GRASP E ILS APLICADOS AO PROBLEMA DE PROGRAMAÇÃO DE TAREFAS EM MÁQUINAS PARALELAS

CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS Diretoria de Pesquisa e Pós-Graduação Programa de Mestrado em Modelagem Matemática e Computacional GRASP E ILS APLICADOS AO PROBLEMA DE PROGRAMAÇÃO DE TAREFAS EM MÁQUINAS PARALELAS Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Modelagem Matemática e Computacional, como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Mestre em Modelagem Matemática e Computacional. Aluno : Patricia Carla de Brito Neves Orientador : Prof. Dr. Moacir Felizardo de França Filho Co-Orientador : Prof. Dr. Sérgio Ricardo de Souza Belo Horizonte - MG Janeiro de 2014

Neves, Patricia Carla de Brito N518g GRASP e ILS aplicados ao problema de programação de tarefas em máquinas paralelas. / Patricia Carla de Brito Neves. Belo Horizonte, 2014. xiii, 114 f. : il. Dissertação (mestrado) Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais, Programa de Pós-Graduação em Modelagem Matemática e Computacional, 2014. Orientador: Profº Drº Moacir Felizardo de França Filho Coorientador: Profº Drº Sérgio Ricardo de Souza Bibliografia 1.Programação da Produção. 2. Otimização Combinatória. 3.Heurística. I. França Filho, Moacir Felizardo de. II. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. III. Título CDD 658.4033 Elaboração da ficha catalográfica pela Biblioteca-Campus II / CEFET-MG

Às pessoas mais importantes da minha vida: meus pais. E as minhas irmãs, pelo carinho e interesse constantes. "Confia no Senhor de todo o teu coração e não te vanglories no teu próprio conhecimento."(pv. 3:5), "... porque Deus resiste aos soberbos, mas aos humildes concede a sua graça."(1 Pe 5:5)

Agradecimentos A gratidão é o mais nobre dos sentimentos, pois permite ao homem demonstrar seu reconhecimento pelas ações, palavras e atitudes de seus semelhantes. Só a gratidão nos faz lembrar que ninguém é tão alguém que nunca tenha precisado de ninguém. Que nenhuma vitória se conquista, lutando sozinho. Por isso, meus mais sinceros agradecimentos: A Deus, por conceder esta oportunidade de aprendizado e por ter guiado meus passos nessa jornada. A ELE, por ter me dado a força sem a qual não teria chegado até aqui. Aos meus pais, a quem já devo a vida, agradeço por tudo: pelo amor incondicional, por me ensinarem que fé, humildade e honestidade, juntamente com a educação e o trabalho árduo, são os maiores tesouros a se deixar para os filhos. Aos Professores do CEFET-MG, utilizo aqui as palavras da escritora Cora Coralina: "Feliz aquele que transfere o que sabe e aprende o que ensina". Em especial, ao Prof. Moacir, por quem tenho grande apreço e admiração, agradeço pelo conhecimento transmitido, pela paciência, disponibilidade e dedicação com que me orientou. Os inúmeros encontros e discussões foram de grande proveito e de fundamental importância para a realização deste trabalho. Ao Prof. Sérgio, pela co-orientação e pelas pertinentes contribuições para a realização deste trabalho. À FUNCESI, pelo investimento em mais esta formação. De modo especial, à Prof a Yana Magalhães e ao Prof. Fabrício Roulin, pelo incetivo e apoio nesta jornada, desde o período das aulas até a elaboração desta dissertação. Sou-lhes imensamente grata pelas oportunidades na vida profissional e acadêmica. À equipe da Secretaria Acadêmica, da Coordenação de Apoio e Desenvolvimento da Pessoa - CADEP e da Coordenação de Legislação e Normas, em especial a Patricia Crisóstomo, pela força em todos os momentos em que estive ausente. Aos meus amigos e familiares, que sempre estiveram ao meu lado nos momentos bons e difíceis, pelo incentivo e por compreenderem que minha ausência, naquele período devia-se à conquista de um objetivo pessoal e profissional. Aos novos amigos que tive a bênção de conhecer, Eduardo e Neuma, por quem tenho grande consideração e admiração, agradeço a amizade que levarei para toda a vida, o apoio, o companheirismo e os ensinamentos valiosos durante o curso.

Confidência do Itabirano Carlos Drummond de Andrade Alguns anos vivi em Itabira. Principalmente nasci em Itabira. Por isso sou triste, orgulhoso: de ferro. Noventa por cento de ferro nas calçadas. Oitenta por cento de ferro nas almas. E esse alheamento do que na vida é porosidade e comunicação. A vontade de amar, que me paralisa o trabalho, vem de Itabira, de suas noites brancas, sem mulheres e sem horizontes. E o hábito de sofrer, que tanto me diverte, é doce herança itabirana. De Itabira trouxe prendas diversas que ora te ofereço: Esta pedra de ferro, futuro aço do Brasil, Este São Benedito do velho santeiro Alfredo Duval; Este couro de anta, estendido no sofá da sala de visitas; Este orgulho, esta cabeça baixa... Tive ouro, tive gado, tive fazendas. Hoje sou funcionário público. Itabira é apenas uma fotografia na parede. Mas como dói!

Resumo O presente trabalho trata do problema de sequenciamento de tarefas em máquinas paralelas, subdivido em dois sub problemas. O primeiro problema trata da minimização da soma ponderada dos custos de atraso em máquinas idênticas e o segundo, da minimização da soma ponderada dos custos de avanço e atraso em máquinas não relacionadas. O objetivo geral, buscou analisar os métodos heurísticos GRASP - Greedy Randomized Adaptative Search Procedure, ILS - Iterated Local Search e um híbrido denominado GRASP+ILS na solução dos problemas. A metodologia utilizada foi uma pesquisa qualitativa e quantitativa. Os métodos de solução foi baseado em algoritmos heurísticos do método GRASP básico, ILS e o GRASP+ILS composto de duas fases, sendo a primeira baseada na fase de construção do método GRASP com o objetivo de determinar soluções iniciais de boa qualidade. Na segunda, realiza-se o refinamento da solução proveniente da fase anterior por meio da fase de busca local do ILS. As heurísticas foram testadas em conjuntos de instâncias de médio e grande porte. Os resultados obtidos são comparados como os resultados encontrados por França (2007). A análise dos resultados obtidos pelo método híbrido GRASP+ILS demonstrou, por meio de análise estatística dos resultados alcançados pelos algoritmos propostos que houve melhora significativa e satisfatória dos resultados da literatura em tempo computacional aceitável. PALAVRAS-CHAVE: Palavras-Chave: Sequenciamento em uma máquina paralela, GRASP, ILS, atraso e avanço e atraso. vi

