15º EREPM, 30/4/2011- Bragança O mundo da simetria Reflectindo sobre desafios do PMEB Ana Maria Roque Boavida ana.boavida@ese.ips.pt
Observando o PMEB tendo a simetria por horizonte Tópicos Objectivos(extractos) 1º ciclo: Reflexão Identificar no plano figuras simétricas em relação a um eixo; desenhar no plano figuras simétricas relativas a um eixo horizontal ou vertical (1º e 2º anos) Identificar no plano eixos de simetria de figuras; construir frisos e identificar simetrias (3º e 4º anos). Notas: Exploração de reflexões; construção, no plano, de figuras simétricas através de dobragens e recortes; exemplos que evidenciem reflexões como simetrias axiais; exploração de frisos identificando simetrias de translação, reflexão, reflexão deslizante e rotação (meia-volta) 2º ciclo: Reflexão, rotação e translação Noção e propriedades; simetrias axial e rotacional 3º ciclo: Isometrias Translação associada a um vector; propriedades das isometrias Identificar, predizer e descrever a isometria em causa (...); construir o transformado de uma figura, a partir de uma isometria ou de uma composição de isometrias; compreender as noções de simetria axial e rotacional e identificar as simetrias numa figura; (...) explorar padrões geométricos que envolvam simetrias; identificar as simetrias de frisos e rosáceas; construir frisos e rosáceas. Compreender as noções de vector e de translação e identificar e efectuar translações; identificar e utilizar as propriedades das translações; compor translações; reconhecer as propriedades comuns das isometrias O mundo da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 2
Que imagens têm ou não têm simetria? O mundo da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 3
Simetria: Que significado? Serão as mãos simétricas? Será a nossa cara simétrica? Serão os bonecos simétricos? Afinal, de que falamos quando falamos em simetria? O mundo da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 4
Simetria: Que significado? A noção de simetria, sendo essencial em Matemática, não é exclusiva deste campo Simetria é uma ideia que o homem tem usado ao longo dos tempos para tentar compreender e criar ordem, beleza e perfeição. (Serra, 1993, p. 304, cit. Weyl) A noção de simetria é deveras importante em Matemática, nas artes visuais e em diversas ciências como a Cristalografia e a Física. (Oliveira, 1997, p. 70) Em geometria, simetria define-se em termos de isometrias Quando a imagem de uma figura, através de uma isometria diferente da identidade, coincide com a figura original, então a figura tem simetria. (Serra, 1993) O mundo da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 5
Simetria: Estabilizando um significado Falar de simetria é falar de simetria de uma figura. Figura: um subconjunto de pontos do plano ou do espaço. Exs: Recta, rectângulo, esfera, desenho artístico,... (Bastos, 2006) Não tem sentido perguntar se as duas bonecas (duas figuras) são simétricas...... embora possa perguntar-se se a boneca (uma figura) tem simetria. O mundo da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 6
Simetria de uma figura: Estabilizando um significado Focando-nos nas figuras do plano Simetria de uma figura não é o mesmo que simetria axial de uma figura: a figura pode ter simetrias que não sejam axiais Simetria de uma figura F é uma particularidade dessa figura. Significa que existe uma isometria T do plano que deixa a figura invariante, isto é, tal que T (F ) = F. (adaptado de Bastos, 2006) Invariante significa globalmente invariante Podem alguns ou todos os pontos da figura mudar de posição, mas a figura, como um todo, fica invariante. (Veloso, 1998, p. 182) Manutenção da congruência e da posição O transformado da figura através da isometria coincide com a figura original: as figuras são geometricamente iguais e além disso ocupam a mesma posição no plano, mesmo que haja pontos que não coincidam com as suas imagens. O mundo da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 7
Revisitando isometrias a propósito de simetria Analisar a simetria de uma figura remete para investigar se há isometrias (diferentes da identidade) que a deixam invariante Isometria: Transformação geométrica que preserva as distâncias; as figuras do plano são transformadas noutras geometricamente iguais. Quatro tipos fundamentais de isometrias: Rotação Translação Reflexão Reflexão deslizante O mundo da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 8
Revisitando isometrias a propósito de simetria Rotação.O 75º O peixe da esquerda rodou no sentido contrário aos ponteiros do relógio (sentido positivo), descrevendo um ângulo de vértice O e amplitude 75 graus. Rotação de centro O e amplitude 75 0 O mundo da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 9
Revisitando isometrias a propósito de simetria Rotação Centro de rotação: pode ser um ponto da figura. O 75º Centro de rotação: pode ser um ponto que não pertence à figura.o 75 0.O.O.O 180 0 (meia volta) 270 0 360 0 O mundo da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 10
Revisitando isometrias a propósito de simetria Rotação Rotação de centro O e amplitude α é uma transformação geométrica tal que: qualquer que seja o ponto P do plano, a distância de O a P é igual à distância de O à imagem de P (P ); a amplitude do ângulo orientado definido por P, O e P é igual a α. Rotação de centro O e amplitude 90 0 F F O mundo da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 11
