Pricípio Fundamental da Contagem

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO Campus Universitário do Araguaia Professor: Renato Ferreira da Cruz Pricípio Fundamental da Contagem 1.1 O que é a análise combinatória A Análise Combinatória é um importante ramo da matemática e suas aplicações são inúmeras e vão desde Probabilidade e Estatística e Teoria dos Jogos até campos tão abstratos quanto a Computação Teórica. Para se ter sucesso no seu estudo, é preciso adquirir certas atitudes e formas de pensar. Como veremos mais adiante, a definição clássica de probabilidade exige que saibamos contar o número de elementos de um conjunto. Em alguns casos, é possível listar todos os elementos de um dado conjunto, mas nem sempre isso é possível. Muitas vezes será necessário obter o número de elementos sem enumerá-los. Em nosso estudo, veremos que a Combinatória é essencialmente uma arte da contagem. Contar é uma atividade básica e saber fazê-lo corretamente é importante e de grande utilidade prática. Estamos habituados a fazer contagens diretas para saber, por exemplo, quantos anos temos, ou a diferença de idade entre você e a pessoa de quem você gosta, para saber quantos dias faltam para as provas ou para o carnaval. Em outras situações, no entanto, a contagem direta seria impossível ou, no mínimo, trabalhosa. Imagine que você queira saber de quantas maneiras diferentes é possível preencher uma cartela da Mega Sena. É claro que você não iria preencher todas as formas possíveis para saber quantos são. Esse é um trabalho para a Análise Combinatória, que calcula o número total de possibilidades sem precisar descrever cada uma delas. A análise combinatória consiste em um conjunto de técnicas de contagem, das quais veremos a partir de agora. No ensino médio, geralmente ela é considerada uma matéria difícil. Ali se aprendem fórmulas para arranjos, combinações, com repetição ou sem repetição, permutações, permutações circulares,etc., mas não se aprende o essencial, que é raciocinar. Ao invés de apresentar um formulário e pedir para que seja decorado, o que se propõe aqui é focar em alguns princípios e técnicas básicas e desenvolver um raciocínio combinatório próprio que permitirá resolver uma grande gama de problemas. Embora a Análise Combinatória nos dê técnicas gerais que permitem resolver certos tipos de problemas, é verdade que a solução de um problema combinatório exige quase sempre engenhosidade e compreensão da situação descrita pelo problema. Alguns problemas fáceis de enunciar se tornam às vezes difíceis de serem resolvidos, exigindo uma certa dose de criatividade para a solução. 1.2 Princípio Fundamental da Contagem ou Regra do Produto O princípio fundamental da contagem constitui uma ferramenta básica para resolver problemas de contagem abordados a nível do ensino médio. Para motivar esse princípio, consideramos o exemplo a seguir. 1

Exemplo 1.1 Numa sala há 3 homens e 4 mulheres. De quantos modos é possível selecionar um casal homem-mulher? Solução: Para determinar todas as possibilidades, podemos utilizar um esquema, conhecido como diagrama de árvore ou árvore de possibilidades. Representando os homens por H 1, H 2 e H 3 e as mulheres por M 1, M 2, M 3 e M 4, temos o seguinte diagrama de árvore: M 1 H 1 M 1 H 1 M 2 M 3 H 1 M 2 H 1 M 3 M 4 H 1 M 4 M 1 H 2 M 1 H 2 M 2 M 3 H 2 M 2 H 2 M 3 há 12 possibilidades de formar um casal M 4 H 2 M 4 M 1 H 3 M 1 H 3 M 2 M 3 H 3 M 2 H 3 M 3 M 4 H 3 M 4 há 4 possibilidades para a escolha da mulher há 3 possibilidades para a escolha do homem Outra maneira de representar essas possibilidades é por meio de uma tabela com dupla entrada. Homem Mulher M 1 M 2 M 3 M 4 H 1 H 1 M 1 H 1 M 2 H 1 M 3 H 1 M 4 H 2 H 2 M 1 H 2 M 2 H 2 M 3 H 2 M 4 H 3 H 3 M 1 H 3 M 2 H 3 M 3 H 3 M 4 De acordo com a árvore de possibilidades e a tabela, podemos obter o total de possibilidades da seguinte maneira: total de homens total de mulheres possibilidades 3 4 12 Logo, o número de maneiras de se formar um casal homem-mulher é 3 4 12. 2

O exemplo anterior ilustra o Princípio Fundamental da Contagem, que será enunciado a seguir. Teorema 1.1: (Princípio Fundamental da Contagem (PFC)) Se uma decisão d 1 pode se tomada de m maneiras e uma segunda decisão d 2 pode se tomada de n maneiras, então o número de maneiras que de se tomarem as duas decisões em sequência é m n. Observação: Esta regra pode ser generalizada a qualquer número de decisões. Se existirem r decisões e a j-ésima decisão pode ser tomada de n j maneiras, i 1,...,r, então o número de maneiras que as r decisões podem se tomadas em sequência é n 1 n 2 n r. Exemplo 1.2 Uma loja de telefones oferece 3 modelos de telefone celular, 2 planos de tarifa e 3 formas de pagamento. Quantas possibilidades diferentes uma pessoa tem para comprar um telefone nessa loja? Solução: Representando os modelos dos telefones por M 1, M 2 e M 3, os planos de tarifa por T 1 e T 2 a as formas de pagamento por P 1 e P 2, temos o seguinte diagrama de árvore: T 1 P 1 P 2 M 1 T 1 P 1 M 1 T 1 P 2 M 1 P 3 P 1 M 1 T 1 P 3 M 1 T 2 P 1 T 2 T 1 P 2 P 3 P 1 P 2 M 1 T 2 P 2 M 1 T 2 P 3 M 2 T 1 P 1 M 2 T 1 P 2 M 2 P 3 P 1 M 2 T 1 P 3 M 2 T 2 P 1 T 2 T 1 P 2 P 3 P 1 P 2 M 2 T 2 P 2 M 2 T 2 P 3 M 3 T 1 P 1 M 3 T 1 P 2 M 3 P 3 P 1 M 3 T 1 P 3 M 3 T 2 P 1 T 2 P 2 P 3 M 3 T 2 P 2 M 3 T 2 P 3 Portanto, uma pessoa tem 18 possibilidades diferentes de comprar um telefone celular nessa loja, pois 3 2 3 18. 3

