1.1 Revisão de teoremas do cálculo 1.

LISTA DE EXERCÍCIOS Observação: De acordo ao exercício o aluno pode e deve conferir suas respostas com seus programas. 1.1 Revisão de teoremas do cálculo 1. 1 Mostre que cada uma das seguintes equações têm pelo menos uma solução nos intervalos dados: (a) xcosx 2x 2 +3x 1 = 0 em[0.2,0.3] e [1.2,1.3]. (b) (x 2) 2 lnx = 0 em[1,2] e[e,4]. (sug. use o teorema do valor intermediário.) 2 Encontre intervalos contendo soluções das seguintes equações: (a) x 3 x = 0. (b) 4x 2 e x = 0. 3 Mostre que a primeira derivada da função dada é, pelo menos, uma vez igual a zero. f(x) = (x 1)tan+xsinπx em[0,1]. 4 Encontremax a x b f(x) para as seguintes funções e intervalos: (a) f(x) = (2 e x +2x)/3, [0,1]. (b) f(x) = 2xcos(2x) (x 2) 2,[2,4]. 5 Use o teorema do valor intermediário e o teorema de Rolle para mostrar que o gráfico de f(x) = x 3 +2x+k cruza o eixoxexatamente uma vez, independente do valor dek. 7 Sejaf(x) = x 3. (a) Encontre o polinômio de TaylorP n de segunda ordem parax o = 0. (b) EncontreR 2 (0.5) e o erro real quando usap 2 (0.5) para aproximar f(0.5). 9 Encontre o polinomio de Taylor de 2do graup 2 (x) para a funçãof(x) = e x cos(x) respecto dex o = 0. (a) Use P 2 (0.5) para aproximar f(0.5). Encontre uma cota superior do erro f(0.5) P 2 (0.5) por médio da fórmula do erro e compare com o erro real. (b) Encontre uma cota do erro f(x) P 2 (x) ao empregar P 2 (x) para aproximar f(x) no intervalo [0,1]. (c) Aproxime 1 0 f(x)dx por medio de 1 0 P 2(x)dx. (d) Encontre uma cota do erro no item anterior por medio de 1 0 R 2(x) dx e compare com o erro real. 1

2.1 Método da biseção. 1 Aplique o método da biseção para obterp 3 paraf(x) = x 2cosx em[0,1]. 2 Seja f(x) = 3(x + 1)(x 1 2 )(x 1). Aplique o método da biseção aos seguintes intervalos para encontrarp 3. (a) [ 2,1.5]. (b) [ 1.25,2.5]. 3 Aplique o método da biseção para encontrar as soluções exatas dentro de10 2 parax 3 7x 2 +14x 6 = 0 em cada intervalo: (a) [0,1]. (b) [1,3.2]. (c) [2,3]. 4 Aplique o método da biseção para encontrar soluções exatas dentro de 10 2 para x 4 2x 3 4x 2 + 4x+4 = 0 em cada intervalo: (a) [0,1]. (b) [1,3.2]. 5 Use o método da bisseção para encontrar uma solução exata dentro de10 3 parax = tanx em[4,4.5] (use radianos). 7 Aplique o método da bisseção para encontrar soluções exatas em10 5 para os seguintes problemas: (a) x 2 x = 0 para0 x 1. (b) e x x 2 +3x 2 = 0 para0 x 1. 10 Encontre uma aproximação de 3 correta com uma precisão de10 4. Sugestão: Consideref(x) = x 2 3. 12 Encontre o número de iterações necessárias, usando o método da bisseção, para obter uma aproximação com um erro de 10 3 (ǫ = 10 3 ) à solução de x 3 + x 4 = 0 que se encontra no intervalo de [1,4]. Obtenha uma solução aproximada com esta precisão. Rpta. p 1.38,n 10. (faça a mão 3 iterações, o resultado pode verificar usando o programa.) 2.2 Método de iteração do ponto fixo. 1 Use manipulação algébrica para demostrar que as seguintes funções tem um ponto fixo emn p quandof(p) = 0, ondef(x) = x 4 +2x 2 x 3. (a) g 1 (x) = (3+x 2x 2 ) 1/4. (b) g 2 (x) = ( x+3 x4 2 ) 1/2. (c) g 3 (x) = ( x+3 x 2 +2 )1/2. 7 Aplique o teorema de existência e unicidade do ponto fixo para provar que g(x) = π +0.5sin(x/2) tem um único ponto fixo em [0, 2π]. Use a iteração do ponto fixo para determinar uma solução com uma aproximação de 10 2 (ǫ = 10 2 ), estime a quantidade de iterações necessárias para atingir esta aproximação usando resultado teórico. (compare). (Rpta: n 4.p 3.626996). 11 Em cada uma das seguintes equações determine um intervalo [a,b] no qual convergirá a iteração do ponto fixo. Estime a quantidade de iterações necessárias para obter uma aproximação de10 5. 2

