LIVRO DO PROFESSOR
Alexandre Luís Trovon de Carvalhoalho Bacharel em Matemática pela UNICAMP Campinas, SP Mestre em Matemática Aplicada e Doutor em Matemática pela mesma Universidade Lourisnei Fortes Reis Licenciado em Ciências com Habilitação em Matemática pela FIDENE Ijuí, RS Licenciado em Pedagogia pela Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras de Moema, São Paulo Casa Publicadora Brasileira Tatuí, SP
Apresentação Oi, colega! Junte-se a nós! Aqui iniciamos uma aventura através da Matemática. Queremos que você participe dela. Ao estudar Matemática Interativa Aplicando a Matemática, você vai se deparar em cada Unidade com situações muito legais, que o ajudarão a conhecer mais sobre o mundo em que vivemos, os mais varia dos fatos do dia a dia, e como a Matemática aparece aí. Ao final de cada Unidade, você encontra um quadro especial, onde poderá aplicar os co nhe cimentos que adquiriu às mais variadas áreas, tais como: ecologia, meio ambiente, arte, dentre outras. Lembre-se de que você não estará sozinho nessa aventura, pois seus colegas de classe e seu professor estarão com você. Descubra! Junto com o professor Roberval, você fará grandes descobertas. Ele sempre estará por perto para dar uma mãozinha com dicas e explicações. Você explorará a Matemática dos grilos e cigarras, descobrirá como a Matemática está ajudando os cientistas a decifrar o código genético, e muito mais. Alguns assuntos aparecerão diversas vezes em sua jornada, relembrando o que você já viu antes e abrindo caminho para novas descobertas. Você também poderá discutir e partilhá-las com colegas, trabalhando com eles em grupo. Isso porque a Matemática é algo que as pessoas aprendem e descobrem juntas. Divirta-se! Esperamos que sua aventura seja divertida e prazerosa. Nós e o professor Roberval traba lhamos para que isso ocorra. Muitos jogos e atividades interessantes são apresentados para que você sinta prazer no que está aprendendo. Você construirá suas próprias obras de arte e terá diversos desafios legais. Mas lembre-se: aprender pode ser muito divertido e interessante, mas requer tempo e esforço. Mais que isso, exige que você pense. Esperamos que você aprenda bastante e também que pense bastante! Faça da mente seu laboratório e mãos à obra! Os Autores 3
Sumário Números 5 1. Sequências, Números e Fractais.................. 6 2. Máquinas e Múltiplos............................ 13 3. Divisibilidade..................................... 19 4. Critérios de Divisibilidade........................ 25 5. Números Primos................................. 32 6. Múltiplos Comuns e Operações com Frações.... 38 7. Operações com Frações.......................... 43 8. Operações com Decimais........................ 49 Ciência A Matemática das Abelhas............ 57 2 Um Mundo de Formas Geométricas 60 1. Representações e Decomposições................ 61 2. Olhando de Maneiras Diferentes................. 67 3. Experiências com Sólidos......................... 73 4. Contornos e Polígonos........................... 74 5. Paralelas e Perpendiculares....................... 81 6. Medindo e Utilizando Ângulos................... 86 Cidadania Brasileiros em Ruanda............... 94 3 Números Negativos 95 1. Haja mais Números............................ 96 2. Números Negativos e sua Representação.........102 3. Somando e Subtraindo........................... 105 4. Multiplicando e Dividindo........................ 112 Saúde Alimentos e suas Calorias............... 120 Projeto 1......................................... 121 4 Expressões e Equações 122 1. Modelos para Expressões........................ 123 2. Sentenças Envolvendo Letras..................... 132 3. Equações Que Bichos são esses?............... 139 4. Sistemas Tentativa e Erro....................... 145 Criptografia A Matemática dos Códigos....... 150 5 Transformações 151 1. Isometrias........................................ 152 2. Simetrias......................................... 159 Meio Ambiente Simetria na Natureza.......... 168 Projeto 2......................................... 169 7 Tudo nas Devidas Proporções 199 1. Grandezas e Relações entre Grandezas.......... 200 2. Funções e Grandezas Diretamente Proporcionais.................................... 205 3. Fotos, Mapas e Plantas........................... 210 4. Proporções que Variam ao Contrário............. 215 5. Equações, Proporções e Regra de Três............ 220 Ciência As Proporções do Corpo............... 226 Projeto 3......................................... 227 8 Medindo Superfícies e Volumes 232 1. Calculando Área de Figuras...................... 233 2. Blocos e Volumes................................ 239 3. Calculando o Volume de Blocos.................. 247 Ciência O Princípio de Arquimedes............. 253 9 Analisando Informações 254 1. Porcentagens na Análise de Informações......... 255 2. A Estatística como Ferramenta para a Análise de Informações........................ 260 3. Pictogramas e Gráficos de Setores........... 266 Cidadania Expectativa de Vida............ 274 Projeto 4.............................. 