Prof.º Aguinaldo Ramos de Miranda 1
A MATEMÁTICA E OS CONFLITOS DA APRENDIZAGEM MÓDULO COMPLETO PARA AS QUATRO OFICINAS 2013 PROF. AGUINALDO R. DE MIRANDA guinacalculo@uol.com.br Considerando que a matemática ocupa um espaço significativo na formação dos alunos de séries iniciais, utilizando cerca de 20% do currículo escolar, os resultados obtidos são bastante ruins. Além disso, esse componente curricular gera grande incidência de reprovação e de abandono da escola. Procurando refletir sobre o processo ensino-aprendizagem de Matemática mostraremos a seguir as propostas atuais para o ensino de matemática nos blocos de conteúdos: Números e Operações, Espaço e Forma, Medidas e Tratamento de Informação. Habilidades fundamentais da Matemática: Identificar, formular, ler e resolver problemas; Identificar padrões, fazer generalizações; Elaborar conjecturas, usar modelos, fatos, contra-exemplos e argumentos lógicos; Perceber, conceber, analisar e representar objetos geométricos. Características da disciplina: Formativa: estruturar o pensamento, desenvolvendo diferentes formas de pensar e a aquisição de atitudes. Científica: ciência construída pelo homem com características próprias e formas de raciocínio específicas. Instrumental: instrumento a serviço do ser humano que pode ser aplicada às necessidades do cotidiano, em outras ciências e na própria matemática. Instrumento de comunicação e leitura do mundo, na forma de linguagem, técnicas e estratégias. Metodologia de resolução de problemas - A matemática se aprende para resolver problemas e ao resolver problemas fazemos matemática. - Expor e discutir idéias com outras pessoas, negociar significados, organizar conhecimentos e fazer registros. -Não se limita a colocar questões, mas também a questionar as respostas obtidas e a própria questão original; - Permitir discussão do problema proposto, seus dados e solução; desenvolver o senso crítico e a criatividade. Na Resolução de Problemas Matemáticos é preciso considerar que é: preciso dar ênfase ao processo de solução do que apenas o resultado obtido; um processo de ação-reflexão-ação (dialética); necessário priorizar a qualidade e não a quantidade; preciso trabalhar com problemas que utilize desenhos e instruções orais. Importante proporcionar ambiente em que os alunos proponham, explorem e investiguem problemas provenientes tanto de situações reais quanto de situações lúdicas ou de investigações relacionadas à própria matemática; Como trabalhar com problemas a) Propor problemas para a classe resolvê-ios; b) Trocar os problemas entre os alunos para que um resolva o do outro; c)trabalhar com problemas não-convencionais: sem dados numéricos, com falta de dados, com excesso de dados, impossíveis de serem resolvidos a partir dos dados:\de lógica. Campo Aditivo Composição: situações que envolvem parte-todo Juntar uma parte com outra para formar o todo ou subtrair uma parte do todo para obter a outra parte. 2
Exemplo: Numa caixa tem 8 bolinhas de gude verdes e 6 bolinhas de gude azuis. Ao todo quanta bolinha de gude tem nessa caixa? Em uma classe há 15 meninos e 13 meninas. Quantas crianças há nessa classe? Em uma classe de 28 alunos, 15 são meninos. Quantas são as meninas? Transformação: situações em que a idéia temporal está sempre envolvida. No estado inicial temse uma quantidade que se transforma. Exemplo: Na festa do João havia 10 amiguinhos. Depois chegaram outros 12 convidados. Quantas pessoas foram à festa do João? Paulo tinha 20 figurinhas. Ele ganhou 15 figurinhas num jogo. Quantas figurinhas ele tem agora? (transformação positiva). Pedro tinha 37 figurinhas. Ele perdeu 12 num jogo. Quantas figurinhas ele tem agora? (transformação negativa). Comparação: problemas que comparam duas quantidades. Exemplo: Marcos tem 16 reais e seu irmão Claudio tem 7 reais. Quanto real Carlinhos tem a mais que seu irmão? No final de um jogo, Luíza e Carla conferiram