1 NOTAÇÃO CIENTÍFICA Os números muito grandes ou muito pequenos podem ser escritos através de um produto n da forma x 10, onde 1 x < 10 e n Z. Denominamos essa representação de notação científica. Distância da Terra ao Sol =150.000.000 km Notação científica : 1 5 10 8, km Velocidade da luz = 300.000km/s Notação científica :3 10 5 km / s Massa do átomo de hidrogênio= 0,000 000 000 000 000 000 000 00166 g 24 Notação científica: 1,66 10 g 1- Dê a notação científica dos números: a) 82.500 c) 243.000.000.000 e) 0,00045 g) 0,000 000 0004 b) 15.000.000 d) 1.030.000.000 f) 0,000 000 003 h) 0, 000 000 000 15 2- Represente os seguintes números em potências de 10 a) 0,1 d) 0,001 g) 1 0, 01 b) 1000 e) 100 000 h) 100 0, 1 c) 0,0001 f) 1 10 000 i) 0, 01 1000 3- Um ônibus espacial ao ser lançado libera 163 toneladas de ácido clorídrico, causando sérios danos à camada de ozônio. Dê a notação científica dessa massa liberada em gramas. 4- No cérebro há mais de 14 milhões de neurônios. Escreva esse número em notação científica. 5-Segundo a previsão, a população mundial no ano 2.050 será de 10 bilhões de habitantes. Use a notação científica para escrever essa população. 6- Em 1972 a nave americana Pioneer 10 percorreu 5.900.000.000.000 km, estabelecendo um recorde na corrida espacial.dê a notação científica desta distância. 7- A estrela de Barnard localiza-se a 6 anos-luz do Sol. Dê a notação científica dessa distância em km, sabendo que 1 ano-luz corresponde a, aproximadamente, 9,5 trilhões de km.
2 8-O governo dos EUA está financiando as pesquisas do Nasp (Avião Nacional Aeroespacial), projetado para levantar vôo como avião e entrar em órbita. O Nasp, por enquanto batizado X-30 (X é o código para aviões experimentais), deverá ser testado ainda neste século. O hipersônico americano deverá voar a uma velocidade de 23.760 km/h(mach20).dê a notação científica dessa velocidade. 9-A fusão nuclear produz a energia que mantém acesa as estrelas. Uma versão de laboratório, a 300 milhões de graus Celsius,foi obtida por físicos europeus na Grã Bretanha. Dê a notação científica da temperatura dessa experiência em graus Celsius. 10- A tabela a seguir registra a distância média dos planetas do sistema solar ao Sol, vamos completá-la usando notação científica. Planeta Distância média ao Sol ( em km) Utilizando Notação Científica Mercúrio 57 900 000 Vênus 108 200 000 Terra 149 600 000 Marte 227 900 000 11- Dê a resposta das expressões numéricas em notação científica a) -3 7 ( 2,4 10 ) ( 3,6 10 ) c) 3 6 ( 4,8 10 ) ( 1,6 10 ) b) -7 2 ( 4,2 10 ) ( 2 10 ) 3,6 10 d) 1,44 10 2 4 12- A massa de um próton é 1, 65 10 24 gramas. Qual é a massa em quilogramas de 50 prótons? Dê a resposta em notação científica. 13-Sabe-se que a=0,0013 e b=0,005.nessas condições, escreva o número que expressa o produto a.b usando a Notação Científica. 14- Determine, em potência de 10, o valor da expressão: ( 0,01) 0,0001 0,001 2 1000
3 SISTEMAS DE NUMERAÇÃO A evolução no sistema de contagem Ao longo da história percebemos que o homem sempre teve a necessidade de contar objetos, coisas e registrar de alguma maneira essas quantidades encontradas. Um dos primeiros registros que a história nos conta provavelmente foi a associação dos homens com os seus dedos da mão ( digitus = dedos), mas que em pouco tempo tornou-se impossível estabelecer uma correspondência entre cada dedo e a quantidade a ser contada, quando essa quantidade era maior que dez. Então o homem começou associar os objetos a serem contados com pedrinhas, sementes, riscos em gravestos, ossos ou mesmo nas cavernas. Um outro recurso muito importante surgiu quando os homens começaram a substituir grupos de dez por outro objeto diferente na