Cap.12: Rotação de um Corpo Rígido Do professor para o aluno ajudando na avaliação de compreensão do capítulo. Fundamental que o aluno tenha lido o capítulo. Introdução: Produto vetorial Ilustração da operação de produto vetorial usando a regra da mão direita.
12.1 Movimento de rotação e cinemática rotacional Quando um corpo extenso, diferente de uma partícula, possui forma e tamanho ao girar em torno de um eixo, denomina do eixo de rotação, o movimento tem que ser modelado de modo que as partes diferentes possuem velocidades lineares e acelerações lineares diferentes. Por outro lado, podemos analisar o movimento de um corpo extenso modelando-o como um sistema constituído de muitas partículas, cada uma com sua própria velocidade linear e aceleração linear. Uma das simplificações na análise de movimento de um corpo extenso em rotação é considerar que este seja rígido.
Corpo rígido é aquele não deformável, isto é, as localizações relativas de todas as partículas das quais o corpo é composto permanecem constantes. Posição, velocidade e aceleração angulares Apresenta-se aqui um resumo do movimento circular de uma partícula ( um ponto) do corpo rígido. A figura abaixo ilustra uma vista aérea de um Compact Disc (CD) girando sobre um eixo fixo perpendicular ao plano da figura, passando pelo centro do disco em O. Foi apresentada o sistema de coordenadas polares (r, ), onde r é a distância da origem até o ponto P e é medido em sentido anti-horário a partir de uma linha de referência fixa no espaço, como mostrado na figura. Nessa representação r permanece constante, enquanto muda no tempo. O comprimento do arco s é e s= rq; s q =. r Como é a proporção entre o comprimento de arco e o raio do círculo, ele é um número puro. Atribui-se ao ângulo a unidade denominada radiano.
Uma partícula do corpo rígido se move de A para B ao longo de um arco no intervalo de tempo, t = t f -t i, realizando um movimento = f - i, definida como o deslocamento angular do corpo rígido. = f - i A velocidade angular instantânea, (t), é
A aceleração angular instantânea, (t), é A unidade da aceleração angular é rad/s 2. No movimento de rotação quando a aceleração angular (t) é positiva, a velocidade angular (t) é crescente; (t) é negativa, (t) é decrescente. O movimento é acelerado quando (t) e (t) possuem o mesmo sinal, e o movimento é desacelerado quando (t) e (t) possuem sinais opostos. Regra da mão direita para movimento de rotação. Obs. Errata na legenda da Fig.12.4, página342 do livro-texto, da esquerda para a direita, trocar as legendas entre a terceira e a quarta. Equações cinemáticas de rotação
As deduções das equações cinemáticas de um movimento circular se aplicam na rotação. A tabela abaixo, o resumo das equações deduzidas. Relações vetoriais entre as grandezas rotacionais e translacionais Temos
12.2 Rotação em torno do centro de massa Centro de massa de partículas As forças internas são consideradas newtonianas, isto é, obedecem a terceira lei de Newton: a força agindo sobre o primeiro corpo é igual e oposta a aquela que atua sobre o segundo. Portanto, resulta em Obtemos desse modo, a força externa resultante, e escrevemos o membro à esquerda da equação segunda acima, multiplicando e dividindo por m1 + m2= M onde
Definindo dessa forma, temos Centro de massa de um corpo extenso Os corpos extensos ocupam um volume no espaço. Divide-se o corpo em um número infinito de elementos de massa infinitesimal dm e se efetua uma soma com um número infinito de parcelas:
Ver a figura: Para qualquer corpo simétrico e de densidade uniforme, o centro de massa se localiza no centro geométrico do objeto. 12.3 Energia de rotação Modelo Um corpo sólido é constituído por infinitas partículas de massa m i e, uma vez em rotação, cada partícula localizada a uma distância r i do eixo de rotação realiza o movimento de rotação. Ver a figura. Quando esse eixo de rotação é fixo, a velocidade v i da i-ésima partícula é dada pela v i = r i w, onde w é a velocidade angular do corpo rígido, portanto ela é a mesma para todas as partículas em diferentes posições r i, logo o corpo sólido possui energia cinética
Inércia rotacional de um sistema de partículas : Esta expressão também vale para um corpo sólido, onde I é a inércia rotacional do corpo sólido em relação ao eixo de rotação. A determinação de I de um corpo sólido será apresentada na seção posterior. A equação acima fornece uma interpretação para o momento de inércia:
quanto maior for o momento de inércia, maior será a energia cinética do corpo rígido com uma dada velocidade angular. Estudamos que a variação da energia cinética de um corpo é igual ao trabalho realizado pela força para mover o corpo do repouso até a velocidade considerada ou de modo contrário. Sendo assim, quanto maior for o momento de inércia de corpo, mais difícil se torna fazer ele girar a partir do repouso e mais difícil se torna fazer ele parar quando ele está girando. Por essa razão, algumas vezes a grandeza I é também conhecida com inércia rotacional. Energia potencial gravitacional para um corpo sólido Para um corpo rígido, precisamos aprender a calcular a energia potencial gravitacional associada com um corpo que possui uma distribuição contínua de massas. Quando a aceleração da gravidade g é a mesma em todos os pontos do corpo, a energia potencial gravitacional é a mesma que a de uma partícula com massa total do corpo centralizada em seu centro de massa. Se o corpo de massa M está posicionado sobre o eixo OY, então a energia potencial gravitacional U é U = M g ycm onde ycm é a coordenada y do centro de massa. A foto é de uma atleta no momento de ultrapassagem da barra no salto em altura. A atleta encurva seu corpo e em consequência, seu centro de massa passa efetivamente em baixo da barra. Essa técnica, conhecida como inversão de Fosbury, necessita de um menor aumento da energia potencial gravitacional do que a técnica antiga, na qual o centro de massa passava em cima da barra.