suas figurinhas. Luiza tinha 20 e Carla tinha 10 a mais que Luiza. Quantas eram as figurinhas de Luiza? Paulo tem 20 figurinhas. Carlos tem 7 figurinhas a menos que Paulo. Quanta figurinha tem Carlos? Composição de transformação: envolve mais de um raciocínio aditivo numa mesma situação. CAMPO MULTIPLICATIVO Comparativo: Pedro tem R$ 5,00 e Lia tem o dobro dessa quantia. Quanto tem Lia? Marta tem 4 selos e João tem 5 vezes mais selos que ela. Quantos selos tem João? Lia tem R$ 10,00. Sabendo que ela tem o dobro da quantia de Pedro, quanto tem Pedro? Proporcionalidade (comparação entre razões): Marta vai comprar três pacotes de chocolate. Cada pacote custa R$ 8,00. Quanto ela vai pagar pelos três pacotes? Dois abacaxis custam R$ 2,50. Quanto pagarei por 4 desses abacaxis? Marta pagou R$ 24,00 por 3 pacotes de chocolate. Quanto custou cada pacote? Configuração retangular: Num pequeno auditório, as cadeiras estão dispostas em 7 fileiras e 8 colunas. Quantas cadeiras há no auditório? As 56 cadeiras de um auditório estão dispostas em fileiras e colunas. Se são 7 as fileiras, quantas são as colunas? Combinatório: Tendo duas saias uma preta e uma branca e três blusas uma rosa, uma azul e uma cinza. De quantas maneiras diferentes posso me vestir? Numa festa, foi possível formar 12 casais diferentes para dançar. Se havia 3 moças e todos os presentes dançaram, quantos eram os rapazes? ESPAÇO E FORMA O bloco de conteúdos Espaço e Forma trata de habilidades ligadas ao conhecimento de relações espaciais e de figuras geométricas bidimensionais e tridimensionais. Nesse aspecto, a criança precisa participar de situações de localização espacial. Podemos citar situações propostas na Prova Brasil sobre esse tema, um caso é quando se pede a localização de um brinquedo. Para chegar a alternativa correta precisa-se analisar o texto com 3
termos de uso cotidiano, a ilustração apresentada. É necessário reconhecer o termo "à esquerda" e saber o significado dele, além de se colocar mentalmente na posição de João para reconhecer o objeto que está na posição indagada. Como podemos ver a seguir: Descritor: Localizar objetos e pontos numa cena ou num mapa. O brinquedo preferido de João está no seu lado esquerdo. Qual é o brinquedo preferido do João? a) Peteca b) Pipa c) Bola d) Bicicleta Exemplo 2: A figura abaixo é um detalhe da planta de uma cidade de São Paulo. Nela, a localização da Rua Abílio José é indicada por A2. Desta forma, a identificação da Rua Iguape é: a) A2 b) C1 c) C3 d) B2 A figura abaixo mostra um teatro onde as cadeiras da plateia são numeradas de 1 a 25. 4
Mara recebeu um ingresso de presente que dizia o seguinte: O presente está exatamente no centro da platéia. Qual é a cadeira de Mara? (A) 12 (B) 13 (C) 22 (D) 23 Neste trabalho, os alunos vão aprimorar essas habilidades durante deslocamentos reais. Além disso, é útil apresentá-los a uma diversidade de circunstâncias que envolvam interpretar e descrever de forma oral e gráfica deslocamentos, trajetos e posições de objetos e pessoas por meio de desenhos e instruções orais ou escritas. Eles devem analisar pontos de vista, formas de representar, proporções, códigos e referências. O uso de mapas e croquis é essencial, pois eles demandam se colocar mentalmente na posição indicada. Reconhecer figuras bi e tridimensionais 1. Fabiana trabalha numa fábrica de caixas. Observe as caixas que Fabiana fabricou. As caixas mais vendidas para colocar bombons têm a forma de cubos e paralelepípedos. Quais são elas? a) Tipo I e II b) Tipo I e III c) Tipo II e III d) Tipo II e IV Para que seja bem-sucedido na tarefa, é essencial que o aluno tenha resolvido problemas em sala com as figuras tridimensionais e suas representações em diferentes situações, pois só assim é possível se familiarizar com suas características e reconhecê-las depois na representação plana. Observe o bumbo que Beto gosta de tocar. Ele tem a forma de um cilindro. Qual é o molde do cilindro? (A) (B) (C) (D) É possível aprofundar a análise das figuras tridimensionais pedindo que cada grupo, longe dos olhos dos colegas, faça uma construção utilizando sólidos geométricos. Em seguida, envia uma mensagem ao outro com orientações sobre sua produção, informando o nome das figuras que foram utilizadas para que, sem olhar, a construção seja reproduzida. Reconhecer figuras bidimensionais 5