(a) x = 2 ex +x 2 3. (b) x = 5 x 2 +2. 13 Encontre todos os zeros def(x) = x 2 +10cosx aplicando o método de iteração do ponto fixo. 14 Aplique o método de iteração do ponto fixo para determinar uma solução com uma aproximação de 10 4 comx = tanx, para x em[4,5]. Use radianos : 1 o = 180 o /πrad, Xrad = X(180 o /π). 17 Encontre alguma função definida em [0, 1] que não satisfaza nenhuma das hipóteses do teorema do ponto fixo, mais que ainda tenha ym único ponto fixo em[0,1]. 18 Verifique que o teorema não é verdadeiro se a desigualdade g (x) k é substituida com g (x) k para toda x (a, b). (de um contraexemplo). 24 Seja g C 1 [a,b] e suponhamos que p (a,b) com g(p) = p e que g (p) > 1, Mostre que existe um δ > 0 tal que se 0 < p o p < δ, então p o p < p 1 p. Por tanto, sem importar quão perto esté a aproximação inicial p o de p, a seguinte iteração p se encontra mais longe, por tanto o método de iteração do ponto fixo nao converge parap o p. 2.3 Método de Newton-Raphson, secante, posição falsa. 1 Sejamf(x) = x 2 6 e p o = 1. Aplique o método de Newton para encontrarp 2. 3 Sejam f(x) = x 2 6 e p o = 3 e p 1 = 2 encontre p 3 usando o metodo da secante e da posição falsa. Aplique o método de Newton para encontrarp 2. Qual esta mais próximo de 6?. 5 Aplique o método de Newton para obter soluções com uma precisão de 10 4 para os seguintes problemas: (a) x 3 2x 2 5 = 0 em[1,4]. (b) x cosx = 0 em[0,π/2]. 7 Repita o exercício anterior usando (i) método da bisseção, (ii) método da posição falsa. 12 Resolva a equação 0 = 1 2 + 1 4 x2 xsinx 1 2 cos2x, com p o = π 2. Itere usando o método de Newton até conseguir uma exatitude de 10 5. Explique por qué o resultado parece pouco usual para o método de Newton. Também resolva a equação com p o = 5π ep o = 10π. 13 O polinômio de quarto grau f(x) = 230x 4 +18x 3 +9x 2 221x 9. tem duas raizes iguais, um em[ 1,0] e outro em[0,1]. Tente aproximar estes zeros com uma precisão de10 6 por medio de: (a) Método da posição falsa. (b) Método da secante. 3

(c) Método de Newton. 17 Use um programa que calcule zeros usando o método de Newton para determinar quantas iterações são necessárias com p o = π/4 para encontrar um zero de f(x) = cosx x com uma precisão de 10 100. 20 Encontre uma aproximação deλcom uma precisão de10 4 para a equação de população: 1564,000 = 1000,000e λ + 435,000 (e λ 1). λ Use este valor para calcular a população que haverá no final do segundo ano, supondo que a taxa de migração durante este ano se mantem em 435000 pessoas por ano. 25 Sejaf(x) = 3 3x+1 7.5 2x. Grafique f para obter aproximações iniciais dos zeros def. Use o método de Newton para encontrar os zeros com uma aproximação de 10 16. Encontre algebricamente os zeros def. Algumas respostas: Seção 1.1: 7 a)p 2 (x) = 0 b)r 2 (0.5) = 0.125 erro real= 0.125 c)p 2 (x) = 1 3 (x 1)+3(x 1) 2 d)r 2 (0.5) = 0.125; erro real=-0.125 9 Dado quep 2 (x) = 1+x er 2 (x) = 2eξ (sinξ+cosξ) 6 x 3 para algumξ entrexe0temos: a)p 2 (0.5) = 1.5 e f(0.5) P 2 (0.5) 0.0532 b) f(x) P 2 (x) 1.252 c) 1 0 f(x)dx 1.5 d) 1 0 f(x)dx 1 0 P 2(x)dx 1 0 R 2(x)dx 0.313 e o erro real é0.122 Seção 2.1: 1 0.625 3 O método da bisseção dáp 7 = 0.5859, p 8 = 3.002, p 7 = 3.419 7 a)p 17 = 0.641182, b)p 17 = 0.257530. Seção 2.2: 11 a) Com [0,1] ep o = 0, p 9 = 0.257531. 13 Para g(x) = (2x 2 10cosx)/3x temos: parap o = 3,p 8 = 3.16193, parap o = 3,p 8 = 3.16193 Seção 2.3: 1 p 2 = 2.60714 3 a) 2.45454, b) 2.44444, c) A parte (b) é melhor. 5 a) Parap o = 2,p 5 = 2.69065, b) Para p o = 3,p 3 = 2.87939 4

7 Ao usar os extremos dos intervalos como p o e p 1 temos i) a)p 11 = 2.6905, b)p 7 = 2.87939, c)p 6 = 0.73909, d)p 5 = 0.96433 ii) a) p 16 = 2.6906, b) p 6 = 2.87938, c) p 7 = 0.73908, d)p 6 = 0.96433 13 a) Parap o = 1 e p 1 = 0 temosp 17 = 0.04065850 e para p o = 0 ep 1 = 1 temosp 9 = 0.9623984 b) Parap o = 1 e p 1 = 0 temosp 5 = 0.04065929 e parap o = 0 e p 1 = 1 temosp 12 = 0.04065929. c) Parap o = 0.5 temosp 5 = 0.04065929 e parap o = 0.5 ep 1 = 1 temosp 12 = 0.09623989. 17 7 Referência: Richard L. Burden. Análisis Numérico. 6ta Edição. ( A numeração segue o livro.) 5