4ª LISTA DE EXERCÍCIOS POTENCIAL ELÉTRICO 1. As condições típicas relativas a um relâmpago são aproximadamente as seguintes: (a) Diferença de potencial entre os pontos de descarga igual a 10 9 V; (b) Carga total transferida igual a 30 C. Que quantidade de gelo a 0º C seria possível derreter se toda energia liberada pudesse ser usada para esse fim? Resposta: 99 toneladas 2. Um núcleo de ouro contém uma carga positiva igual a de 79 prótons. Uma partícula j (Z=2) é projetada diretamente sobre o núcleo, de um ponto muito afastado deste, com uma energia cinética igual a K. A partícula chega exatamente a tocar a superfície do núcleo (suposto esférico), antes de ser repelida na mesma direção de incidência. (a) Calcule o valor de K, supondo o raio do núcleo igual a 5 10-15 m. (b) As partículas j utilizadas nas experiências de Rutherford e seus colaboradores tinha uma energia igual a 5 MeV. Que se pode concluir daí? Resposta: (a) 45 MeV; (b) As partículas α se aproximavam dos núcleos de ouro, sem, contudo, tocá-los 3. (a) Qual a diferença de potencial necessária para acelerar um elétron, de acordo com a Mecânica Newtoniana, até a velocidade da luz? (b) A Mecânica Newtoniana é incorreta para velocidades próximas à da luz, e a expressão relativística para a energia cinética (no lugar de K = ½ mv²) é ( ) 2 1 K = m c 1 2 2 1 2 1 v c Calcule, então, a velocidade realmente adquirida pelo elétron ao ser acelerado pela diferença de potencial calculada no item (a). (c) A que fração da velocidade da luz corresponde o resultado do item (b)? Resposta: (a) V = 2,6 10 5 V; (b) v = 2,238 10 8 m/s; (c) v = 0,75 c 4. A densidade de carga de uma superfície plana é σ = 10-7 C/m². Qual é a separação entre duas superfícies eqüipotenciais correspondentes a uma diferença de potencial de 5,0 V? Resposta: 0,89 mm 5. Duas placas condutoras grandes, paralelas entre si, e separadas por uma distância de 10 cm, têm cargas iguais e de sinais opostos nas faces que se confrontam. Um elétron colocado a meia distância entre as duas placas experimenta uma força de 1,6 10-15 N. Qual é a diferença de potencial entre as placas? Resposta: E = 1 10 4 V/m; V = 1000 Volts 6. Na experiência da gota de óleo, de Millikan (Fig. 1), mantém-se um campo elétrico de 1,92 10 5 N/C entre as duas placas separadas de 1,50 cm. Calcule a diferença de potencial entre as placas. Resposta: 2900 Volts
7. Seja uma carga puntiforme q = 1,5 10-8 C. (a) Qual é o raio da superfície eqüipotencial correspondente a 30 V? (b) Serão igualmente espaçadas (no sentido radial) as superfícies cujos potenciais diferem sucessivamente por uma parcela fixa (por exemplo 1 V)? Resposta: (a) r = 4,5 m; (b) Não, pois o potencial varia com o inverso da distância 8. Seja uma carga puntiforme q = 10-6 C. Considere os pontos diametralmente opostos A e B, distantes de q, respectivamente, 2 e 1 m, como mostra a Fig. 2-a. (a) Qual o valor da diferença de potencial V A V B? (b) Repita o cálculo para os pontos A e B da Fig. 2-b. Resposta: (a) 4500 V; escalar (b) O mesmo que (a), porque o potencial é uma quantidade 9. Localize, na Fig. 3, os pontos (a) onde V = 0 e (b) onde E = 0. Considere apenas os pontos da reta que une as cargas e suponha que d = 1 m. Resposta: (a) x 1 = 25 cm; x 2 = -50 cm; (b) x 3 = 1,40 m 10. Desenhe aproximadamente (a) as linhas de força e (b) as interseções das superfícies eqüipotenciais com o plano da figura, para a situação apresentada no Exercício 9. (Sugestão: Considere, primeiramente, o comportamento do campo nos pontos próximos de cada uma das cargas e nos pontos muito distantes do par de cargas.) 11. Obtenha uma expressão para V A V B na situação descrita pela Fig. 4. Verifique se o seu resultado reduz-se aos valores esperados quando d = 0 e quando q = 0. Resposta: VA VB = 1 2 πε0 a q Q ( a + d) 12. Mostre que V(r), supondo r >> a, para pontos situados no eixo vertical da Fig. 5, vale: V = 1 q 2a q + 4πε 2 0 r r Seria possível prever este resultado antecipadamente? (Sugestão: Este sistema de cargas pode ser considerado como a superposição de uma carga isolada e um dipolo.)
