TERMODINÂMICA E ESTRUTURA DA MATÉRIA COLECÇÃO DE PROBLEMAS PARTE - II INTRODUÇÃO À TEORIA CINÉTICA CALORIMETRIA MUDANÇAS DE ESTADO GASES IDEAIS EQUAÇÃO DE ESTADO GASES REAIS EQUAÇÃO DE VAN DER WAALS TRANSFORMAÇÕES NUCLARES Luís Lemos Alves, 2005
1- Considere 18g de gelo à pressão p = 1atm. a) Admita que o gelo se encontra à temperatura de 50ºC. Calcule a energia que é necessário fornecer a essa massa de gelo, para que atinja a temperatura de fusão T fusão = 0ºC. b) Calcule a energia que é necessário fornecer a essa massa de gelo a 0ºC, para obter água líquida à mesma temperatura. 2- Considere um bloco de cobre, com massa 1kg, à pressão atmosférica normal. Aquece-se o cobre, fazendo variar a sua temperatura entre 20ºC e 50ºC. a) Calcule o calor absorvido pelo cobre. b) Mostre que β cobre ~ 3α cobre, onde α cobre = (1/l)(dl/dT) e β cobre = (1/V)(dV/dT) são os coeficientes de dilatação linear e volúmica do cobre, respectivamente. Admita que o bloco é isotrópico e que o seu volume varia pouco. c) Calcule o trabalho realizado pelo bloco de cobre, supondo que a sua dilatação foi muito lenta. d) Calcule a variação da energia interna do cobre e) Compare os resultados obtidos nas alíneas a) e d). Interprete a diferença entre eles à luz das propriedades de um sólido e indique se, neste caso, faz sentido diferenciar os calores específicos a pressão e volume constante.
3- A partir da Teoria Cinética, calcule o calor específico a volume constante dos seguintes sistemas: a) Gás ideal monoatómico. b) Gás ideal diatómico, à temperatura ambiente. c) Gás ideal diatómico, à temperatura de 3000K. d) Gás ideal triatómico, à temperatura de 3000K. e) Sólido cristalino. 4- O ar seco é uma mistura de gases que se comporta como um gás perfeito diatómico. Numa mole de ar existem 0,78mol de azoto N 2 [m N2 = 28 u.m.a.], 0,21mol de oxigénio O 2 [m O2 = 32 u.m.a.], sendo as restantes 0,01mol compostas por vários outros gases tais como argon Ar e dióxido de carbono CO 2. A pressão atmosférica é a soma das pressões parciais dos vários gases. a) Calcule o calor específico molar do ar seco a volume constante, C V, e a pressão constante, C p, à temperatura ambiente. b) Calcule a massa molar e a densidade do ar seco em condições PTN. c) Calcule o calor específico mássico a volume constante do ar seco, C m,v. 5- Considere uma arca frigorífica com capacidade de 120L, cuja porta tem 0,8m de altura e 0,5m de largura. Quando se abre a porta não se observa uma alteração apreciável da quantidade de ar no interior da arca, muito embora a sua temperatura suba ligeiramente. Suponha que, quando se abre a porta, o ar interior atinge uma temperatura uniforme de 8 o C, estando em equilíbrio com a pressão atmosférica exterior. Quando se fecha a porta, o ar interior arrefece até à temperatura de 10 o C. Nestas condições, estime qual a força necessária para reabrir a porta da arca, admitindo que a sua junta é completamente hermética.