Mariana colou diferentes figuras numa página de seu caderno de Matemática, como mostra o desenho abaixo. Essas figuras têm em comum (A) o mesmo tamanho. (B) o mesmo número de lados. (C) a forma de quadrado. (D) a forma de retângulo. É fundamental que se leve às crianças diferentes desafios que exijam colocar em palavras as propriedades das formas. Por exemplo, interpretar descrições orais de figuras bi e tridimensionais. Assim, você permite que tomem consciência sobre as características (não apenas as visíveis) delas e depois verifiquem a validade do que concluíram. Lembre-se de que não basta abordar o tema uma única vez. Ele tem de se estender por várias aulas e se apresentar em diferentes níveis de complexidade. Retome as propriedades das formas que foram observadas num dia para que sejam ampliadas, revistas e sistematizadas. Descritor: Identificar quadriláteros Chegando a uma cidade, Fabiano visitou a igreja local. De lá, ele se dirigiu à pracinha, visitando em seguida o museu e o teatro, retornando finalmente para a igreja. Ao fazer o mapa do seu percurso, Fabiano descobriu que formava um quadrilátero com dois lados paralelos e quatro ângulos diferentes. O quadrilátero que representa o percurso de Fabiano é um (A) quadrado. (B) losango. (C) trapézio. (D) retângulo. Identificar quadriláteros e saber nomeá-los é essencial. Por isso, o vocabulário específico da geometria deve aparecer em ocasiões de comunicação em sala de aula, se transformando, consequentemente, num recurso útil e necessário para que todos entendam do que se está falando num caso como esse. Muitas das noções espaciais, como "à esquerda", "à direita", "para a frente" e "para trás", são observadas pelos estudantes no convívio social. Mas cabe à escola sistematizar e ampliar esses conhecimentos. Um meio de fazer isso é propor atividades que os levem a indicar trajetos para chegar a um determinado ponto ou a localização de um objeto. Um bom começo está nos exemplos que envolvem um lugar conhecido, como a sala de aula. Nesse caso, vale pedir a descrição da localização de colegas ou de um móvel, como o armário, usando pontos de referência. Para que essa habilidade seja ampliada, é importante solicitar desenhos ou esquemas com a 6
descrição por escrito ou oral das situações propostas. Outra sugestão é levar a garotada a percorrer caminhos desde a sala até o pátio e depois, do mesmo modo, representar os trajetos. É essencial reservar um momento coletivo de sistematização dos saberes adquiridos com essas experiências para que a garotada se aproprie dos termos e dos aspectos a ser considerados. 2. Explorar as figuras geométricas Uma das possibilidades de elevar a familiaridade com as figuras tridimensionais é desenvolver uma atividade em que seja feita a relação entre figuras planas e tridimensionais recorrendo a diferentes planificações, como estas: Qual das planificações acima representa um cubo? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 Concluindo: A Geometria vem da palavra de origem Grega formada por Geo (terra) e metria (medida). Há 5000 anos, era a ciência de medir terrenos, seus perímetros e suas áreas. Com o tempo, tornou-se a parte da matemática que estuda figuras como retângulos, cubos, esferas, etc. Algumas definições Polígono: É uma figura plana formada por três ou mais segmentos chamados lados de modo que cada lado tem interseção com somente outros dois lados próximos, sendo que tais interseções são denominadas vértices do polígono e os lados próximos não são paralelos. A região interior ao polígono é muitas vezes tratada como se fosse o próprio polígono Polígono No. de lados Polígono No. de lados Triângulo 3 Quadrilátero 4 Pentágono 5 Hexágono 6 Heptágono 7 Octógono 8 Eneágono 9 Decágono 10 Undecágono 11 Dodecágono 12 Polígonos Pentágonos - São polígonos com cinco lados e cinco ângulos. Por exemplo: Hexágonos - São polígonos de seis lados e seis ângulos. Por exemplo: 7
