Conteúdo 1 O Departamento de Matemática 3 1.1 Origem Cronológica........................ 3 1.2 Corpo Docente........................... 4 1.3 Gestão e Estrutura......................... 5 1.4 Biblioteca.............................. 6 1.5 Laboratório de Cálculo....................... 7 1.6 Outras Informações......................... 8 2 A Licenciatura em Matemática 9 2.1 Tronco Comum........................... 9 2.2 Ramo Científico: Especialização em Matemática Pura..... 10 2.3 Ramo Científico: Especialização em Matemática Aplicada... 11 2.4 Ramo Científico: Especialização em Computação........ 12 2.5 Ramo de Formação Educacional................. 13 2.6 Classificação final.......................... 14 3 Disciplinas da Licenciatura em Matemática 15 3.1 Conteúdos programáticos..................... 15 3.2 Docentes responsáveis....................... 36 A Comissão Pedagógica da Licenciatura em Matemática agradece toda a colaboração prestada na elaboração deste Guia pelas Comissão Executiva e Comissão Científica do Departamento de Matemática, Comissão da Biblioteca, Comissão do Laboratório de Cálculo, bem como pelos docentes das disciplinas da licenciatura em Matemática. A Comissão Pedagógica da Licenciatura em Matemática Coimbra, Junho de 2001. Ficha Técnica Responsabilidade pela edição: Comissão Pedagógica da Licenciatura em Matemática. Número de exemplares: 200. 2
1 O Departamento de Matemática 1.1 Origem Cronológica Antes do século XVI não se conhece qualquer testemunho concludente de que a Matemática fosse cultivada na Universidade de Lisboa (ou de Coimbra) ou, mesmo, no País. Só no início de Quinhentos, com efeito, se viria a manifestar um grande interesse pelos estudos Matemáticos. Em 1519 aparece a primeira obra matemática impressa em Portugal: o Tratado da Pratica Darismetyca, de Gaspar Nicolas que se inspira fortemente na Suma de Arithmetica, Geometria, Proportion e Proportionata (Veneza, 1494), de Fr. Lucas Paccioli. Quando Pedro Nunes começou a ensinar na Universidade, já se notava no País um movimento de curiosidade pela Matemática. Nunes foi de resto o único português do século a deixar uma obra Matemática que de algum modo se pode classificar de notável. Todavia só com a Reforma Pombalina, no reinado de D. José (1772), seria criada na Universidade uma Faculdade de Matemática. Pelos Novos Estatutos instituía-se um curso fixo e completo dedicado a essa Ciência, formando uma Faculdade, atribuindo as mesmas graduações e gozando das mesmas honras e privilégios das outras Faculdades. E para atrair os alunos para o estudo da Matemática usaram-se vários meios, em especial conferindo regalias àqueles que obtivessem aprovação nos exames feitos. A Faculdade de Matemática fundada pelo Marquês de Pombal oferecia quatro cadeiras anuais, sendo as dos dois primeiros anos destinadas ao estudo da Geometria e Análise Infinitesimal e versando as dos dois últimos anos sobre as aplicações dos conhecimentos anteriormente adquiridos, a saber, a Foronomia (a que hoje chamamos Física-Matemática) e a Astronomia, que incluía também o estudo da Geodesia. Assim se procurava dar aos estudantes a ideia da orientação dos vários caminhos da Matemática, então dita moderna. Os Estatutos previam a publicação de compêndios, propositadamente escritos pelos professores titulares ou por eles traduzidos de autores estrangeiros. Também neles se procurava organizar a investigação científica pela criação dos Grémios das Faculdades onde seriam admitidos os que tivessem concluído o curso com mais distinção e louvor. As regências de duas cadeiras do novo curso foram entregues a dois portugueses - o astrónomo José Monteiro da Rocha e o geómetra 3
