CONCEITO DE ERRO A noção de erro está presente em todos os campos do Cálculo Numérico. De um lado, os dados, em si, nem sempre são exatos e, de outro lado, as operações sobre valores não exatos propagam esses erros a seus resultados. Finalmente, os próprios métodos numéricos, frequentemente métodos aproximados, buscam a minimização dos erros, procurando resultados o mais próximo possível do que seriam valores exatos. Erro é a diferença entre o valor exato e o valor apresentado. Dar a representação dos números a seguir num sistema de aritmética de ponto flutuante de três dígitos para β = 10, I=-4 e S=4 Analisaremos os erros que ocorrem durante as fases de modelagem e resolução e também sobre erros de arredondamento e erros de truncamento. Quando se utiliza o arredondamento os erros cometidos são menores que no truncamento, no entanto o arredondamento requer um maior tempo de execução e por esta razão o truncamento é mais utilizado. ERROS NA FASE DE MODELAGEM Ao se tentar representar um fenômeno do mundo físico por meio de um método matemático, raramente se tem uma descrição correta deste fenômeno. Normalmente, são necessárias várias simplificações do mundo físico para que se tenha um modelo. ERRO DE TRUNCAMENTO Erro proveniente da limitação do número de iterações dos métodos numéricos durante a determinação de um valor de interesse. NÚMERO DE INTERAÇÕES Teórico - Infinito ou muito grande www.meccomeletronica.com Página 1
Prático - Limitado por restrições associadas à capacidade de processamento/ armazenamento do sistema. ERRO DE ARREDONDAMENTO Aproximação do valor de um número real para sua representação com um número finito de dígitos. Inerentes à estrutura da máquina e à utilização de uma aritmética de precisão finita. ERRO DE REPRESENTAÇÃO X ERRO DE TRUNCAMENTO Erro de Representação Associada à conversão numérica entre bases (representação humana e de máquina) ou à realização de operações aritméticas. Erro de Truncamento Associada à quantidade de informação que a máquina pode conter sob a forma de um número. Representação dos números reais com um número finito de dígitos (aproximação). Ex. 02: Cálculo da área de uma circunferência de raio 100 m Representação dos números reais com um número finito de dígitos (aproximação). Dependência da representação numérica da máquina utilizada. www.meccomeletronica.com Página 2
Ex. 05: Seja x = 0,937.10^4 e y = 0,1272.10^2. Calcular x+y. Alinhamento dos pontos decimais antes da soma Resultado com 4 dígitos Sistema de aritmética de ponto flutuante de 4 dígitos, precisão dupla Ex. 06: Seja x = 0,937.10^4 e y = 0,1272.10^2. Calcular x.y. PROPAGAÇÃO DE ERROS Será mostrado um exemplo que ilustra como os erros descritos anteriormente podem influenciar no desenvolvimento de um cálculo. Suponhamos que as operações indicadas nos itens a) e b) sejam processadas numa máquina com 4 dígitos significativos. www.meccomeletronica.com Página 3
A causa da diferença nas operações anteriores foi um arredondamento que foi feito na adição do item a, cujo resultado tem oito dígitos. Como a máquina só armazena 4 dígitos, os menos significativos foram desprezados. Ao se utilizar uma máquina de calcular deve-se está atento a essas particularidades causadas pelo erro de arredondamento, não só na adição, mas também nas demais operações. www.meccomeletronica.com Página 4
LISTA DE EXERCÍCIOS 2 01. Escrever os números reais x1 = 0.35, x2 = 5.172, x2 = 0.0123, x4 = 0.0003, e x5 = 5391.3, onde estão todos na base β = 10 em notação de um sistema de aritmética de ponto flutuante. 02. Suponha-se que as operações a seguir sejam processadas em uma máquina com 4 dígitos significativos e fazendo-se: a) (x2+x1) x1 b) x2 + (x1 x1) Caso os números não possuam os mesmos valores, explique a resposta apresentada. 03. Seja um sistema de aritmética de ponto flutuante de quatro dígitos, base decimal e com acumulador de precisão, dupla. Efetue as seguintes operações e obtenha o erro relativo no resultado, supondo que x, y e z estão exatamente representados: a) X+ Y + Z b) X - Y - Z c) X/Y d) (XY)/z e) X(Y/Z) 04. Como será representado o número 73,758 nessa máquina se for usado o arredondamento? E se for usado o truncamento? Calcule para cada caso o erro absoluto e o erro relativo. 05. Na operação de uma maquina, feito a analise de estado, chegou-se nos seguintes dados: - a = 42450 - b = 3 Qual resultado o resultado de a+b, que será apresentado por essa máquina? www.meccomeletronica.com Página 5