Abstract This study deals with the task scheduling problem on parallel machines, subdivided into two sub problems. The first problem is minimizing the weighted sum of delay and cost in the second identical machines, minimizing the weighted sum of the forward delay and cost in unrelated machines. The overall objective, seeks to analyze the heuristic methods GRASP - textit Greedy Randomized Adaptive Search Procedure, ILS - textit Iterated Local Search and a hybrid called GRASP + ILS in solving problems. The methodology used was a qualitative and quantitative research. The solution methods is based on the basic heuristic algorithms GRASP method ILS and GRASP + ILS composed of two phases, the first phase based on the construction of the GRASP method to determine initial solutions of good quality. Second, achieves the refinement of the solution from the previous step by means of local search phase of the ILS. The heuristics were tested in medium and large instances sets. The results obtained are compared with the results found by France (2007). The results obtained by the hybrid method GRASP + ILS demonstrated through statistical analysis of the results achieved by the proposed algorithms that significant and satisfactory improvement of the literature results in acceptable computational time. Keywords: Parallel sequencing machine, GRASP, ILS, tardiness and early and tardiness. vii

Sumário 1 Introdução 2 1.1 Apresentação............................... 2 1.2 Objetivos................................. 5 1.2.1 Objetivo Geral.......................... 5 1.2.2 Objetivos Específicos....................... 5 1.3 Justificativas............................... 6 1.4 Metodologia de Pesquisa......................... 7 1.5 Estrutura do Trabalho.......................... 8 2 Caracterização dos Problemas 10 2.1 O problema de minimização da soma ponderada dos custos de atraso em máquinas paralelas idênticas..................... 10 2.2 O problema de minimização da soma ponderada de custos de avanço e atraso em máquinas paralelas não relacionadas............ 12 2.3 Formulação Matemática......................... 14 3 Revisão Bibliográfica 17 3.1 Problemas de Sequenciamento em Máquinas Paralelas......... 17 3.2 Tempo de Preparação Dependente da Sequência............ 21 3.3 Minimização da soma ponderada de custos de atraso em máquinas paralelas.................................. 24 3.4 Minimização da soma ponderada de custos de avanço e atraso em máquinas paralelas não relacionadas.................... 29 4 Métodos Heurísticos 32 4.1 Regras de Despacho............................ 32 4.2 GRASP - Greedy Randomized Adaptative Search Procedure...... 34 4.2.1 Construção de soluções...................... 38 4.2.2 Busca Local............................ 39 4.3 ILS - Iterated Local Search........................ 41 4.3.1 Procedimento de perturbação................... 43 4.3.2 GRASP+ILS........................... 45 5 Experimentos Computacionais 47 5.1 Testes computacionais e caracterização das variantes......... 47 5.1.1 GRASP Básico.......................... 49 5.1.2 ILS................................. 50 viii

5.1.3 GRASP+ILS........................... 50 5.2 Resultados dos Algoritmos Heurísticos................. 51 5.2.1 Minimização da soma ponderada de custos de atraso em máquinas paralelas.......................... 51 5.2.2 Minimização da soma ponderada de custos de avanço e atraso em máquinas paralelas não relacionadas............ 56 5.3 Análise de Probabilidade Empírica................... 62 5.3.1 Problema de minimização da soma ponderada de custos de atraso em máquinas paralelas.................. 62 5.3.2 Problema de minimização da soma ponderada de custos de avanço e atraso em máquinas paralelas não relacionadas... 68 5.4 Análise por meio dos Gráficos de Boxplot................ 74 5.4.1 Problema de minimização da soma ponderada de custos de atraso em máquinas paralelas.................. 74 5.4.2 Problema de minimização da soma ponderada de custos de avanço e atraso em máquinas não relacionadas......... 80 5.5 Análise dos Resultados.......................... 86 6 Conclusões e trabalhos futuros 88 6.1 Considerações Finais........................... 88 6.2 Publicação Originária deste Trabalho.................. 89 6.3 Trabalhos Futuros............................. 90 Referências 91 A Tabelas de Melhores Valores Encontrados 96 ix

Lista de Tabelas 5.1 Instâncias................................. 48 5.2 Dados de Entrada Atraso em máquinas idênticas............ 49 5.3 Dados de Entrada Avanço e Atraso, para um problema de 2 máquinas 49 5.4 RPD dos algoritmos GRASP e ILS para cada problema-teste com penalidade por atraso............................ 52 5.5 RPD do algoritmo GRASP+ILS para cada problema-teste com penalidade por atraso............................. 52 5.6 Quantidade de instâncias melhoradas por algoritmos implementados, em comparação com os melhores valores da literatura, para o problemateste com penalidade por atraso..................... 53 5.7 RPD dos algoritmos GRASP e ILS para cada problema-teste com penalidade por avanço e atraso....................... 57 5.8 RPD do algoritmo GRASP+ILS para cada problema-teste com penalidade por avanço e atraso........................ 57 5.9 Quantidade de instâncias melhoradas por algoritmos implementados, em comparação com os melhores valores da literatura, para o problemateste com penalidade por avanço e atraso................ 58 5.10 Valores-alvo para cada problema-teste com penalidade por atraso.. 63 5.11 Valores-alvo para cada problema-teste com penalidade por avanço e atraso................................... 68 A.1 Melhores valores encontrados nas instâncias do problema de minimização da soma ponderada de custos de atraso em máquinas paralelas idênticas - com 60 tarefas e, 2 e 3 máquinas.............. 97 A.2 Melhores valores encontrados nas instâncias do problema de minimização da soma ponderada de custos de atraso em máquinas paralelas idênticas - com 60 tarefas e, 4 e 6 máquinas.............. 98 A.3 Melhores valores encontrados nas instâncias do problema de minimização da soma ponderada de custos de atraso em máquinas paralelas idênticas - com 60 tarefas e 12 máquinas................ 99 A.4 Melhores valores encontrados nas instâncias do problema de minimização da soma ponderada de custos de atraso em máquinas paralelas idênticas - com 90 tarefas e, 2 e 3 máquinas.............. 100 A.5 Melhores valores encontrados nas instâncias do problema de minimização da soma ponderada de custos de atraso em máquinas paralelas idênticas - com 90 tarefas e, 4 e 6 máquinas.............. 101 x

