MATEMÁTICA ÍNDICE Conjuntos Numéricos... 2 1 1
Matemática 2 Conjuntos Numéricos 00 Introdução Os conjuntos numéricos mostram a evolução do homem no decorrer do tempo mostrando que, de acordo com suas necessidades, criava novos números para atendê-las. Os conjuntos podem ser divididos em: Naturais; Inteiros; Racionais; Reais. Neste material não veremos números complexos, conteúdo explorado em vestibulares não em concursos Conjunto dos Números Naturais Representamos o conjunto dos números naturais com a letra maiúscula N, daqui para frente sempre designados apenas números naturais. Os números naturais são uma sequência numérica que inicia no número zero e segue até infinito. N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,... } Sua criação esta ligada à necessidade do homem contar. Representamos o conjunto dos números inteiros com a letra maiúscula Z, daqui para frente sempre designados apenas números inteiros. Os números inteiros são uma sequência numérica em que número zero marca o valor central. Cada número a direita do zero tem seu o oposto a esquerda com sinal negativo Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,... } Os números inteiros têm como representação geométrica a reta numerada Sua criação esta ligada à necessidade do homem em representar valores que não possuía, como, por exemplo, a dívida. Conjunto dos Números Racionais O conjunto dos números racionais é representado pela letra maiúscula Q, daqui para frente sempre designados apenas números racionais. Os números racionais não todos os números que podem ser escritos na forma em que a e b são números inteiros, e o número b é diferente de zero. Podemos, então, dizer que números naturais são os números que podem ser escritos 4 0,8 como fração. 5 = 1 Ex.: 0,333... 3 = 5 2,5 2 = Sua criação esta ligada à necessidade do homem em representar valores que representam partes de um inteiro. Conjunto dos Números Reais O conjunto dos números reais é representado pela letra maiúscula R, daqui para frente sempre designados apenas números reais. O conjunto dos números reais reúne os números que podem ser escritos como fração (racionais), unidos com os que não podem ser escritos como fração (irracionais). Números irracionais, ou seja, que não podem ser escritos como frações temos como mais usuais os que não têm raiz exata e o número. Representação por diagrama Por meio do diagrama, podemos verificar que: N Z Q R
Operações com números e suas Propriedades números consecutivos, sucessor e antecessor Os conceitos de consecutivos, sucessor e antecessor são utilizados em números naturais e números inteiros. Dois números inteiros são consecutivos quando entre eles não houver outro número inteiro. Ex.: os números 3 e 4 são consecutivos pois entre eles não temos nenhum outro número inteiro. Ex.: os números -3 e -2 são consecutivos pois entre eles não temos nenhum outro número inteiro. Ex.: os números 3 e 6 não são consecutivos pois entre eles temos outros números inteiros, como 4 e 5. Adição e subtração de Inteiros a) (+ 4) + (+ 7) = + 4 + 7 = +11 (tiramos os parênteses e conservamos os sinais dos números) b) (- 4) + (- 7) = - 4-7= -11 (tiramos os parênteses e conservamos os sinais dos números) c) (+ 4) + (- 7) = + 4-7 = - 3 (tiramos os parênteses e conservamos os sinais dos números) d) (+ 4) - (+ 7) = + 4-7 = -3 (tiramos os parênteses e trocamos o sinal do número que estava depois da subtração) e) (- 4) - (- 7) = - 4 + 7 = + 3 (tiramos os parentes e trocamos o sinal do número que estava depois da subtração) Multiplicação e divisão de inteiros Na multiplicação de inteiros além de multiplicarmos ou dividirmos temos que usar o jogo de sinais: Sinais iguais resultam em positivo e sinais diferentes resultam em negativo. a) Exemplos de Multiplicação: (-2) x (+5)= -10. (-3) x (-5)= +15. (+6) x (-4)= -24. (+5) x (+4)= +20. b) Exemplos de divisão: (-20) (+5)= -4. (-35) (-5)= +7. (+56) (-4)= -14. (+48) (+4)= +12. Múltiplos dos Números Naturais Um número natural x é múltiplo de um número natural y se existir um número natural k que, multiplicado por y, seja igual a x. x= y k Ex.: 15 é múltiplo de 5, pois 15 = 3 5. 