COMPENSAÇÃO E AJUSTAMENTO

COMPENSAÇÃO E AJUSTAMENTO COMPENSAÇÃO A compensação de um conjunto de medidas é um procedimento para retirar o erro sistemático do processo metrológico. O erro sistemático é determinado pela diferença entre as medidas e o valor de referência. Exemplo 1 A Tabela 1 apresenta as medidas dos ângulos internos de um polígono plano de 8 lados. Neste caso só é possível determinar o erro da soma dos ângulos em relação ao valor de referência dado pela expressão que define a soma dos ângulos internos de um polígono de n lados Tabela 1 Medidas de ângulos Ângulo Graus Minutos 1 135 3 2 134 59 3 134 59 4 135 4 5 134 59 6 135 3 7 134 59 8 135 2 SOMAS 1076 248 Número de lados 8 lados Soma ângulos internos 180º ( 8-2) = 1080º Soma dos ângulos medidos 1076º + 248 = 1080º 8 Erro sistemático = S(ângulos medidos) Valor calculado = 8 minutos A compensação simples consiste em subtrair o erro dividido pelo número de lados de cada medida A Tabela 2 apresenta os valores compensados das medidas dos ângulos internos. 1

Tabela 2 Ângulos compensados Ângulo Graus Minutos 1 135 2 2 134 58 3 134 58 4 135 3 5 134 58 6 135 2 7 134 58 8 135 1 SOMAS 1076 240 Exemplo 2 A Tabela 3 apresenta 8 medidas das distâncias horizontais alinhadas entre dois pontos cuja distância total é 264,200 m. Tabela 3 Medidas de distâncias Lance Medida 1 26,987 2 32,458 3 47,126 4 29,487 5 17,895 6 25,638 7 35,784 8 48,745 SOMA 264,120 REFE 264,200 ERRO -0,080 A compensação pode ser simples subtraindo o erro dividido pelo número de lances de cada uma das medidas. A compensação pode ser proporcional subtraindo o erro ponderado pela distância de cada lance de cada uma das medidas. A Tabela 4 apresenta os resultados para as duas compensações e as respectivas diferenças. 2

Tabela 4 Resultados das compensações Simples Proporcional Simples - Proporcional mm 26.997 26.995 2 32.468 32.468 0 47.136 47.140-5 29.497 29.496 1 17.905 17.900 4 25.648 25.646 2 35.794 35.795-1 48.755 48.760-5 264.200 264.200 0 AJUSTAMENTO O ajustamento é um procedimento para determinar o valor mais provável de um conjunto de medidas. DEFINIÇÕES Equações de Observação: Dado uma medida, define-se por resíduo (v) pela diferença entre o valor medido (x) e o valor mais provável (X), que queremos encontrar com: v = x X (1) O valor aproximado pode ser definido pela expressão: Na qual: X = X A + C (2) X A = valor aproximado C = correção 3

Substituindo (2) em (1) v = x X A + C (3) Um conjunto de medidas apresenta um conjunto de resíduos v i que podem ser postos na forma matricial como um vetor coluna V. V T = [v 1 v 2 v 3 v N ] (4) O valor mais provável ocorre quando a soma dos resíduos ao quadrado é mínima: V T V = mínima (5) A solução da expressão (5) consiste em somar o quadrado dos resíduos, derivar em relação às incógnitas e resolver a equação, na qual X é a incógnita. Exemplo 3 A média um conjunto de medidas de uma mesma grandeza e obtidas nas mesmas condições é o valor mais provável da grandeza. Dado um conjunto de 4 medidas conhecidas, x i, cuja média X é a incógnita, os seus resíduos são expressos por: v 1 = x 1 X v 2 = x 2 X v 3 = x 3 X v 4 = x 3 X 4

