PARTIÇÃO DE GRAFOS EM CIRCUITOS FECHADOS Gilcina Guimarães Machado Universidade do Estado do Rio de Janeiro Escola Naval gilcina @uerj.br RESUMO Uma partição do conjunto de vértices em um grafo não orientado é definida de modo que a informação dada pelas relações de adjacências entre os vértices, a partir do penúltimo passo do algoritmo aqui denominado de Fase Grau 2 (FG2) remanescente, possa ser usada no estudo da existência ou não de circuitos hamiltonianos nos grafos. A partição mostra circuitos existentes no grafo. Palavras chave: grafos hamiltonianos, partição, adjacência. Abstract A vertex set partition in an indirect graph is defined in a way that information given by adjacency relations between vertices from algorithm, step before last, called here remaining degree two, can be used in a study of hamiltonian problems in a graph. The vertex set partition show circuits in graphs. Key words: hamiltonian graphs, partition, adjacency. [ 2261 ]
1. Introdução A nomenclatura e a notação aqui utilizadas são as de Harary (Harary, 1969). No presente texto entende-se que um grafo (não orientado ou simples) G (V, A) é uma estrutura onde V é um conjunto cujos elementos vi são denominados vértices; A é um conjunto de partes de V a dois elementos chamados de arestas; V = n é o número de vértices do grafo (ordem do grafo) e A = m corresponde ao número de arestas. Um grafo G (V1 V2, A) é bipartido se A for um conjunto da forma (v1, v2) onde v1 є V1 e v2 є V2, não existindo arestas unindo elementos de V1, ou de V2 entre si. Vértice adjacente ao vértice vi é todo vj a ele unido por uma aresta (que é então denominada aresta incidente a ambos os vértices). Se duas arestas diferentes são incidentes a um mesmo vértice então estas arestas são adjacentes. O grau de um vértice v, d(v), é o número de arestas incidentes a ele. Um caminho de um grafo G é uma seqüência alternada de vértices distintos e arestas (conseqüentemente também distintas); vo, l1,..., vi-1, li, vi, i = 1, 2,..., terminando em um vértice, cada aresta sendo incidente a dois vértices, o imediatamente anterior e o seguinte. Comprimento de um caminho é o número de arestas que o compõem. Um circuito é um caminho fechado, ou seja, no qual v0 = vi, i > 3. Um Circuito hamiltoniano (CH) é um circuito de comprimento igual a n, que percorre todos os vértices sem repeti-los. Um grafo hamiltoniano é um grafo que possui pelo menos um circuito hamiltoniano. Na busca de propriedades que permitam identificar se um grafo é ou não hamiltoniano desenvolvemos o algoritmo PDCL (Guimarães, 1992) que permite obter uma partição do grafo para observar suas partes em vez do todo, que apresenta alto grau de complexidade. A idéia principal é obter dois tipos de vértices, centrais e laterais. O tipo central tem garantido por qualquer um dos seus vértices adjacentes uma entrada e uma saída, o que permite a sua inclusão num percurso. O tipo lateral poderá ser incluído num percurso se e somente se dois vértices centrais o usarem como entrada e saída, ou se estiver ligado a outro vértice lateral que possua uma saída. Definimos uma partição V(X,Y), X Y=V, X Y=, onde X (cardinalidade igual a α) é formado pelos Vértices Centrais (VC) e Y (cardinalidade igual a β ) pelos Vértices Laterais (VL). Os vértices centrais e laterais ainda poderão ser classificados como isolados ou acoplados. São isolados aqueles que não possuem vértices adjacentes a outros do mesmo conjunto e acoplados em caso contrário. (Guimarães, 1992). Na partição a idéia principal é que um Circuito Hamiltoniano (CH) existente no grafo, quando atravessa todos os vértices, utiliza duas e somente duas arestas incidentes a cada vértice, as demais arestas não participam do CH. Em um desenho de G limitado exteriormente por este circuito as arestas não pertencentes ao CH ficariam no seu interior. O Processo de Determinação de vértices Centrais e Laterais (PDCL) seria assim desenvolvido: 1- Rotula-se o grafo em ordem não crescente dos graus dos vértices. 