos centímetros de comprimento? Como o mapa foi feito na escala de 1 : 400 000, significa que cada 1 km no desenho correspondem a 400 000 de km reais. Assim, o trecho da Av. Brasil de 2 km teria, no desenho, 2/400000 km, ou seja, 0,000005 km, que equivalem a 0,5 cm. Exemplo: A planta de um apartamento está confeccionada na escala 1:50. Então, a área real, em m 2, de uma sala retangular cujas medidas na planta são 12 cm e 14 cm é a) 24 b) 26 c) 28 d) 42 e) 54 Como a planta foi confeccionada na escala 1:50, cada 1 cm da planta corresponde a 50 cm reais. Assim, 12 cm na planta corresponderão a 12 x 50 = 600 cm = 6 m reais e 14 cm na planta corresponderão a 14 x 50 = 700 cm = 7 m reais. Logo, a área real em metros quadrados será igual a 6 x 7 = 42 (D). Exemplo: A planta baixa do prédio de uma empresa foi feita na escala de 1:250. Determine a área real que está representada na planta por 4 cm 2. a) 20 m 2 b) 25 m 2 c) 10 m 2 d) 100 m 2 e) 16 m 2 Como a planta foi confeccionada na escala 1:250, cada 1 cm da planta corresponde a 250 cm reais. Porém, como queremos conhecer a área, teremos que elevar ao quadrado nossa escala. Assim, 1 cm 2 na planta corresponderão a (250) 2 cm 2 reais. Assim, a área real pedida será igual a 4 x (250) 2 cm 2 = 250000 cm 2 = 25 m 2. (B). Quanto menor a escala, maior a figura. Uma mesma figura representada em uma escala de 1:25 terá o triplo do tamanho do que se for feita na escala de 1:75. Se as figuras forem diferentes, devemos redobrar a atenção. Vejamos a questão da última prova do ENEM: Um biólogo mediu a altura de cinco árvores distintas e representou-as em uma mesma malha quadriculada, utilizando escalas diferentes, conforme indicações na figura a seguir. Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem - 3 - NANDA/MARÇO/2014-269
Qual é a árvore que apresenta a maior altura real? a) I b) II c) III d) IV e) V As escalas são, respectivamente, (I)1:100; (II)1:50; (III) 1:150; (IV) 1:300 e (V) 1:150. A árvore (I) terá 9 quadrículas de altura; a árvore (II) terá a metade da altura da (I); a árvore (III) terá também 9 quadrículas de altura; a (IV) terá mais de 12 quadrículas de altura e a (V) terá a metade da (IV). Assim, a mais alta será a (IV) opção (D). Exercícios 1. Uma área de 360 metros quadrados e um volume de 100 metros cúbicos são respectivamente equivalentes a uma área e um volume de a) 3 600 000 cm 2 e 100 000 dm 3 b) 36 000 cm 2 e 1 000 dm 3 c) 3 600 000 dm 2 e 10 000 dm 3 d) 36 dam 2 e 100 000 dm 3 e) 36 km 2 e 100 000 mm 3 2. Uma fábrica de embalagens possui moldes para caixas cúbicas. O molde é construído com folhas de papelão com 8 dm de comprimento e 800 mm de largura. Em cada canto das folhas é recortado um quadrado de 10 cm, conforme ilustração abaixo. Para prolongar a vida útil do molde, a fábrica contorna seus moldes com fita adesiva. Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem - 4 - NANDA/MARÇO/2014-269
Quantos metros de fita adesiva serão usados para contornar esse molde? a) 1,6 b) 2,4 c) 3,2 d) 6 e) 6,4 3. A figura abaixo representa a planta baixa de uma casa, construída em um terreno retangular de dimensões 900 cm x 0,015 km. Qual é a medida da área construída sabendo que a área livre que contorna a casa é de 0,72 dam 2? a) 22 m 2 b) 48 m 2 c) 63 m 2 d) 135 m 2 e) 207 m 2 4. Um reservatório de água tem o formato de um paralelepípedo reto retângulo e suas dimensões estão indicadas na figura abaixo. Quantos centímetros cúbicos de água, no máximo, podem ser armazenados nesse reservatório? a) 8 960 b) 3 360 c) 2 848 d) 1 424 e) 1 120 Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem - 5 - NANDA/MARÇO/2014-269
5. Uma piscina, que continha 1200 m 3 de água, precisou ser esvaziada. Foi utilizada uma bomba de sucção com vazão constante de retirada, que extraía 750 litros de água por minuto. Depois de quanto tempo após o acionamento da bomba a piscina ficou completamente vazia? a) 1h36min b) 16 h c) 32 h d) 160 h e) 320 h 6. Um reservatório contém 500 litros de água e efetuamos, sucessivamente, as seguintes operações: retiram-se 80.000 ml; colocam-se 4.500 cl; colocam-se 3 dal; retiram-se 1.300 dl; retiram-se 0,08 kl. Quantos litros restam no reservatório? a) 215 b) 285 c) 195 d) 475 e) 715 7. Na planta de um edifício em construção, cuja escala é 1:30, as dimensões de uma sala retangular são 30 cm e 16 cm. A área real desta sala retangular é de a) 480 m 2 b) 48 m 2 c) 14,4 m 2 d) 43,2 m 2 e) 144 m 2 8. (ENEM 2011) Um mecânico de uma equipe de corrida necessita que as seguintes medidas realizadas em um carro sejam obtidas em metros: a) distância a entre os eixos dianteiro e traseiro; b) altura b entre o solo e o encosto do piloto. Ao optar pelas medidas a e b em metros, obtêm-se, respectivamente, a) 0,23 e 0,16. b) 2,3 e 1,6. c) 23 e 16. d) 230 e 160. e) 2300 e 1600 Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem - 6 - NANDA/MARÇO/2014-269
9. (ENEM 2010) Sabe-se que a distância real, em linha reta, de uma cidade A, localizada no estado de São Paulo, a uma cidade B, localizada no estado de Alagoas, é igual a 2 000 km. Um estudante, ao analisar um mapa, verificou com sua régua que a distância entre essas duas cidades, A e B, era 8 cm. Os dados nos indicam que o mapa observado pelo estudante está na escala de a) 1 : 250. b) 1 : 2 500. c) 1 : 25 000. d) 1 : 250 000. e) 1 : 25 000 000. 10. (ENEM 2013 - Adaptada) Para o reflorestamento de uma área, deve-se cercar totalmente, com tela, os lados de um terreno, exceto o lado margeado pelo rio, conforme a figura. Cada rolo de tela que será comprado para confecção da cerca contém 48 metros de comprimento. A quantidade mínima de rolos que deve ser comprada para cercar esse terreno é a) 6 b) 7 c) 8 d) 11 e) 12 Gabarito 1) A 2) C 3) C 4) A 5) D 6) B 7) D 8) B 9) E 10) C Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem - 7 - NANDA/MARÇO/2014-269