275 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 278 Unidade 1........................................... 278 Unidade 2........................................... 284 Unidade 3........................................... 287 Unidade 4........................................... 289 Unidade 5........................................... 292 Unidade 6........................................... 295 Unidade 7........................................... 298 Unidade 8........................................... 299 Unidade 9........................................... 301 GLOSSÁRIO 305 6 Funções e Gráficos 173 1. Pontos e Coordenadas........................... 174 2. Representação Cartesiana........................ 180 3. Forma Algébrica das Funções.................... 188 Cidadania Funções no dia a dia................ 198 MATERIAL DE APOIO BIBLIOGRAFIA 309 333 4
Números William 5
SEQUÊNCIAS, NÚMEROS E FRACTAIS Na natureza, diversas formas seguem padrões. Elas se organizam de uma maneira regular, seguindo princípios que podem ser geométricos ou numéricos. Recentemente, descobriu-se que certos tipos de tumores se desenvolvem mais ou menos segundo certas regras matemáticas. Por essa razão, os cientistas hoje estudam propriedades de formas geométricas, chamadas de fractais, buscando um diagnóstico mais preciso e rápido para esses tipos de câncer. Ao lado te mos a foto de um frac tal, que foi pro du zi do no computador. A.L.T.C. Mas o que são es ses tais de fractais? Essa figura acima é bem maneira, mas não me diz muita coisa. Os frac tais são formas geométricas construídas segundo uma cer ta re gra, como uma sequência. Nas Situações a seguir você conhecerá alguns fractais. Situação 1 Partindo de um triângulo, podemos formar a seguinte sequência: E en tão, des co briu como essa se quên cia foi for ma da? Abai xo te mos o pro ces so pas so a pas so: passo 1: Começamos com o triângulo equilátero. passo 2: Marcamos a metade do comprimento de cada lado e unimos esses pontos formando um triângulo menor. Retirando esse triângulo, obtemos a segunda figura da sequência acima. passo 3: A segunda figura é formada por três triângulos vermelhos. Repetimos o que foi feito no passo anterior para cada um desses triângulos, obtendo a terceira figura. Não dá para continuar e repetir o pas so 2 para os triângulos pequenos da terceira figura? Dá, sim! E você vai ob ter um to tal de 27 triân gu los na figura nova. Observe o que acontece quan do isso é fei to. 6
À di rei ta, te mos a fi gu ra se guin te da se quên cia. Po de mos con ti nuar, se qui sermos, de ter mi nan do o pró xi mo ter mo. En tre tan to, po de mos as so ciar uma se quência nu mé ri ca a essa se quên cia de fi gu ras, con tan do o nú me ro de triân gu los em cada eta pa. Veja: 1 3 9 27 En tão, o nú me ro de triân gu los em cada eta pa é dado pela se quên cia nu mé ri ca: 1, 3, 9, 27 Você é ca paz de des co brir qual o pró xi mo ter mo des sa se quên cia, isto é, quan tos triân gu los a pró xi ma fi gu ra terá? Si tua ção 2 Na Si tua ção an te rior, a área das fi gu ras da se quên cia ia di mi nuin do, pois, a cada eta pa, eram re ti ra dos triân gu los. En tre tan to, exis tem se quên cias em que a área da fi gu ra au men ta de uma eta pa para a se guin te. Ob ser ve: E en tão? Con se guiu des co brir como foi for ma da? Abai xo te mos: pas so 1: Co me ça mos com o qua dra do. pas so 2: Di vi di mos cada lado des se qua dra do em 3 e, em se gui da, cons truí mos um qua dra do so bre o ter ço do meio, so bre cada lado. Ob ti ve mos com isso a se gun da fi gu ra. pas so 3: Di vi di mos cada lado da fi gu ra em 3 e, em se gui da, cons truí mos um qua dra do so bre o ter ço do meio, ob ten do a ter cei ra fi gu ra. Você pode con ti nuar e cons truir a pró xi ma fi gu ra, bem como con tar o nú me ro de qua dra dos em cada eta pa. Fa zen do isso, ob te mos a se quên cia nu mé ri ca: 1, 5, 25 Qual será o pró xi mo ter mo, isto é, quan tos qua dra dos ha ve rá na pró xi ma eta pa? Ten te des co brir. 7
1. Observe a sequência ao lado: Com base nela, faça o que se pede e res pon da às per gun tas: a) Com suas palavras, descreva como essa sequência foi formada. Divide-se o quadrado em 16 quadrados meno res. Em seguida, retiram-se os quatro quadrados menores do centro. b) Cons trua uma se quên cia nu mé ri ca que dê o nú me ro de qua dra dos em cada etapa. 1, 12, 12 2, 12 3, c) Quantos quadrados haverá nas duas próximas etapas? Explique sua resposta. Haverá 1 728, 20 736, respectivamente. Pelo processo de construção, cada quadradinho será dividido em 16 partes, das quais retiram-se quatro, do centro. A figura resultante terá 1 728 quadradinhos. Na próxi ma etapa, o processo gera uma figura, agora com 20 736 quadradinhos. 2. Ob ser ve a se quên cia a se guir, e o nú me ro de bo li nhas em cada eta pa: 1 3 6 10 15 a) Qual é o próximo elemento dessa sequência? Quantas bolinhas ele terá? 21 bolinhas b) Sem de se nhar, você con se gue des co brir como o nú me ro de bo li nhas au men ta de uma eta pa para a seguinte? Discuta com seus colegas a respeito disso. A diferença entre um termo e o seguinte au menta de 1 em 1. 3. Encontre os dois próximos termos das sequências numéricas: a) 20, 18, 16, 14, 12, 10 b) 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25 c) 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 d) 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 e) 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36 f) 1, 1, 1, 1, 1, 1 2 4 6 8 10 12 4. Desenhe a próxima figura de cada uma das sequências abaixo: a) b) c) d) A B C D 8