A.6 Melhores valores encontrados nas instâncias do problema de minimização da soma ponderada de custos de atraso em máquinas paralelas idênticas - com 90 tarefas e 12 máquinas................ 102 A.7 Melhores valores encontrados nas instâncias do problema de minimização da soma ponderada de custos de atraso em máquinas paralelas idênticas - com 120 tarefas e, 2 e 3 máquinas.............. 103 A.8 Melhores valores encontrados nas instâncias do problema de minimização da soma ponderada de custos de atraso em máquinas paralelas idênticas - com 120 tarefas e, 4 e 6 máquinas.............. 104 A.9 Melhores valores encontrados nas instâncias do problema de minimização da soma ponderada de custos de atraso em máquinas paralelas idênticas - com 120 tarefas e 12 máquinas................ 105 A.10 Melhores valores encontrados nas instâncias do problema de minimização da soma ponderada de custos de avanço e atraso em máquinas paralelas não relacionadas - com 60 tarefas e, 2 e 3 máquinas..... 106 A.11 Melhores valores encontrados nas instâncias do problema de minimização da soma ponderada de custos de avanço e atraso em máquinas paralelas não relacionadas - com 60 tarefas e, 4 e 6 máquinas..... 107 A.12 Melhores valores encontrados nas instâncias do problema de minimização da soma ponderada de custos de avanço e atraso em máquinas paralelas não relacionadas - com 60 tarefas e 12 máquinas....... 108 A.13 Melhores valores encontrados nas instâncias do problema de minimização da soma ponderada de custos de avanço e atraso em máquinas paralelas não relacionadas - com 90 tarefas e, 2 e 3 máquinas..... 109 A.14 Melhores valores encontrados nas instâncias do problema de minimização da soma ponderada de custos de avanço e atraso em máquinas paralelas não relacionadas - com 90 tarefas e, 4 e 6 máquinas..... 110 A.15 Melhores valores encontrados nas instâncias do problema de minimização da soma ponderada de custos de avanço e atraso em máquinas paralelas não relacionadas - com 90 tarefas e 12 máquinas....... 111 A.16 Melhores valores encontrados nas instâncias do problema de minimização da soma ponderada de custos de avanço e atraso em máquinas paralelas não relacionadas - com 120 tarefas e, 2 e 3 máquinas.... 112 A.17 Melhores valores encontrados nas instâncias do problema de minimização da soma ponderada de custos de avanço e atraso em máquinas paralelas não relacionadas - com 120 tarefas e, 4 e 6 máquinas.... 113 A.18 Melhores valores encontrados nas instâncias do problema de minimização da soma ponderada de custos de avanço e atraso em máquinas paralelas não relacionadas - com 120 tarefas e 12 máquinas...... 114 xi

Lista de Figuras 2.1 Gráfico de Gantt parcial para uma instância de (60x4) - penalidade por atraso................................. 11 2.2 Gráfico de Gantt parcial para uma instância de (60x4) - penalidade por avanço e atraso............................ 13 3.1 Sistema de produção em máquinas paralelas.............. 19 3.2 Tempo de Preparação Dependente da Sequência............ 22 4.1 Movimento CROSS............................ 40 4.2 Movimento Or-Opt............................ 41 4.3 Representação de uma solução...................... 46 5.1 60x2 - Instância 0 com penalidade por atraso.............. 64 5.2 60x3 - Instância 24 com penalidade por atraso............. 64 5.3 60x4 - Instância 48 com penalidade por atraso............. 64 5.4 60x6 - Instância 72 com penalidade por atraso............. 64 5.5 60x12 - Instância 96 com penalidade por atraso............ 65 5.6 90X2 - Instância 120 com penalidade por atraso............ 65 5.7 90X3 - Instância 144 com penalidade por atraso............ 65 5.8 90X4 - Instância 168 com penalidade por atraso............ 65 5.9 90X6 - Instância 192 com penalidade por atraso............ 66 5.10 90X12 - Instância 216 com penalidade por atraso........... 66 5.11 120X2 - Instância 240 com penalidade por atraso........... 67 5.12 120X3 - Instância 264 com penalidade por atraso........... 67 5.13 120X4 - Instância 288 com penalidade por atraso........... 67 5.14 120X6 - Instância 312 com penalidade por atraso........... 67 5.15 120X12 - Instância 336 com penalidade por atraso........... 67 5.16 60x2 - Instância 0 com penalidade por avanço e atraso........ 70 5.17 60x3 - Instância 24 com penalidade por avanço e atraso........ 70 5.18 60x4 - Instância 48 com penalidade por avanço e atraso........ 70 5.19 60x6 - Instância 72 com penalidade por avanço e atraso........ 70 5.20 60x12 - Instância 96 com penalidade por avanço e atraso....... 70 5.21 90X2 - Instância 120 com penalidade por avanço e atraso....... 70 5.22 90X3 - Instância 144 com penalidade por avanço e atraso....... 71 5.23 90X4 - Instância 168 com penalidade por avanço e atraso....... 71 5.24 90X6 - Instância 192 com penalidade por avanço e atraso....... 72 5.25 90X12 - Instância 216 com penalidade por avanço e atraso...... 72 5.26 120X2 - Instância 240 com penalidade por avanço e atraso...... 72 xii