6- Considere um gás perfeito monoatómico à pressão p i = 1,2atm e temperatura T i = 300K, o qual se encontra em equilíbrio no interior dum êmbolo cilíndrico de volume V i = 1L, cujo pistão, de massa m = 1kg e espessura desprezável, está a uma altura h = 50cm. Admita que existe uma massa M sobre o pistão a qual, uma vez retirada, permite ao gás expandirse adiabaticamente até uma pressão p f, uma temperatura T f e um volume V f. p a) Calcule o valor da massa M. atm b) Calcule o valor da pressão final p f. c) Obtenha o valor da razão de expansão V f / V i. d) Calcule o valor do trabalho realizado pelo gás sobre o exterior. m+m e) Calcule o valor da temperatura final T f. 7- Considere um recipiente com paredes rígidas e adiabáticas, no qual existem dois compartimentos (A e B) termicamente isolados através de uma divisória fixa. No compartimento A existe azoto (m N2 = 28g mol -1 ; p A = 6atm, T A = 290K, V A = 2L), enquanto no compartimento B existe hélio (m He = 4g mol -1 ; p B = 1,5atm, T B = T A, V B = 4L). Considere estes gases como perfeitos. a) Calcule o número de moles de N 2 e He, existentes nos recipientes A e B. b) Calcule a energia interna e os calores específicos a volume constante e a pressão constante de cada um dos gases. c) Calcule a densidade mássica de cada um dos gases. d) Obtenha a razão v q (N 2 )/v q (He), entre as velocidades quadráticas médias dos dois gases. e) Admita que se retira a divisória entre A e B, permitindo-se a mistura dos dois gases.
e1) Indique qual é a temperatura de equilíbrio, T eq, da mistura. e2) Calcule a energia interna de equilíbrio, U eq, da mistura. e3) Calcule a pressão de equilíbrio, p eq, da mistura. Verifique a lei de Dalton. f) Suponha agora que se diminui em 2%, e de forma isotérmica, o volume total V A +V B do recipiente. Calcule os novos valores de equilíbrio da pressão e da energia interna da mistura. 8- A figura seguinte esquematiza o diagrama do ponto triplo para a água. Identifique as mudanças de estado que se observam se fizermos o sistema evoluir segundo os percursos A, B e C, indicados na figura. 9- Pretende-se obter algumas propriedades do amoníaco (NH 3 ) no ponto triplo. A pressão de vapor do amoníaco sólido é dada por : e a do amoníaco líquido por onde a pressão p está em Torr e a temperatura T em K. a) Calcule a temperatura T 0 e a pressão p 0 do ponto triplo do amoníaco. b) Indique, justificando, qual é o estado físico do amoníaco a PTN.
10- A equação de Van der Waals (VDW), para uma mole de um fluido, pode escrever-se na forma reduzida p p / 3 pr + 8 2 V r V V / V ( 3V r 1) = Tr T T / T onde r p c, r c e r c representam, respectivamente, a pressão reduzida, o volume reduzido e a temperatura reduzida do fluido, definidos em relação aos parâmetros críticos correspondentes. a) Verifique que as propriedades matemáticas do ponto crítico do fluido são correctamente descritas pela equação reduzida de VDW. b) Obtenha a expressão da equação reduzida de VDW, no limite de altas temperaturas e altas diluições do fluido. Utilize a expressão obtida para deduzir a relação entre os parâmetros críticos p c, V c e T c. c) Discuta o significado físico do termo aditivo em pressão e do termo subtractivo em volume, na equação reduzida de VDW. 11- O hélio e a água são correctamente descritos, na transição líquido-vapor, pela equação de Van der Waals Para o hélio tem-se 2 n a p + = 2 V a = 0,03415x10 6 atm cm 6 mol -2 b = 23,71 cm 3 mol -1 e para a água a = 5,468x10 6 atm cm 6 mol -2 b = 30,52 cm 3 mol -1 ( V nb) nrt a) Indique qual das duas substâncias tem forças de interacção molecular mais intensas. Calcule a relação de ordem de grandeza entre as suas intensidades. b) Indique, justificando, qual das duas substâncias tem um ponto de ebulição mais baixo, à pressão atmosférica. c) Indique qual das duas substâncias tem moléculas maiores. Estime o valor do raio do átomo de hélio.