5. As sequências numéricas abaixo são formadas por uma regra bem curiosa. Com auxílio de uma calculadora, complete o espaço com o número correto, e tente descobrir o que se observa com os resultados das multiplicações. a) 1 1 1 11 11 121 111 111 12 321 1 111 1 111 1 234 321 11 111 11 111 123 454 321 b) 6 7 42 66 67 4 422 666 667 444 222 6 666 6 667 44 442 222 66 666 66 667 4 444 422 222 6. Este é para fa zer em gru po. Por isso, reú na-se com mais um ou dois co le gas. Há 9 pe ças qua dra das es pa lha das so bre a mesa. Elas são usa das para mon tar for mas como as representadas ao lado. Cada qua dra do deve es tar en cos tado em pelo me nos um ou tro qua dra do, ao lon go de um lado in tei ro. To dos os qua dra dos têm lado me din do 1 cm. Com base nis so, res pon da: a) Quais os pe rí me tros das fi gu ras pos sí veis de se rem for ma das des sa ma nei ra? 12 cm, 14 cm, 16 cm, 18 cm e 20 cm. b) Quais fi gu ras têm maior e me nor pe rí me tro, res pec ti va men te? Um retângulo formado com as nove peças lado a lado, tendo perímetro 20 cm. Um qua drado formado com as nove peças, tendo perímetro 12 cm. 7. Ao lado te mos par te de uma ta be la con ten do os nú me ros de 1 a 100, or de na dos do me nor para o maior. Abai xo te mos par tes des sa ta be la. De ter mi ne que nú me ros de vem ocu par a po si ção do qua dra do azul em cada caso: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 a) b) 42 58 66 71 8. Este exercício é quase um desafio. Por isso, reúna-se com mais um ou dois colegas. A se guir temos uma sequência de polígonos, estudada por von Koch, em 1906. Ela foi cons truída da se guinte maneira: A é um triângulo equilátero com lado 1. B é obtido de A dividindo cada lado do triângulo em 3 partes iguais, construindo-se na parte do meio um triângulo equilátero com a base removida. C é obtido de B como B foi obtido de A. Continuamos de maneira semelhante, obtendo o polígono D. Calcule o perímetro da cada uma das figuras, A, B, C e D. Há alguma relação entre eles? A B C D D.N.S. 48 16 64 A tem perímetro 3, B: 4, C: 9 3, D 9. O próximo termo da sequência sempre é obtido multiplicando o termo 4 anterior por 3. 9
9. Este é para fazer em grupo. Por isso, junte-se com mais um ou dois colegas. O triângulo numérico abaixo é conhecido como Triângulo de Pascal. Ob serve uma de suas propriedades: Explique o que você notou. Será que essa propriedade é sempre válida? Somando os números da diagonal evidenciada, obtemos o número que está em destaque. Sim, essa propriedade sempre é válida. 1 1 1 1 2 1 10. Observe a sequência abaixo: 1 3 3 1... 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 Se você continuar com essa sequência até obter 10 bolas pretas seguidas, quantas bolas brancas 1 6 15 20 15 6 1 e pretas terá ao todo? 1 7 21 35 35 21 7 1 Serão 10 bolas brancas e 55 pretas, ou seja, ao todo 1 8 28 56 70 56 28 8 1 teremos 65 bolas. 11. A sequência abaixo foi formada da mesma maneira que o exercício 8 desta Unidade: Com base nela, faça o que se pede e res pon da à per gun tas: a) Cons trua uma se quên cia nu mé ri ca que dê o nú me ro de triângulos em cada eta pa. 1, 4, 16, 64, 128, b) Quantos triângulos haverá nas duas próximas etapas? Explique sua resposta. 64 e 128, respectivamente. Pelo processo de construção, cada lado da figura será dividido em três e, sobre o terço médio se construirá um triângulo equilátero, totalizando 64 triângulos. Continuando o processo, obteremos uma figura com 128 triângulos. 12. Pres te aten ção no nú me ro de bo li nhas em cada eta pa da se quên cia: 2 5 8 11 14 Agora responda: a) Qual será o pró xi mo ele men to des sa se quên cia? E o nú me ro de bo li nhas que ele tem? Um conjunto com três linhas de bolinhas. As duas de baixo com 5 bolinhas cada, e a de cima com 4 bolinhas, totalizando 14 bolinhas. b) Como essa sequência é formada? A sequência é formada acrescentando-se uma coluna com 3 bolinhas a cada etapa. 10
13. Quais são os dois pró xi mos ter mos de cada uma das se quên cias nu mé ri cas? a) 1, 10, 100, 1 000, 10 000, 100 000 b) 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32 c) 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2 187 d) 1, 2, 5, 14, 41, 122, 365, 1 094 1 1 e) 1, 1, 1, 1,, f) 1, 3, 9, 27 81 243 32 64, 16, 32 2 4 8 16 2 4 8 14. Nes te exer cí cio vo cê pre ci sa rá de aten ção especial. Ob ser ve cui da do sa men te ca da uma das se quên cias abai xo, e de se nhe a pró xi ma fi gu ra. (Di ca: pro cu re identificar ca da de ta lhe das fi gu ras.) a) b) c) d) Ilustrações: A.L.T.C. Madalena 15. As sequências numéricas abaixo são formadas por uma regra bem curiosa. Com auxílio de uma calculadora, complete o espaço com o número correto, e tente descobrir o que se observa com os resultados das multiplicações. a) 12 345 679 9 111 111 111 b) 1 (9 0) 1 12 345 679 18 222 222 222 2 (9 1) 11 12 345 679 27 333 333 333 3 (9 2) 21 12 345 679 36 444 444 444 4 (9 3) 31 12 345 679 45 555 555 555 5 (9 4) 41 c) 8 (9 0) 8 7 (9 9) 88 6 (9 98) 888 5 (9 987) 8 888 4 (9 9876) 88 888 11