Heptágonos - São polígonos de sete lados e sete ângulos. Por exemplo: Octógonos - São polígonos de oito lados e oito ângulos. Por exemplo: MEDIDAS O trabalho com Medidas e Grandezas é de suma importância para o dia-a-dia do estudante. É nessa vida moderna que vem a necessidade de saber compreender o tamanho e o valor de cada objeto. A abordagem desse conteúdo deve ser associado ao seu cotidiano, pois ele pode associar esse conhecimento a sua vida e cada objeto em sua casa tem um tamanho e/ou mede alguns centímetros. O educador deve ter claro que ao longo do Ensino Fundamental, bem como da Educação Infantil, as atividades propostas devem propiciar a compreensão do processo de medição. É na Educação Infantil que as crianças aprendem que medir significa comparar grandezas. O professor deve atentar-se para o conhecimento prévio de cada estudante, pois, quase toda criança já viu alguém usar tipos de medidas. Deve, ainda, partir da realidade onde está localizada a escola, as medidas usadas pelos pais, como braças, polegadas, léguas, com unidades de tempo, como dia, mês e ano, partindo assim de questões simples: quantas braças têm o terreno do teu pai, as polegadas de um objeto que ele conhece bem, quantos meses faltam para as férias! Deve pendurar um calendário na parede e explicar seu significado. As medidas mais usuais são: Linear: metro (m) e seus múltiplos de submúltiplos mm (0,001m), cm (0,01 m), dm (0,1dm) dam (10m), hm (1000m) e km (1000m) Superfície: metro quadrado (m 2 ) Volume: metro cúbico (m 3 ) e seus múltiplos de submúlticos dal (10l), hl (100l) e kl (1000l) Capacidade: litro (l) Tempo: segundos (s) Calculando áreas... ÁREA DO RETÂNGULO Em um retângulo de lados a e b, figura abaixo, onde: ml (0,001l), cl (0,01 l), dl (o,1l) área do retângulo = b.h(altura)= (b.a) 8
ÁREA DO QUADRADO Considerando que o quadrado é um caso particular do retângulo, onde todos os lados são iguais, figura abaixo: área do quadrado = l.l = (lado ao quadrado) ÁREA DE UMA REGIÃO TRIANGULAR (OU ÁREA DE UM TRIÂNGULO) área do triângulo = (b.h)/2 ÁREA DE UM LOSANGO O quadrilátero abaixo é um losango onde vamos considerar: área do losango = (D.d)/2 ÁREA DE UM TRAPÉZIO Considerando o Trapézio abaixo, podemos destacar: Problemas para resolver: área do trapézio = (B + b).h/2 9
1) Considerando o como unidade de medida, encontre a área das seguintes figuras: A) B) C ) 3) Utilizando fórmulas, calcule as áreas das seguintes figuras: 4 cm 4 cm 7 cm 4 cm 4 cm 3 cm 3 cm 4 cm 8 cm 4) Calcule a área e o perímetro de um quadrado de lados medindo 4 cm. 5)) O jardim do Sr. José tem forma quadrada e mede 3 m de lado e ele quer vedá-lo. Sabendo que cada metro de vedação custa 15 reais, quanto pagará para vedar o terreno? 6) Determine a área das seguintes figuras (em cm): a) 10
b) c) d) FIGURAS GEOMETRICAS TRIDIMENSIONAIS Este sólido geométrico chama-se cubo. É um prisma em que todas as faces têm a forma de quadrados. Este sólido geométrico tem: 8 vértices, 12 arestas e 6 faces. Chamamos paralelepípedo a este prisma. Todas as suas faces têm a forma de retângulos. Tem 8 vértices, 12 arestas e 6 faces. 11
Este sólido geométrico é chamado prisma triangular porque as suas bases são triângulos. Tem 6 vértices, 9 arestas, 5 faces e duas bases. Este sólido geométrico denomina-se pirâmide triangular porque a sua base é um riângulo. Tem 4 vértices, 6 arestas, 4 faces e 1 base. Chamamos pirâmide quadrangular a este sólido pois tem um quadrado na sua base. Tem 5 vértices, 8 arestas, 5 faces e 1 base. A esfera é um sólido geométrico limitado por uma superfície curva. A sua forma é esférica; não tem bases, não tem vértices e não tem arestas. 12