Revisitando isometrias a propósito de simetria Translação Translação associada ao vector v Translação associada ao vector u v u Numa translação todos os pontos de uma figura se deslocam na mesma direcção, no mesmo sentido e a mesma distância. O mundo da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 12
Revisitando isometrias a propósito de simetria Translação u Translação associada ao vector é uma transformação geométrica em que cada ponto O do plano é transformado num outro ponto O (imagem de O) em que O = O + u u Translação da figura F associada ao vector u F O mundo da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 13
Revisitando isometrias a propósito de simetria Reflexão Os eixos de reflexão podem, ou não ter pontos em comum com a(s) figura(s) eixo de reflexão Cada ponto de uma figura e a sua imagem estão sobre uma recta perpendicular ao eixo de reflexão e a igual distância desse eixo. É como se o peixe e a estrela se estivessem a ver ao espelho... O mundo da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 14
Revisitando isometrias a propósito de simetria Reflexão Reflexão de eixo s é a transformação geométrica que faz corresponder a cada ponto O do plano o ponto O (imagem de O) de tal modo que: a recta s é perpendicular a *O O + e passa pelo ponto médio de *O O + (ou s é a mediatriz de *O O +; se O pertence a s, a sua imagem coincide com O. F Reflexão da figura F de de eixo s s O mundo da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 15
Revisitando isometrias a propósito de simetria Reflexão deslizante Transformação geométrica que resulta da composição de uma reflexão de eixo s com uma translação cujo vector tem direcção paralela a s. F u s O imagem de O através da reflexão deslizante associada a s e ao vector u O mundo da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 16
Retomando a ideia de simetria de uma figura De entre as aplicações mais interessantes das transformações e grupos de transformações estão as relacionadas com questões de simetria. Existindo muitas espécies de simetrias no plano e no espaço (...). (Oliveira, 1996, p. 187) Há uma simetria para cada um dos quatro tipos de isometrias referidos. (Serra, 1993, p. 305) Simetria de reflexão (ou simetria axial) Simetria de rotação (ou simetria rotacional) Simetria de translação Simetria de reflexão deslizante O mundo da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 17
Simetria de reflexão de uma figura Existe, pelo menos, uma reflexão que deixa a figura globalmente invariante Como a reconhecemos? Várias hipóteses... Se conseguirmos dobrar a figura de tal modo que as duas partes obtidas se sobreponham exactamente; Se conseguirmos colocar um espelho ou mira sobre a figura de modo a que a junção da parte reflectida com a não reflectida seja exactamente igual à figura toda; Se recortarmos a figura e conseguirmos preencher exactamente o buraco que fica na folha com a parte recortada mas virada ao contrário (com a parte de baixo do papel virada para cima);... O mundo da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 18
Simetria de reflexão de uma figura Por vezes a simetria de reflexão é designada por simetria axial; o eixo de reflexão também se pode designar por eixo de simetria ou linha de simetria. (Serra, 1993, p. 305) Eixo de simetria? 1 eixo de simetria? eixos de simetria? eixos de simetria? eixos de simetria? eixos de simetria O mundo da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 19
Simetria de reflexão de uma figura Eixo de simetria? 1 eixo de simetria 2 eixos de simetria 6 eixos de simetria 0 eixos de simetria 4 eixos de simetria Eixo de simetria de uma figura: Recta (sobre a qual se faz a dobra ou se coloca o espelho/mira ) que divide a figura ao meio de modo que uma metade da figura seja a reflexão da outra metade. Caso contrário, a recta não é eixo de simetria. O mundo da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 20
Simetria rotacional de uma figura Existe, pelo menos, uma rotação com uma amplitude superior a 0 0 e inferior a 360 0 que deixa a figura globalmente invariante. Só neste caso se admite também uma simetria rotacional associada a um ângulo de 360 0. Como a reconhecemos? Se conseguirmos girar a figura em torno de um ponto fixo, de modo a que a imagem resultante, através da rotação, coincida com a figura original. Figura com simetria rotacional Figura sem simetria rotacional (ou qualquer outro tipo de simetria) O mundo da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 21
Simetria rotacional de uma figura Que simetrias rotacionais tem a figura? C: Centro da simetria rotacional (ponto em torno do qual a figura roda ) C Ângulo da simetria rotacional: ângulo orientado que descreve o movimento da figura. Um quarto de volta (90º) Meia volta (180º) Três quartos de volta (270º) Uma volta inteira (360º) O mundo da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 22
Simetria de translação de uma figura Existe, pelo menos, uma translação que deixa a figura globalmente invariante Como a reconhecemos? Se podemos movimentar a figura segundo uma dada distância e uma dada direcção (identificadas pelo vector da translação) de tal modo que o seu transformado coincide com a figura original Se a figura for infinita, existe essa possibilidade O mundo da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 23