16. Ao lado es tá um triân gu lo formado por letras. Você pode formar a palavra GEOMETRIA, mar can do as le tras de ci ma pa ra bai xo, co me çan do pe la le tra G, e in do até a le tra A, como no exemplo. Para formar a pa la vra, só va le mar car uma das duas le tras abai xo da le tra que você marcou por último, co mo ao lado. G E E O O O M M M M E E E E E T T T T T T R R R R R R R I I I I I I I I A A A A A A A A A a) Marque três outras maneiras diferentes de formar a palavra GEOMETRIA. b) Exis tem so men te es sas três ma nei ras, ou exis tem ou tras? O que vo cê acha? Existem outras maneiras. c) Compare com seus colegas para ver quem encontrou maneiras diferentes de marcar a palavra GEOMETRIA, seguindo as regras dadas. Comparação com os colegas. 17. Na sequência abaixo, as figuras são formadas por cubos que são colados. Se a superfície externa precisar ser pintada, quantos quadrados serão pintados em cada uma das 4 primeiras etapas? E na décima etapa?,,... D.N.S. Na primeira etapa serão pintados 6 quadrados, na segunda etapa serão 10 quadrados, na terceira 14, na quarta etapa serão 18 quadrados, e na décima etapa, 42 quadrados. 18. Um tanque contém 15 360 litros de água. Ao final de cada dia, metade da água é removida, e não é reposta. Quantos litros de água restarão após: a) 3 dias: Restarão 1 920 litros de água. b) 5 dias: Restarão 480 litros de água. c) 10 dias: Restarão 15 litros de água. 19. A seguinte sequência foi construída com base em um relógio de ponteiros: 1, 6, 11, 4, 9,... Responda: a) Como essa sequência foi formada? Somando 5 ao número anterior. Ao chegar ao 12 (estamos nos baseando em um relógio), co meçamos a contar a partir do 1 novamente. b) Os próximos 5 termos dela serão 2, 7, 12, 5, 10 Diz uma lenda antiga que num mosteiro em Hanói, no Vietnã, três monges idosos tentavam resolver um intrigante problema matemático, que acabou levando o nome de Torre de Hanói. Diz a lenda que três estacas foram fincadas no chão, e que quatro discos de diferentes tamanhos, todos feitos de ouro, foram colocados em uma es ta ca. Pri mei ro, na ba se da es ta ca, foi co lo ca do o maior e, em se gui da, os de me nor ta ma nho, até que 12
o me nor fi cou no to po. O problema consiste em transferir todos os discos, um de ca da vez, pa ra outra estaca. Isso deve ser feito com o menor número de movimentos possível. Mas cuidado! Durante a transferência, um disco menor não pode ficar embaixo de um maior. Pa ra is so podem-se usar as três es ta cas. Com ba se na his tó ria, e lem bran do que ne nhum dis co de me nor ta ma nho po de fi car em bai xo de um de maior ta ma nho, fa ça o que se pe de e res pon da às per gun tas: a) Complete a tabela: Número de discos 1 2 3 4 Movimentos necessários 1 3 7 15 Então recorte quatro discos de cartolina, de quatro diferentes tamanhos, e resolva o problema na prática pa ra 1 dis co, 2 dis cos, 3 dis cos e 4 dis cos, re gis tran do na ta be la o me nor nú me ro de mo vi men tos pa ra trans fe ri-los de uma estaca para outra. b) De acordo com a segunda linha da tabela, construa a sequência formada pelo número de movimentos necessários para transferir os discos de uma estaca para outra em cada situação. 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127,... c) E se fossem cinco discos, qual seria o menor número de movimentos para transferir os discos para outra es ta ca? Vo cê con se gue ver al gum pa drão pa ra es sa se quên cia? Dis cu ta com seus colegas a respeito. 31 movimentos. De modo geral, se n é o número de discos, o número de movimentos será 2 n 1. 2 MÁQUINAS E MÚLTIPLOS 3 Observe a máquina acima. Todo número que for colocado na entrada sai multiplicado por 3. Por isso, di ze mos que a re gra des sa má qui na é (ve zes 3). In se rin do 5, ela dará 15 como re sul ta do. Co lo can do 10, ela dará 30 como re sul ta do, e as sim por diante. Podemos representar os valores de entrada e saída numa tabela, ou com flechas, como veremos a seguir. 13
Re pre sen ta mos a re gra des sa má qui na por uma fle cha, as sim: Entrada Saída 0 0 1 3 2 6 3 9 4 12 5 15 6 18 Entrada 1 3 2 6 3 9 Saída Hum se eu for colocando os números 0, 1, 2, 3, na entrada, vou obter uma sequência nos números de saída! Boa observação! Além disso, note que a sequência obtida na saída pula de 3 em 3. Abaixo, temos isso descrito com mais detalhes. Veja: Co lo ca mos os nú me ros 0, 1, 2, 3, 4, e as sim por dian te, na en tra da da má qui na. Na saí da va mos ob ter, en tão, a se guin te se quên cia: 0, 3, 6, 9, 12, Ob ser ve que ela pula de 3 em 3. Mas não é só isso: todo elemen to aí é o re sul ta do da mul ti pli ca ção de al gum nú me ro in tei ro por 3. Por isso, di ze mos que ela é a se quên cia de múl ti plos de 3, cada um de seus ele men tos é um múl ti plo de 3. 0 0 1 3 2 6 3 9 4 12 Mas como é que eu faço para tes tar se um nú me ro é múl ti plo de 3? Por exem plo, 231 é múl ti plo de 3? Para isso, pre ci sa re mos re cor dar a ideia de fun ção in ver sa. Pres te aten ção:......... Para ve ri fi car se 231 é múl ti plo de 3, de ve mos tes tar se exis te al gum nú me ro in tei ro que foi co lo ca do na en tra da da fun ção, dan do como re sul ta do 231: número procurado 231 14