Exemplo 1.3 Com 5 homens e 5 mulheres, de quantos modos se pode formar um casal? Solução: Formar um casal consiste em duas etapas: 1 a ) Escolha do homem (5 modos) 2 a ) Escolha da mulher (5 modos) Logo, o número de modos de formar um casal é 5 5 25. Exemplo 1.4 Uma bandeira é formada por 7 listras que devem ser coloridas usando apenas as cores verde, azul e cinza. Se cada listra deve ter apenas uma cor e não se pode usar cores iguais em listras adjacentes, de quantos modos se pode colorir a bandeira? Solução: Colorir a bandeira equivale a escolher a cor de cada listra. Há 3 modos de escolher a cor da primeira listra e, a partir daí, 2 modos de escolher a cor de cada uma das outras 6 listras. A resposta é 3 2 6 192 Exemplo 1.5 Quantos são os números de três dígitos distintos? Solução: O primeiro dígito pode ser escolhido de 9 modos, pois ele não pode ser igual a 0. O segundo dígito pode ser escolhido de 9 modos, pois não pode ser igual ao primeiro dígito. O terceiro dígito pode ser escolhido de 8 modos, pois não pode ser igual nem ao primeiro nem ao segundo dígito. A resposta é 9 9 8 648. Nos exemplos anteriores podemos notar qual é a estratégia para resolver problemas de Combinatória: 1) Postura: Devemos sempre nos colocar no papel da pessoa que deve fazer a ação solicitada pelo problema e ver que decisões devemos tomar. No Exemplo 1.5, nós nos colocamos no papel da pessoa que deveria escrever o número de três dígitos; no Exemplo 1.4, nós nos colocamos no papel da pessoa que deveria colorir a bandeira; no Exemplo 1.3, nós nos colocamos no papel da pessoa que deveria formar o casal. 2) Divisão: Devemos, sempre que possível, dividir as decisões a serem tomadas em decisões mais simples. Formar um casal foi dividido em escolher o homem e escolher a mulher; colorir a bandeira foi dividido em colorir cada listra; formar um número de três dígitos foi dividido em escolher cada um dos três dígitos. Vamos voltar ao exemplo anterior - Quantos são os números de três dígitos distintos? - para ver como algumas pessoas conseguem, por erros de estratégia, tornar complicadas as coisas mais simples. Começando a escolha dos dígitos pelo último dígito, há 10 modos de escolher o último dígito. Em seguida, há 9 modos de escolher o dígito central, pois não podemos repetir o dígito já usado. Agora temos um impasse: de quantos modos podemos escolher o primeiro dígito: A resposta é depende. Se não tivermos usado o 0, haverá 7 modos de escolher o primeiro dígito, pois não poderemos usar nem o 0 nem os dois dígitos já usados nas demais casas; se já tivermos usado o 0, haverá 8 modos de escolher o primeiro dígito. Um passo importante na estratégia para resolver problemas de Combinatória é: 4

3) Não adiar diculdades: Pequenas dificuldades adiadas costumam se transformar em imensas dificuldades. Se uma das decisões a serem tomadas for mais restrita que as demais, essa é a decisão que deve ser tomada em primeiro lugar. No Exemplo 1.5, a escolha do primeiro dígito era uma decisão mais restrita do que as outras, pois o primeiro dígito não pode ser igual a 0. Essa é portanto a decisão que deve ser tomada em primeiro lugar e, conforme acabamos de ver, postergá-la só serve para causar problemas. Exemplo 1.6 Quantos são os números pares de três dígitos distintos? Solução: Há 5 modos de escolher o último dígito. Note que começamos pelo último dígito, que é o mais restrito; o último dígito só pode ser 0, 2, 4, 6 ou 8. Em seguida, vamos ao primeiro dígito. De quantos modos se pode escolher o primeiro dígito? A resposta é depende : se não tivermos usado o 0, haverá 8 modos de escolher o primeiro dígito, pois não poderemos usar nem o 0 nem o dígito usado na última casa; se tivermos usado o 0, haverá 9 modos de escolher o primeiro dígito, pois apenas o 0 não poderá ser usado na primeira casa. Esse tipo de impasse é comum na resolução de problemas e há dois métodos de contorná-lo. O primeiro método consiste em voltar atrás e contar separadamente. Contaremos separadamente os números que terminam em 0 e os que não terminam em 0. Para os que terminam em 0, há 9 modos de escolher o primeiro dígito e 8 modos de escolher o dígito central. Há 1 9 8 72 números que terminam em 0. Para os que não terminam em 0, há 4 modos de escolher o último dígito, 8 modos de escolher o primeiro e 8 modos de escolher o dígito central. Há 4 8 8 256 números que não terminam em 0. A resposta é 72 `256 328. O segundo método consiste em ignorar uma das repetições do problema, o que nos fará contar em demasia. Depois descontaremos o que houver sido contado indevidamente. Primeiramente fazemos de conta que o 0 pode ser usado na primeira casa do número. Procedendo assim, há 5 modos de escolher o último dígito (só pode ser 0, 2, 4, 6 ou 8), 9 modos de escolher o primeiro dígito (não podemos repetir o dígito usado na última casa; note que estamos permitindo o uso do 0 na primeir a casa) e 8 modos de escolher o dígito central. Há 5 9 8 360 números, aí inclusos os que começam p or 0. Agora vamos de terminar quantos desses números começam por zero; são esses os números que foram contados indevidamente. Há 1 modo de escolher o primeiro dígito (tem que ser 0), 4 modos de escolher o último dígito (só pode ser 2, 4, 6 ou 8? lembrese que os dígitos são distintos) e 8 modos de escolher o dígito central (não podemos repetir os dígitos já usados). Há 1 4 8 32 números começados por 0. A resposta é: 360 32 328. É claro que este problema poderia ter sido resolvido com um truque. Para determinar quantos são os números pares de três dígitos distintos, poderíamos fazer os números de três dígitos distintos menos os números ímpares de três dígitos distintos. Para os números de três dígitos distintos, há 9 modos de escolher o primeiro dígito, 9 modos de escolher o segundo e 8 modos de escolher o último. Há 9 9 8 648 números de três dígitos distintos. Para os números ímpares de três dígitos distintos, há 5 modos de escolher o último dígito, 8 modos de escolher o primeiro e 8 modos de escolher o dígito central. Há 5 8 8 320 números ímpares de três dígitos distintos. A resposta é: 648 320 328. 5

