MATLAB para H-Álgebra Linear II Melissa Weber Mendonça 1 1 Universidade Federal de Santa Catarina 2011.2 M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II 2011.2 1 / 15
Lembrando... 1 3 ( ) 4 A = 3 9 1 2 6, b = A = 12 1 8 5 15 20 >> x = inv(a *A)*A *b >> x = pinv(a)*b M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II 2011.2 2 / 15
Equações normais - exemplo >> c1 = [1 2 4 8] ; >> c2 = [3 6 9 12] ; >> c3 = c1-4*c2 +.0000001*(rand(4,1) -.5*[1 1 1 1] ); >> A = [c1 c2 c3]; >> b = 2*c1-7*c2+.0001*(rand(4,1) -.5*[1 1 1 1] ); >> x = pinv(a)*b; >> erro = norm(a*x-b) M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II 2011.2 3 / 15
Equações normais - exemplo >> c1 = [1 2 4 8] ; >> c2 = [3 6 9 12] ; >> c3 = c1-4*c2 +.0000001*(rand(4,1) -.5*[1 1 1 1] ); >> A = [c1 c2 c3]; >> b = 2*c1-7*c2+.0001*(rand(4,1) -.5*[1 1 1 1] ); >> x = pinv(a)*b; >> erro = norm(a*x-b) >> x = inv(a *A)*A *b; >> erro2 = norm(a*x-b) M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II 2011.2 3 / 15
Fatoração QR Sabemos que, se pudermos fatorar A em A = QR a resolução do sistema se resume a Rx = Q T b No MATLAB, podemos fatorar A com o comando >> [Q,R] = qr(a) M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II 2011.2 4 / 15
Exemplo 1 4 A = 2 8 1 4 3 2 M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II 2011.2 5 / 15
Exemplo 1 4 A = 2 8 1 4 3 12 M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II 2011.2 6 / 15
Gram-Schmidt Para efetuarmos o processo de Gram-Schmidt em um conjunto de vetores, basta aplicarmos a decomposição QR no MATLAB à matriz formada pelos vetores (nas colunas): Exemplo: 1 1 2 A = 0 0 1 1 0 0 M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II 2011.2 7 / 15
Gráfico simples Para fazer um gráfico simples (no plano) no MATLAB, usamos os seguintes comandos: >> x = a:delta:b >> plot(x,f(x)) M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II 2011.2 8 / 15
Gráfico simples Para fazer um gráfico simples (no plano) no MATLAB, usamos os seguintes comandos: >> x = -1:delta:1 >> plot(x,f(x)) M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II 2011.2 8 / 15
Gráfico simples Para fazer um gráfico simples (no plano) no MATLAB, usamos os seguintes comandos: >> x = -1:0.1:1 >> plot(x,f(x)) M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II 2011.2 8 / 15
Gráfico simples Para fazer um gráfico simples (no plano) no MATLAB, usamos os seguintes comandos: >> x = -1:0.1:1 >> plot(x,x.^2) M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II 2011.2 8 / 15
Exemplo Fazer o gráfico de uma reta passando por 2 pontos: p = (1, 2), q = ( 1, 1) M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II 2011.2 9 / 15
Exemplo Fazer o gráfico de uma reta passando por 2 pontos: p = (1, 2), q = ( 1, 1) >> x = [1,-1] M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II 2011.2 9 / 15
Exemplo Fazer o gráfico de uma reta passando por 2 pontos: p = (1, 2), q = ( 1, 1) >> x = [1,-1] >> y = [2,-1] M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II 2011.2 9 / 15
Exemplo Fazer o gráfico de uma reta passando por 2 pontos: p = (1, 2), q = ( 1, 1) >> x = [1,-1] >> y = [2,-1] >> plot(x,y) M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II 2011.2 9 / 15
Exemplo Fazer o gráfico de uma reta passando por 2 pontos: p = (1, 2), q = ( 1, 1) >> x = [1,-1] >> y = [2,-1] >> plot(x,y) >> hold on M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II 2011.2 9 / 15