Mas ob ser ve que a fun ção des faz aqui lo que é fei to por. Por exem plo: 8 24 24 8 Ao co lo car 8 nes sa má qui na, ob te mos 24 como re sul ta do. Des sa for ma, po de mos de ter mi nar o nú me ro pro cu ra do as sim: Co lo can do 24 nes sa má qui na, ob te mos 8 como re sul ta do. número procurado 231 Efe tuan do a di vi são, des co bri mos que 231 3 77, que é um nú me ro in tei ro. Logo, o nú me ro pro cu ra do é 77. 231 é o re sul ta do da mul ti pli ca ção de 77 por 3. Por isso ele é um múl ti plo de 3. E, já que cada uma das fun ções e des faz o que a ou tra faz, di ze mos que: é a inversa de e que é a inversa de Esse ne gó cio de fun ção in ver sa fi cou mui to com pli ca do. Que ro ver você de ter mi nar se 493 é múl ti plo de 7! As fun ções in ver sas nos aju da rão a re sol ver di ver sos pro ble mas. Va mos usá-las para tes tar se 493 é múl ti plo de 7: Para de ter mi nar os múl ti pos de 7, de ve mos co lo car 0, 1, 2, 3, e as sim por dian te, na en tra da da fun ção 7, e ano tar os re sul ta dos. 0 7 0 7 1 7 7 2 14 3 7 21......... Fa zen do isso, des co bri mos que a se quên cia dos múl ti plos de 7 é: 0, 7, 14, 21,... Ela pula de 7 em 7. Além dis so, cada um de seus ele men tos é o re sul ta do da mul ti pli ca ção de al gum nú me ro in tei ro por 7. Para tes tar se o nú me ro 493 é múl ti plo de 7, de ve mos en tão ve ri fi car se exis te al gum nú me ro in tei ro que foi co lo ca do na en trada da fun ção 7, dan do como re sul ta do 493: número procurado 7 493 15
Utilizando o que vimos a respeito de funções inversas, e lembrando que 7 é a função inversa de 7, temos: 7 número procurado 493 7 Efetuando a divisão 493 7, obtemos 70,42 que não é um número inteiro. Por isso, 493 não é múltiplo de 7! Não há nú me ro in tei ro que, mul ti pli ca do por 7, dê 493. Por isso, 493 não é múl ti plo de 7. Para tes tar se um nú me ro é múl ti plo de 7, sua di vi são por 7 deve ser exa ta, isto é, o re sul ta do da di vi são é um nú me ro in tei ro e não so bra nada de res to. 20. Encontre a sequência de múltiplos dos seguintes números: a) 2 = 0, 2, 4, 6, 8, b) 5 = 0, 5, 10, 15, 20, 25, c) 9 = 0, 9, 18, 27, 36, 45, d) 10 = 0, 10, 20, 30, 40, e) 11 = 0, 11, 22, 33, 44, f) 13 = 0, 13, 26, 39, 42, 21. Es cre va a fun ção in ver sa de cada uma das fun ções abai xo: a) b) c) 2 9 1 2 9 1 d) e) f) 5 2 5 2 22. Com base no que você viu no tex to, res pon da sim ou não: a) 140 é múl ti plo de 8? Não b) 336 é múl ti plo de 7? Sim c) 868 é múl ti plo de 6? Não d) 315 é múl ti plo de 9? Sim 23. Duas máquinas foram coloca das em sé rie, como ilus tra a fi gu ra ao lado: O nú me ro 3 entrou na primeira máquina. O nú me ro 6, que saiu 3 6 dela, imediatamente entrou na segunda máquina. Como resultado, o número 7 saiu da segunda máquina. Podemos esquematizar essas operações assim: 2 1 7 2 3 1 6 7 16
O ali nha men to das duas má qui nas em sé rie é cha ma do de fun ção com pos ta. Complete as fun ções com pos tas colocando o número correto no espaço. a) 8 1 9 27 b) 12 4 48 2 50 c) 30 5 6 18 24. Este é para fa zer em gru po. Por isso, reú na-se com mais um ou dois co le gas. Al gu mas va cas es tão pas tan do em um cam po. Ca da va ca car re ga três si nos no pes co ço. Se vo cê con tar os si nos das va cas, o re sul ta do po de ser 53? Po de ser 51? Ex plique sua res pos ta. O resultado não pode ser 53, pois ele não é múl tiplo de 3. É possível que o resultado seja 51, pois 3 17 51. 25. Use o que você apren deu a res pei to de fun ções in ver sas para completar o espaço em cada caso: a) 19 7 12 b) 117 13 9 c) 8 6 48 d) 20 23 43 26. Que números são múltiplos de 2 e 3 simultaneamente? 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 102,. Ou seja, os múlti plos de 6. 27. Este tam bém é para fa zer em gru po. Por isso, reú na-se com mais um ou dois co le gas. A du ra ção do ano so lar tem po que a Ter ra le va pa ra dar uma vol ta com ple ta em tor no do Sol não é exa ta men te 365 dias. Du ra apro xi ma da men te 365 dias e 6 ho ras. Por is so so bram cer ca de 6 ho ras to dos os anos. Pa ra cor ri gir es se pro ble ma, a ca da 4 anos acres cen ta-se o dia 29 de fe ve rei ro ao ca len dá rio. Es ses anos com um dia a mais são cha ma dos de anos bis sex tos, e to dos são múl ti plos de 4. Mas te nha cui da do! Pa ra que as con tas do ca len dá rio deem cer to, os anos que ter mi nam com 00 só são bis sex tos se eles fo rem múl ti plos de 400! Sa ben do dis so, res pon da às se guin tes ques tões: a) 1822, ano da in de pen dên cia do Bra sil, foi um ano bis sex to? Não. b) O ano de 1920, em que acon te ceu a pri mei ra par ti ci pa ção do Bra sil nas Olim pía das, foi um ano bis sex to? Sim. c) O ano de 1970, quan do o Bra sil foi tri cam peão da Co pa no Mé xi co, foi bis sex to? Não. d) E o ano de 2050, se rá bis sex to? Não. É ou não é ano bissexto? 