24 é múltiplo de 4, pois 24 = 6 4. 24 é múltiplo de 6, pois 24 = 4 x 6 24 é múltiplo de 12, pois 24 = 2 12. 27 é múltiplo de 9, pois 27 = 3 9. M (7) = { 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56,... } M (11) = { 0, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88,... } Sendo 0 um número natural, então o zero será múltiplo de todos os números naturais, pois tudo número multiplicado por zero é zero. Divisores de um Número Natural A definição de divisor está relacionada com a de múltiplo. Um número natural é divisor de outro número natural, se este for múltiplo do mesmo. Por exemplo: 4 é divisor de 20, pois 20 = 4 5, logo 20 é múltiplo de 4 e também é múltiplo de 5. Ex.: Divisores de 60: D (60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60} Divisores de 18: D (18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18} Divisores de 20: D (20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20} Divisores de 30: D (20) = {1, 2, 3, 5, 6, 12, 15, 30} Matéria Matemática 3
Matemática 4 a) Múltiplos Zero é múltiplo de qualquer dos números naturais. O número de múltiplos de um número natural é infinito. b) Divisores 1 é divisor de qualquer um dos números naturais. O número de divisores de um número natural é finito. Critérios de Divisibilidade Os critérios de divisibilidade são regras que nos permitem verificar se um determinado número é divisível por outro sem a necessidade de efetuarmos a divisão. As divisibilidades por 2, 3, 5, 6, 9 e 10 são as mais importantes e de fácil fixação. Divisibilidade por 2 Um número natural será divisível por 2 quando ele for par, ou seja, se terminam em: 0, 2, 4, 6, ou 8. Ex.: 3746 é divisível por 2, porque é um numero par, pois termina em 6. Ex.: 235 não é divisível por 2, pois não é um número par, pois termina em 5. Divisibilidade por 3 Um número será divisível por 3 quando a soma dos valores dos seus algarismos for um número divisível por 3. Ex.: 432 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a 4+3+2=9, e como 9 é divisível por 3, temos que 432 é divisível por 3. Ex.: 253 não é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+5+3=10, e como 10 não é divisível por 3, temos que 253 não é divisível por 3. Divisibilidade por 4 Um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos seus dois últimos algarismos, o da dezena e o da unidade for um número divisível por 4. Ex.: 1900 é divisível por 4, pois termina em 00. Ex.: 2416 é divisível por 4, pois 16 é divisível por 4. Ex.: 2524 é divisível por 4, pois 24 é divisível por 4. Ex.: 3750 não é divisível por 4, pois não termina em 00 e 50 não é divisível por 4. Divisibilidade por 5 Um número é divisível por 5 quando o algarismo das unidades for 0 ou 5. Ex.: 95 é divisível por 5, pois termina em 5. Ex.: 110 é divisível por 5, pois termina em 0. Ex.: 117 não é divisível por 5, pois termina com 7 e não com 0 ou 5. Divisibilidade por 6 Quando um número é divisível por 2 e por 3, ele também é divisível por 6. Ex.: 312 é divisível por seis, pois é par logo divisível por 2 e tem soma dos algarismos 6 logo divisível por 3. Ex.: 5214 é divisível por seis, pois é par logo divisível por 2 e tem soma dos algarismos 12 logo divisível por 3. Ex.: 716 não é divisível por seis, pois apesar de ser par e divisível por 2 sua soma dos termos é 14 que não é divisível por 3. Ex.: 3405 não é divisível por seis, a soma dos seus algarismos é 12, logo divisível por 3 mas não divisível por 2, pois o número é ímpar. Divisibilidade por 9 Um número é divisível por 9 se a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 9. Ex.: 2880 é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+8+8+0=18, e como 18 é divisível por 9, então 2880 é divisível por 9. Divisibilidade por 10 Um número natural é divisível por 10 quando o algarismo das unidades é zero. Ex.: 4150 é divisível por 10, pois termina em 0. Ex.: 2126 não é divisível por 10, pois não termina em 0. Ex.: 890 é divisível por 10, pois termina em 0.
