Aula demonstrativa Apresentação... 2 Modelos de questões comentadas CESPE-UnB... 3 Relação das questões comentadas... 12 Gabaritos... 13 www.pontodosconcursos.com.br 1
Apresentação Olá, pessoal Tudo bem com vocês? Saiu o edital para Analista de Controle do TCE/PR. Esta é a aula demonstrativa de Estatística (Teoria Completa e Exercícios Comentados PDF + Vídeos Complementares). Para quem ainda não me conhece, meu nome é Guilherme Neves. Sou professor de Raciocínio Lógico, Matemática, Matemática Financeira e Estatística. Sou autor do livro Raciocínio Lógico Essencial (Editora Campus). Posso afirmar em alto e bom tom que ensinar é a minha predileção. Comecei a dar aulas para concursos, aqui em Recife, quando tinha apenas 17 anos (mesmo antes de começar o meu curso de Bacharelado em Matemática na UFPE). No nosso curso, além de ter acesso à teoria completa e muitos exercícios resolvidos, você poderá tirar as suas dúvidas no nosso fórum. Vamos seguir o seguinte cronograma: Aula 01 - Data Prevista: 01/07/2016 1 Metodologia e utilização da estatística. 1.1 Variáveis quantitativas e qualitativas. 1.2 Séries estatísticas. 1.3 Organização e apresentação de variáveis. 2 Estatística descritiva e análise exploratória de dados. 2.1 Distribuição de frequências: absoluta, relativa, acumulada. 2.2 Medidas de posição: média, moda, mediana e separatrizes. 2.3 Medidas de dispersão: desvio-padrão, variância, coeficiente de variação. 2.5 Histogramas e curvas de frequência. 3 Análise de dados categorizados. PDF VÍDEO Aula 02 - Data Prevista: 08/07/2016 Probabilidade. 2.6 Diagrama box-plot. 2.7 Avaliação de outliers. PDF VÍDEO Aula 03 - Data Prevista: 15/07/2016 Variáveis Aleatórias discretas e contínuas, função de distribuição, função de probabilidade, função de densidade de probabilidade. (Assuntos não estão explícitos no edital, mas são necessários para compreensão dos assuntos posteriores). PDF VÍDEO www.pontodosconcursos.com.br 2
Aula 04 - Data Prevista: 22/07/2016 4 Distribuições de probabilidade. 4.1 Distribuição binomial. 4.2 Distribuição normal. Nesta aula, que é demonstrativa, resolveremos algumas questões de Estatística do CESPE-UnB. Esta aula, por ser demonstrativa, será bem mais curta que as demais. Nossas aulas, em média, têm 60 páginas. Acesse meu canal no Youtube para conhecer um pouco das minhas aulas em vídeo. https://www.youtube.com/watch?v=wg3eunt7tr4 Para termos um contato mais próximo, me adicione em suas redes sociais. Instagram: @profguilhermeneves Facebook: https://www.facebook.com/profguilhermeneves/ (Fanpage) E-mail: guilherme@pontodosconcursos.com.br Vamos começar? Modelos de questões comentadas CESPE-UnB (Especialista em Regulação ANP 2013/CESPE-UnB) No que concerne aos procedimentos de análise estatística de dados, julgue os itens seguintes. 01. Suponha que, para certa empresa petrolífera, dispõe-se de dados acerca do volume médio mensal de petróleo produzido nos últimos 12 meses e do volume mensal de petróleo produzido nos últimos meses. Nessa situação, é possível determinar a produção mensal de petróleo na empresa em todo o intervalo de 12 meses. Resolução Pois bem, a questão não quer que você faça contas. O enunciado pede tão simplesmente que você analise a fórmula da média aritmética. Dispomos do volume médio mensal de petróleo produzido nos últimos 12 meses, isto quer dizer que devemos somar os volumes de cada um dos últimos doze meses e dividir essa soma por 12. Vamos designar por x a média dos últimos 12 meses, portanto: www.pontodosconcursos.com.br 3
x = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 + x 8 + x 9 + x + x + x 12 O problema ainda afirma que temos acesso ao volume mensal de petróleo produzido nos últimos meses. Isto significa que conhecemos os valores de x 1, x 2,, x. Observe que, na equação acima, os termos em vermelho são conhecidos. Desta forma, não temos como descobrir os valores de x 11 e x 12, já que teremos apenas uma equação e duas incógnitas. O item está errado. 02. Considere duas amostras aleatórias de tamanhos diferentes, em que a soma dos valores observados sejam S 1 e S 2 e as respectivas médias sejam x e x. Nesse caso, a média aritmética global, ou seja, a média dos valores observados nas duas amostras é igual à média das médias x e x. Resolução Vamos a um caso prático. Suponha que exista um grupo de 60 homens e 40 mulheres. Suponha ainda que a média salarial dos homens seja de R$ 2.500,00 e que a média salarial das mulheres seja de R$ 3.000,00. Vamos calcular, como o problema falou, a média global. Ora, como calcular a média aritmética dos salários dos homens? Devemos somar os salários de todos os 60 homens e dividir o resultado por 60. Chamaremos a soma dos 60 salários de H 60. Lembre-se que a média dos homens é de R$ 2.500,00. Assim, 2.500 = H 60 O número 60, que está dividindo o segundo membro, passa para o primeiro membro multiplicando 2.500. H = 60 2.500 = 150.000 Isto significa que os 60 homens juntos ganham 150.000 reais. Vamos utilizar o mesmo raciocínio para as mulheres. Como calcular a média aritmética dos salários das mulheres? Devemos somar os salários de todas as 40 mulheres e dividir o resultado por www.pontodosconcursos.com.br 4
40. Chamaremos a soma dos 40 salários de M 40. Lembre-se que a média das mulheres é de R$ 3.000,00. Assim, E como calculamos a média global? 3.000 = M 40 M = 40 3.000 = 120.000 Devemos somar os salários de todas as pessoas, ou seja, os salários dos 60 homens e os salários das 40 mulheres e dividir o resultado por 0, que é o total de pessoas. x = 150.000 + 120.000 0 = 270.000 0 = 2.700 Obviamente o valor encontrado não é a média das médias. Guilherme, tem uma maneira mais fácil?? Sim Para calcular a média global, devemos multiplicar a média dos homens pela quantidade de homens, devemos também multiplicar a média das mulheres pela quantidade de mulheres, somar esses resultados e dividir o total pela quantitade de pessoas. Em suma, devemos calcular a MÉDIA PONDERADA das médias. Esse foi o erro do enunciado. No nosso exemplo, a média global fica: x = 2.500 60 + 3.000 40 60 + 40 = 2.700 Esse é um resultado muito importante e que utilizaremos bastante nos problemas de média aritmética. O item está errado. 03. (Polícia Federal 2012 Papiloscopista CESPE/UnB) Com relação a estatística, julgue o item seguinte. Ao contrário da mediana amostral, a média aritmética é menos sensível à presença de valores extremos (ou valores atípicos ou outliers). Resolução www.pontodosconcursos.com.br 5
Não se preocupe, vamos aprender detalhadamente no nosso curso as propriedades da mediana e da média. Já falamos um pouquinho sobre a média aritmética nas primeiras questões. Basicamente, para calcular a média aritmética, devemos somar todos os valores e dividir pela quantidade de termos. E a mediana, o que é? Ora, a mediana é o termo que fica no meio. Esta é uma definição bem grosseira que estou utilizando. Lembre-se que esta é uma aula demonstrativa e ainda não tivemos a oportunidade de conhecer os termos técnicos. Mas não tem problema: com esta definição já conseguiremos entender a questão. Vamos a um exemplo. Considere a seguinte sequência de números: (1,2,2,2,5). O termo que fica no meio é o número 2. Portanto, a mediana é igual a 2. Vamos agora calcular a média aritmética. 