Capítulo 11 Rotações e Momento Angular Corpo Rígido Um corpo rígido é um corpo ideal indeformável de tal forma que a distância entre 2 pontos quaisquer do corpo não muda nunca. Um corpo rígido pode realizar 2 movimentos: translação e rotação em torno de um eixo (enunciado pela primeira vez por Chasles -1830). A rotação em torno de um eixo faz que com o movimento de um ponto não pertencente ao eixo seja um movimento circular. Um corpo rígido tem 6 graus de liberdade: 3 de translação e 3 de rotação. Senão vejamos. Para fixar a posição de um ponto A do corpo rígido precisamos de 3 coordenadas espaciais; um segundo ponto B do corpo rígido, a uma distância r de A, estará sobre uma esfera de raio r podemos localizar B com 2 ângulos (latitude e longitude); um terceiro ponto qualquer C do corpo rígido será obtido por uma rotação em torno do eixo AB...logo bastam 3 coordenadas de posição (translação) e 3 ângulos de rotação. Outra maneira de ver os 6 graus de liberdade é lembrar que a posição de qualquer ponto pertencente ao corpo rígido pode ser determinada conhecendo-se o vetor posição de 3 pontos A, B e C, não colineares, o que nos daria 9 coordenadas, mas como temos 3 equações de vínculo distâncias AB, BC e AC, sobram 6 coordenadas. O Produto Vetorial Sejam e dois vetores quaisquer. Definimos um novo vetor como o produto vetorial de e onde a direção de é perpendicular ao plano que contém simultaneamente os vetores e (veja figura), o sentido de é dado pela regra do saca-rolha (convenção) e o módulo de é dado por 1
Por conseguinte, é igual à área do paralelogramo formado no plano de e. Como o sentido de rotação de para é oposto ao de para, teremos O produto vetorial é, portanto, anti-comutativo. Repare que O produto vetorial é distributivo Em coordenadas cartesianas, e, logo teremos Rotação Construímos o vetor de rotação com convenção da regra do saca-rolha Consideremos um ponto P na secção transversal xy de um corpo rígido que gira de um ângulo infinitesimal em torno do eixo Oz (perpendicular ao plano transversal xy). O vetor deslocamento infinitesimal pode ser escrito 2
Se o vetor não estiver no plano (veja figura abaixo), ainda a expressão, continuará valendo, já que Para um corpo rígido em rotação em torno de um eixo qualquer, o vetor velocidade só tem componente tangencial onde o vetor velocidade angular tem direção de e módulo Alternativamente, poderíamos pensar como um círculo orientado em vez de uma flecha É importante lembrar que a regra do saca-rolha é uma convenção. 3
Um vetor qualquer troca de sinal quando o sistema de coordenadas sofre a ação de uma transformação de paridade na qual:. Para um vetor polar, ou simplesmente vetor, essa transformação leva importantes de vetores polares são:, etc.. Exemplos Para um vetor axial, ou simplesmente pseudo-vetor, essa transformação leva. Exemplos importantes de vetores axiais são:, etc. Na definição do vetor velocidade angular, sob a ação da transformação de paridade, temos O movimento mais geral de um corpo rígido poderá sempre ser descrito por um movimento de translação e um de rotação, de modo que o vetor velocidade instantânea de um ponto P de um corpo rígido á dado por onde é a velocidade instantânea de translação do ponto P e é a componente tangencial da velocidade em torno de um eixo de rotação instantâneo com a direção e sentido de. Esse eixo de rotação instantâneo pode, em geral, mudar de direção a cada instante t. Torque A cinemática unidimensional e a cinemática das rotações (que em torno de um eixo, é unidimensional, pois só tem um grau de liberdade de rotação θ em torno desse eixo) têm as seguintes correspondências: Já a dinâmica unidimensional conduz ao trabalho infinitesimal Portanto, o trabalho infinitesimal de uma rotação infinitesimal deve ser onde é chamado de Torque. 4
Vejamos o trabalho infinitesimal de uma força para girar uma haste rígida em torno de uma extremidade fixa Como a componente longitudinal não realiza trabalho (pois não tem deslocamento), podemos analisar somente a componente perpendicular. Para ângulos pequenos teremos, logo, portanto, De maneira geral, podemos escrever o vetor torque em relação ao ponto O O torque é então, em módulo, igual à força perpendicular vezes o braço r. A dimensão do torque τ é a mesma de energia 1 joule = 1 N. m Para a força central o torque é sempre nulo pois 5
Momento Angular Na analogia entre dinâmica unidimensional e rotação em torno de um eixo temos Mas, como onde é o vetor momento angularem relação ao ponto O e Observe que tanto quanto dependem do ponto O, portanto, é preciso sempre especificar esse ponto. Uma situação importante é aquela em que o torque se anula Exemplos: 1) Partícula Livre Se uma partícula livre de massa m e velocidade v se move numa direção que está a uma distância b do ponto O, então b é o parâmetro de impacto definido em colisões. 2) Forças Centrais Como para forças centrais, o vetor momento angular se conserva em módulo, direção e sentido. 6