2- Retira-se o vértice de maior grau junto com as arestas a ele adjacentes e subtrai-se uma unidade do grau dos vértices restantes. 3- Repete-se o processo de retirada dos vértices enquanto existir um vértice de grau d 2. A partir da partição obtida os resultados possíveis de serem encontrados são: α < β; α = β; α > β Este procedimento, em muitos casos, permite que um grafo seja analisado quanto a existência ou não de CH usando observações contidas nas relações de adjacência.(guimarães e Boaventura, 1995). A partição obtida pelo PDCL fornece muito material para o avanço no estudo do problema hamiltoniano. Um destes estudos é a divisão de grafos em famílias utilizando a Partição Central-Lateral (PCL) em função do número de vértices (n), do grau máximo existente no grafo (Δ) e dos parâmetros obtidos na partição, α, β, ρ (número das arestas entre VC) e θ/2 (número das arestas entre VL). Esta abordagem identifica as partições que invertem os parâmetros. (Costa, 2000). Existem famílias que podem ser caracterizadas como totalmente hamiltonianas pelos resultados da literatura, enquanto em outras a configuração pode ser determinante para que [ 2262 ]
alguns grafos sejam hamiltonianos outros não. (Boaventura, 2003). 2. Objetivo No presente trabalho procuramos focalizar uma das últimas fases do PDCL, onde a escolha de VC reduz-se a vértices que permaneceram com grau 2, após a retirada das arestas incidentes nos vértices declarados centrais. Esta fase apresenta vértices centrais e laterais e vértices remanescentes com grau dois. Esta partição é composta de vértices que formam um circuito fechado e vértices isolados adjacentes a este circuito. A partição assim obtida permite ressaltar características dos grafos que são habitualmente de difícil visualização. Denominamos esta fase de Grau Dois Remanescente, e durante o desenvolvimento do trabalho denominaremos apenas de FASE GRAU DOIS (FG2). São utilizados como exemplos grafos regulares, não orientados, de grau 3, por apresentarem um menor número de arestas, o que permite atingir a FG2 mais rapidamente. 3. Fase Grau Dois Remanescente. A utilização do PDCL para a partição de um grafo X, regular e não orientado, finaliza quando os vértices possuem grau final 1 ou 0. A etapa focalizada neste estudo é anterior à final. Os vértices que não foram escolhidos como central, mas que ainda podem ser escolhidos como tal possuem grau remanescente 2. A denominação remanescente determina que o vértice originalmente não possui grau 2, este grau é resultante da perda de arestas para determinação dos vértices centrais iniciais. O grau 2 remanescente nos vértices mostra que eles são adjacentes aos centrais e laterais já definidos e ainda possuem dois outros vértices adjacentes. O algoritmo PDCL e FG2 são semelhantes na parte inicial. A parada para o primeiro seria quando não houvesse mais vértice com grau remanescente 2 e o segundo grau remanescente > 2. Para se determinar o grau de complexidade dos algoritmos é necessário definir exatamente sua aplicação porque o mesmo pode estar sendo utilizado apenas para obter os valores de α e β, pode ainda calcular os conjuntos X e Y, calcular o número de arestas isoladas e entre VC, determinar os vértices que formam circuitos e caminhos do grafo ou, sob certas condições, verificar se o grafo é ou não hamiltoniano. A avaliação do grau de complexidade do PDCL é assunto para um trabalho específico para todos os casos e quando se tiver definido o seu melhor uso. Na FG2 da partição de X, com n vértices, podemos definir três conjuntos de vértices: I C = {x IC : x IC X e é VC isolado}. I C = número de vértices de I C I L = {x IL : x IL X e é VL isolado}. I L = número de vértices de I L T = {x T : x T X e é vértice de grau 2 remanescente}. T = número de vértices de T I C + I L + T = n e I C 0 ; T 0 É fácil observar que o conjunto T de vértices forma um circuito fechado porque todos os vértices são de grau 2 e são adjacentes entre si. (Machado e Boaventura, 1996). A FG2 assim definida é mostrada nos exemplos seguintes. [ 2263 ]