13. Uma partícula de massa m, carga q > 0 e energia cinética inicial K é projetada (do infinito ) na direção de um núcleo pesado de carga Q, o qual ocupa uma posição fixa no nosso referencial. (a) Se a pontaria for perfeita, a que distância do centro do núcleo estará a partícula quando atingir instantaneamente o repouso? (b) Com uma pontaria imperfeita, a distância mais próxima do núcleo foi igual ao dobro da atingida no item (a). Determine a velocidade da partícula para essa distância mínima. Resposta: (a) qq / 4πε 0 K; (b) K / m 14. Obtenha uma expressão para o trabalho necessário para juntar as quatro cargas na forma mostrada na Fig. 6. Resposta: -0,21 q²/ε 0 a 15. Qual a energia potencial elétrica do sistema de cargas da Fig. 7? Suponha que q 1 = +1,0 10-8 C, q 2 = -2,0 10-8 C, q 3 = +3,0 10-8 C, q 4 = +2,0 10-8 C e a = 1,0 m. Resposta: -6,4 10-7 J 16. Duas cargas q (= +2 10-6 C) estão fixas no espaço e separadas pela distância d (= 2 cm), como está indicado na Fig. 8. (a) Qual é o potencial elétrico no ponto C? (b) Traga uma terceira carga q (= +2 10-6 C) muito lentamente do infinito até C. Quanto trabalho terá de efetuar? (c) Qual é a energia potencial U da configuração, quando a terceira carga se encontra no ponto desejado?
Resposta: (a) 2,5 10 6 V; (b) 5,1 J; (c) 6,9 J 17. Dois elétrons estão separados por uma distância de 2 m. Um terceiro elétron é projetado do infinito e atinge o repouso a meia distância entre os outros dois. Qual deve ser sua velocidade inicial? Resposta: 32 m/s 18. Uma partícula de carga (positiva) Q está fixa num ponto P. Uma segunda partícula de massa m e carga (negativa) q move-se a velocidade constante num círculo de raio r 1, centrado em P. Derive uma expressão para o trabalho W que deve ser efetuado por um agente externo sobre a segunda partícula, de modo a aumentar até r 2 o raio do círculo de movimento centrado em P. q Q 1 1 Resposta: W = 8πε0 r1 r2 19. Descubra uma maneira de dispor três cargas puntiformes, separadas por distâncias finitas, de modo que a energia potencial seja igual a zero. 20. O potencial elétrico varia ao longo do eixo dos x, como mostra o gráfico da Fig. 9. Para cada um dos intervalos mostrados (ignorar o efeito relativo aos pontos extremos dos intervalos), determinar a componente x do campo elétrico e representar E x em função de x. Resposta: E Xab = -6 V/m;E Xbc = 0;E Xcde = 3 V/m;E Xef = 15 V/m;E Xfg = 0;E Xgh = -3 V/m 1 4 πε0 potencial num ponto do eixo de um anel carregado de raio a é dado por 21. (a) Mostre, calculando diretamente a partir da equação V = dv = dq r, que o
V = 1 q 4πε0 2 2 x + a (b) A partir deste resultado, obtenha a expressão correspondente para E. 1 q x Resposta: (b) E x = 4 πε 2 2 3 0 x + a ( ) 2 22. Vimos que o potencial num ponto do eixo de um disco carregado é dado por σ 2 2 V = r + a r 2ε0 Mostre, partindo da expressão acima, que o valor de E, nos mesmos pontos, vale E = σ 1 r 2ε0 2 2 r + a Reduz-se esta expressão de E a algum valor esperado quando (a) r >> a e (b) r << a? Resposta: (a) E = 0; (b) E = r/2ε 0 23. Qual é a densidade de carga σ sobre a superfície de uma esfera condutora de raio 0,15 m, cujo potencial é de 200 V? Resposta: 1,2 10-8 C/m² 24. Se a Terra tivesse uma carga total correspondente à de uma distribuição equivalente a 1 elétron/m² de sua superfície (uma suposição muito artificial), (a) qual seria o potencial da Terra? (b) Qual seria o campo elétrico