Exemplo 1.7 O conjunto A possui 4 elementos e o conjunto B possui 7 elementos. a) Quantas são as funções f : A Ñ B? b) Quantas são as funções injetoras f : A Ñ B? Solução: a) Lembremos que f : A Ñ B é uma função se todo elemento de A está associado a único elemento de B. Há 7 modos de escolher a imagem do primeiro elemento de A, 7 modos de escolher a imagem do segundo elemento de A, 7 modos de escolher a imagem do terceiro elemento de A e 7 modos de escolher a imagem do quarto elemento de A. Logo, a quantidada de funções f : A Ñ B é 7 7 7 7 2401. b) Uma função f : A Ñ B é injetora se @x,y P A, com x y, tem-se fpxq fpyq. Há 7 modos de escolher a imagem do primeiro elemento de A, 6 modos de escolher a imagem do segundo elemento de A, 5 modos de escolher a imagem do terceiro elemento de A e 4 modos de escolher a imagem do quarto elemento de A. Logo, a quantidada de funções injetoras f : A Ñ B é 7 6 5 4 840. Exemplo 1.8 Quantos subconjuntos possui um conjunto que tem n elementos? Solução: Seja A ta 1,a 2,a 3,...,a n u um conjunto com n elementos. Para formar um subconjunto, basta notar que cada elemento a j P A está ou não no subconjunto S. Temos então: a 1 P S ou a 1 R S (2 possibilidades) a 2 P S ou a 2 R S (2 possibilidades) a 3 P S ou a 3 R S (2 possibilidades). a n P S ou a n R S (2 possibilidades) Logo, o número de subconjuntos é: 2 2... 2 looooomooooon Exemplo 1.9 n fatores 2 n. Quantos divisores inteiros e positivos possui o número 360? Quantos divisores são pares? Quantos são ímpares? Quantos são quadrados perfeitos? Solução: a) Observe que 360 2 3 3 2 5. Os divisores inteiros e positivos de 360 são os números da forma 2 α 3 β 5 λ, com α P t0,1,2,3u, β P t0,1,2u e λ P t0,1u. O número de modos de escolher os expoentes α, β e λ é 4 3 2 24. Logo, 360 possui 24 divisores inteiros e positivos. 6

b) Para o divisor ser par, α não pode ser 0. O número de divisores pares é 3 3 2 18. c) Para o divisor ser ímpar, α dever ser 0. O número de divisores ímpares é 1 3 2 6. d) Para o divisor ser quadrado perfeito, os expoentes α, β e λ devem ser pares. O número de divisores que são quadrados perfeitos é 2 2 1 4. Exemplo 1.10 De um baralho comum (52 cartas) sacam-se sucessivamente e sem reposição três cartas. Quantas são as extrações nas quais a primeira carta é de copas, a segunda é um rei e a terceira não é uma dama? Solução: Num baralho há 13 cartas de cada naipe (copas, ouros, espadas e paus), sendo 1 rei e 1 dama de cada cada naipe. Vamos dividir o problema em três partes. 1 a ) A 1 a carta é de copas, mas não é rei e nem dama. Há 11 modos de escolher a 1 a carta, 4 modos de escolher a 2 a carta e 46 modos de escolher a 3 a carta. Logo, o número de extrações é 11 4 46 2024. 2 a ) A 1 a carta é o rei de copas. Há 1 modo de escolher a 1 a carta, 3 modos de escolher a 2 a carta e 46 modos de escolher a 3 a carta. Logo, o número de extrações é 1 3 46 138. 3 a ) A 1 a carta é a dama de copas. Há 1 modo de escolher a 1 a carta, 4 modos de escolher a 2 a carta e 47 modos de escolher a 3 a carta. Logo, o número de extrações é 1 4 47 188. Portanto, o número de extrações possíveis é 2024 `138 `188 2350. 7

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO Campus Universitário do Araguaia Professor: Renato Ferreira da Cruz Permutações 2.1 Permutações simples Suponha que tenhamos n objetos diferentes. De quantas maneiras poderemos dispor esses objetos? Por exemplo, quantos diferentes arranjos ordenados das letras a, b e c são possíveis? Por enumeração direta vemos que são 6: abc, acb, bac, bca, cab e cba. Cada combinação é conhecida como uma permutação. Assim, vê-se que um conjunto de 3 objetos permite 6 permutações possíveis. Este resultado poderia ser obtido a partir do princípio básico, já que o primeiro objeto da permutação pode ser qualquer um dos três, o segundo objeto da permutação pode então ser escolhido a partir dos dois restantes e o terceiro objeto da permutação é o objeto restante. Assim, há 3 2 1 6 permutações possíveis. Suponha agora que tenhamos n objetos distintos. O emprego de um racioncínio similar àquele que acabamos de utilizar no caso das três letras mostra então que há permutações diferentes dos n objetos. n pn 1q pn 2q... 3 2 1 n! Observação: Por definição, n! npn 1qpn 2q 3 2 1 para n ě 2 natural, 0! 1 e 1! 1. Exemplo 2.1 Calcule o número de anagramas da palavra MATRIZ. Solução: Cada anagrama corresponde a uma ordem de colocação dessas 6 letras. O número de anagramas é P 6 6! 720. Exemplo 2.2 Quantos são os anagramas da palavra RETÂNGULO que começam por RE? Solução: Como cada anagrama deve começar por RE, devemos arrumar as 7 letras restantes em seguida de RE. O número de anagramas é P 7 7! 5040. Exemplo 2.3 Quantos são os anagramas da palavra TRIÂNGULO que possuem as vogais juntas? Solução: Como as vogais podem estar juntas em qualquer ordem, o número de modos de organizá-las é P 4. O número de modos de organizar o bloco das vogais (como se fosse uma única letra) com as consoantes é P 6. Logo, o número de anagramas é P 4 P 6 4! 6! 17280. 11