Exemplo 1 (Grafo de Petersen) 4 5 8 1 7 6 9 2 3 10 Figura 1 Grafo de Petersen Tabela 1 Vértices e adjacentes Vértice Vértices Adjacentes 1 4 6 10 2 7 8 10 3 5 9 10 4 1 5 8 5 3 4 7 6 1 7 9 7 2 5 6 8 2 4 9 9 3 6 8 10 1 2 3 Posição na Fase Grau Dois do PDCL Quadro 1 PDCL na FG2 Grafo de Petersen 0 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} I C = {1, 2, 3}; I C = 3; I L = { 10 }; I L = 1 T = {4, 5, 6, 7, 8, 9} e T = 6; I C + I L + T = 10; I C I L T = X Todos os vértices que ainda podem ser incluídos no conjunto de vértices centrais possuem agora grau remanescente 2. São adjacentes entre si e formam um circuito fechado com 6 vértices. O circuito fechado formado pelos vértices de T possui os vértices de IC adjacentes. Os [ 2264 ]
vértices de IL são adjacentes somente aos de IC, isto é, não são adjacentes ao de T. 1 3 10 4 5 8 7 2 87 2 9 6 3 1 Figura 2 Grafo resultante da FG2 com os VC adjacentes É importante notar a estrutura formada pelos vértices 1, 2, 3 e10, onde os vértices adjacentes ao vértice 10, VL isolado (não é adjacente a outro VL) são todos VC isolados (não são adjacentes a outro VC). Chamaremos este conjunto de núcleo isolado. Não detalharemos esta estrutura porque não está no objetivo deste trabalho mas aparecerá em outros exemplos. Pode-se confirmar o que mostra o esquema inicial; as distâncias entre os vértices de IC, 1, 2 e 3, são todas de valores iguais. No caso teremos através do vértice 10. Vamos examinar a possibilidade de aumentar o tamanho do circuito obtido pela inserção de caminhos disjuntos em relação às arestas. 1 10 2 1 10 3 2 10 3 Figura 3 Caminhos entre os vértices. Os caminhos que não passam pelo vértice 10 são: 1 4 8 2 1 6 9 3 2 7 5 3 1 6 7 2 1 4 5 3 2 8 9 3 Figura 4 Caminhos entre os vértices [ 2265 ]
1 4 5 7 2 1 6 7 5 3 2 7 6 9 3 1 6 9 8 2 1 4 8 9 3 2 8 4 5 3 Figura 5 - Caminhos entre os vértices. O grafo é não hamiltoniano. A inclusão do vértice 10 obriga o uso de apenas um caminho de comprimento 2. A possibilidade de usar 2 caminhos de comprimento 3 geraria um circuito de comprimento total 8. A possibilidade de usar 2 caminhos de comprimento 4 está descartada uma vez que estes caminhos 2 a 2 ou fecham circuito ou repetem, pelo menos, um vértice. Os caminhos que poderiam ser utilizados para formar um possível circuito hamiltoniano teriam valores; 2 + 3 + 4 = 9. Os caminhos de comprimento máximo que este grafo admite são de comprimento 9. Os vértices podem alternar a sua inclusão nestes circuitos máximos. Exemplo 2. Tabela 2 Vértices e adjacentes Vértices Vértices Adjacentes 1 10 11 12 2 8 10 13 3 15 17 18 4 14 16 18 5 9 10 20 6 7 18 19 7 6 13 17 8 2 12 20 9 5 12 14 10 1 2 5 11 1 13 20 12 1 8 9 13 2 7 11 14 4 9 15 15 3 14 19 16 4 17 19 17 3 7 16 18 3 4 6 19 6 15 16 20 5 8-11 Quadro 2 - PDCL na FG2 0 0 1. 1 2 2 2. 2. 2. 2 2. 2 2. 2 2 2. 2 2 3 3 3 3 3 3 3. 3. 3. 3 3. 3. 3. 3. 3. 3. 3. 3 3 3. [ 2266 ]
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2 X={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20} I C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ; I C = 6 ; I L = { 10, 18 } ; I L = 2 T = {7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 20} e T = 12 ; I C + I L + T = 20 ; I C I L T = X Para facilitar a visualização das distâncias incluímos os vértices de IC e os de IL em um circuito fechado maior, destacando em vermelho o circuito fechado formado pelos vértices de T. 2 9 14 12 8 20 5 10 1 11 13 15 19 16 17 3 18 6 7 4 Figura 6 Circuito fechado da partição Os vértices 1, 2, 5 e 10 formam um núcleo e os vértices 3, 4, 6 e 18 formam outro núcleo. As mesmas construções do grafo anterior ocorrem neste grafo em cada núcleo. Este grafo é não hamiltoniano. Os circuitos fechados máximos possuem comprimento igual a 18. Os vértices incluídos dos núcleos se alternam nestes circuitos máximos. [ 2267 ]