12- O hélio é bem descrito pela equação de estado de Van der Waals (VDW) 2 n a p + = 2 V ( V nb) nrt com a = 3,44x10-3 Pa m 6 mol -2 e b = 23,4x10-6 m 3 mol -1. a) Estime o valor do raio dum átomo de hélio. b) Deduza as expressões das coordenadas (p c, V c, T c ) do ponto crítico dum gás real, a partir da equação de VDW. Calcule p c e T c para o hélio. c) Considere uma mole de hélio à temperatura inicial T 1 = 140K, sobre a qual se realiza uma expansão livre de Joule entre V 1 =1L e V 2 = 2V 1. Admita que o calor específico molar a volume constante do hélio é C V = (3/2) R. c1) Utilize a expressão geral da variação da energia interna du = nc V dt p + T T V p dv para calcular a temperatura final T 2 do gás, após a expansão. c2) Calcule a variação da entropia do hélio na expansão. c3) Compare os resultados das alíneas c1) e c2) com os que se obteriam admitindo que o hélio é um gás perfeito. Interprete. 13- Considere os seguintes sistemas: (I) Um plasma de fusão, de densidade electrónica n e = 10 18 cm -3 e energia electrónica k B T e = 1keV. (II) Uma lâmpada fluorescente, onde n e = 10 11 cm -3 e k B T e = 2eV. (III) A ionosfera terrestre, onde n e = 10 6 cm -3 e k B T e = 0,1eV. a) Calcule o comprimento de Debye e a frequência de plasma desses sistemas. Compare os resultados obtidos. b) Sugira uma explicação para o facto da expressão da frequência de plasma ser independente da temperatura electrónica do sistema. c) Explique porque razão o tubo da lâmpada fluorescente não se encontra à temperatura de 2eV (~ 23000K, era capaz de fundir!). (NOTA: o gás no interior da lâmpada encontra-se à pressão de 2Torr e a uma temperatura de 70 o C).
14- Numa estação arqueológica no Egipto encontrou-se uma múmia que se pretende datar. A actividade do 14 C existente na múmia é de 9 (desintegrações) s -1 g -1, e a sua actividade na atmosfera (e na matéria viva) é actualmente de 13,5 (desintegrações) s -1 g -1. Sabe-se que o período de semi-transformação do 14 C é de 5730 anos. a) Calcule a constante de decaimento do 14 C. b) Suponha que a actividade do 14 C na atmosfera se tem mantido constante ao longo dos anos. Calcule a idade da múmia, e faça a datação da estação arqueológica. c) Discuta a validade da aproximação utilizada na alínea b), relativamente à variação da actividade do 14 C na atmosfera. Indique de que modo esta aproximação tem influência nas datações antes calculadas. 15- Considere uma rocha em cuja composição existe 87 Rb (rubídio) e 87 Sr (estrôncio). Suponha que o 87 Sr da rocha resultou exclusivamente do decaimento do 87 Rb, ao longo dos anos. Sabe-se que o período de semi-transformação do 87 Rb em 87 Sr é de 4,7x10 10 anos. a) A análise da rocha revela uma percentagem relativa de 99% de 87 Rb. Indique se será possível encontrar fósseis dos primeiros mamíferos nessa rocha. [NOTA: o aparecimento dos primeiros mamíferos ocorreu há 9,5x10 7 anos.] b) Calcule a percentagem mínima de 87 Rb que tem de existir nessa rocha, para que a estimativa actual da idade da Terra (4,5x10 9 anos) permaneça válida. 16- Uma das mais importantes reacções de fusão nuclear no Sol envolve a colisão de dois átomos de 3 He (cujo núcleo é formado por 2 protões e um neutrão), dando origem a Hélio-4 e hidrogénio 3 He + 3 He 4 He + 1 H + 1 H As massas dos núcleos intervenientes nesta reacção são m( 3 He) = 5,008237x10-27 kg m( 4 He) = 6,646483x10-27 kg m( 1 H) = 1,673534x10-27 kg Calcule a energia libertada pela fusão de cada par de átomos de 3 He em repouso. Expresse o resultado em ev.