cor, tamanho ou tipo. O ato de usar pedras ( em latim - calculus)para associar quantidades tornou-se comum a vários povos, por isso o termo calcular ou fazer cálculo. Conforme os cálculos foram ficando mais sofisticados, povos como os chineses começaram a desenvolver instrumentos facilitadores como o ábaco, muito utilizado nas escolas atuais. Sistema de numeração É o conjunto de símbolos e regras que nos permite representar números. Um sistema muito antigo e até hoje utilizado é o sistema de numeração romano, que consiste em usar letras para representar números. Símbolo romano I V X L C D M Número 1 5 10 50 100 500 1000 Para a utilização desse sistema algumas regras devem ser obedecidas: Os símbolos I, X, C e M podem ser utilizados até três vezes num mesmo número. 3 = III 30 = XXX 300 = CCC 3000 = MMM Os símbolos I, X e C quando colocados antes de símbolos que representam valores maiores do que eles, significa que eles tem os seus valores subtraídos do símbolo imediatamente a direita. 4 = IV IX = 9 XL = 40 XC = 90 CD = 400
4 Um símbolo escrito a direita do outro tem o seu valor somado ao símbolo da esquerda,, com exceção de I,X e C, quando escritos na forma IV, IX, XL, XC, CD e CM. 6 = VI 70 = LXX 68 = LXVIII 1752 = MDCCLII Colocando -se um traço horizontal sobre um ou mais símbolos, significa que o seu ou os seus valores foram multiplicados por mil. 4000 = IV 15123 = XVCXXIII Sistema de numeração decimal Esse sistema de numeração também conhecido como posicional, pois cada algarismo tem o seu valor de acordo com a sua posição no número. O sistema adotado o nome de decimal pois a contagem é feita em grupos de dez: onde dez unidades equivalem a uma dezena, dez dezenas equivalem a uma centena, dez centenas formam uma unidade de milha, e assim por diante. Os símbolos usados para representar os números são conhecidos como algarismos indoarábicos,pois o seu aparecimento é atribuído aos indianos e a sua divulgação aos árabes. Observe no quadro abaixo as modificações que os algarismos sofreram desde os primeiros registros até os dias de hoje. Um dois três quatro cinco seis sete oito nove zero O sistema descrito acima é o decimal, isto significa que o algarismo que está escrito imediatamente a esqueda de outro tem o seu valor dez vezes maior do que se estivesse escrito na posição imediatamente a direita dele.
5 Com os dez símbolos que temos podemos escrever qualquer número, mesmo que ele seja maior que dez, basta apenas mudar o símbolo de posição. 14 = vale 4 unidades 47 = vale 40 unidades 489 = vale 400 unidades ou 40 dezenas Para que possamos ler com facilidade, as ordens foram agrupadas de 3 em 3 da direita para a esquerda. Cada grupo de 3 ordens formam uma classe. centenas de bilhão dezenas de _ centenas de milhão dezenas de centenas de milhares dezenas de centenas dezenas unidades _ Classe dos bilhões Classe dos milhões Classe dos milhares Classe das unidades a) 3 526 lê-se : três mil, quinhentos e vinte e seis b) 15.734.106 lê-se : quinze milhões, setecentos e trinta e quatro mil e cento e seis Obs.: As classes podem ser separadas por um espaço ou por um ponto Base de um sistema numérico No sistema de numeração decimal agrupamos e reagrupamos de 10 em 10 o que caracteriza o sistema conhecido como de base 10. Se agrupássemos e reagrupássemos de 7 em 7 o sistema teria base 7. Os sistemas mais utilizados são os de base 10 ( decimal), base 2 (binário), base 8 (octal) e base 16 (hexadecimal). Para identicarmos a base do sistema, na qual o número está escrito, devemos colocá-la como índice no número. 243 5 ( base 5) 978 10 ou 978 ( base 10) 546 7 ( base 7)