28. Este é para fazer em grupo. Por isso, junte-se com mais um ou dois colegas. Dado um calendário, para qualquer mês do ano, como este que você encontra à direita, tome um bloco qualquer de 3 3 números, como este ao lado. Encontre a soma dos números do bloco 3 3. A soma tem algo a ver com o número do centro do bloco 3 3? Compare com a resposta de seu colega. A soma deste bloco dá 81. Esse número é 9 vezes o número do centro. Maio D S T Q Q S S 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 17
29. Des cu bra a se quên cia de múl ti plos de cada um dos nú me ros: a) 4 0, 4, 8, 12, 16, b) 8 0, 8, 16, 24, 32, c) 12 0, 12, 24, 36, 48, 60, d) 1 0, 1, 2, 3, 4, e) 0 0 f) 7 0, 7, 14, 21, 28, 30. De acor do com o que você viu no tex to, es cre va a fun ção in ver sa de: a) 11 b) 4 c) 11 4 31. Res pon da sim ou não: a) 96 é múl ti plo de 8? Sim b) 53 é múl ti plo de 5? Não c) 242 é múl ti plo de 11? Sim d) 431 é múl ti plo de 9? Não e) 863 é múl ti plo de 3? Não f) 225 é múltiplo de 15? Sim 32. Em cada um dos itens complete o espaço com o nú me ro cor re to (re cor de o que você viu no exer cí cio 23 desta Unidade). a) b) 5 8 7 56 11 8 88 9 79 c) 18 2 9 7 63 33. Ob ser ve a fi gu ra ao la do. Quan tos são os pin guins agrupa dos? O que a dis po si ção dos pin guins lem bra a vo cê? Construa uma sequência que expresse o total de pinguins nos grupos. Escreva com suas palavras e compare com a resposta dos seus colegas. Eles estão agrupados em pares e lembram a sequência de números: 6, 8,10, indo de baixo para cima. 34. Al guns ca va los es tão sol tos em um cam po. Se vo cê con tar o número das patas deles, o resultado pode ser 58? Pode ser 60? Explique sua resposta. Cada cavalo tem quatro patas. Assim, o número de cavalos não pode ser 58, pois 58 não é múltiplo de 4. É possível que o resultado seja 60, pois 4 15 = 60. 35. Verifique se os seguintes anos são bissextos: a) 1889, ano da Proclamação da República. Não. b) 1998, ano da Co pa da Fran ça, quan do o Bra sil foi vi ce-cam peão. Não. c) 1972, ano do sesquicentenário da Independência do Brasil. Sim. d) 1770, ano em que nas ceu o com po si tor Bee tho ven. Não. 18
36. Para des co brir que nú me ros vão nos espaços, na fun ção com pos ta abai xo, Lau ra fez o se guin te: 2 15 Ela desfez as operações 2 e. Para isso, usou funções inversas, assim: 24 2 2 12 15 Ago ra é com você! Nas fun ções com po stas abai xo, complete o espaço com o nú me ro cor re to: a) 7 2 5 5 1 b) 2 6 8 8 64 c) 218 7 225 5 45 42 d) 17 5 12 4 4 16 Descubra o número secreto: Ele é maior que 440 e me nor que 730. É múl ti plo de 3. É múl ti plo de 4. Não é múl ti plo de 5. A so ma de seus al ga ris mos é igual a 12. Já dei vá rias dicas para você solucionar pro ble mas. Ago ra é ho ra de ver se vo cê apren deu bem. Pa ra is so tente descobrir o número misterioso que tem as propriedades ao lado. Gallery (Dica: há mais de uma possibilidade. Lem bre-se de que se um nú me ro é múl ti plo de 3 e tam bém de 4, en tão ele se rá múlti plo de 12.) O número secreto pode ser: 444, 516, 552, 624. 3 DIVISIBILIDADE Jaqueline juntou 40 figurinhas repetidas, que deseja distribuir entre 5 amigos. Para isso, ela fez a se guin te con ta: Se rá que dá pa ra ca da um fi car com o mesmo número de figurinhas? Deixe-me ver: 40 5 0 8 Que bom! Não so brou res to na divisão! Assim posso dividir as figurinhas igualmente, ficando 8 pa ra ca da um. 19
Na con ta que Ja que li ne fez, cada um de seus ami gos fi cou com 8 fi gu ri nhas. Isso oco rreu por que o res to da di vi são de 40 por 5 é 0. 8 figurinhas 8 figurinhas 8 figurinhas 8 figurinhas 8 figurinhas as 40 figurinhas de Jaqueline Des sa for ma, toda vez que uma di vi são ti ver res to zero, di ze mos que ela é uma di vi são exata. No caso das fi gu ri nhas de Ja que li ne, como a di vi são de 40 por 5 é exa ta, di ze mos que 40 é di vi sí vel por 5, ou ain da, que 5 é um di vi sor de 40. Ué! Pelo que vi mos an tes, 40 é múl ti plo de 5, já que 40 = 8 5. Mas esse ne gó cio de di vi sor eu não en ten di di rei to! Dá para ex pli car melhor? Veja: 40 é múl ti plo de 5. Isso é uma con se quên cia do fato de a di vi são de 40 por 5 ter quo cien te in tei ro e res to zero. Veja as ex pli ca ções a se guir: Você se lem bra do que são quo cien te e res to em uma di vi são de nú me ros in tei ros? Na di vi são de 40 por 5, o quo cien te é 8, e o res to da di vi são é 0. Para ver a re la ção en tre múl ti plos de 5 e di vi si bi li da de por 5, va mos cons truir a se quên cia de múl ti plos de 5. Para isso, usa mos a fun ção 5 : 40 5 0 8 resto quociente 5 0 0 5 1 5 5 2 10 3 5 15......... Co lo can do su ces si va men te na en tra da os nú me ros 0, 1, 2, 3, e as sim por dian te, des co bri mos a se quên cia dos múl ti plos de 5. Abaixo es tão seus 11 pri mei ros ter mos: 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50,... Ela pula de 5 em 5. Ob ser ve que 40 é um dos ter mos des sa se quên cia. Por isso, di zer que 40 é di vi sí vel por 5 é o mes mo que di zer que 40 é múl ti plo de 5. Des sa for ma, ve mos que as afir ma ções 40 é múl ti plo de 5 40 é di vi sí vel por 5 5 é um di vi sor de 40 sig ni fi cam a mes ma coi sa. A seguir, te mos mais al guns exem plos em que a di vi si bi li da de de nú me ros é tes ta da: 20