5.27 120X3 - Instância 264 com penalidade por avanço e atraso...... 72 5.28 120X4 - Instância 288 com penalidade por avanço e atraso...... 73 5.29 120X6 - Instância 312 com penalidade por avanço e atraso...... 73 5.30 120X12 - Instância 336 com penalidade por avanço e atraso...... 73 5.31 Boxplot 60x2 - Instância 0 com penalidade por atraso......... 75 5.32 Boxplot 60x3 - Instância 24 com penalidade por atraso........ 75 5.33 Boxplot 60x4 - Instância 48 com penalidade por atraso........ 76 5.34 Boxplot 60x6 - Instância 72 com penalidade por atraso........ 76 5.35 Boxplot 60x12 - Instância 96 com penalidade por atraso........ 76 5.36 Boxplot 90x2 - Instância 120 com penalidade por atraso........ 76 5.37 Boxplot 90x3 - Instância 144 com penalidade por atraso........ 77 5.38 Boxplot 90x4 - Instância 168 com penalidade por atraso........ 77 5.39 Boxplot 90x6 - Instância 192 com penalidade por atraso........ 78 5.40 Boxplot 90x12 - Instância 216 com penalidade por atraso....... 78 5.41 Boxplot 120x2 - Instância 240 com penalidade por atraso....... 79 5.42 Boxplot 120x3 - Instância 264 com penalidade por atraso....... 79 5.43 Boxplot 120x4 - Instância 288 com penalidade por atraso....... 79 5.44 Boxplot 120x6 - Instância 312 com penalidade por atraso....... 79 5.45 Boxplot 120x12 - Instância 336 com penalidade por atraso...... 80 5.46 Boxplot 60x2 - Instância 0 com penalidade por avanço e atraso.... 81 5.47 Boxplot 60x3 - Instância 24 com penalidade por avanço e atraso... 81 5.48 Boxplot 60x4 - Instância 48 com penalidade por avanço e atraso... 82 5.49 Boxplot 60x6 - Instância 72 com penalidade por avanço e atraso... 82 5.50 Boxplot 60x12 - Instância 96 com penalidade por avanço e atraso.. 82 5.51 Boxplot 90x2 - Instância 120 com penalidade por avanço e atraso.. 82 5.52 Boxplot 90x3 - Instância 144 com penalidade por avanço e atraso.. 83 5.53 Boxplot 90x4 - Instância 168 com penalidade por avanço e atraso.. 83 5.54 Boxplot 90x6 - Instância 192 com penalidade por avanço e atraso.. 84 5.55 Boxplot 90x12 - Instância 216 com penalidade por avanço e atraso.. 84 5.56 Boxplot 120x2 - Instância 240 com penalidade por avanço e atraso.. 85 5.57 Boxplot 120x3 - Instância 264 com penalidade por avanço e atraso.. 85 5.58 Boxplot 120x4 - Instância 288 com penalidade por avanço e atraso.. 85 5.59 Boxplot 120x6 - Instância 312 com penalidade por avanço e atraso.. 85 5.60 Boxplot 120x12 - Instância 336 com penalidade por avanço e atraso. 86 xiii

Lista de Siglas CILAMCE Congresso Ibero Latino Americano de Métodos Computacionais em Engenharia GRASP Greedy Randomized Adaptative Search Procedure ILS Iterated Local Search JIT Just-in-time LC Lista de Candidatos LRC Lista Restrita de Candidatos PCP Planejamento e Controle da Produção SA Simulation Annealing VND Variable Neighborhood Descent

Capítulo 1 Introdução Na Seção 1.1 deste capítulo, traça-se um breve contexto no qual se insere o objetivo desta pesquisa voltada para a minimização da soma ponderada de custos de atrasos em máquinas idênticas e para a minimização da soma ponderada de custos de avanço e atraso em máquinas não relacionadas. Os objetivos geral e específicos vêm explicitados na Seção 1.2. Seguem-se a justificativa quanto à relevância do tema na Seção 1.3. A metodologia utilizada na solução dos problemas propostos é apresentada na Seção 1.4. E finalmente, a estrutura geral do trabalho é registrada na Seção 1.5. 1.1 Apresentação A pesquisa operacional, segundo Arenales et al. (2006) é a área do conhecimento, que usa o método científico para a tomada de decisões, objetivando determinar o melhor modo de projetar e operar um sistema que requer a alocação de recursos escassos. Uma das classes de problemas estudados pela pesquisa operacional é o problema de programação de tarefas, denominado na literatura como scheduling, presente em diversos segmentos da economia. A programação de tarefas é um processo decisório de fundamental importância nas organizações que visam estar, entre as melhores do mercado. Para isso, faz-se necessário que tenha um ótimo planejamento e controle da produção (PCP), na opinião de Tubino (1997) para melhor coordenação e aplicação dos recursos produtivos. Desta forma, o PCP e a Pesquisa Operacional são métodos que buscam substituir as tomadas de decisões intuitivas por análises críticas que baseiam-se em critérios racionais. Por outro lado, a complexidade elevada de alguns problemas leva-os, a serem considerados sem solução, sendo em algumas situações impossível a construção de um modelo, ou mesmo de um algoritmo, que resolva o problema em tempo satisfatório. Sabe-se que a alta complexidade de processamento computacional para instâncias de 2

1.1 Introdução 3 grande porte pode comprometer a exatidão ou mesmo a qualidade da solução obtida, já que a garantia de encontrar soluções ótimas é sacrificada em prol de se obter boas soluções em tempo razoável. Nesse contexto, muitos pesquisadores têm se dedicado à pesquisa de métodos e técnicas que visam facilitar a solução para os problemas de sequenciamento de tarefas. A pesquisa dos problemas de sequenciamento da produção teve início na década de 50, com Johnson (1954), sendo os problemas de programação de tarefas, envolvendo penalizações por avanço e atraso, um dos mais recentes nas pesquisas sobre o tema; de acordo com França Filho (2007). Observa-se ainda, pouca aplicação prática entre a teoria e os sistemas de produção, em especial nos problemas de grande porte, uma vez que a resolução por métodos exatos exige um grande esforço computacional para obter a solução exata. Contudo, a maior parte dos problemas de programação de tarefas necessita de tomadas rápidas de decisões, fazendo-se necessário o desenvolvimento e aperfeiçoamento de métodos e técnicas para a solução dos problemas de sequenciamento. E as heurísticas e metaheurísticas estão entre as técnicas e métodos existentes para a solução desses problemas. Apesar de os métodos heurísticos não garantirem uma solução ótima, demostramse capazes de encontrar, em tempo computacional aceitável, boas soluções. Por sua vez, as metaheurísticas se destacam por serem métodos voltados a obterem uma boa solução, ou até mesmo a solução ótima, pois consistem na aplicação de uma heurística subordinada modelada para um problema específico (Resende, 2008). Assim, as metaheurísticas tornam-se mais eficazes por seu caráter estocástico, uma vez que os métodos de busca são capazes de escapar de ótimos locais evitando a estagnação prematura do algoritmo no primeiro ótimo local encontrado. Tornandose, então, responsável pela continuidade do processo de busca, pela solução ótima. As metaheurísticas buscam o equilíbrio entre os momentos de diversificação no processo exploratório de busca pela solução e os momentos de intensificação da busca por regiões mais promissoras do espaço de solução. Logo, as metaheurísticas têm por objetivo percorrer o espaço de soluções viáveis da melhor forma possível. Nesse sentido, verifica-se que os problemas de programação de tarefas envolvem um conjunto de tarefas que necessitam ser executadas, por um conjunto de recursos previamente especificado, tendo em vista as datas de início e término das tarefas (Baker e Scudder, 1990). A complexidade do processo de programação de tarefas e recursos é grande devido à natureza combinatória desses problemas associada a diversas restrições que devem ser observadas. Já os problemas envolvendo a minimização do tempo total de processamento, dos tempos ou custos totais de preparação e custos de estoque durante o processamento eram considerados objetivos secundários, afirma França Filho (2007). Porém, com o surgimento na década de 80 da filosofia just-in-time, devido ao crescente interesse das organizações pelo gerenciamento de estoque, adotada de forma intensa pelas grandes indústrias, em especial as que atuam na montagem de peças produzidas por terceiros, como é o caso da indústria automobilística. Tornaram, a solução do problema