12.4 Calculando o momento de inércia Figura (12. 15b) Esfera uniforme.
A inercia rotacional de um disco de raio r na esfera é Multiplica-se por dois, pois, pela simetria, o hemisfério direito tem inércia igual ao do esquerdo. Exemplo Exemplo É possível mudar a energia cinética translacional de um corpo sem alterar sua energia cinética rotacional?
Responder: Uma seção de um cano oco e de um cilindro sólido têm o mesmo raio, massa e comprimento. Ambos giram sobre seus eixos centrais longos com a mesma velocidade angular. Que corpo tem maior energia cinética rotacional? (a) o cano oco, (b) o cilindro sólido, (c) os dois têm a mesma energia cinética rotacional. (d) É impossível determinar. Teorema de eixos paralelos O momento de inércia de um corpo sobre um eixo arbitrário, ver a figura, pode ser determinado de forma simples utilizando o teorema dos eixos paralelos: O eixo é arbitrário, pois, não necessariamente passa pelo corpo. Responda a questão Pare E Pense 12.2 12.5 Torque Quando uma força é exercida sobre um corpo rígido alavancado sobre um eixo, o corpo tende a girar sobre aquele eixo. A tendência da força de girar um corpo sobre um eixo é medida por uma quantidade chamada torque. Na figura, a força F atua a um ângulo com a horizontal sobre uma chave inglesa. A componente Fcos não produz rotação do corpo, pois o prolongamento da sua linha de ação passa pelo eixo de rotação em O. Essa componente produz uma tração no eixo de rotação, que, por sua vez, reage sobre o corpo com força de mesma intensidade e no sentido contrário, processo ação reação. A componente F sen tende a girar a chave por um eixo que passa através de O. Expressa-se este efeito pela medida rfsen Fd
onde d é a distância perpendicular do eixo de rotação até a linha de ação de F. A quantidade d é denominada braço de momento de F. A unidade para torque é N m. Não confundir com trabalho, que têm as mesma unidades, mas são conceitos muito diferentes. Responda a questão Pare E Pense 12.3. Correção: Substituir as três últimas palavras do texto - na extremidade esquerda por no ponto negrito na extremidade direita da haste. Ler e estudar as seguintes subseções: Interpretando o torque Torque resultante Torque gravitacional Binários Estudar o Exemplo 12.11 12.6 Dinâmica da rotação A Segunda Lei de Newton diz que uma força resultante sobre um corpo causa uma aceleração nele. No caso de uma força resultante estar aplicada a um corpo rígido alavancado, causa uma aceleração angular deste corpo girando sobre um eixo fixo e é proporcional ao torque resultante atuando sobre aquele eixo. Considere um corpo rígido girando sobre um eixo fixo, figura ao lado. Há um número infinito de elementos de massa dm. Cada elemento de massa gira em um círculo em torno do eixo de rotação que passa pelo O, e cada um tem uma aceleração tangencial a t produzida por uma aceleração tangencial externa df t. Temos df t ( dm) a t O torque externo d ext associado com a força df t. é dado por d ext rdft atrdm Como at r, a expressão para torque d ext se torna d ext 2 r dm
Cada elemento de massa do corpo tem aceleração translacional diferente, a t, todos têm a mesma aceleração angular a. Podemos integrar a expressão acima e obter o torque externo resultante: 2 ext r dm Utilizando a definição do momento de inércia do corpo sobre o eixo de rotação que passa por O, então a expressão final é ext I O torque sobre um corpo rígido é proporcional à aceleração angular. Responder: Você desliga sua furadeira elétrica e vê que o intervalo de tempo para a broca parar de girar completamente, por causa do torque de atrito na furadeira, é t. Você substitui a broca por uma maior, que resulta no dobro do momento de inércia de todo o mecanismo de rotação da furadeira. Quando esta broca maior é girada na mesma velocidade angular e a furadeira é desligada, o torque de atrito permanece o mesmo da situação anterior. Qual é o intervalo de tempo necessário para esta broca atingir o repouso? (a) 4 t. (b) 2 t. (c) t. (d) 0,5 t. (e) 0,25 t. (f) impossível determinar. Responda a questão Pare E Pense 12.4 12.7 Rotação em torno de um eixo fixo Na resolução de problemas siga a orientação Estratégia para Resolução de Problemas 12.1. Na Resolução incluir a Eq. 12.20 do livro texto. Vínculos de cordas e polias A figura ao lado foi extraída do livro- texto. Perguntas: (A) Por que a corda não desliza? (B) As tensões na corda, no lado esquerdo e direito da polia, são iguais?. Explicar. (C) O Exemplo 12.14 pode ser resolvido utilizando a conservação de energia? Se sim, resolva-o usando esse princípio. A energia mecânica se conserva no sistema descrito no Exemplo 12.14? (D) No Exemplo 12.14, se o cilindro se tornasse muito massiva de modo que I ficasse muito grande, o que aconteceria com a aceleração a y e a tensão T. ************************************************************