Vamos testar se 52 é múltiplo de 8. Para isso fazemos a divisão 52 8 resto 4 6 Como o resto não é zero, a divisão não é exata. Logo, 52 não é divisível por 8. Para verificar se 2 é divisor de 3, efetuamos a divisão 3 2: 3 2 0 1,5 quociente Nesse caso, o resto é zero, mas o quociente não é inteiro. Logo, 2 não é divisor de 3. Finalmente, dado um número inteiro, podemos descobrir todos os seus divisores e organizá-los em uma sequência. Por exemplo, fazendo algumas contas, descobrimos que todos os divisores de 40 são: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 Eles es tão or ga ni za dos em uma se quên cia, do me nor para o maior. Ob ser ve que a se quência dos divisores de um número termina, enquanto a sequência dos múltiplos de um número não ter mi na. Por que isso acon te ce? Pen se a res pei to e dis cu ta com os co le gas. 37. Efe tue as di vi sões a se guir. Mas aten ção: o res to e o quo cien te de vem ser in tei ros! a) 81 9 = 9 b) 144 12 = 12 c) 225 15 = 15 d) 873 3 = 291 e) 1 235 25 = Quociente 49 e resto 10 f ) 161 7 = 23 38. Com base no que você fez no exer cí cio an te rior, res pon da sim ou não: a) 81 é di vi sí vel por 9? Sim b) 144 é múltiplo de 12? Sim c) 15 é di vi sor de 225? Sim d) 873 é di vi sí vel por 3? Sim e) 25 é di vi sor de 1 235? Não f) 161 é múltiplo de 7? Sim 39. Este é para fa zer em gru po. Por isso, reú na-se com mais um ou dois co le gas. Di ze mos que um nú me ro é par se ele for di vi sí vel por 2. Os nú me ros in tei ros que não são di vi sí veis por 2 são cha ma dos de ímpares. Com base nis so, faça o que se pede e res pon da às per gun tas: a) Quantos números pares existem? Organize-os em uma sequência. Infinitos. 2, 4, 6, 8, 10, 12, b) Quantos números ímpares existem? Organize-os em uma sequência. Infinitos. 1, 3, 5, 7, 9, 11, c) Se você so mar um nú me ro par com um ím par, o re sul ta do será par ou ím par? O resultado será um número ímpar. 40. Encontre a sequência de divisores dos seguintes números: a) 15 1, 3, 5 e 15. b) 24 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24. c) 42 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 e 42. d) 60 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60. e) 81 1, 3, 9, 27, 81. 21
41. Este tam bém é para fa zer em gru po. Jun te-se com mais um ou dois co le gas. Faça o que se pede. a) Marque os números abaixo que são divisíveis por 400: 1 600 1 200 4 600 81 000 900 b) Marque os números abaixo que são divisíveis por 4: 16 12 46 810 9 c) O que você deduz? Para ser divisível por 400, o número deve terminar em 00 e o número formado, excluindo-se o 00, deve ser divisível por 4. 42. Des cu bra o nú me ro mis te rio so: Ele é múl ti plo de 2. É di vi sí vel por 3. 5 é di vi sor de le. É maior que 20. É me nor que 40. No te que, em Ma te má ti ca, às ve zes nos re fe ri mos a um mes mo fa to de vá rias ma nei ras. As sim, se o nú me ro mis te rio so é di vi sí vel por 3, en tão, o que 3 é de le? Se 5 é di vi sor de le, en tão o que ele é de 5? Gallery O número misterioso é 30. 43. Al guns nú me ros apre sen tam a ca rac te rís ti ca cu rio sa de serem iguais à so ma de seus di vi so res, ex cluindo-se den tre es ses o pró prio nú me ro. Eles são cha ma dos de nú me ros per fei tos. O nú me ro 28, por exem plo, apre sen ta 5 di vi so res me no res que 28: 1, 2, 4, 7, 14 A so ma des ses di vi so res 1 2 4 7 14 é exa ta men te igual a 28. Lo go, 28 é um nú me ro perfei to. Marque quais dos se guin tes nú me ros são per fei tos: a) 15 b) 6 c) 27 d) 496 44. Escreva V ou F para indicar quais das seguintes afirmações são verdadeiras e quais são falsas. Justifique sua resposta em cada caso. a) Todo número natural é divisor de zero. Verdadeira, pois podemos dividir zero por qualquer número natural sem aparecer resto mai or que zero nessa divisão. b) Zero é divisor de todo número natural. Falsa, pois não existe divisão por zero. c) 1 é divisor de todo número natural. Verdadeira, pois ao dividirmos qualquer nú me ro natural por 1 obteremos resto zero, o que pro va que 1 é divisor de qualquer número na tu ral. d) Todo número natural diferente de zero é divisor dele próprio. Verdadeira, pois se dividirmos um número na tural por ele mesmo obteremos quociente 1 e res to zero, o que implica que o número é divisor dele mesmo. e) Zero divide zero. Falsa, pois não existe divisão por zero, logo ze ro não pode dividir nenhum número. 22