1.1 Introdução 4 de minimização da soma ponderada de custos de avanço e de atraso, de fundamental importância para a reorganização do ambiente produtivo, com foco no melhoramento contínuo do processo, já que a conclusão de tarefas antes ou depois da data acertada com o cliente deve ser evitada (Baker e Scudder, 1990). Três tipos de problemas de data de entrega são abordados na literatura: 1. datas de entrega comuns - existe apenas uma única data para entregar todas as tarefas; 2. datas de entrega distintas - existe uma data de entrega específica para cada tarefa; 3. janelas de entrega distintas - existe um período para a conclusão de cada tarefa, sendo mais utilizado em ambientes de incertezas, pois não há custo se a tarefa for concluída dentro dessa janela. Nesses tipos de problemas, a conclusão antecipada das tarefas pode impor custos com armazenamentos, ou a conclusão após a data de entrega pode acarretar multas contratuais ou mesmo a perda de novos negócios. Para Bagchi et al. (1987) e Davis e Kanet (1993), os custos decorrentes das penalidades por avanço e atraso ressaltam a ineficiência do algoritmo em encontrar a melhor programação para as tarefas. Woodruff e Spearman (1992) complementam que em um problema de sequenciamento de tarefas deve-se considerar também os tempos de preparação dependentes da sequência, que influenciam diretamente no tempo de entrega das tarefas. Assim, faz-se necessário considerar a eventual inserção de intervalos ociosos entre as tarefas, pois ignorar essa inserção pode elevar o custo de uma penalização por avanço. Porém, não havendo restrições de ociosidade, determinar a melhor data para iniciar o processamento de uma tarefa, permitindo assim a ociosidade entre as tarefas em determinada máquina, poderá gerar soluções de custos menores. A maior parte dos trabalhos científicos considera que o tempo de preparação das tarefas na sequência de produção é negligenciável, ou que pode ser adicionado ao tempo de processamento das tarefas, tornando-os independentes da sequência. No entanto, trabalhos como os de França Filho (2007), Gupta e Smith (2006) e Panwalkar e Smith (1973) demonstram a importância em separar o tempo de preparação do tempo de processamento, ou seja, tornando-os dependentes da sequência.isso porque, o tempo de preparação está diretamente relacionado a eficiência de um processo produtivo. Dos problemas de produção, o de sequenciamento em máquinas paralelas com penalidade por avanço e atraso é dos mais complexos. Mas a importância do problema e a dificuldade de aplicação de métodos exatos para a solução de instâncias de grande porte foram fatores que motivaram o desenvolvimento da presente pesquisa. Esse trabalho avaliará o desempenho de heurísticas na minimização da soma ponderada dos custos de atraso em máquinas paralelas idênticas e na minimização da soma ponderada dos custos de avanço e atraso em máquinas paralelas não relacionadas, ambos em relação às datas de entrega das tarefas e considerando os tempos de preparação

1.3 Introdução 5 dependentes da sequência. Para resolver esses problemas, propõe-se o emprego dos métodos heurísticos GRASP - Greedy Randomized Adaptative Search Procedure e ILS - Iterated Local Search em sua forma básica e uma hibridização do GRASP+ILS, que terá, na primeira fase, a utilização do procedimento de construção do GRASP para gerar uma solução inicial. E, na segunda, a solução construída é refinada por um procedimento de busca local do ILS, por meio dos métodos CROSS e OR-OPT, que utilizam movimentos de inserção e troca de tarefas para explorar o espaço de soluções. A motivação, para a escolha do GRASP deve-se sua principal caracterísitica que é produzir boas soluções. Além disso necessita de poucos parâmetros a serem ajustados. Já a escolha do ILS, deve-se por ser altamente eficiente, uma vez que foca na busca de um pequeno subespaço definido para soluções localmente ótimas. 1.2 Objetivos 1.2.1 Objetivo Geral Analisar os métodos heurísticos GRASP - Greedy Randomized Adaptative Search Procedure, ILS - Iterated Local Search e um híbrido denominado GRASP+ILS na solução de problemas de programação de tarefas em máquinas paralelas, de modo a determinar a melhor sequência de processamento das tarefas para as instâncias pesquisadas, por meio da minimização da soma ponderada dos custos de atraso em máquinas idênticas e da soma ponderada dos custos de avanço e atraso em máquinas não relacionadas. 1.2.2 Objetivos Específicos Os objetivos específicos a serem alcançados são: Avaliar o desempenho das heurísticas GRASP e ILS na solução dos problemas; Desenvolver uma metaheurística denominada GRASP+ILS, baseada no algoritmo GRASP e ILS; Verificar o desempenho dos resultados obtidos pela metaheurística GRASP+ILS; Validar os resultados computacionais obtidos com os métodos propostos, por meio de análise estatística dos dados experimentais; Comparar os resultados obtidos com os apresentados na literatura.