Números Primos São números naturais primos os que têm apenas dois divisores distintos: o número 1 e ele mesmo. Ex.: 2 tem apenas dois divisores o número 1 e ele mesmo 2, portanto 2 é um número primo. Ex.: 13 tem apenas os divisores o número 1 e ele mesmo 13, portanto 13 é um número primo. Ex.: 9 tem os divisores 1, 3 e 9, portanto 9 não é um número primo. Considerando os números naturais até 100, os primos são: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}. Decomposição em Fatores Primos Todo número pode ser representado por uma multiplicação que envolve somente números primos. Regra prática Existe uma regra prática para fatorar um número. Pelo dispositivo prático dividimos o número pelo seu menor divisor primo, até atingirmos o quociente um. Ex.: decomponha em fatores primos o número 420. Divisores de um Número Inteiro Um número inteiro além dos divisores positivos também tem os divisores negativos, isso significa que, quando consideramos os números inteiros, temos o dobro de divisores em relação aos números naturais. Ex.: divisores de 18: D (18) = {-18, -9, -6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6, 9, 18} Veja o dispositivo para encontrar o número de divisores inteiros Primeiramente, decomponha o número em fatores primos, depois some 1 aos expoentes e multiplique os resultados e depois dobre o valor. Ex.: o número 18 tem quantos divisores inteiros? Logo, temos 2¹ x 3². Somando 1 aos expoentes e multiplicando temos (1 + 1) x (2 + 1) = 2 x3 = 6 Dobro de 6 é 12. Logo, o número 18 tem 12 divisores inteiros. Observação: quando queremos saber o número de divisores positivos basta não dobrar o valor no final. Ex.: qual o número de divisores positivos de 3500? Fatorando: Matéria Matemática 5 Temos, então, que 420 = 2 x 2 x 3 x 5 x 7, representado em matemática como 2² x 3 x 5 x 7 Ex.: decomponha em fatores primos o número 72. Temos que 72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3, ou 2³ x 3². 3500 fatorado fica 2² x 5³ x 7¹. Logo, o número de divisores é dado por (2 + 1) x (3 + 1) x (1 + 1) = 3 x 4 x 2 = 24. Assim, o número de divisores positivos de 3500 é 24. Máximo Divisor Comum (mdc) Dois números naturais sempre têm divisores comuns.
Matemática 6 Ex.: os divisores de 18 e 24 são: D(18) = 1, 2, 3, 6, 9, 18 D(24) = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 Divisores comuns a 18 e 24 são: 1, 2, 3 e 6. O maior dos divisores comuns é o 6. Logo o 6 é o Máximo divisor comum. Mínimo Múltiplo Comum (mmc) Dois ou mais números sempre têm múltiplos comuns. Para percebemos essa característica, vamos achar os múltiplos comuns de 3 e 4. M(3) = (0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27...) M(4) = (0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32,...) O mínimo múltiplo comum denominado mmc é o menor múltiplo diferente de zero comum aos múltiplos dos dois números. Neste caso o mmc entre 3 e 4 é 12. Forma prática de encontra o mmc e o mdc Podemos utilizar a fatoração cara encontrar o mmc e o mdc no mesmo dispositivo, a decomposição em fatores primos. Ex.: qual é o mmc e o mdc entre 56 e 72? Iremos decompor em fatores primos e toda vez que os dois valores tiverem o mesmo divisor marcaremos com *. mmc = 2. 2. 2. 2. 2. 2. 3. 3. 5. 5 = 7200 mdc = 2. 2. 2. 2. 5 = 80 01. Analise as afirmativas a seguir: Assinale: a) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas. b) se somente a afirmativa II estiver correta. c) se somente as afirmativas I e II estiverem corretas. d) se somente a afirmativa I estiver correta. e) se somente as afirmativas II e III estiverem corretas. Resposta: E. A afirmativa I está errada, pois a 6 = 2,45 aproximadamente e 5/2 = 2,5, então, 6 é menor do que 5/2. A afirmativa II está certa, pois toda dízima periódica é um número racional, já que podem ser transformadas em fração, e o 0,555... é a fração 5/9. A afirmativa III também está certa já que, nos números inteiros, estão os números negativos, com isso todos tem antecessor. Para encontrar o mmc, basta multiplicar todos os fatores primos na decomposição. mmc = 2. 2. 2. 3. 3. 