Este sólido geométrico chama-se cilindro. Encontra-se limitado por uma superfície curva e tem duas bases com a forma de circunferências O cone está limitado por uma superfície curva. Tem uma base na forma de circunferência e tem 1 vértice. TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO Inúmeras informações divulgadas incluem dados numéricos (índices, taxas, porcentagens, valores em dinheiro etc); Há um ramo da Matemática, a Estatística, que visa organizar, resumir, apresentar e interpretar as informações. A Estatística trabalha com médias, porcentagens, tabelas, gráficos, etc.. Comunicar idéias matemáticas de diferentes formas: oral, escrita, por tabelas, gráficos, etc. Observar o uso de gráficos e tabelas em revistas e jornais Explorar a função do número como código na organização de informações; Resolver situações envolvendo pensamento combinatório; Segundo os PCN de Matemática, a demanda social é que leva a destacar a estatística e o tratamento da informação como um bloco de conteúdo indispensável para que o aluno aprenda a construir procedimentos para coletar, organizar, comunicar e interpretar dados, utilizando tabelas, gráficos e representações que aparecem freqüentemente em seu dia-a-dia. APLICAÇÃO DA ESTATÍSTICA ETAPAS DA PESQUISA 1ª ETAPA: Coleta de dados e organização dos dados em uma tabela Entregue para os grupos, dividido por estado, uma tabela a ser preenchida com os dados coletados pelo IBGE ou outra fonte fidedigna, que pode ser encontrada através da internet. Casos de dengue em 2010 MESES Nº DE CASOS JANEIRO FEVEREIRO MARÇO ABRIL MAIO Fonte: IBGE ou outra 13
Uma vez entregue a tabela, converse com os alunos que em uma tabela existem alguns elementos importantes, como o cabeçalho, que deve responder às perguntas: o quê? onde? quando?; o corpo da tabela, que são as colunas onde estão contidos os dados; o rodapé, reservado para observações importantes, como, por exemplo, a fonte dos dados.. 2ª ETAPA: Análise dos dados Nesta etapa, peça que cada grupo cole sua tabela no quadro. Em seguida, trabalhe com a leitura e interpretação dos dados coletados, questionando: Qual o estado brasileiro com maior incidência de casos de dengue no mês de janeiro? Por que os casos estão aumentando? Há alguma redução de casos nos meses de abril e maio em alguma região pesquisada? Qual foi o mês que teve mais casos de dengue? Gráficos de colunas: Gráficos de colunas são úteis para mostrar alterações de dados em um período de tempo ou para ilustrar comparações. Eles podem ser de colunas simples ou de colunas agrupadas. Gráficos de linhas: Gráficos de linhas podem exibir dados contínuos ao longo do tempo. São ideais para mostrar tendências. TIPOS DE GRÁFICO PARA RESOLVER PROBLEMAS DE: Combinatória Pedro foi à sorveteria e lá havia 5 tipos de sorvetes (chocolate, morango, flocos, uva e creme). Quantos tipos de sorvete com duas bolas ele pode tomar? (veja a ilustração abaixo) 14
2) Para ir a uma festa de aniversário, Ana separou três saias e duas blusas das suas roupas favoritas. De quantas maneiras diferentes ela pode se vestir para sair? Bibliografia CARRAHER, Terezinha N. Na vida dez, na escola zero. São Paulo: Cortez, 1982. (org.). Aprender pensando: contribuição da psicologia cognitiva para educação. Petrópolis, vozes, 1988. LERNER, D. SADOVISKY, P. O sistema de numeração: um problema didático. In: PARRA, c. SAIZ, I. Didática da Matemática: reflexões psicopedagógicas. Porto Alegre: Artes Médicas, 1993. PANIZZA, Mabel. Ensinar Matemática na Educação e nas Series Iniciais. Artmed, 2005 VERGNAUD, G. A Teoria dos Campos Conceptuais. Publicado em: Recherches em didactique dês mathématiques, vol. 10/23, 133-70, Grenoble, La Pensée Sauvage éditions, 1991. 15