6 Base dois ou sistema binário Os computadores utilizam circuitos eletrônicos que são capazes de distinguir dois níveis de tensão, alta ou baixa.isso significa que as informações armazenadas nele utilizam esses dois níveis de tensão, que de agora em diante iremos representá-los pelos algarismos 0 (baixa tensão) e 1 (alta tensão), ou 0 ( desligado) e 1 ( ligado). Cada um dos algarismos utilizados para representar um número na forma binária recebe o nome de bit ( Binary digit). Temos agora algumas denominações muito freqüentes: 1 byte = 8 bits 1 kilobyte = 1024 bytes 1 megabyte = 1024 kilobytes ( K ou KB) 1 gigabyte = 1024 megabytes (MB) 1terabyte = 1024 gigabytes (GB) 1petabyte = 1024 terabytes (TB) 1 exabyte = 1024 petabytes (PB) 1 zetabyte = 1024 exabytes (EB) 1 yotabyte = 1024 zetabytes (ZB) O sistema de base 2 utiliza somentes os algarismos 0 e 1, lembrando que os agrupamentos e reagrupamentos se dão de dois em dois, ou seja cada 2 unidades de uma ordem formam uma unidade de ordem superior. 101 2 = 1 2 2 + 0 2 1 + 1 2 0 = 4 + 0 + 1 = 5 1011 2 = 1 2 3 + 0 2 2 + 1 2 1 + 1 2 0 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11 11111 2 = 1 2 4 + 1 2 3 + 1 2 2 + 1 2 1 + 1 2 Passando para a base dois Para entendermos um pouco melhor essa idéia, vamos imaginar que tivéssemos um jogo onde o tabuleiro é uma caixa com compartimentos e cada compartimento no sistema binário só aceita estar vazio ou com uma bolinha, já que duas bolinhas se transformam em uma na ordem seguinte. Exemplo: 5 = Logo temos que 5 é igual a 101 2 1 0 1 Agora ficará mais fácil enterdermos os processos utilizados abaixo, para transformarmos um números escrito na base 10 para a base 2.
7 1º Processo Para passarmos um número escrito na base 10 para a base dois, devemos dividi-lo por dois reservando o resto e divindo novamente o quociente obtido por 2, e seguindo dessa maneira até obtermos um quociente igual a 1. A leitura do número escrito na base dois é dada pelo último quociente e os restos seguintes. Passe para a base 2 os seguintes números escritos na base 10. a) 18 b) 79 18 2 79 2 0 9 2 1 39 2 18 = 10010 2 79 = 1001111 2 2º Processo Outra maneira de obtermos o número binário equivalente a um dado número natural escrito na forma decimal, é transformá-lo numa soma de potências de base dois. Podemos fazer isso, subtraindo do número dado a maior potência de base dois conseguida, e continuar esse processo com os restos que forem surgindo. 1 4 2 Escreva na base dois, os seguintes números escritos na base dez: a) 18 = 1 2 4 + 0 2 3 + 0 2 2 + 1 2 1 + 0 2 0 Portanto : 18 = 10010 2 0 2 2 0 1 1 19 2 1 9 2 1 4 2 0 2 2 0 1 b) 79 = 1 2 6 + 0 2 5 + 0 2 4 + 1 2 3 + 1 2 2 + 1 2 1 + 1 2 0 Portanto : 79 = 1001111 2 Obs.: Com base no 2º processo passaremos de binário para decimal, apenas efetuando as somas dos produtos de cada potência de base dois pelo respectivo dígito binário. Exemplo: 100110 2 = 1 2 5 + 0 2 4 + 0 2 3 + 1 2 2 + 1 2 1 + 0 2 0 = 32 + 0 + 0 + 4 + 2 + 0 = 38
8 Exercícios 1. Passe para a base 2 os seguintes números: a) 15 e) 127 b) 25 f) 128 c) 31 g) 511 d) 32 h) 1024 2. Escreva, na base 10, os seguintes números, escritos na base 2 : a) 110 2 b) 10111 2 c) 100000 2 d) 1111111 2 e) 1010111 2 f) 11110000 2
9 3.Escreva na base 2, e com 5 bits, os números naturais de 0 a 16. 4. Determine o consecutivo dos seguintes números binários: a) 11000 2 b) 10101 2 c) 10011 2 d) 11111 2 5. Passe para a base 10, sem fazer a conversão,os seguintes números escritos na forma binária: a) 100 2 e) 111 2 b) 1000 2 f) 1111 2 c) 10000 2 g) 11111 2 d) 100000 2 h) 111111 2 6. Sem efetuar a conversão, escreva o dobro dos números binários abaixo: a) 101 2 b) 1001 2 c) 1010101 2 d) 101110001 2 7. Determine o que acontece a um número, quando acrescentamos zeros a sua direita.