Exemplo 2.4 Quantos são os anagramas da palavra CAMELO que não têm 2 vogais juntas? Solução: Denotando C - consoante e V - vogal, temos 4 configurações possíveis (CVCVCV, VCVCVC, VCCVCV e VCVCCV). O número de modos de obter cada uma desas sequências é P 3 P 3 3! 3! 36. Logo, o número de anagrams é 4 36 144. Exemplo 2.5 Considere os números obtidos do número 12345, efetuando-se todas as permutações de seus algarismos. Colocando esses números em ordem crescente, qual a posição ocupada pelo número 43521? Solução: Para determinar a posição ocupada pelo número 43521, devemos contar quantos número vem antes dele. Antes dele estão os números começados por: 1 (4!=24 números) 2 (4!=24 números) 3 (4!=24 números) 41 (3!=6 números) 42 (3!=6números) 431 (2!=2 números) 432 (2!=2 números) 43512 (1 número) Logo, a quantidade números antes de 43521 é 24 3`6 2`2 2`1 89. Portanto, o número 43521 ocupa a 90 a posição. 2.1.1 Permutações com Repetição Vamos determinar o número de permutações de um conjunto de n objetos quando não for possível distinguir certos objetos de outros. Quantos anagramas possui a palavra TÁRTARA? A resposta não é P 7 7! 5040. Pelo fato de TÁRTARA ter letras repetidas, obtemos um número de anagramas menor do que o obteríamos se as letras fossem distintas. Por exemplo, TÁR 1 TAR 2 A e TÁR 2 TAR 1 A seriam anagramas diferentes, o que não é o caso. O número de anagramas de TÁRTARA será representado por P 3,2,2 7, número de permutações de 7 letras das quais 3 são iguais a A, 2 iguais a R e 2 iguais a T. Se as letras fossem diferentes, obteríamos 7! anagramas. Comos os A s são iguais, contamos cada anagrama 3! vezes. Analogamente, contamos cada anagrama 2! vezes por serem iguais os R s e 2! vezes por serem iguais os T s. Logo, P 3,2,2 7 7! 3!2!2! 210. Em geral, o mesmo raciocínio mostra que o número de permutações de n objetos dos quais n 1 são de um tipo, n 2 são de outro tipo e assim por diante é dado por: P n 1,n 2,...,n k n n! n 1!n 2! n k!, com n 1 `n 2 ` `n k n 12

Exemplo 2.6 Quantos são os anagramas da palavra MACACO? Solução: Como há duas letras A e duas letras C, o número de anagramas é: P 2,2 6 6! 2!2! 180. Exemplo 2.7 Determine o número de anagramas da palavra MATEMÁTICA. Solução: Como há três letras A, duas letras T e duas letras M, o número de anagramas é: P 3,2,2 10 10! 3!2!2! 151200. Exemplo 2.8 Quantos são os anagramas da palavra CARAGUATATUBA? Quantos começam por vogal? Solução: a) Como há 5 letras A, 2 letras U e 2 letras T, o número de anagramas é P 5,2,2 13 13! 5!2!2! 12972960. b) Vamos dividir em dois casos. 1 o ) O anagrama começa com a letra A. Como a 1 a letra é a vogal A, devemos arrumar as letras restantes, observando que teremos 4 letras A, 2 letras T e duas letras U. Nesse caso, o número de anagramas é P 4,2,2 12 12! 4!2!2! 4989600. 2 o ) O anagrama começa com a letra U. Como a 1 a letra é a vogal U, devemos arrumar as letras restantes, observando que teremos 5 letras A e 2 letras T. Nesse caso, o número de anagramas é P 5,2 12 12! 5!2 1995840. Portanto, o número total de anagramas é 4989600 `1995840 6985440. Exemplo 2.9 Colocando em ordem alfabética todos os anagramas da palavra DISCRETA, como num dicionário, qual anagrama ocupa a 2882 a posição? Solução: Como há 6! 720 anagramas começados com AC, 6! 720 anagramas começados com AD, 6! 720 anagramas começados com AE e 6! 720 anagramas começados com AI, o 2880 o anagrama é o último começado com AI. Logo, o anagrama que ocupa a 2882 a posição é o segundo começado com AR, ou seja, ARCDEITS. 13