Exemplo 3 Tabela 3 Vértices e adjacentes Vértices Vértices Adjacentes 1 18 19 20 2 10 15 18 3 7 8 10 4 9 10 16 5 12 13 18 6 11 16 17 7 3 12 14 8 3 9 16 9 4 8 15 10 2 3 4 11 6 13 16 12 5 7 20 13 5 11 14 14 6 7 13 15 2 9 17 16 4 8 11 17 6 15 19 18 1 2 5 19 1 17 20 20 1 12 19 Quadro 3 - Partição Grau Dois Remanescente 0 0 1 1 2 2. 2. 2 2 2. 2 2. 2 2 2. 2 2 2 3 3 3 3 3 3. 3. 3. 3. 3. 3. 3. 3. 3. 3. 3. 3. 3. 3 3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 X={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20} I C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ; I C = 6 ; I L = { 10, 18 } ; I L = 2 T = {7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 20} e T = 12 ; I C + I L + T = 20 ; I C I L T = X Para facilitar a visualização das distâncias incluímos os vértices de IC e os de IL em um circuito fechado maior, no caso circuito hamiltoniano, destacando o circuito fechado formado pelos vértices de T. [ 2268 ]
17 6 14 7 12 5 13 11 19 16 20 4 1 18 2 15 9 8 3 10 Figura 7 Circuito fechado da FG2 No exemplo atual os vértices de IC e de IL não formam núcleos isolados, como no exemplo anterior. Como estão contidos num circuito hamiltoniano estes vértices apresentam distâncias de comprimentos diferentes. Exemplo 4. 1 8 12 10 9 11 16 4 5 2 13 15 3 6 14 7 Figura 8 Grafo [ 2269 ]
Tabela 4 Vértices e adjacentes Vértice Vértices Adjacentes 1 8 9 12 2 6 13 16 3 5 7 15 4 10 11 14 5 3 11 15 6 2 13 14 7 3 14 15 8 1 9 10 9 1 8 12 10 4 8 16 11 4 5 12 12 1 9 11 13 2 6 16 14 4 6 7 15 3 5 7 16 2 10 13 Quadro 4 - Fase Grau Dois Remanescente 2 2. 2. 2 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2 2 3 3 3 3 3. 3. 3. 3. 3. 3. 3. 3. 3. 3. 3 3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 X={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,11, 12, 13, 14, 15, 16}; I C = {1, 2, 3, 4}; I C = 4; I L = φ; I L = 0 T = {5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16} e T = 12 ; I C + I L + T = 16; I C I L T = X O grafo é não hamiltoniano. Embora não se visualize o núcleo isolado ele está presente.se os vértices 10, 11 e 14 fossem rotulados 1, 2 e 3, mantendo a rotulação do 4 o núcleo ficaria visível. Neste caso os vértices não se alternam no circuito máximo, que é único. As distâncias entre os vértices de IC são também constantes. As menores distâncias entre os vértices 1, 2 e 3 medem 4. As menores distâncias destes ao vértice 4 medem 3. 4. Conclusão A partição denominada Fase Dois Remanescente permite a visualização de características dos grafos que impedem a formação de circuitos hamiltonianos, as quais são habitualmente difíceis de identificar. Fica visível que para a existência de circuitos hamiltonianos em grafos a consideração dos caminhos entre vértices centrais e laterais é fator importante. Saber que determinação de caminhos importa é bastante árduo, se feito por inspeção. A utilização do PDCL facilita a obtenção dos vértices que determinam distâncias iguais. Fica em aberto o problema de se obter com o PDCL uma partição conveniente. A obtenção da Fase Dois Remanescente não é garantida de se obter com qualquer rotulação dos vértices. [ 2270 ]
As características das diversas partições é que talvez possam determinar elementos que determinem se um grafo é ou não hamiltoniano. O algoritmo FG2 como está definido pode localizar os vértices de grau 2 que formam um circuito ou caminho de qualquer tamanho do grafo. REFERÊNCIAS. HARARY, F. Graph Theory, Addison-Wesley, Reading, Ma (1969). COSTA SERTÃ C. Desenvolvimentos no Estudo Estrutural em Grafos Não Orientados Ênfase a Questão da Hamiltoneidade. D. Sc., COPPE, Universidade Federal do Rio de Janeiro, 2000. BOAVENTURA NETTO, P. O. Grafos Teoria, Modelos, Algoritmos. Esitora Edgard Blucher Ltda, 2003. S. Paulo. GUIMARÃES MACHADO, G. Uma Teoria Estrutural para Análise Hamiltoniana em Grafos não Orientados, D. Sc., COPPE, Universidade Federal do Rio de Janeiro, 1992. GUIMARÃES MACHADO, G. e BOAVENTURA P. O. N. A Structural Way for the Study of Hamiltonian Problems, Investigation Operativa, Vol. 5, Nº 1, 1995. GUIMARÃES MACHADO, G. BOAVENTURA NETTO, P.O.. Orientação dos Vértices de Grafos.. In: VIII CLAIO -XXVIII SBPO -, 1996, Rio de Janeiro. Anais do VIII CLAIO XXVIII SBPO. [ 2271 ]