1.3 Introdução 6 1.3 Justificativas Nos últimos anos, o governo federal tem investido no setor industrial brasileiro, por meio da redução e isenção de tributos como o IPI - Imposto sobre a Produção Industrial. E, como estratégia para aumentar a produção, o governo incentiva o consumo, em especial dos veículos automotores e dos eletrodomésticos da chamada linha branca. Diante desse cenário, que proporcionou o aumento das vendas, o setor industrial brasileiro se viu obrigado a buscar tecnologias para a ampliação e melhoria dos seus processos produtivos, bem como da qualidade de seus produtos. As indústrias foram estimuladas a otimizar seus processos produtivos por meio da ampliação de seu potencial produtor. Como a ampliação da produção está relacionada ao planejamento eficaz da produção, que na maior parte das vezes envolve a produção de diversos itens em uma mesma máquina ou mesmo em várias máquinas, faz-se necessária uma boa programação das execuções das tarefas, de modo a obter o melhor aproveitamento dos recursos disponíveis, para que não ocorra o desperdício de tempo, matéria prima, estoque, entre outros. Isso exige que o processo produtivo esteja coordenado para que os objetivos possam ser efetivamente cumpridos. Para Maccarty e Liu (1993), a classificação do problema de sequenciamento da produção deve considerar os objetivos da programação e as restrições tecnológicas apresentadas principalmente pelo fluxo dos produtos nos recursos e pela quantidade e tipo de recursos à disposição. Assim, para resolver o problema de sequenciamento da produção, é necessário um procedimento de programação que, para Lopez et al. (1995), se restringe a dois grandes grupos, de acordo com as abordagens utilizadas. O primeiro é composto por procedimentos heurísticos que trazem soluções viáveis, mesmo não sendo ótimas. O segundo é por meio de procedimentos ótimos ou exatos, envolvendo procedimentos analíticos mais rigorosos que os heurísticos. Não se pode deixar de ressaltar que, para o sequenciamento da produção, quanto maior for a capacidade produtiva, maior será a complexidade combinatória, pois o sequenciamento de n tarefas possibilitará inúmeras combinações da sequência de produção, o que exigirá um grande esforço computacional. Apesar de vários trabalhos publicados sobre o problema de sequenciamento, foram encontrados poucos sobre o problema de programação de tarefas em máquinas paralelas com foco na minimização da soma ponderada dos custos de atraso em máquinas idênticas e da soma ponderada dos custos de avanço e atraso em máquinas não relacionadas. A pesquisa propõe, então, avaliar a eficácia dos algoritmos GRASP, ILS e do híbrido GRASP+ILS nestes tipos de problemas. Mediante as dificuldades inerentes à resolução de problemas reais complexos, optou-se pelo emprego dos métodos heurísticos, por sua eficácia na resolução dos

1.4 Introdução 7 problemas combinatórios. E, ainda, por entender que esses métodos utilizados em conjunto cooperam para o bom desempenho computacional dos algoritmos nos problemas e instâncias tratados neste trabalho. Assim, como o método requer uma solução inicial de qualidade, optou-se por utilizar a metaheurística GRASP para gerá-la, já que essa é uma das qualidades dessa metaheurística. Por sua vez, somente a fase de construção do GRASP não guiará a solução a ótimos locais com relação às estruturas de vizinhança adotadas. Aplica-se então, um método de busca local para melhorar as soluções construídas. O método ILS foi utilizado para esse fim, pois baseia-se na ideia de que um procedimento de busca local pode ser melhorado, gerando-se novas soluções de partida, obtidas por meio de perturbações na solução ótima local. Tal método tem seu sucesso centrado no conjunto de amostragem de ótimos locais, juntamente com a escolha do método de busca local, das perturbações e dos critérios de aceitação. Optou-se pelo procedimento de busca local baseado em descida, com movimentos de perturbações de inserção e troca. O critério de aceitação é definido, como sendo se a solução corrente for melhor que a solução atual. Outros fatores que motivaram a escolha do ILS dizem respeito à capacidade de produzir soluções de boa qualidade e ser de fácil implementação. A este procedimento denominou-se GRASP+ILS. Traçado este quadro, pode-se considerar que o trabalho torna-se relevante por abordar métodos heurísticos pouco pesquisados para o problema em questão e por contribuir com o desenvolvimento de uma ferramenta computacional para otimização de processos produtivos. 1.4 Metodologia de Pesquisa A presente pesquisa tem o objetivo de avaliar o desempenho dos algoritmos: GRASP, ILS e GRASP+ILS no problema de programação de tarefas em máquinas paralelas, com foco em dois subproblemas. O primeiro trata, da minimização da soma ponderada dos custos de atraso em um conjunto de máquinas idênticas e continuamente disponíveis. E, o segundo objetiva minimizar a soma ponderada dos custos de avanço e de atraso, em que os instantes de liberação, datas de entrega, penalizações por avanço e atraso são específicos de cada tarefa e de cada máquina, também continuamente disponíveis e não relacionadas. Porém, para os autores Allahverdi et al. (2008), Gupta e Ruiz-Torres (2005) e Gupta e Smith (2006), além da importância prática deste problemas, com inúmeras aplicações industriais, trata-se de um problema difícil de ser resolvido na otimalidade em tempos computacionais aceitáveis, por pertencer à classe NP-difícil. Essa conjunção de aplicabilidade e dificuldade de resolução na otimalidade tem motivado os pesquisadores a desenvolver algoritmos eficientes para resolvê-lo de forma aproximada. Assim, a metodologia desenvolveu-se conforme alguns passos propostos no modelo