2.2 Permutações Circulares De quantos modos podemos colocar n elementos distintos em torno de um círculo, de modo que disposições que possam coincidir por rotação sejam consideradas iguais? Cada disposição possível é chamada de Permutação Circular. O número de permutações circulares de n elementos será indicada por PC n. Duas permutações circulares são consideradas idênticas se, e somente se, quando percorremos o círculo no sentido anti-horário a partir de um mesmo elemento das duas permutações, encontramos elementos que formam sequências iguais. Por exemplo, no caso n 3 temos P 3 3! 6 modos de colocar 3 elementos distintos em 3 lugares. 1 3 2 2 3 1 2 3 1 1 2 3 3 2 1 3 2 1 Observe que as três primeiras disposições podem concidir entre si por rotação e o mesmo ocorre com as três últimas, de modo que PC 3 2. Note que nas permutações simples importam os lugares que os elementos ocupam enquanto que nas permutações circulares o que importa é apenas a posição relativa dos elementos entre si. Nas três primeiras figuras, olhando os círculos no sentido anti-horário, 1 precede 2, que precede 3, que precede 1. Logo, a posição relativa dos elementos é a mesma. Na três últimas figuras, 1 precede 3, que precede 2, que precede 1 de modo que, a posição dos objetos é a mesma. De modo geral, o número de modos de dispor n elementos distintos em círculo, de modo que disposições que possam coincidir por rotação sejam consideradas iguais é PC n pn 1q!. Observação: Nessa contagem, interessa apenas a posição relativa dos objetos entre si, ou seja, duas disposições são consideradas indistinguíveis se uma pode se obtida a partir da outra por uma rotação conveniente dos elementos. Exemplo 2.10 De quantos modos 5 crianças podem formar uma roda de ciranda? Solução: O número de modos de formar uma roda de ciranda épc 5 p5 1q! 4! 24. Exemplo 2.11 De quantos modos podemos formar uma roda de ciranda com 7 crianças, de modo que duas determinadas dessas crianças não fiquem juntas? Solução: O número de modos de formar uma roda de modo que as crianças A e B fiquem juntas é 2PC 6 2 p6 1q! 2 5! 240. O número de modos de formar uma roda com as 7 crianças sem nenhuma restrição é PC 7 p7 1q! 6! 720. Portanto, o número de modos de forma a roda de modo que duas determinadas dessas crianças não fiquem juntas é 720 240 480. 14

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO Campus Universitário do Araguaia Professor: Renato Ferreira da Cruz Arranjos e Combinações 3.1 Arranjos e combinações Quando dispomos de um certo número de elementos e queremos saber quantos agrupamentos com alguns desses elementos podemos formar, devemos, primeiro, definir que tipo de agrupamentos queremos. Existem, basicamente, dois tipos: os agrupamentos em que ordem dos elementos é importante, e aqueles em que a ordem dos elementos utilizados não é importante. Se, por exemplo, com os elementos de A t6,7,8,9u, formarmos conjuntos de 3 elementos, teremos agrupamentos dos 4 elementos de A, tomados 3 a 3, onde a ordem não importa, isto é, se mudarmos a ordem dos elementos, o conjunto não se modifica: t6,7,8u t7,6,8u t8,7,6u No entanto, se em vez de conjuntos, formarmos números de 3 algarismos distintos, teremos agrupamentos dos 4 elementos de A, tomados 3 a 3, em que a ordem é importante, isto é, se mudarmos a ordem dos algarismos, o número se modifica: 678 768 876 Veja a lista completa desses agrupamentos de 4 elementos tomados 3 a 3: Agrupamentos de 4, tomados 3 a 3 t6, 7, 8u 678 687 768 786 867 876 t6, 7, 9u 679 697 769 796 967 976 t6, 8, 9u 689 698 869 896 968 986 t7, 8, 9u 789 798 879 897 978 987 a ordem dos elementos não importa a ordem dos elementos importa Combinação Os agrupamentos em que a ordem dos elementos não importa, ou seja, modificando a ordem, o grupo não se modifica, são chamados de combinações. Arranjo Os agrupamentos em que a ordem dos elementos é importante, ou seja, modificando a ordem, o grupo se modifica, são chamados de arranjos. Formalmente, para um dado conjunto A com n elementos, definimos: 19

Definição 3.1 Dados n elementos distintos, chama-se arranjo simples desses n elementos, tomados k a k, a qualquer agrupamento ordenado de k elementos distintos, escolhidos entre os n elementos dados e será indicado por A k n. Definição 3.2 Uma combinação simples é um agrupamento de k objetos retirados de um grupo de n objetos sem levar em conta a ordem, e é denotada por C k n. Observação: Ainda não sabemos calcular a quantidade de combinações ou de arranjos. Por contagem direta, da tabela acima, temos que C 3 4 4 e A 3 4 24. Mas não adianta saber calcular sem saber distinguir um tipo de agrupamento do outro. É isso que devemos treinar, seguindo o seguinte roteiro: Em cada questão proposta, criamos um exemplo dos agrupamentos pedidos. Em seguida, trocamos a ordem de dois ou mais elementos do exemplo. Se trocada a ordem, o agrupamento não se alterou, trata-se de um problema de combinação e se o agrupamento mudou, trata-se de um problema de arranjo. Nos exemplos seguintes, dê as respostas utilizando as notações A k n ou C k n. Exemplo 3.1 Dados 5 pontos distintos sobre uma circunferência, pergunta-se: com extremos nesses pontos, a) quantos segmentos de reta podemos formar? b) quantos vetores podemos formar? Solução: a) Para formar um segmento devemos tomar os pontos 2 a 2. Se considerarmos, por exemplo, o segmento AB, temos que AB BA. Logo, esse problema é de combinação, pois trocando a ordem dos pontos, temos o mesmo segmento. Logo, o número total de segmentos é C 2 5. b) Para formar um vetor devemos tomar os pontos 2 a 2. Se considerarmos, por exemplo, o vetor ÝÑ ÝÑ ÝÑ AB, temos que AB BA. Logo, esse problema é de arranjo, pois trocando a ordem dos pontos, temos vetores diferentes. Lembre-se que uma das características de um vetor é o seu sentido. Mudando o sentido, muda o vetor. Logo, o número total de vetores é A 2 5. 20

