Modelo Massa-Mola aplicado na deformação da malha de um fígado. Victor Adriel de Jesus Oliveira Instituto de Informática Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS) Caixa Postal 15.064 91.501-970 Porto Alegre RS Brasil victorajoliveira@gmail.com Resumo. Este relatório descreve os conceitos e os passos envolvidos na aplicação da deformação de corpos flexíveis (soft bodies) através do modelo de massa-mola. Com o objetivo de aplicar a técnica citada na deformação de uma malha na forma de um fígado humano, os conceitos apresentados foram testados em um modelo 2D. 1. Introdução Para modelar cenários que possam ser usados em simulação de procedimentos cirúrgicos é necessário acrescentar propriedades físicas que se assemelhem às do mundo real. Modelos de órgãos, por exemplo, se tornam mais verossímeis à medida que se acrescenta uma aparência de viscosidade à sua textura. Em procedimentos onde há a manipulação do órgão virtual é necessário ainda visualizar sua deformação. Este trabalho consiste do estudo e utilização da técnica de Massa-Mola para a deformação de um modelo de fígado (Figura 1) como parte do objetivo de tornar o modelo mais verossímil. 2. Soft Bodies Enquanto o estudo de Corpos rígidos (Rigid bodies) diz respeito a um modelo em que a distância entre cada dois pontos da sua malha não se altera, independente da força exercida sobre o corpo, o estudo de Corpos flexíveis, ou Soft bodies, foca na simulação características físicas de objetos deformáveis.
Figura 1. Malha do fígado. Essa técnica é aplicada na simulação de materiais orgânicos flexíveis como músculos, gordura, cabelo e vegetação. A forma desses corpos pode ser alterada o que implica na variação da distância entre pontos na malha do objeto na medida em que lhe é aplicada uma força. 2.1. Mass-spring model Dentro da dinâmica de corpos deformáveis existe uma abordagem onde o corpo é modelado como um conjunto de pontos massa conectados por molas ideais que obedeçam de certa forma à Lei de Hooke que afirma que a deformação de uma mola corresponde à pressão que lhe é exercida. Cada ponto de massa corresponde a um vértice na malha e diversas forças podem ser aplicadas à malha no objetivo de simular diferentes características de movimento. Além da força da gravidade, da força normal e do contato é possível acrescentar também forças de pressão, atrito e resistência, por exemplo. Nesse projeto escolheu-se aplicar a técnica massa-mola para a deformação do fígado sem a preocupação com características de textura, o que se deseja analisar em trabalhos posteriores. Além da gravidade e da massa de cada ponto, escolheu-se utilizar uma força de pressão nos pontos da malha à fim de criar certa resistência na sua deformação.
3. Desenvolvimento Cada vértice da malha do fígado (Figura 2) é interpretado como um ponto para o qual é armazenada uma posição, uma velocidade e uma força. As arestas são tratadas como molas e cada uma possui um ponto de início e um ponto de fim, uma largura equivalente à distância entre seus pontos inicial e final e um vetor normal. Depois de lida a malha é necessário calcular as forças no modelo e que serão aplicadas a todos os pontos. Nessa abordagem foi utilizada a força gravitacional, de pressão e a força das molas. Aplicando a Segunda Lei de Newton aos pontos de massa incluindo as forças aplicadas, o resultado é um sistema de equações diferenciais que descrevem o movimento dos nós. Para resolver esse sistema de equações diferenciais é utilizado o método de Euler. Figura 2. Pontos de massa conectados por molas.
Para cálculo da força linear das molas é utilizada a equação: derivada diretamente da lei de Hooke, onde é a posição do segundo ponto da mola, é a posição do primeiro ponto da mola, é a distância entre os dois pontos (que deve ser maior que zero), é uma constante de elasticidade e o é uma constante de amortecimento. A equação para o cálculo da força de pressão é onde V é o volume do corpo, A é a face de um polígono, P é o valor de pressão já registrado para o ponto e é o vetor normal à face do polígono. Para calcular o volume é possível utilizar uma expressão simples derivada do Teorema de Gauss: onde o somatório é feito para todas as molas da malha. 4. Resultados A técnica foi aplicada em objetos 2D (Figura 3) para verificar sua viabilidade, no entanto não foi conseguido até o momento reproduzir a deformação da malha do fígado. 5. Conclusão De modo geral, o algoritmo consiste em criar uma malha de pontos de massa conectados por molas onde serão aplicadas forças de gravidade, pressão e das próprias molas e logo após visualizar o resultado da atuação dessas forças no modelo deformável. É necessário adequar a técnica para produzir resultados corretos mesmo quando aplicada uma textura sobre o objeto. Esses resultados serão buscados em trabalhos posteriores.
(a) Figura 3. Teste do modelo massa-mola aplicado à um objeto 2D, em queda (a) e em contato com o limite inferior da janela (b). Referências Wikipedia (2012), Soft body dynamics, http://en.wikipedia.org/wiki/soft_body_ dynamics, Julho. Matyka, M. (2004) How To Implement a Pressure Soft Body Model, http://panoramix.ift.uni.wroc.pl/~maq/eng/, Julho. Sugavanam, S. e Devarajan, V. (2003) Simulation of a Preperitoneal Mesh in Laparoscopic Herniorrhaphy, Medicine Meets Virtual Reality, in press. (b)