1 + 2 + 2 + 2 + 5 5 = 2,4 Vamos agora trocar o último termo. No lugar de 5, colocarei.000. Desta forma, vamos considerar a sequência (1, 2, 2, 2,.000). O termo que fica no meio continua sendo o número 2. Ou seja, a mediana não é afetada por valores extremos. Já a média aritmética é MUITO influenciada por valores atípicos. Veja a nova média aritmética: 1 + 2 + 2 + 2 +.000 5 = 2.001,4 Com este exemplo, ficou muito fácil notar que o item está errado. Então já aprendemos uma propriedade bem importante: a média aritmética é bastante influenciada por valores atípicos, já que a média aritmética depende de todos os termos da sequência. A mediana não é influenciada pelos valores extremos, pois a mediana depende apenas da posição central, sem levar em consideração os valores que ficam nas extremidades da sequência. Antes do enunciado da próxima questão, vamos falar um pouco sobre a notação somatório. Esta notação utiliza a letra maiúscula grega SIGMA: Σ. Qual a finalidade desta notação? Simplesmente escrever uma soma de uma maneira mais curta, abreviada. www.pontodosconcursos.com.br 6
Por exemplo, a soma x + x + x + x + x + x + x + x + x + x pode ser escrita da seguinte maneira: O símbolo acima significa que queremos somar valores (pois há um símbolo de somatório). Que valores queremos somar? Queremos somar valores de X i. Quais valores de X i? Aqueles para os quais i vai de 1 até. Considere, por exemplo, a sequência (2,3,3,4,5,5,5,8,,15). O primeiro termo é igual a 2, o segundo termo é igual a 3, e assim por diante. Podemos então escrever: Calcule x. x x = 2 x = 3 x = 3 x = 4 Ora, queremos calcular uma soma (já que há o símbolo do somatório). Que valores queremos somar? Os valores Xi. Quais valores Xi? Aqueles para os quais o i varia de 2 até 5. Observe que o primeiro termo fica embaixo da letra sigma e o último termo da soma fica em cima da letra sigma. Portanto, x = x + x + x + x = 3 + 3 + 4 + 5 = 15 Beleza? Vamos agora a uma questão muito bem elaborada no concurso do TCU/2009. Durante a resolução da questão, aprenderemos propriedades operatórias www.pontodosconcursos.com.br 7
importantes do somatório, mas não se preocupe: tudo será visto nos mínimos detalhes no nosso curso. (TCU 2009/CESPE-UnB) Uma instituição realizou levantamento com vistas a comparar os valores de dez diferentes tipos de itens de consumo. Para cada item i (i = 1, 2,..., ), foi registrado um par de valores ( x, ), em que x i representa o valor do item i estabelecido pela empresa A, e y i representa o valor desse mesmo item fornecido pela empresa B. Os seguintes resultados foram encontrados: (x + y ) = 130; (x y ) = i y i x + y = 1.790; x y = 26 Com base nessas informações, julgue os itens a seguir. 04. A média amostral dos valores x 1, x 2,..., x é 13% maior do que a média amostral dos valores y 1, y 2,..., y. 05. A média aritmética da distribuição x y, x y,, x y é maior que 43. 06. A média harmônica dos valores x 1, x 2,..., x é menor que 8. Resolução 04. A média amostral dos valores x 1, x 2,..., x é 13% maior do que a média amostral dos valores y 1, y 2,..., y. (x + y ) = 130 Eis a primeira propriedade importante dos somatórios: sempre que tivermos uma soma dentro do somatório, podemos quebrar este somatório em outros dois somatórios: Da mesma forma: (x + y ) = (x ) + (y ) = 130 (equação I) www.pontodosconcursos.com.br 8
Estatística para TCE/PR (𝑥 𝑦 ) = (𝑥 ) (𝑦 ) = (𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝐼𝐼) Somando as duas equações: (𝑥 ) + (𝑦 ) + (𝑥 ) 𝑦 = 130 + 2 𝑥 = 140 𝑥 = 70 Consequentemente: (𝑥 ) + (𝑦 ) = 130 70 + (𝑦 ) = 130 (𝑦 ) = 60 Com estes valores podemos calcular as médias de x e y. As médias ficam: 𝑥 = 70 60 =7𝑒 𝑦 = =6 A média de x é aproximadamente 16% maior do que a média de y. O item está errado. www.pontodosconcursos.com.br 9