Exemplo 3.2 Entre 6 livros de autores diferentes, uma pessoa quer escolher 3 para presentear: a) três amigos (um livro para cada amigo) b) um só amigo com os 3 livros. Quantas são as maneiras que essa pessoa tem de presentear com os livros? Solução: a) Supondo que para o 1 o amigo ele escolha o livro A, para o 2 o, o livro B e para o 3 o o livro C, se trocarmos a ordem, os três amigos receberão presentes diferentes daqueles inicialmente designados. Trata-se, então, de um problema de arranjo. Logo, o número de maneiras dela presentear com os livros é A 3 6. b) Se é o mesmo amigo quem vai receber os livros A, B e C, se mudarmos a ordem para C, B e A, o presente não muda. Ele recebe os mesmos livros. Trata-se, então de um problema de combinação. Nesse caso, o número de maneiras dela presentear com os livros é C 3 6. 3.2 Cálculo do número de arranjos e de combinações 3.2.1 Arranjos Vamos retomar o exemplo com que introduzimos os conceitos de arranjos e combinações: Dado o conjuntoa t6,7,8,9u, quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar? Já sabemos que a resposta dessa questão é A 3 4 24. No entanto, se observarmos que escrever um número de 3 algarismos é uma experiência que se realiza por etapas, poderemos determinar o total de números pelo PFC: 1 o ) Escolha do algarismo das centenas: 4 possibilidades. 2 o ) Escolha do algarismo das dezenas: 3 possibilidades. 3 o ) Escolha do algarismo das unidades: 2 possibilidades. 1 o 2 o 3 o possibilidades 4 3 2 pelo PFC: 4 3 2 24 Pelo Princípio Fundamental da Contagem, a quantidade de números possíveis é 4 3 2 24. Observe, então que A 3 4 4loomoon 3 2 24. 3 fatores Se o conjunto A tivesse (por exemplo) 9 algarismos ( 0), para formar números de 4 algarismos distintos teríamos o seguinte raciocínio para A 4 9: 1 o 2 o 3 o 4 o possibilidades 9 8 7 6 pelo PFC: 9 8 7 6 3024 21

Logo, A 4 9 9 8 7 6 loooomoooon 4 fatores 3024. De modo geral, se A tem n elementos, o número de maneiras de selecionarmos o primeiro elemento será n, o segundo, pn 1q maneiras, o terceiro, pn 2q maneiras e assim, sucessivamente, o número de maneiras se selecionarmos o k-ésimo elemento será n k ` 1. Pelo princípio fundamental da contagem, o número de maneiras de selecionarmos k elementos entre n, será dado por: A k n n pn 1q pn 2q... pn k `1q. 1 o 2 o 3 o k o possibilidades n n 1 n 2 n pk 1q Conclusão: Para calcularmos A k n, basta efetuar o produto dos naturais, começando por n em ordem decrescente, num total de k fatores. Exemplo 3.3 a) A 5 10 10 9 8 7 6 looooooomooooooon b) A 3 3 3 2 1 loomoon 3 fatores 5 fatores 6 c) A 2 n n pn 1q loooomoooon 2 fatores 30240 n 2 n 3.2.2 Combinações Se observarmos a tabela com todos os arranjos e combinações de 3 elementos que fizemos na página 19, percebemos que cada combinação é capaz de gerar 6 arranjos. Por exemplo: t6,7,8u loomoon combinação Então, vemos aí uma proporcionalidade: Daí, temos: 1 C 3 4 6 A 3 4 Ñ 678 687 768 786 867 876 loooooooooooooooooooomoooooooooooooooooooon arranjos gera 1 combinação 6 arranjos C 3 4 combinações ñ C 3 4 A3 4 6 22 geram ñ C 3 4 A3 4 3 2 1 A 3 4 arranjos De modo geral, se A tem n elementos, tem-se: gera 1 combinação k! arranjos C k n combinações geram A k n arranjos ñ C 3 4 A3 4 3!

Assim, 1 C k n k! A k n ñ C k n Ak n k! Portanto, o número de combinações simples tomados k a k é C k n Ak n k!. Exemplo 3.4 a) C 2 6 A2 6 2! Observação: Temos que: 6 5 2 1 15 d) C4 12 A4 12 4! 12 11 10 9 4 3 2 1 495 A k n n pn 1q pn 2q... pn k `1q n pn 1q pn 2q... pn k `1q pn kq pn k 1q... 2 1 pn kq pn k 1q... 2 1 n! pn kq! Além disso, Cn k Ak n k! Portanto, A k n n! k!pn kq!. n! pn kq! e C k n n! k!pn kq!, onde 0 ď k ď n n! O número surge em muitos resultados da Matemática e, por isso, um símbolo k!pn kq! especial é empregado para ele. Escreveremos: n! ˆn k!pn kq! k ˆn Os números são frequentemente denominados coeficientes binomiais, porque eles aparecem como coeficientes no desenvolvimento da expansão binomial k nÿ ˆn pa `bq n a k b n k. k k 0 ˆn Os números apresentam muitas propriedades interessantes, apenas duas das quais mencionaremos k aqui. Teorema 3.1 Se n é inteiro e k um inteiro, 0 ď k ď n, então: ˆ ˆn n a) b) k n k ˆn k ˆn 1 ` k 1 ˆn 1 k Demonstração: ˆ n a) n k n! pn kq!pn pn kqq! n! pn kq!k! n! k!pn kq! ˆn k 23