17- Uma das mais importantes reacções de fissão nuclear do 235 U envolve a formação de 94 Zr e de 140 Ce, segundo 235 U + 1 n 94 Zr + 140 Ce + 2 1 n + 6 e Sabe-se que a diferença entre as massas dos produtos e dos reagentes desta reacção é 4x10-25 g. Calcule a energia por nucleão libertada devida à fissão dum núcleo de 235 U em repouso. Expresse o resultado em ev. [NOTA World Year of Physics: um dos trabalhos publicados por Einstein em 1905 estabelecia a famosa fórmula E = mc 2, que estabelece a equivalência entre massa e energia.] 18- (e-lab) Considere uma fonte pontual de raios-γ (com 0,8 MeV de energia) no vácuo, cuja taxa isotrópica de emissão é S = 4x10 12 s -1. Pretende-se atenuar este feixe de radiação, colocando a fonte no interior duma câmara de ferro com 1 cm de raio. Sabe-se que o comprimento de semi-redução do ferro é L 1/2 = 1,33 cm (para raios-γ de 0,8 MeV). a) Mostre que o fluxo J de raios-γ, calculado à distância r da fonte, é dado por S J = 2 4πr b) Calcule o fluxo de radiação que incide na parede interna da câmara. c) Calcule o coeficiente de atenuação mássico do ferro (para raios-γ de 0,8 MeV). d) Estime a espessura mínima da câmara de ferro, que garante uma atenuação a 80% do fluxo de raios-γ.
DADOS E CONSTANTES Condições PTN (Pressão e Temperatura Normais) p = 1atm = 760Torr; T = 273K 1 atm = 1,013 x 10 5 Pa R = 8,314 J K -1 mol -1 C p (gelo) = 2,1 J g -1 ºC -1 λ fusão (gelo) = 333,7 J g -1 M cobre = 63,55 g mol -1 ρ cobre = 8,92 g cm -3 (valor médio entre 20 o C e 50 o C) C p (cobre) = 0,384 J g -1 ºC -1 α cobre = 1,7x10-5 K -1 (coeficiente de dilatação linear) ρ ferro = 7,86 g cm -3 m e = 9,11 x 10-31 kg e = 1,60 x 10-19 C ε 0 = 8,85 x 10-12 C 2 N -1 m -2
Soluções de questões seleccionadas 1- a) 450 cal b) 1440 cal 4- a) C V = 20,8 J K -1 mol -1 C p = 29,1 J K -1 mol -1 b) M ar = 28,6 g mol -1 ρ ar = 1,28 kg m -3 c) C m,v = 0,73 J K -1 g -1 5-305 N 6- a) M = 3,13 kg b) p f = 1,06x10 5 Pa c) V f / V i = 1,09 d) W gas = 9,54 J e) T f = 285 K 7- a) n N2 = 0,50 mol n He = 0,25 mol b) C V, N2 = 20,8 J K -1 mol -1 C p, N2 = 29,1 J K -1 mol -1 U N2 ~ 3 kj C V, He = 12,5 J K -1 mol -1 C p, He = 20,8 J K -1 mol -1 U He ~ 0,91 kj c) ρ N2 = 7 kg m -3 ρ He = 0,25 kg m -3 d) v q (N 2 ) / v q (He) = 0,38 e) e1) T eq = 290 K e2) U eq ~ 3,9 kj e3) p eq ~ 3 atm = p N2 + p He
f) p eq ~ 3,06 atm U eq = U eq ~ 3,9 kj 9- a) T 0 = 195,2 K p 0 = 44,6 Torr b) Estado gasoso 10- a) p c 3 RTc = 8 V c 11- a) F H20 / F He ~ 10 2 12- a) r He = 1,3 Å b) p c = 2,3x10 5 Pa T c = 5,2 K c) c1) T 2 = 139,9 K c2) S = (5,9 8,9x10-3 ) J K -1 14- a) λ = 3,8x10-12 s -1 b) 3379 anos 15- b) 94% 16-12,9 MeV 17-0,9 MeV / nucleão 18- a) J(r=1cm) = 3,2x10 11 cm -2 s -1 b) µ/ρ = (ln2 / L 1/2 ) / ρ = 0,066 cm 2 g -1 c) x = ln5 / µ = 3,10 cm