Exemplo Fazer o gráfico de uma reta passando por 2 pontos: p = (1, 2), q = ( 1, 1) >> x = [1,-1] >> y = [2,-1] >> plot(x,y) >> hold on >> plot(x,y, r* ) M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II 2011.2 9 / 15
Melhor reta Encontrar a reta que interpola as seguintes medições: 0.0 1.1 0.5 1.6 1.1 2.4 1.7 3.8 2.1 4.3 2.5 4.7 2.9 4.8 3.3 5.5 3.7 6.1 4.2 6.3 4.9 7.1 5.3 7.1 6.0 8.2 6.7 6.9 7.0 5.3 M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II 2011.2 10 / 15
Melhor reta: resolução >> A = [ones(length(x),1) x] >> D = inv(a *A)*A *y >> plot(t,d(2)*t+d(1)) M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II 2011.2 11 / 15
Melhor parábola? E cúbica??? >> A =??? >> D = inv(a *A)*A *y >> plot(t,d(2)*t+d(1)) M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II 2011.2 12 / 15
Melhor parábola? E cúbica??? >> A = [ones(length(x),1) x x.^2] >> D = inv(a *A)*A *y >> plot(t,??) M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II 2011.2 12 / 15
Melhor parábola? E cúbica??? >> A = [ones(length(x),1) x x.^2] >> D = inv(a *A)*A *y >> plot(t,d(3)*t.^2+d(2)*t+d(1)) M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II 2011.2 12 / 15
Projeção Se quisermos ver a projeção de um vetor em outro no MATLAB, podemos efetuar os seguintes comandos: >> u = [1;1]; >> v = [1/2;2]; >> plot([0 u(1)],[0 u(2)], b ) >> axis([0 2 0 2]) >> hold on; >> plot([0 v(1)],[0 v(2)], b ) M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II 2011.2 13 / 15
Projeção Se quisermos ver a projeção de um vetor em outro no MATLAB, podemos efetuar os seguintes comandos: >> u = [1;1]; >> v = [1/2;2]; >> plot([0 u(1)],[0 u(2)], b ) >> axis([0 2 0 2]) >> hold on; >> plot([0 v(1)],[0 v(2)], b ) >> p = ((v*v )/(v *v))*u; M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II 2011.2 13 / 15
Projeção Se quisermos ver a projeção de um vetor em outro no MATLAB, podemos efetuar os seguintes comandos: >> u = [1;1]; >> v = [1/2;2]; >> plot([0 u(1)],[0 u(2)], b ) >> axis([0 2 0 2]) >> hold on; >> plot([0 v(1)],[0 v(2)], b ) >> p = ((v*v )/(v *v))*u; >> plot([0 p(1)],[0 p(2)], m, linewidth,2) M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II 2011.2 13 / 15
Projeção Se quisermos ver a projeção de um vetor em outro no MATLAB, podemos efetuar os seguintes comandos: >> u = [1;1]; >> v = [1/2;2]; >> plot([0 u(1)],[0 u(2)], b ) >> axis([0 2 0 2]) >> hold on; >> plot([0 v(1)],[0 v(2)], b ) >> p = ((v*v )/(v *v))*u; >> plot([0 p(1)],[0 p(2)], m, linewidth,2) >> plot([u(1) p(1)],[u(2) p(2)], g ) M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II 2011.2 13 / 15
Autovalores Para calcular o conjunto de autovalores de uma matriz quadrada no MATLAB, usamos o comando >> eig(a) >> [V,D] = eig(a) % A*V=V*D M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II 2011.2 14 / 15
Exemplo A = eye(10, 10) M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II 2011.2 15 / 15
Exemplo A = rand(10, 10) M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II 2011.2 15 / 15
Exemplo B = A A M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II 2011.2 15 / 15
Exemplo A = [1/2 1/2; 1/2 1/2] M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II 2011.2 15 / 15
Exemplo A = [0 1; 0 0] M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II 2011.2 15 / 15
Exemplo A = [4 3; 1 2] M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II 2011.2 15 / 15