Simetria de reflexão deslizante de uma figura Existe, pelo menos, uma reflexão deslizante que deixa a figura globalmente invariante Como a reconhecemos? Se, por exemplo, depois de desenharmos a figura em papel transparente, de virarmos o papel ao contrário em torno de uma determinada recta e de o deslocarmos segundo a direcção dessa recta, conseguirmos que o transformado da figura coincida com a figura original. Se a figura for infinita, existe essa possibilidade O mundo da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 24
Em busca de simetrias de figuras Potencialidades O estudo das simetrias das figuras constitui uma aplicação muito interessante das isometrias que permite desenvolver o conhecimento matemático destas transformações geométricas e fornecer, consequentemente, ferramentas que podem ser muito úteis na resolução de problemas geométricos. (...) O conceito de simetria pode ser também a base para actividades de descrição e classificação de figuras geométricas, de argumentação/demonstração ( ) Conhecimento matemático Resolução de problemas Conhecimento matemático Comunicação e raciocínio A análise de objectos artísticos ou de cristais através das suas simetrias são actividades que estabelecem ligações entre a matemática e outros domínios do saber (...) Conexões matemáticas (Bastos, 2006, p. 11) O mundo da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 25
Simetrias de polígonos Que simetrias existem num quadrado? D C A B O mundo da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 26
Simetrias de polígonos Que simetrias existem num quadrado? Simetrias de reflexão 4 Eixos de simetria: 2 rectas que contêm as diagonais do quadrado e 2 rectas que passam pelos pontos médios de lados opostos Simetrias rotacionais 4 Com centro no ponto de encontro das diagonais do quadrado e amplitudes 90 0, 180 0, 270 0 e 360 0. D 90º C B O mundo da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 27
Simetrias de polígonos Exemplo de material de apoio à exploração de simetrias em polígonos O mundo da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 28
Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceas Exemplos de rosáceas Rosáceas Figuras compostas por diversos módulos geometricamente iguais que se repetem por rotação. O centro de rotação é sempre o mesmo ponto, a amplitude da rotação é sempre a mesma e a divisão entre 360 0 e a medida desta amplitude é exacta. Existe sempre um ponto do plano que é fixo para o grupo de simetria da figura (conjunto das transformações de simetria da figura). Têm sempre simetrias rotacionais, podendo ter também simetrias de reflexão. O mundo da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 29
Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceas Que simetrias existem nestas rosáceas? Identificar assinala o centro de simetria (ou centro de rotação) da figura O mundo da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 30
Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceas Que simetrias existem nestas rosáceas? Identificar assinala o centro de simetria (ou centro de rotação) da figura Simetria de reflexão e simetria rotacional Simetria de reflexão 2 eixos de simetria lado/lado Simetria rotacional R rotação de 180 0 R 2 rotação de 360 0 (identidade) Só simetria rotacional R rotação de 60 0 R 2 rotação de 120 0 R 3 rotação de 180 0 R 4 rotação de 240 0 R 5 rotação de 300 0 R 6 rotação de 360 0 (identidade) O mundo da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 31
Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceas Exemplo de um recurso tecnológico de apoio à construção de rosáceas: o scratch Motivo simples O mundo da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 32
Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceas Exemplo de um recurso tecnológico de apoio à construção de rosáceas: o scratch Motivo simples O mundo da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 33
Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Exemplos de frisos Friso Figura infinita caracterizada por apresentar sempre simetrias de translação com a mesma e uma só direcção. No friso, o grupo de simetria fixa uma recta. Pode haver outras simetrias para além das de translação As barras cinzentas ou os motivos incompletos, indicam que a figura se prolonga indefinidamente para a esquerda e para a direita O mundo da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 34
Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Que simetrias existem neste friso? Identificar Nomenclatura adoptada recta horizontal recta vertical O mundo da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 35
Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Que simetrias existem neste friso? u Identificar Nomenclatura adoptada recta horizontal v De translação. Por exemplo, translações associadas aos vectores u e v. recta vertical De reflexão de eixo horizontal O mundo da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 36
Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Que simetrias existem neste friso? Identificar O mundo da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 37
Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Que simetrias existem neste friso? Identificar De reflexão de eixo horizontal De reflexão de eixos verticais De translação da figura associadas a vectores com a direcção de u e comprimento múltiplo do deste vector. u O mundo da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 38
Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos A partir de um motivo simples podem-se construir frisos muito diversos usando isometrias Construir A D r B C A D A B C B C D Motivo simples [A, B, C, D + imagem do motivo simples através de uma reflexão de eixo r. Nota: O motivo simples é, por vezes, designado por módulo *A, B, C, D + imagem de [A, B, C, D + através de uma translação de vector paralelo ao eixo de reflexão (recta r). O mundo da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 39
Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Construir (continuação) Através de translações sucessivas da figura Obtém-se o friso Simetrias do friso: de translação e de reflexão deslizante (AMB, FM, MR, SM: PMEB: Geometria, 2009/2010) 40
Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Que tipos de frisos há? Investigar Investigar que tipos de frisos existem (...) [é] perceber que estruturas de frisos existem e, para isso, devemos investigar que grupos de simetria podem ter os frisos (...) [trata-se] de procurar uma classificação dos frisos baseada nos respectivos grupos de simetria. (Veloso, 1998, p. 202) O mundo da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 41
Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Motivo simples Investigar Tipo 1: gerado por translação Motivo composto Tipo 2: gerado por reflexão de eixo horizontal e translação O mundo da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 42
Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Motivo simples Investigar Motivo composto Tipo 3: gerado por reflexão de eixo vertical e translação Tipo Motivo 4: composto gerado por reflexão de eixo horizontal, reflexão de eixo vertical e translação O mundo da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 43
Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Motivo simples Investigar Tipo 5: gerado por rotação de 180 0 e translação O mundo da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 44
Motivo simples Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Investigar Tipo 6: gerado por reflexão deslizante e translação O mundo da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 45
Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Motivo simples Investigar Motivo composto Tipo 7: gerado por reflexão de eixo vertical, reflexão deslizante e translação Há apenas sete tipos de frisos... O mundo da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 46
(Alcazar, Sevilha) O mundo da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 47
Bibliografia e outros materiais consultados 15º ERBragança Bastos, R. (2006). Notas sobre o Ensino da Geometria do Grupo de Trabalho de Geometria da APM Simetria. Educação Matemática, 88, 9-11. Bastos, R. (2007). Notas sobre o ensino da Geometria: Transformações geométricas. Educação e Matemática, 94, 23-27. Deledicq, A. & Raba, R. (1997). Le monde des pavages. Paris: ACL- Éditions. Devlin, K. (2002). Matemática: A ciência dos padrões. Porto: Porto Editora. Hargittai, I. & Hargittai, M. (1994). Symmetry: A unifying concept. Bolinas, California: Shelter Publications. Haylock, D. (2001). Mathematics explained for primary teachers. London: Sage. Musser, G., Burger, W. (1997). Mathematics for elementary teachers: A contemporary approach (4ª ed.). Upper Saddle River: Prentice-Hall. Oliveira, A. (1997). Transformações geométricas. Lisboa: Universidade Aberta. Serra, M. (1993). Discovering geometry: An inductive approach. Berkeley: Key Curriculum Press. Veloso, E., Bastos, R. & Figueirinhas, S. (2009). Notas para o ensino da Geometria: isometrias e simetria com materiais manipuláveis. Educação e Matemática, 101, 23-28. Veloso, E. (1998). Geometria. Temas actuais. Lisboa: Instituto de Inovação Educacional O mundo da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 48
Bibliografia e outros materiais consultados Documentos não publicados Conjunto de slides elaborados por Ana Maria Boavida para a conferência Revisitando simetrias e isometrias no plano... a propósito do PMEB realizada no âmbito do PFCM da Universidade de Évora (Julho de 2010). Conjunto de slides sobre Simetrias de uma figura e isometrias no plano elaborados por Ana Maria Boavida, Fernanda Matias, Margarida Rodrigues e Sílvia Machado para a Formação de Professores Acompanhantes do PMEB: Geometria promovida pela DGIDC (Setembro 2009). Conjunto de slides sobre isometrias e simetria de uma figura no plano elaborado por Lina Brunheira, professora acompanhante do Plano da Matemática II (Fevereiro de 2011). Conjunto de slides sobre Simetria e frisos elaborados pela equipa do Programa de Formação Contínua em Matemática para professores dos 1º e 2º ciclos da Universidade de Évora (2008/2009). Sites http://www.apm.pt/formacao/tgs_2008/index.html http://www.atm.org.uk/resources/ http://www.atractor.pt/simetria/matematica/index.html http://illuminations.nctm.org/activitydetail.aspx?id=168 http://mathstitch.com/rosettes Friezes_and_Wallp.html O mundo da simetria e o PMEB (30 de Abril de 2011) 49
15º EREPM, 30/4/2011- Bragança O mundo da simetria Reflectindo sobre desafios do PMEB Ana Maria Roque Boavida ana.boavida@ese.ips.pt