V T V = [(x 1 X) 2 +(x 2 X) 2 +(x 3 X) 2 +(x 4 X) 2 ] (6) Desenvolvendo a expressão (6) V T V = [ x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 + x 2 4 +4X 2-2x 1 X-2x 2 X-2x 3 X-2x 4 X] Derivando em relação X d(v T V)/dX = [ 0+ 0 + 0 + 0 +8X-2x 1-2x 2-2x 3-2x 4 ] Igualando a zero: d(v T V)/dX = [8X-2x 1-2x 2-2x 3-2x 4 ]= 0 Resolvendo a equação: X= [x 1 +x 2 +x 3 +x 4 ]/4 (7) A expressão (7) é a média das medidas. Exemplo 4 Dado o nivelamento de uma rede de 4 pontos, onde é conhecida apenas a cota A. Deseja-se determinar as cotas B, C e D (incógnitas) fazendo-se as seguintes medições: Lance Medida A B 3,0 A C 2,0 A D 6,1 B C -1,5 B D 3,2 C D 3,5 5

Para saber quais são as cotas mais prováveis (B, C e D), pode-se recorrer a dois tipos de ajustamento: LIVRE: quando todas as cotas são ajustadas. COM INJUNÇÃO: quando, pelo menos, uma cota, não é ajustada. MÉTODO PARAMÉTRICO: O método paramétrico pode ser usado quando o número de equações de observação é maior que o número de incógnitas. Neste exemplo temos a injunção do ponto A, cuja cota não é ajustada. Assumindo que a cota A = 0,0 m podemos montar 6 equações independentes, nas quais as cotas B, C e D são as incógnitas: 1ª equação 1 B + 0 C + 0 D = 3,0 2ª equação 0 B + 1 C + 0 D = 2,0 3ª equação 0 B + 0 C + 1 D = 6.1 4ª equação -1 B+ 1 C + 0 D = -1,5 5ª equação -1 B + 0 C + 1 D = 3,2 6ª equação 0 B 1 C + 1 D = 3,5 Pelo Método Paramétrico, resolve-se o ajustamento diretamente por álgebra matricial, bastando montar as matrizes A e L: 6

A matriz A e constituída pelos parâmetros das equações que envolvem as incógnitas O vetor L é constituído pelas 6 medidas A solução do método parte da hipótese que a soma dos resíduos ao quadrado seja mínima (Método dos Mínimos Quadrados MMQ) resultando a equação matricial: Resolvendo a equação matricial, se obtém as cotas dos pontos B, C e D: 7

MÉTODO DAS CONDIÇÕES: Este método deve ser utilizado quando o número de equações é menor que o número de incógnitas. Neste caso as equações devem ser montadas obedecendo a uma determinada condição. Neste método, as incógnitas são os resíduos que cada medida deve ter para obedecer à condição de fechamento. No caso de nivelamento a condição fundamental é que o erro de um caminhamento fechado até o mesmo ponto seja igual a zero (0). No exemplo do nivelamento é possível montar 3 caminhamentos independentes, resultando 3 equações: Caminhamento 1 3,0 v ) (3,2 v ) (6,1 v ) 0 ( 1 6 3 Caminhamento 2 2,0 v ) (1,5 v ) (3,0 v ) 0 ( 2 4 1 Caminhamento 3 2,0 v ) (3,5 v ) (6,1 v ) 0 ( 2 5 3 Expandindo as equações: 1 v 1 +0 v 2-1 v 3 +0 v 4 +0 v 5 +1 v 6 + 3,0 +3,2-6,1 = 0-1 v 1 +1 v 2 +0 v 3 +1 v 4 +0 v 5 +0 v 6 +3,0 +3,2-6,1 = 0 0 v 1 +1 v 2-1 v 3 +0 v 4 +1 v 5 +0 v 6 + 3,0 +3,2-6,1 = 0 No Método das Condições é necessário montar a matriz B e a matriz W. A matriz B e constituída pelos parâmetros das equações de condições: A matriz W é constituída pela soma das constantes das equações O vetor V dos resíduos que determinam as condições pode ser determinado pela equação matricial, baseada no MMQ: 8

As 6 medidas ajustadas são determinadas somando-se os resíduos às medidas originais: Na qual o vetor L é constituído pelas 6 medidas originais: As medidas ajustadas são: Neste método, as 3 cotas ajustadas dos pontos B, C, e D são os 3 primeiros elementos do vetor, exatamente iguais às cotas ajustadas pelo Método Paramétrico. Prof. Ass. Ricardo E. Schaal STT EESC USP São Carlos, 10 de abril de 2010. 9