Estatística para TCE/PR 05. A média aritmética da distribuição 𝑥 𝑦, 𝑥 𝑦,, 𝑥 𝑦 é maior que 43. Observe o seguinte somatório dado no enunciado: 𝑥 + 𝑦 = 1.790 Podemos desenvolver o quadrado da soma: 𝑥 + 𝑦 + 2𝑥 𝑦 = 1.790 Agora quebramos o somatório em três somatórios diferentes: 𝑥 + 𝑦 + 2𝑥 𝑦 = 1.790 Agora vamos aprender outra propriedade dos somatórios: sempre que houver uma constante multiplicando o termo dentro do somatório, podemos retirar a constante multiplicando o somatório. Observe a terceira parcela. 𝑥 𝑦 + +2 𝑥 𝑦 = 1.790 (𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝐼) Vamos utilizar o mesmo raciocínio no seguinte somatório: 𝑥 𝑦 = 26 𝑥 + 𝑦 2𝑥 𝑦 = 26 𝑥 + 𝑦 2𝑥 𝑦 = 26 www.pontodosconcursos.com.br
x + y 2 x y = 26 (equação II) Subtraindo as duas equações, temos: x + y + 2 x y x + y 2 x y = 1.790 26 4 x y = 1.764 x y = 441 Agora podemos calcular a média da distribuição x i y i. x y = 441 = 44,1 O item está errado. 06. A média harmônica dos valores x 1, x 2,..., x é menor que 8. Aprenderemos no nosso curso como calcular a média harmônica, mas não precisamos saber a fórmula para resolver esta questão. Há uma propriedade muito interessante que diz o seguinte: a média harmônica é sempre menor ou igual à média aritmética. Na questão 04 nós descobrimos que a média de x é igual a 7. Portanto, a média harmônica é algum número menor ou igual a 7. Consequentemente, a média harmônica é menor que 8. O item está certo. Ficamos por aqui. Espero que vocês tenham gostado da aula demonstrativa. Aproveitem o nosso fórum de dúvidas para conversar comigo, sugerir questões e, obviamente, fazer perguntas. Um forte abraço e até a próxima aula. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 11
Relação das questões comentadas (Especialista em Regulação ANP 2013/CESPE-UnB) No que concerne aos procedimentos de análise estatística de dados, julgue os itens seguintes. 01. Suponha que, para certa empresa petrolífera, dispõe-se de dados acerca do volume médio mensal de petróleo produzido nos últimos 12 meses e do volume mensal de petróleo produzido nos últimos meses. Nessa situação, é possível determinar a produção mensal de petróleo na empresa em todo o intervalo de 12 meses. 02. Considere duas amostras aleatórias de tamanhos diferentes, em que a soma dos valores observados sejam S 1 e S 2 e as respectivas médias sejam x e x. Nesse caso, a média aritmética global, ou seja, a média dos valores observados nas duas amostras é igual à média das médias x e x. 03. (Polícia Federal 2012 Papiloscopista CESPE/UnB) Com relação a estatística, julgue o item seguinte. Ao contrário da mediana amostral, a média aritmética é menos sensível à presença de valores extremos (ou valores atípicos ou outliers). (TCU 2009/CESPE-UnB) Uma instituição realizou levantamento com vistas a comparar os valores de dez diferentes tipos de itens de consumo. Para cada item i (i = 1, 2,..., ), foi registrado um par de valores ( x, ), em que x i representa o valor do item i estabelecido pela empresa A, e y i representa o valor desse mesmo item fornecido pela empresa B. Os seguintes resultados foram encontrados: i y i i= 1 ( x + i y i ) = 130; i= 1 ( x i y i ) = i= 1 ( x + i y i ) 2 = 1.790; i= 1 ( x i y i ) 2 = 26 Com base nessas informações, julgue os itens a seguir. 04. A média amostral dos valores x 1, x 2,..., x é 13% maior do que a média amostral dos valores y 1, y 2,..., y. 05. A média aritmética da distribuição x,..., é maior que 43. 1 y 1 x 2 y2 x y 06. A média harmônica dos valores x 1, x 2,..., x é menor que 8. www.pontodosconcursos.com.br 12
Gabaritos 01. Errado 02. Errado 03. Errado 04. Errado 05. Errado 06. Certo www.pontodosconcursos.com.br 13