b) ˆn 1 ` k 1 ˆn 1 k pn 1q! pk 1q!pn 1 pk 1qq! ` pn 1q! k!pn 1 kq! pn 1q! pk 1q!pn kq! ` pn 1q! k!pn k 1q! kpn 1q! ` pn kqpn 1q! k!pn kq! npn 1q! k!pn kq! n! ˆn k!pn kq! k Exemplo 3.5 Um comitê de três pessoas deve ser formado a partir de um grupo de 20 pessoas. Quantos comitês são possíveis? Solução: Como a ordem das pessoas não altera o comitês, o número de comitês possíveis é C 3 20 1140. Exemplo 3.6 De um grupo de cinco mulheres e sete homens, quantos comitês diferentes formados por duas mulheres e três homens pode ser formados? Solução: O número de modos de escolher as duas mulheres é C 2 5 10 e o número de modos de escolher os três homens é C 3 7 35. Logo, o número de comitês possíveis de serem formados com duas mulheres e três homens é C 2 5 C 3 7 10 35 350. Exemplo 3.7 Um grupo de nove pessoas é constituído de cinco homens e quatro mulheres. Quantas comissões de cinco pessoas podem ser formadas, incluindo exatamente três homens? Solução: Para formar a comissão devemos escolher 3 homens e 2 mulheres. Logo, o número de comissões possíveis de serem formadas é C 3 5 C 2 4 10 6 60. Exemplo 3.8 Com 5 homens e 4 mulheres, quantas comissões de 5 pessoas, com pelo menos 3 homens, podem ser formadas? Solução: Há comissões com: 3 homens e 2 mulheres, 4 homens e 1 mulher, 5 homens. Logo, o número de comissões possíveis de serem formadas é: C 3 5 C 2 4 `C 4 5 C 1 4 `C 5 5 10 6`5 4`1 81 24

Exemplo 3.9 Um grupo é constituído de 10 pessoas, entre elas Jonas e César. O grupo é disposto ao acaso em uma fila. De quantas maneiras podemos organizá-las de modo que haja exatamente 4 pessoas entre Jonas e César? Solução: Há C 4 8 modos de escolher as 4 pessoas que ficarão entre Jonas e César e 4! modos de organizá-las entre si. Há 2 modos de dispor Jonas e César (um à direita e outro à esquerda do grupo das 4 pessoas). Depois disso, há 5! modos de organizar as 4 pessoas restantes com o bloco formado por Jonas, César e as 4 pessoas que estão entre eles. Logo, o número de maneiras de dispor as 10 pessoas em fila de modo que haja exatamente 4 pessoas entre Jonas e César é C 4 8 4! 2 5! 403200. Exemplo 3.10 Dentre 6 números positivos e 8 números negativos, escolhem-se ao acaso 4 números (sem reposição) e multiplicam-se esses números. Quantos desses produtos são positivos? Solução: Para que o produto de 4 números seja positivo temos 3 casos disjuntos: 1 o ) Todos são negativos: Há C 4 6 modos de escolher esses 4 números. 2 o ) Todos são negativos: Há C 4 8 modos de escolher esses 4 números. 3 o ) Dois são positivos e dois são negativos: HáC 2 6 C 2 8 modos de escolher esses 4 números. Assim, a quantidade de produtos positivos é C 4 6 `C 4 8 `C 2 6 C 2 8 15 `70 `15 28 505. Exemplo 3.11 Um conjunto A possui 36 subconjuntos de 2 elementos. Quantos subconjuntos de 3 elementos possui esse conjunto? Solução: Seja n o número de elementos do conjuto A. Como A possui 36 subcojuntos de 2 elementos, então C 2 n 36 ñ n! 2!pn 2q! 36 ñ n2 n 72 0 ñ n 9 Logo, o número de subconjuntos de 3 elementos que A possui é C 3 9 84. Exemplo 3.12 Em uma reunião social, cada pessoa cumprimenta todas as outras, havendo ao todo 45 apertos de mão. Quantas pessoas haviam na reunião? Solução: Seja n o número de pessoas presentes na reunião. Então: C 2 n 45 ñ n! 2!pn 2q! 45 ñ npn 1q 2 Logo, haviam 10 pessoas na reunião. 45 ñ n 2 n 90 0 ñ n 10 25

Exemplo 3.13 Do cardápio de uma festa constavam dez diferentes tipos de salgadinhos dos quais só quatro seriam servidos quentes. O garçom encarregado de arrumar a travessa e servi-la foi instruído para que a mesma contivesse sempre só 2 diferentes tipos de salgadinhos frios, e só 2 diferentes dos quentes. De quantos modos diferentes, teve o garçom a liberdade de selecionar os salgadinhos para compor a travessa, respeitando as instruções? Solução: O garçom deve escolher 4 dentre os 10 tipos de salgadinhos do cardápio, respeitando as instruções. Há C 2 6 modos de escolher os salgadinhos frios e C 2 4 de escolher os salgadinhos quentes. Logo, o número de modos diferentes de o garçom compor a travessa é C 2 6 C 2 4 15 6 90. Exemplo 3.14 Quantos são os anagramas da palavra CAMELO que não possuem duas vogais juntas? Solução: Há 3! modos de arrumar em fila as consoantes C, M e L. Depois de arrumadas as consoantes, por exemplo na ordem CML, devemos colocar as vogais A, E e O antes, entre e depois das consoantes, como mostra o esquema abaixo. _C_M_L_ Como não podemos colocar duas vogais no mesmo espaço, três dos espaços ficarão ocupados, cada um com uma vogal e um dos espaços ficará vazio. Temos C 3 4 modos de escolher os espaços que serão ocupados e 3! modos de dispor as vogais nos espaços escolhidos. Portanto, o número de anagramas possíveis é 3! C 3 4 3! 144. Exemplo 3.15 O número de comissões diferentes, de 2 pessoas, que podemos formar com os n diretores de uma firma, é k. Se, no entanto, ao formar estas comissões, tivermos que indicar uma das pessoas para presidente e a outra para suplente podemos formar k ` 3 comissões diferentes. Determine o valor de n. Solução: O número de comissões possíveis com 2 pessoas é C 2 n k. Ao indicarmos uma das pessoas para presidente e a outra para suplente, o número de comissões passa a ser k `3 2! C k n. A partir dessas informações temos: Assim, k `3 2k ñ k 3 C 2 n 3 ñ n! 2!pn 2q! 3 ñ npn 1q 6 ñ n2 n 6 0 ñ n 3 26