10 ARITMÉTICA BINÁRIA Soma binária È semelhante a soma decimal, com a diferença que dispomos apenas dos dígitos 0 e 1, e por isso quando o resultado excede um, transportamos o excesso a ordem imediatamente superior. Observe as somas abaixo: 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 10 ( 0 com o transporte de 1 ) Somar os números binários representados abaixo: a) 1001010 2 ( 74 ) + 110101 2 ( 53 ) 1001010 74 + 110101 + 53 1111111 127 b) 1010101 2 (85) + 10101 2 (21) 1 1 1 transporte ( vai um ) 1010101 85 + 10101 + 21 1101010 106 c) 1011011 2 (91) + 101001 2 (41) 1 1 1 1 1 transporte ( vai um ) 1011011 91 + 101001 + 41 10000100 131
11 Subtração binária Como na adição, a subtração binária também é muito semelhante a subtração decimal. Entretanto, na forma binária só temos os dígitos 1 e 0, portanto, quando uma subtação não for possível, devemos efetuar o empréstimo de 1 da ordem superior, que na ordem imediatamente inferior se transforma em 2.São os transportes que vimos na adição. Observe as subtrações abaixo: 0-0 = 0 1-0 = 1 1-1 = 0 0-1 = ( não é possível) Subtrair os números binários representados abaixo: a) 11111111 2 (255) - 10101010 2 (170) 11111111 255 10101010 170 01010101 85 - - b) 101101 2 ( 45) - 10001 2 (17) 2 ( emprestou 1 que se transformou em 2) - 101101 45 10001-17 11100 28 c) 1101001 2 (105) - 111010 2 (58) 12 1 2 2 2 2 ( empréstimos que se transformam em 1) 1101001 105 111010 58 101111 47 - -
12 Multiplicação binária È semelhante a multiplicação decimal, exceto pela soma dos produtos que é efetuada em binário. Observe as multiplicações abaixo: 0 0 = 0 0 1 = 0 1 0 = 0 1 1 = 1 Multiplicar os números binários representados abaixo: a) 1011 2 (11) por 101 2 (5) 1011 11 101 5 1011 0000 1011 110111 55 b) 11101101 2 (237) por 1011 2 (11) 11101101 237 1011 11 11101101 11101101 00000000 11101101 101000101111 2607
13 Divisão binária Como aconteceu com a multiplicação, a divisão binária é muito semelhante a divisão decimal, exceto pelas multiplicações e subtrações que são feitas em binário. Divida os números binários representados abaixo: a) 11001 2 (25) por 101 2 (5) - 11001 101 101 11 00101-101 000 Quociente (5) Resto (0) b) 101011 2 (43) por 110 2 (6) - 101011 110 110 111 01001-110 00111-110 001 Quociente (7) Resto (1)
14 Exercícios 1. Efetue: a) 10001 2 + 1010 2 c) 1111111 2 + 11111 2 b) 101010 2 + 1111 2 d) 10110111 2 + 11001111 2 2. Efetue as seguintes subtrações: a) 11001 2 101 2 c) 111011 2 10101 2 b) 1010101 2-1111 2 d) 1000000 2-111 2 3. Efetue: a) 10111 2 11 2 b) 1010101 101 2 c) 1111101 2 111 2
15 4.Efetue as divisões abaixo: a) 110101 2 : 101 2 c) 11001101 2 : 100 2 b) 1010111 2 : 11 2 d) 1111001 2 : 1011 2 Base oito ou sistema octal È um sistema que utiliza escrever os números em forma de potências de base oito, já que utiliza apenas os símbolos 0,1,2,3,4,5,6 e 7. Para escrevermos um número escrito na base dez para a base oito devemos proceder da mesma maneira que fizemos com a base dois. Exemplo: Converter o número 165 10 para a base oito. 165 8 5 20 8 4 2 165 10 = 245 8 Converter o número 245 8 para a base dez. 245 8 = 2 8 2 + 4 8 1 + 5 8 0 = 2 64 + 4 8 + 5 1 = 128 + 32 + 5 = 165 10 Para convertermos um número escrito na base dois para o sistema octal, basta apenas agruparmos de três em três bits da direita para a esquerda e escrevermos cada grupo desse na forma decimal. 11100101111 2 = 11 100 101 111 = 3457 8 3 4 5 7 100110011001 2 = 100 110 011 001 = 4631 8 4 6 3 1