7 Para encontrar o mdc basta multiplicar os que contêm *. mdc = 2. 2. 2 = 8 Ex.: qual é o mmc e o mdc entre os valores 320, 400 e 720? 01. (CONESUL) Assinale a alternativa que apresenta o valor do M.D.C. de 72 e 168. a) 12. b) 24. c) 8. d) 16. e) 36. 02. (VUNESP) Um eletricista tem 4 rolos do fio X, com 84 m cada um, 3 rolos do fio Y, com 144 m cada um, e 5 rolos do fio Z, com 60 m cada um. Para fazer as ligações necessárias de uma obra, ele deverá cortar os fios dos 12 rolos em pedaços do mesmo tamanho, sendo esse tamanho o maior possível, de modo que não reste nenhum pedaço de fio nos rolos. Dessa maneira, ele deverá obter um número total de pedaços igual a:
a) 24 b) 36 c) 49 d) 64 e) 89 03. (FCC) Sistematicamente, dois funcionários de uma empresa cumprem horas-extras: um, a cada 15 dias, e o outro, a cada 12 dias, inclusive aos sábados, domingos ou feriados. Se em 15 de outubro de 2010 ambos cumpriram horas-extras, outra provável coincidência de horários das suas horas-extras ocorrerá em: a) 9 de dezembro de 2010. b) 15 de dezembro de 2010. c) 14 de janeiro de 2011. d) 12 de fevereiro de 2011. e) 12 de março 2011. 04. (FCC) Ao sacar X reais de sua conta corrente, Alaíde recebeu do caixa do Banco um total de 51 cédulas, que eram de apenas três tipos: 10, 20 e 50 reais. Considerando que as quantias correspondentes a cada tipo de cédula eram iguais, o valor de X era: a) R$ 300,00 b) R$ 450,00 c) R$ 600,00 d) R$ 750,00 e) R$ 900,00 05. Durante uma transmissão esportiva, comerciais dos produtos A, B e C, todos de uma mesma empresa, foram veiculados durante um tempo total de 140 s, 80 s e 100 s, respectivamente, com diferentes números de inserções para cada produto. Sabe-se que a duração de cada inserção, para todos os produtos, foi sempre a mesma, e a maior possível. Assim, o número total de comerciais dessa empresa veiculados durante a transmissão foi igual a: a) 32 b) 30 c) 24 d) 18 e) 16. 06. (OBJETIVO-SP) - O m.m.c. entre os números 2 m, 3 n e 5 é 360. Então, os valores de m e n são, respectivamente: a) 3 e 2 b) 2 e 3 c) 1 e 4 d) 4 e 1 e) n.d.a 07. (FUVEST-SP) No alto de uma torre de uma emissora de televisão duas luzes piscam com freqüências diferentes. A primeira pisca 15 vezes por minuto e a segunda pisca 10 vezes por minuto. Se certo instante as luzes piscam simultaneamente, após quantos segundos elas voltarão a piscar simultaneamente? a) 10 b) 12 c) 15 d) 20 e) 30 08. (FCC) Três funcionários fazem plantões nas seções em que trabalham: um a cada 10 dias, outro a cada 15 dias, e o terceiro a cada 20 dias, inclusive aos sábados, domingos e feriados. Se no dia 18/05/02 os três estiveram de plantão, a próxima data em que houve coincidência no dia de seus plantões foi a) 18/11/02 b) 17/09/02 c) 18/08/02 d) 17/07/02 e) 18/06/02 09. (FCC) No almoxarifado de uma Unidade do Tribunal Regional Eleitoral há disponível: 11 caixas de lápis, cada qual com 12 unidades; 9 caixas de borrachas, cada qual com 8 unidades; 8 caixas de réguas, cada qual com 15 unidades. Sabe-se que: Todos os objetos contidos nas caixas acima relacionadas deverão ser divididos em pacotes e encaminhados a diferentes setores dessa Unidade; Todos os pacotes deverão conter a mesma quantidade de objetos; Cada pacote deverá conter um único tipo de objeto. Nessas condições, a menor quantidade de pacotes a serem distribuídos é um número compreendido entre: a) 10 e 20 b) 20 e 30 c) 30 e 40 d) 40 e 50 e) 50 e 60. Matéria Matemática 7
Matemática 10. (CESGRANRIO) Considere dois grupos de agentes censitários, um deles com 66 agentes e o outro, com 72. Os dois grupos serão divididos em equipes de trabalho. Essas equipes deverão ter o mesmo número de agentes, sendo que todos os agentes de cada equipe devem ser originários do mesmo grupo. Desse modo, o número máximo de agentes por equipe será a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 11. (CESGRANRIO) João tem 100 moedas, umas de 10 centavos, e outras de 25 centavos, perfazendo um total de R$ 20,20. O número de moedas de 25 centavos que João possui é: a) 32 b) 56 c) 64 d) 68 e) 72 1 2 3 4 5 B E D E E 6 7 8 9 10 A B D B D 11 D 8