Cálculo da energia média classicamente Probabilidade de encontrar um ente com uma energia entre ε e ε +dε em um sistema em equilíbrio térmico à temperatura T : P ε = e ε Distribuição de Boltzmann (K = cte. de Boltzmann =,38.0-23 J/K) A função P(ε) tem a forma: P ε = e ε P 0 = P = e P = 0 P ε dε 0 =
Supondo que a energia seja uma variável contínua, a função εp(ε) terá a forma: εp 0 = 0 εp ε = εe ε εp = e εp = 0 Novamente, supondo um contínuo de energias (integração), podemos calcular a energia média do sistema: ε = 0 0 εp ε dε = ε P ε dε 0 e ε área sob a curva Resolvendo a integral por partes, obtemos a energia média: dε ε = Lei de equipartição de energia
Cálculo da energia média quanticamente Supondo que a energia seja uma variável discreta, a função εp(ε) terá a forma: P ε = e ε P 0 = P = e P = 0 Novamente, supondo um discreto de energias (somatória), podemos calcular a energia média do sistema. ε = ε n P ε n ε P ε n ε = ε n e εn ε área sob a curva
Teremos duas possibilidades: ε < ε 0 ε ε 0 = ε > ε ε ε = 0
Resumindo: considerar a energia como tendo valores discretos leva a ε ε 0 = ε ε = 0 que é um comportamento semelhante ao encontrado experimentalmente para a radiação de corpo negro εν 0 = εν = 0 Para que os sistemas sejam equivalentes, devemos achar a relação entre Dε e Supondo a forma mais simples: ε = ν Caso essa forma for correta, a equação final obtida para a densidade de radiação espectral deverá representar bem os dados experimentais Para encontrar a equação final, devemos calcular a soma ε = ε n P ε n ε P ε n ε usando ε = ν
(i) energias são discretas, com ε = ν ε = 0, ν, 2ν, 3ν, 4ν, ε n = nν n N P ε n = e ε = e nν n N ε e ε n P ε n = ε n = nν e nν n N (ii) substituindo ν = α ε n = nα P ε n = e nα ε n P ε n = nαe nα
(iii) substituindo na soma ε = ε n P ε n P ε n = α ne nα e nα (iv) truque d dα ln f α = f α d dα f α f α = e nα d dα ln e nα = = = = e nα d dα e nα d dα e nα e nα e nα ne nα ne nα e nα
(v) substituindo novamente na soma ε = α ne nα e nα = α d dα ln e nα (vi) truque para resolver a soma: substituir e nα = X n = e α ln e α = ln e α d dα ln e nα e α = X (Série de Maclaurin) = + X + X 2 + X 3 + = X = d ln e α dα = d e α dα e α = e α e α eα e α = e α
(vii) substituindo novamente na soma ε = α d dα ln e nα = α e α (viii) retornando α = ν teremos a equação final ε = ν e ν Portanto, a energia média do sistema, supondo um discreto de energias, será ε = ν e ν com ε = ν Por analogia, a energia média do oscilador (corpo negro) será U ν, T = ε = ν e ν
Observando os limites dessa equação α ε = e α (i) para ε = ν α = ν 0 ε α α 0 = + αε α + (expansão em série de Taylor) εα 0 = α + αε α = εα = (ii) para ε = ν α = ν ε α α ε α α α εα = α ε α = 0 Equação encontrada para a energia média satisfaz os requisitos nos limites
Densidade de energia espectral quanticamente Max Planck (900) - distribuição de Boltzmann P ε = e ε - energia possui apenas valores discretos - a energia média do oscilador será portanto - função densidade de energia espectral: ε = ν U ν, T = ν e ν ρ ν = N ν V U ν,t = 8πν 2 c 3 ν e ν = 8π ν 3 c 3 e ν ρ ν = 8π c 3 ν 3 e ν Lei de Planck h = cte. de Planck = 6,63.0-34 J.s Planck não alterou a distribuição de Boltzmann, e sim apenas tratou a energia das ondas eletromagnéticas como uma grandeza discreta, ao invés de contínua
Confirmando a lei de Stefan Equação empírica (Stefan, 879) Obtendo a equação a partir da lei de Planck R T = c 4 ρ T = c ρ ν dν 4 0 = c 8π ν 3 4 c 3 e ν dν 0 = 2π 4 q 3 c 2 e q dq 0 R T = ςt 4 q = ν usando q 3 e q dq = π4 0 5 teremos R T = 2π5 K 4 5c 2 3T4 ς = 2π5 K 4 5c 2 3 = 5,67. 0 8 W m 2 K 4 Lei de Planck confirma a lei de Stefan
Confirmando a lei do deslocamento de Wien Equação empírica (Wien, 894) Obtendo a equação a partir da lei de Planck d dν ρ ν = 0 ; 3 e ν max ν max eν max = 0 λ max = c W T d 2 dν 2 ρ ν < 0 ponto de máximo usando x = ν max chega-se à equação x 3 + e x = que tem solução S numérica única, e portanto x = S = ν max ν max = S K T λ max = c S K T λ max = c W T Lei de Planck confirma a lei do deslocamento de Wien
4. Postulado de Planck Quantização da energia em sistemas harmônicos simples Qualquer ente físico, com um grau de liberdade cuja coordenada é uma função senoidal do tempo (executa oscilações harmônicas simples) pode possuir apenas energias totais ε que satisfaçam à relação ε n = nν n N onde é a frequência de oscilação, e h uma constante universal (cte. de Planck) P ε n = n N e ε = e nν Coordenada (sentido geral): qualquer quantidade ε e que descreve a condição instantânea do ente ε n P ε n = ε n = nν e nν n N
Exemplo: pêndulo (elemento macroscópico) Características: massa m = 0,0 kg comprimento l = 0, m q max = 0, rad Calculando a frequência: ν = 2πω = 2π g l = 0 rad/s Calculando a altura máxima: max = l l cos θ max = 5. 0 4 m Calculando a energia: E = mg max = 5. 0 5 J Energia é quantizada: ΔE = ν = 0 33 J ΔE E = 2. 0 29 J precisão necessária para verificar se a energia é quantizada: impossível verificar