16 Base 16 ou sistema hexadecimal Esse sistema utiliza 16 símbolos para a sua representação. A mudança da base dez para a base 16 é semelhante a utilizada para a conversão para a base dois.como não temos todos os algarismos necessários para compor essa base, então utilizaremos algumas letras para completar os 16 símbolos necessários.os símbolos utilizados são 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F, onde as letras representam respectivamente os números dez,onze,doze,treze,quatorze e quinze. Exemplo: Converter o número 470 10 para a base 16: 470 16 6 29 16 13=D 1 470 10 = 1D6 Converter o número 1D6 16 para a base dez. 1D6 16 = 1 16 2 + 13 16 1 + 6 16 0 = 470 10 D Para convertermos um número escrito na base dois para o sistema hexadecimal, basta apenas agruparmos de quatro em quatro bits da direita para a esquerda e escrevermos cada grupo desse na forma decimal. 11001111001 2 = 110 0111 1001 = 679 16 6 7 9 110001111010 2 = 1100 0111 1010 = C7A 16 12=C 7 10=A
17 Exercícios 1. Efetue as conversões pedidas: a) 254 8 em decimal e binário b) 101011 2 em decimal e octal c) 2345 10 em octal e hexadecimal d) 2F5 16 em binário e octal 2. Complete a tabela seguinte: Representação decimal Representação binária Representação octal Representação hexadecimal 1000 1011011101 754 AF2
18 3. Nos computadores existe uma representação simbólica na qual um determinado símbolo tem o seu correspondente decimal e binário. Um dos principais padrões utilizados hoje é o ASCII ( Americam Standard Code for Information Interchange) que pode ser de 7 bits ou o ASCII estendido de 8 bits. Observe os exemplos abaixo e em seguida responda as perguntas: DECIMAL BINÁRIO CARACTER 25 11001 42 101010 * 93 1011101 ] 166 10100110 ª 190 10111110 a) Utilizando o código ASCII de 7 bits podemos representar quantos caracteres diferentes? b) Utilizando o código ASCII de 8 bits podemos representar quantos caracteres diferentes? 4.Um sistema utilizado para as cores nos computadores é o RGB que significa Red (vermelho), Green (verde) e Blue (azul). Cada um dos códigos descritos acima representa a intensidade da cor, que varia de 0 (sem intensidade) a 255 ( intensidade máxima), pois esse código tem base 16. Agora responda: Cor Código RGB Notação hexadecimal Branco R=255,G=255,B=255 # FF FF FF Preto R=000,G=000,B=000 # 00 00 00 Verde R=000,G=255,B=000 # 00 FF 00 Azul R=000,G=000,B=255 # 00 00 FF Vermelho R=255,G=000,B=000 # FF 00 00 Amarelo R=255,G=255,B=000 # FF FF 00 a) Quantas cores diferentes podemos representar utilizando o código RGB? b) Dê a representação hexadecimal de cada cor relacionada abaixo: Cor Código RGB Notação hexadecimal Laranja R=255,G=153,B=000 Rosa R=255,G=051,B=204