3.3 Combinações Completas Vamos começar com o seguinte exemplo: De quantos modos podemos comprar 2 sorvetes em um bar que os oferece em 4 sabores distintos? A resposta não é C 2 4 6. Esse valor seria o número de modos de escolher 2 sabores diferentes entre os 4 sabores oferecidos. A resposta desse problema será representada por CR 2 4. Logo, CR 2 4 é o número de modos de escolher 2 elementos entre 4 elementos distintos, valendo ocorrer repetição. De modo geral, C k n é o número de modos de escolher k elementos distintos entre n elementos distintos dados e, CR k n é o número de modos de escolher k objetos distintos ou não entre n elementos distintos dados. Usando um diagrama de árvore, podemos encontrar a resposta da questão proposta inicialmente. S 1 S 1 S 1 S 2 S 1 S 2 S 1 S 3 S 1 S 3 S 4 S 1 S 4 S 2 S 2 S 2 S 2 S 3 S 2 S 3 S 4 S 2 S 4 S 3 S 3 S 3 S 3 S 4 S 3 S 4 S 4 S 4 S 4 S 4 Do diagrama de árvore, podemos concluir que há CR 2 4 10 modos diferentes de comprar 2 sorvetes escolhidos dentre os 4 sabores disponíveis. Observe que poderão ocorrer repetição dos sabores e a ordem não altera o agrupamento. Por exemplo, se comprarmos um sorvete de abacaxi e um outro de limão é a mesma coisa que comprar um sorvete de limão e um outro de abacaxi. Ainda, podemos comprar os dois sorvetes do mesmo sabor. 27

A resposta obtida anteriormente para CR 2 4 pode ser obtida de outro modo. Note que, para efeturar a compra devemos escolher valores para as variáveis x 1, x 2, x 3 e x 4 onde x 1 é a quantidade que vamos comprar de sorvetes do sabor S 1, x 2 é a quantidade que vamos comprar de sorvetes do sabor S 2, x 3 é a quantidade que vamos comprar de sorvetes do sabor S 3 e x 4 é a quantidade que vamos comprar de sorvetes do sabor S 4. É óbvio que x 1, x 2, x 3 e x 4 devem ser inteiros não negativos (ou seja, maiores ou iguais a zero) e que x 1 `x 2 `x 3 `x 4 2. As soluções possíveis (inteiras e não negativas) para a equação x 1 `x 2 `x 3 `x 4 2 são: px 1,x 2,x 3,x 4 q Combinações 1 a p2,0,0,0q 2 sorvetes do sabor S 1 2 a p0,2,0,0q 2 sorvetes do sabor S 2 3 a p0,0,2,0q 2 sorvetes do sabor S 3 4 a p0,0,0,2q 2 sorvetes do sabor S 4 5 a p1,1,0,0q 1 sorvete do sabor S 1 e 1 sorvete do sabor S 2 6 a p1,0,1,0q 1 sorvete do sabor S 1 e 1 sorvete do sabor S 3 7 a p1,0,0,1q 1 sorvete do sabor S 1 e 1 sorvete do sabor S 4 8 a p0,1,1,0q 1 sorvete do sabor S 2 e 1 sorvete do sabor S 3 9 a p0,1,0,1q 1 sorvete do sabor S 1 e 1 sorvete do sabor S 4 10 a p0,0,1,1q 1 sorvete do sabor S 3 e 1 sorvete do sabor S 4 O valor de CR 2 4 também pode ser calculado usando um esquema chamado bola-traço. Devemos determinar todas as soluções inteiras e não-negativas para a equação x 1 `x 2 `x 3 `x 4 2. No esquema abaixo cada bola representa uma unidade no valor da incógnita x j e cada traço é usado para separar duas incógnitas. Algumas soluções possíveis são: x 1 x 2 x 3 x 4 1 1 0 0 1 0 0 1 0 2 0 0 Observe que para cada solução devemos ter 2 bolas e 3 traços. Para obter o número de soluções da equação dada devemos arrumar em fila 2 bolas e 3 traços. Mas, o número de modos de se fazer isso é: P 2,3 5 5! 2!3! 5! 2!p5 2q! C2 5 Logo, CR 2 4 C 2 4`2 1 C 2 5 10. No caso geral, para calcular CR k n, isto é, para determinar o número de soluções inteiras e não-negativas da equação x 1 `x 2 ` `x n k teríamos k bolas e n 1 traços. Logo, Portanto, CR k n C k n`k 1. CRn k P k,n 1 pn `k 1q! n`k 1 k!pn 1q! 28 C k n`k 1

Exemplo 3.16 De quantos modos podemos comprar 3 sorvetes em um bar que os oferece em 6 sabores distintos? Solução: Como a ordem a ordem dos sorvetes não faz diferença e pode repetição do mesmo sabor, o número de modos de comprar os 3 sorvetes é CR 3 6 C 3 856. Exemplo 3.17 Quantas soluções inteiras não-negativas tem a equação x `y `z 7? Solução: O número de soluções inteiras e não-negativas da equação dada é CR3 7 C9 7 36. Exemplo 3.18 Quantas soluções inteiras não-negativas tem a inequação x `y `z ď 5? Solução: Note quex`y`z ď 5 é equivalente a5 x y z ě 0. Fazendow 5 x y z, temos que o número de soluções da inequação é igual ao número de soluções da seguinte equação: x `y `z `w 5, com x ě 0,y ě 0,z ě 0 e w ě 0 onde o número soluções inteiras é CR 5 3 C 5 7 21. Logo, o número de soluções inteiras não-negativas da inequação x `y `z ď 5 é 21. Exemplo 3.19 Quantas soluções inteiras não-negativas tem a equação x ` y ` z 20 com x ě 2, y ě 2 e z ě 2? Solução: Fazendo a x 2, b y 2 e c z 2, a equação x ` y ` z 20 com x ě 2, y ě 2 e z ě 2 é equivalente à equação a `b`c 14, com a ě 0, b ě 0 e c ě 0. O número de soluções dessa última é C3 14 C16 14 120. Portanto, o número de soluções inteiras não-negativas da equação x `y `z 20 com x ě 2, y ě 2 e z ě 2 é 120. 29