Essa conservação está relacionada diretamente à 2ª. Lei de Kepler que diz que o raio vetor que liga o Sol ao planeta varre áreas iguais em tempos iguais. Na figura abaixo temos a área infinitesimal varrida num tempo infinitesimal Logo, Como L é constante, a chamada velocidade areolar,, também será constante. Isso demonstra a 2ª. lei de Kepler. Isso explica porque no periélio um planeta se move mais rapidamente do que no afélio ( ). 3) Disco puxado por um fio Considere um corpo de massa m que desliza sem atrito numa mesa horizontal preso a uma corda (sem massa) que passa por um orifício O puxado verticalmente por uma força F, se movendo com velocidade v 7
Para que o corpo realize um movimento circular de raio r, é necessário que a força F externa aplicada seja igual à força centrípeta angular L se conserva.. Como essa força é central, o vetor momento Na figura, L é perpendicular ao plano e aponta para cima. Seu módulo é onde introduzimos o momento de inércia do corpo em relação a ponto O. Vemos que se diminuirmos r aumentamos v. Na analogia ou seja, o momento de inércia faz o papel da massa. Momento de Angular de um sistema de partículas Seja um sistema de N partículas de massas, vetor posição e velocidade, Então o vetor momento angular total do sistema no referencial de laboratório será O momento angular do sistema no referencial do CM será mas, e, onde e são os vetores posição e velocidade do CM medidos no referencial de laboratório. Lembrando que ; ; e substituindo essas relações em (2), teremos ou seja, o momento angular do sistema medido no laboratório é igual ao momento angular medido no CM mais o momento angular do CM. 8
Por exemplo, se imaginarmos um referencial de laboratório fixo no Sol, o momento angular da Terra nesse referencial será a soma vetorial do momento angular de sua rotação em torno do CM (dia),, mais o movimento de rotação em torno do Sol (ano), (vetor perpendicular ao plano da órbita elíptica). Os vetores e não são paralelos e formam entre si um ângulo de 23,5 o. Torque de um Sistema de Partículas Referencial Inercial de Laboratório Lembramos que para o vetor momento linear de um sistema de partículas temos Para o torque de um sistema de N partículas teremos Num referencial inercial vale a 2ª. Lei de Newton onde é a força externa sobre a partícula i e são as forças internas que as N-1 partículas fazem sobre i. Substituindo (3) em (2) mas 9
logo, pois, da 3ª. Lei, como, teremos Note que se houverem forças externas então o CM tem aceleração. Neste caso, a passagem em que utilizamos a 2ª. Lei estará incorreto. dada por Numa situação como essa (com ), o melhor é utilizar o referencial do CM. Neste caso, como Substituindo Como, independente de ser igual zero ou não Uma vez que, então o 2º. termo é nulo e 10
Exemplo: Suponha um haltere composto por 2 corpos de massa ligados por uma barra de massa desprezível e comprimento. Suponha que duas forças constantes (com módulos diferentes, e sentidos opostos) e sempre perpendiculares à barra atuam sobre esses corpos. O CM está no meio da barra. O CM executa um movimento uniformemente acelerado (em relação a um referencial inercial), o vetor torque no CM,, está mostrado na figura e as 2 massas executam um movimento circular uniformemente acelerado. Supondo, a aceleração do CM será, o torque tem módulo Os vetores momentos angulares têm a mesma direção e sentido do vetor torque, logo podemos escrever. Como então, donde Um importante caso é quando Conjugado cujo torque é simplesmente., neste caso temos o chamado Binário ou Observação: Se a força externa total é zero então o valor do torque é o mesmo independente da origem O Seja a nova origem e o vetor posição que liga para pois,. 11
Simetrias e Leis de Conservação Suponha um sistema de N partículas com vetores posição também dependente explicitamente de t, isto é, e que a energia potencial U seja então 1) Invariância por translação temporal Conservação de Energia Mecânica De (1) mas logo 2) Invariância por translação espacial Conservação de Momento Linear Total Seja e façamos todo o sistema transladar espacialmente de. Então a invariância du=0 Como é qualquer então 3) Invariância por rotação (isotropia espacial) Conservação de Momento Angular Total Seja e façamos todo o sistema rodar infinitesimalmente de um ângulo, de sorte que o vetor posição se desloca então a invariância du=0 como no produto misto vale a propriedade cíclica então como vale para qualquer então 12