1.5 Introdução 8 de Bertrand e Fransoo (2002). A partir de um problema, passa-se por um processo de abstração, em que as variáveis importantes do problema e o que se espera obter como resposta é explicitado, gerando um modelo conceitual. A próxima fase é a modelagem matemática, cujo produto é um modelo matemático no qual as inter-relações entre as variáveis são explicitadas. Em seguida, o modelo é resolvido por meio de métodos específicos, gerando uma solução que poderá ser implementada. Como mencionado, o problema abordado nesta pesquisa pode ser enquadrado na classe de problemas de programação de tarefas em máquinas paralelas. Nestes problemas, as tarefas são alocadas às máquinas de forma a otimizar uma função-objetivo. É comum encontrar como objetivo a minimização do makespan, o atraso médio, o atraso ponderado, o número de tarefas atrasadas, entre outros. O presente trabalho propões encontrar a melhor sequência de tarefas em cada máquina, buscando a minimização da soma ponderada dos custos de atraso e da minimização da soma ponderada dos custos de avanço e de atraso. Designa cada tarefa para ser realizada por apenas uma máquina e respeitando as restrições operacionais como, por exemplo, a não preempção. Como função-objetivo, busca-se a minimização do atraso na entrega das tarefas, isso é, o atraso total ponderado. Ou seja, qualquer atraso em relação ao instante previsto para o término da tarefa é penalizado. E para a função-objetivo que busca a minimização das perdas financeiras pelo avanço e atraso na entrega das tarefas, será penalizado qualquer avanço e/ou atraso em relação ao instante previsto para o término da tarefa. Por se tratar de um problema de alta complexidade combinatória, a metodologia adotada para o desenvolvimento deste trabalho, utilizará, como meio de solução, a abordagem heurística para resolver determinadas classes de problemas complexos, e capazes de gerar soluções de boa qualidade, explorando a estrutura do problema. Portanto, o foco consistirá no estudo e aplicação das metaheurísticas computacionais, as quais possuem mecanismos para escapar de ótimos locais. Mais especificamente: o GRASP básico, o ILS básico e um algoritmo GRASP+ILS. Cada algoritmo tem por objetivo encontrar o sequenciamento de tarefas em cada máquina que tenha o menor custo. Ao final é apresentada uma sequência de produção para determinada máquina de uma dada instância. 1.5 Estrutura do Trabalho Este trabalho está dividido em 6 capítulos, organizados como se segue. No capítulo 1, é feita uma breve introdução sobre os problemas abordados. No 2, são apresentadas as características dos problemas abordados neste trabalho. No capítulo 3, é realizado o levantamento bibliográfico dos problemas de sequenciamento relativamente ao problema de atraso e avanço e atraso. No 4, é apresentada uma descrição detalhada da heurística proposta, acompanhada da resolução de um exemplo com a finalidade de ilustrar os procedimentos envolvidos. No capítulo 5, são apresentados

1.5 Introdução 9 os resultados encontrados e, no 6, a conclusão do trabalho e sugestões para trabalhos futuros.

Capítulo 2 Caracterização dos Problemas Neste capítulo, é apresentada a questão abordada neste trabalho e suas características. Na seção 2.1, discute-se o problema de minimização da soma ponderada de custos de atraso em máquinas paralelas idênticas e na 2.2, o problema de minimização da soma ponderada de custos de avanço e atraso em máquinas paralelas não relacionadas. As características das instâncias de referência e a formulação matemática do problema na seção 2.3. 2.1 O problema de minimização da soma ponderada dos custos de atraso em máquinas paralelas idênticas O primeiro problema abordado neste trabalho consiste em definir a atribuição de um conjunto de n tarefas a um conjunto de m máquinas paralelas idênticas continuamente disponíveis, bem como a sequência de processamento das tarefas em cada máquina e o instante de início de processamento de cada tarefa, visando a minimização da soma ponderada dos custos de atraso em relação às datas de entrega. Cada tarefa i é caracterizada pelos seguintes parâmetros: 1. Cada máquina deve processar um conjunto de n tarefas; 2. A cada tarefa i está associado um tempo de processamento p i, uma data de entrega d i e um custo t i por unidade de tempo de atraso; 3. Cada máquina só poderá executar apenas uma tarefa por vez, não sendo permitidas interrupções; 4. Todas as tarefas estão disponíveis no instante zero; 5. Entre as tarefas i e j consecutivas é necessário, um tempo de preparação da máquina s ij, que se refere à transição entre as duas tarefas adjacentes i e j e dependentes da sequência de processamento. 10

2.1 Caracterização dos Problemas 11 6. Para o processamento da primeira tarefa em cada máquina, não há um tempo de preparação inicial. 7. Por ser um situação encontrada frequentemente na prática, os tempos de preparação respeitam a desigualdade triangular, isto é s ik s ij + s jk i,j,k. A figura 2.1 ilustra um possível sequenciamento, para uma solução do problema de minimização da soma ponderada do atraso, para a instância com 60 tarefas e 4 máquinas. Figura 2.1: Gráfico de Gantt parcial para uma instância de (60x4) - penalidade por atraso Observa-se na solução apresentada que na máquina 1 há o sequenciamento das tarefas 9, 1, 41, 15 e 22, nesta ordem. O sequenciamento das tarefas 32, 18, 2, 57 e 20, ocorreram respectivamente, na máquina 2. Já na máquina 3, o sequenciamento ocorreu na seguinte ordem: 17, 28, 21, 40 e 42; e, por fim, na máquina 4 o sequenciamento das tarefas 4, 3, 7,47 e 35; também nesta ordem. As partes hachuradas da figura representam os tempos de preparação entre as tarefas e as caixas cinzas representam o tempo de processamento de uma tarefa. Na linha abaixo do sequenciamento há a marcação do tempo, definindo os tempos inicial e final de processamento de cada tarefa, bem como, os tempos de conclusão de cada máquina. A tarefa 57 alocada à máquina 2 possui um tempo de processamento igual a 75, a data de entrega está prevista para o tempo 320 (d57) entretanto, foi completada após a data de entrega no instante 512 (c57) gerando uma penalidade por atraso. A tarefa 21 possui um due date no instante 475, foi concluída no instante 375. Nesse caso, não haverá penalidade por atraso, uma vez que a tarefa veio a ser concluída antes do tempo previsto para a entrega. Percebe-se uma demanda superior para as máquinas 2 e 3, ou seja, são as máquinas que possuem um maior tempo de conclusão.