nos pontos exteriores vizinhos à sua superfície? Resposta: (a) V = -0,12 V; (b) E = 1,8 10-8 N/C, radialmente para dentro 25. Pode-se produzir uma carga de 10-8 C simplesmente por atrito. A que potencial esta carga elevaria uma esfera de 10 cm de raio? Resposta: 900 V 26. Considere uma camada esférica fina, condutora e isolada, que se encontra carregada uniformemente com densidade de carga constante σ (C/m²). Determine o trabalho necessário para deslocar uma pequena carga positiva de prova q 0 (a) da superfície da camada para o seu interior, através de um pequeno orifício; (b) de um ponto na superfície até outro, qualquer que seja a trajetória; (c) de ponto para ponto dentro da camada; (d) de um ponto arbitrário P fora da camada, ao longo de qualquer trajetória, que pode ou não atravessar a camada, até o ponto P de volta; (e) nas condições do problema, importa se a camada é ou não condutora? Respostas: (a) Zero; (b) Zero; (c) Zero; (d) Zero; (e) Não 27. Duas esferas condutoras idênticas, de raio r = 0,15 m encontram-se separadas pela distância a = 10 m. Qual a carga sobre cada esfera, se o potencial de uma delas é de +1500 V e o da outra é de 1500 V? Resposta: ± 2,5 10-8 C
28. Duas esferas condutoras idênticas, uma de 6 cm de raio e a outra de 12 cm de raio, cada qual com carga de 3 10-8 C, estão bem distantes uma da outra. Se as esferas são ligadas por um fio condutor, determinar (a) o sentido do movimento e a intensidade da carga transferida e (b) a carga final sobre cada esfera e o potencial de cada uma delas. 29. Seja R 1 = 1 cm e R 2 = 2 cm na Fig. 10. Antes das esferas serem ligadas pelo fio fino, a menor tinha uma carga de 2 10-7 C, enquanto que a maior estava descarregada. Calcule, para cada esfera, (a) a carga, (b) a densidade de carga e (c) o potencial, após a ligação ser estabelecida. Resposta: (a) q 1 = 0,67 10-7 C; q 2 = 1,33 10-7 C (b) σ 1 = 2,1 10-4 C/m²; σ 2 = 2,6 10-5 C/m² (c) V 1 = V 2 = 6 10 4 V 30. (a) Uma gota d água esférica tem uma carga de 3 10-11 C, e o potencial na sua superfície é de 500 V. Qual é o raio da gota? (b) Se duas gotas iguais a essa, com a mesma carga e o mesmo raio, se juntarem para constituir uma única gota esférica, qual será o valor do potencial na superfície da nova gota assim formada? Resposta: (a) r = 0,54 mm; (b) V = 794 V 31. (a) Qual a quantidade de carga necessária para elevar uma esfera metálica, isolada, de 1 m de raio, ao potencial de 10 6 V? Repita o cálculo para uma esfera de 1 cm de raio. (b) Qual a razão para o uso de uma esfera grande num gerador eletrostático, quando o mesmo potencial pode ser atingido, com menor quantidade de carga, usando-se uma esfera pequena? Resposta: (a) 1,1 10-4 C; 1,1 10-6 C; (b) Devido ao maior campo E na superfície da menor esfera 32. Uma partícula a é acelerada, num gerador eletrostático, pela diferença de potencial de um milhão de Volts. (a) Qual a energia cinética que ela adquire? (b) Que energia cinética teria um próton nas mesmas circunstâncias? (c) Qual das duas partículas atinge a velocidade maior, aceleradas ambas a partir do repouso? 33. A diferença de potencial entre a superfície armazenadora de cargas de um gerador eletrostático, e o local onde elas são depositadas na correia rolante é de 3 10 6 V. Se esta transporta cargas a razão de 3 10-3 C/s, qual a potência necessária para acionar a correia, considerando-se apenas as forças elétricas? Resposta: R = 9,0 kw