45. Um número é dito deficiente se a soma de seus divisores (com exceção do próprio nú mero) é menor que o número. Da mesma forma, dizemos que um número é abundante se a soma de seus divisores (diferentes dele próprio) é maior que o número. Por exem plo, 14 é deficiente, pois seus divisores (diferentes de 14) são 1, 2 e 7, sendo que 1 2 7 14. Por outro lado, 12 é abundante, já que seus divisores (diferentes de 12) são 1, 2, 3, 4, 6 e 1 2 3 4 6 12. Determine se os números seguintes são abundantes ou deficientes: a) 10 Os divisores menores que 10 são: 1, 2, 5. Efetuando a so ma desses números, encontramos como resultado o número 8. Como 10 > 8, temos que 10 é deficiente. b) 18 Os divisores menores que 18 são: 1, 2, 3, 6, 9. Efetuando a soma desses números, encontramos como re sultado o número 21. Como 18 < 21, temos que 18 é abundante. c) 20 Os divisores menores que 20 são: 1, 2, 4, 5, 10. Efetuando a soma desses números, encontramos como re sultado o número 22. Como 20 < 22, temos que 20 é abundante. d) 16 Os divisores menores que 16 são: 1, 2, 4, 8. Efetuando a soma desses números, encontramos como resultado o número 15. Como 16 > 15, temos que 16 é deficiente. e) 468 Alguns dos divisores de 468 são: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, 78, 117, 156, 234. Efetuando a soma des ses números, encontramos como resultado o nú mero 623. Como 468 < 623, temos que 468 é abundante. 46. Sabendo que dois números são divisíveis por 5, responda: a) Será que sua soma é divisível por 5? Sim. b) Será que seu produto é divisível por 5? Sim. 47. Efe tue as di vi sões de nú me ros, de modo que o quo cien te e o res to se jam in tei ros: a) 91 7 = 13 b) 210 15 = 14 c) 150 10 = 15 d) 943 23 = 41 48. Com base no que você fez no exer cí cio an te rior, res pon da sim ou não: a) 91 é di vi sí vel por 7? Sim b) 210 é di vi sí vel por 15? Sim c) 10 é di vi sor de 150? Sim d) 943 é di vi sí vel por 23? Sim 49. Qual dos nú me ros tem a maior quan ti da de de di vi so res: 24 ou 30? Ambos têm 8 divisores. 50. Responda às perguntas: a) Quais os di vi so res de 54? 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27 e 54. b) Quais os di vi so res de 36? 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 e 36. c) Exis tem di vi so res que são co muns a am bos: 54 e 36? Sim. Quais? 1, 2, 3, 6, 9 e 18. d) Qual é o maior di vi sor co mum a 54 e 36? 18 51. Você já sabe que um ano que ter mi na em 00 é bi ssex to so men te se ele for múl ti plo de 400. Uti li zan do o que você aprendeu sobre divisibilidade, e o exercício 41 desta Unidade, responda quais dos seguintes anos são bissextos: a) 1500 Não. (porque 15 não é divisível por 4) b) 1800 Não. (pois 18 não é divisível por 4) c) 2000 Sim. (porque 20 é divisível por 4) d) 1300 Não. (pois 13 não é divisível por 4) 23
52. Re cor de aqui lo que você fez no exer cí cio 39, para res pon der às per gun tas, ex pli can do sua res pos ta em cada caso. (Dica: es cre va a se quên cia dos pa res e a dos ím pa res.) a) O pro du to de dois nú me ros pa res é par ou ím par? Par, pois o produto de dois números divisíveis por 2 continua divisível por 2. b) O pro du to de dois nú me ros ím pa res é par ou ím par? Ímpar, pois o produto de dois números que não são divisíveis por 2 continua não divisível por 2. c) E o pro du to de um nú me ro par por um ím par, é par ou ím par? Par, pois o produto de um número divisível por 2 por qualquer outro número inteiro é divisí vel por 2. 53. Ob ser ve a fi gu ra ao lado. Ela é uma ma lha de 10 10 100 bolinhas. Será possível desenhar uma linha horizontal e uma vertical, dividindo a ma lha em qua tro par tes, cada uma con ten do 12 bolinhas, 18 bolinhas, 28 bolinhas e 42 bolinhas, respectivamente? Onde você deve desenhar as linhas? 54. Descubra o número misterioso: Ele é múl ti plo de 4. 8 é di vi sor de le. É maior que 30. É divisível por 5. É me nor que 60. O número misterioso é 40. A amizade não existe somente entre seres humanos. Ela está presente até entre números. Vamos, em poucas pa la vras, ex pli car o que é o con cei to de números amigos em Matemática. Consideremos, por exemplo, os nú me ros 220 e 284. O número 220 é divisível exatamente pelos seguintes números: 24 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110. Es ses são os di vi so res de 220 me no res do que ele mes mo. O nú me ro 284 é, por sua vez, di vi sí vel pe los nú me ros: 1, 2, 4, 71 e 142. Es ses são os di vi so res de 284 me no res do que ele mes mo. Há, entre esses números, uma curiosa coincidência. Se somarmos os divisores de 220, acima indicados, va mos ob ter uma so ma igual a 284. E se so mar mos os di vi so res de 284, o re sul ta do se rá 220. Ve ja a ta be la: Número Soma dos divisores 220 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284 284 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220 Dois nú me ros são ami gos se a so ma dos di vi so res de um, ex cluin do ele pró prio, é igual ao ou tro nú me ro. Des sa re la ção, os ma te má ti cos che ga ram à con clu são de que os nú me ros 220 e 284 são ami gos. Descubra se os pares de números abaixo são amigos. a) 1 184 e 1 210 São números amigos. b) 2 620 e 2 924 São números amigos.