2.2 Caracterização dos Problemas 12 Por isso, a utilização das heurísticas se torna fundamental, uma vez que, inicialmente não se consegue obter soluções viáveis. Assim, depois de gerada, a solução passa por um refinamento de seu sequenciamento baseadas em movimentos realizados entre as máquinas e na mesma máquina, por meio de movimentos de inserções e trocas de tarefas, será possível contribuir para uma solução melhor. 2.2 O problema de minimização da soma ponderada de custos de avanço e atraso em máquinas paralelas não relacionadas O segundo problema abordado neste trabalho consiste em definir a sequência de processamento de um conjunto de n tarefas em um conjunto de m máquinas paralelas, não-relacionadas, continuamente disponíveis e o início de processamento de cada uma delas. Objetiva minimizar a soma ponderada dos custos de avanço e atraso em máquinas paralelas não-relacionadas em relação às datas de entrega das tarefas. Os parâmetros a seguir caracterizam cada tarefa i: 1. O processamento não pode ser interrompido uma vez iniciado. 2. Cada tarefa i é constituída por uma única operação, que pode ser realizada em qualquer máquina. 3. A cada tarefa i está associado um tempo de processamento (p φ i ) dependente da máquina (φ), data de entrega (T i ), instante específico a partir do qual seu processamento pode ser iniciado (R i ), a penalização por unidade de tempo de atraso (β i ) e de avanço (α i ). 4. A transição entre duas tarefas adjacentes demanda um tempo de preparação (S φ ij ), que depende da sequência e da máquina (φ) de processamento destas tarefas. A preparação para o processamento de uma tarefa pode ser iniciada antes de seu instante de liberação. 5. Para o processamento da primeira tarefa em cada máquina, não há um tempo de preparação inicial. 6. Assim como o problema da seção 2.1, os tempos de preparação respeitam a desigualdade triangular. Ou seja, S ik S ij + S jk i, j, k. 7. Permite-se tempos de ociosidade às máquinas, sendo essa uma característica particular desse tipo de problema. Ou seja, uma máquina pode ficar parada se isso contribuir para um menor custo da solução. A Figura 2.2 ilustra uma possível designação e sequenciamento de uma solução para um problema de minimização da soma ponderada do avanço e atraso, com 60

2.2 Caracterização dos Problemas 13 Figura 2.2: Gráfico de Gantt parcial para uma instância de (60x4) - penalidade por avanço e atraso tarefas e 4 máquinas. Na figura 2.2 apresentam-se a designação e o sequenciamento, cujos valores foram extraídos de uma instância com 60 tarefas e 4 máquinas, mostrados em uma linha de tempo, na parte inferior. São indicadas: a data de entrega da tarefa 28 (d28), a data de conclusão da mesma tarefa 28 (c28) e o instante de liberação da tarefa 13 (r13). Os quadros hachurados representam os tempos de preparação entre as tarefas que é dependente da sequência, os cinza claro o tempo de processamento das tarefas e os espaços em branco representam o tempo de ociosidade da máquina. A existência dos intervalos ociosos é vantajosa quando houver tarefas liberadas para processamento em instantes anterior a data de liberação da tarefa. A inserção de tempos ociosos pode revelar uma solução de menor custo que a solução de referência, minimizando assim, o custo por antecipação de processamento da tarefa. Essa situação é exemplificada na figura acima, para as tarefas 3, 13, 28, 29, 42, 51 e 54 onde as máquinas ficam em estado ocioso, ou seja sem operação, a espera da instante de liberação para o processamento da tarefa. Entretanto, a figura 2.2 representa ainda que mesmo após um tempo de ociosidade, a tarefa 28 ainda sofrerá uma penalidade por tempo de antecipação, tendo em vista que concluiu a tarefa antes o tempo previsto (d28). Para tarefa 42, detecta a geração de um custo de penalidade por atraso, pois a tarefa deveria ser concluída no instante 271 (d42), entretanto só foi concluída no instante 438 (c42). Assim, como o pagamento pelo custo de atraso era inevitável, foi possível minimizar o custo de avanço (r42) devido ao tempo de ociosidade. Assim como na seção 2.1, a utilização das heurísticas se torna fundamental, uma vez que, inicialmente não se consegue obter soluções viáveis. E faz-se necessário depois

2.3 Caracterização dos Problemas 14 de gerada a solução inicial, seu um refinamento e avaliação da solução corrente por meio dos custos gerados, de modo que esta possa contribuir para uma solução de melhor qualidade. 2.3 Formulação Matemática As primeiras formulações matemáticas aplicadas, aos problemas de programação da produção foram propostas por Manne (1960) e Wagner (1959) para o problema de job shop. Em especial os modelos matemáticos aplicados ao problema de sequenciamento em máquinas paralelas. Os autores, Stafford-Jr et al. (2005) estabeleceram um comparativo entre os modelos baseados na formulação proposta por Manne (1960) e Wagner (1959) com o objetivo de minimizar a data de término da última tarefa a ser processada. Portanto, como os problemas propostos neste trabalho possuem foco na minimização do da soma ponderada dos custos de atraso em máquinas idênticas e da soma ponderada dos custos de avanço e atraso em máquinas não relacionadas, baseado no modelo matemático proposto por Arenales et al. (2006) propõe-se, uma formulação matemática genérica para esses problemas, considerando as seguintes variáveis: n representa a quantidade de tarefas; m representa a quantidade de máquinas; p i;k representa o tempo de processamento da tarefa i, na máquina k; s i;j;k representa o tempo de preparação da máquina k para processar a tarefa j após a conclusão da tarefa i; d i representa a data de entrega da tarefa i; α i β i representa a penalidade por unidade de tempo em que a tarefa i estiver atrasada; representa a penalidade por unidade de tempo em que a tarefa i estiver antecipada; M representa um número suficientemente grande. As variáveis de decisão do modelo são: C i;k denota o instante de conclusão do processamento da tarefa i na máquina k. x i;j;k = { 1 se e a tarefa i precede a tarefa j na máquina k; 0 caso contrário.

2.3 Caracterização dos Problemas 15 T i = max(c i - d i ; 0); o atraso da tarefa i. E i = max(d i - C i ; 0); o avanço da tarefa i. O modelo é o seguinte: min f = n (α i T i + β i E i ) (2.1) i=1 m n x i;j;k = 1, j = 1,..., n; (2.2) k=1 i=0 n x 0;j;k 1, k = 1,..., m; (2.3) j=1 n n x i;h;k x n;j;k = 0, (2.4) i=0i h j=0j h h=1,...,n k=1,...,m C 0,k = 0, k = 1,..., m (2.5) C j;k C i;k M + (p j;k + s i;j;k + M)x i;j;k, (2.6) i=0,...,n; j=0,...,n; k=0,...,n T i C i;k d i ; i = 1,..., n; k = 1,..., m (2.7) E i d i C i;k ; i = 1,..., n; k = 1,..., m (2.8) T i 0; E i 0; x i;j;k {0, 1}, i = 0,..., n; j = k = 1,..., n (2.9) A função-objetivo f apresentada em (2.1) é definida como a soma das penalidades de atraso e avanço; quando o problema tratar-se apenas das penalidade por atraso será atribuído zero as variáveis referentes às penalidades por avanço. As restrições (2.2) indicam que cada tarefa j pode ter apenas uma única tarefa precedente em máquina. As restrições (2.3) asseguram que cada máquina possui apenas uma única