José Anastácio da Cunha. Este último tem sido considerado o melhor dos matemáticos que o país produziu desde Pedro Nunes. A Faculdade de Matemática, o incentivo da Academia Real das Sciencias (fundada no final do século XVIII) e a criação das Escolas Politécnicas de Lisboa e do Porto promoveram sem dúvida um desenvolvimento do interesse pela Matemática; ao mesmo tempo, as duas escolas e a Faculdade passaram a diplomar um número avultado de matemáticos, que as necessidades mais urgentes do país encaminhavam sobretudo para trabalhos de aplicação (geodetas, engenheiros e oficiais do exército). A par disso, passou a notar-se um aumento da produção matemática portuguesa, com a produção de trabalhos originais. Com o advento da República, a Faculdade de Matemática desapareceu, como desapareceu também a Faculdade de Filosofia, outra criação Pombalina; fundiram-se ambas na Faculdade de Ciências, que perduraria, em Coimbra, até à sua ampliação para as tecnologias, numa constituição, de perspectivas mais largas, que veio a ser designada por Faculdade de Ciências e Tecnologia. O avanço que esta experimentou, tanto na área do ensino como na investigação, veio a encaminhar a sua estrutura para a forma departamental, que acabou por ser reconhecida pela Portaria n o 111/81 de 24 de Janeiro. 1.2 Corpo Docente O Departamento de Matemática é hoje um dos grandes Departamentos da Faculdade de Ciências e Tecnologia; goza como eles de uma certa autonomia, mas está perfeitamente inserido nos trabalhos comuns, como seria indispensável. O seu corpo docente é constituído por 13 Professores Catedráticos, 1 Professor Associado com Agregação, 17 Professores Associados, 30 Professores Auxiliares, 2 Professores Auxiliares Convidados, 21 Assistentes, 10 Assistentes Estagiários e 25 Assistentes Convidados. No domínio da investigação os seus docentes distribuem-se pelas seguintes áreas: Álgebra, Análise, Análise Numérica, Ciências da Computação, Computação Gráfica, Engenharia Geográfica, Física Matemática, Geometria, Investigação Operacional, Mecânica, Optimização, Probabilidades e Estatística e Teoria do Controlo. 4
1.3 Gestão e Estrutura O Departamento de Matemática está instalado em edifício próprio inaugurado para o efeito em 1969. Assegura a leccionação de disciplinas para mais de 5000 alunos, dos quais cerca de 1000 são de Licenciaturas do Departamento (Matemática e Engenharia Geográfica) e os restantes são de licenciaturas de outros Departamentos da Faculdade de Ciências e Tecnologia. A gestão do Departamento de Matemática é assegurada pelo Conselho de Departamento e pela Comissão Executiva. O Conselho de Departamento é o orgão máximo de gestão e é constituído por 24 membros, dos quais 8 em representação do corpo de doutores e professores de nomeação definitiva, 4 em representação do corpo de investigadores e docentes não doutorados, 7 em representação do corpo de estudantes e 5 em representação do corpo de funcionários; é presidido por um professor catedrático ou associado do Departamento eleito bienalmente pela totalidade dos seus elementos. Compete fundamentalmente a este Conselho a apreciação e aprovação da proposta de execução orçamental, e ainda estabelecer as normas internas em relação às condições de prestação de trabalho, recrutamento, promoção e formação do pessoal técnico, administrativo, operário e auxiliar a desempenhar funções no Departamento. A gestão corrente do Departamento está a cargo de uma Comissão Executiva constituída pelo presidente do Conselho de Departamento e por três elementos por ele escolhidos (um dos quais pertence ao corpo dos funcionários). Compete ainda a esta comissão preparar o plano de actividades e o projecto de orçamento. Junto da Comissão Executiva funciona a Comissão Pedagógica da Licenciatura em Matemática que é constituída por um professor, um assistente e dois alunos de Matemática. Compete a esta comissão zelar pela qualidade pedagógica do ensino ministrado na licenciatura em Matemática, apresentar propostas e dar pareceres sobre o funcionamento dos serviços do Departamento com relevância para as actividades pedagógicas e promover a publicação do Guia de Curso. A contratação de docentes, a construção do plano de estudos e a atribuição de equivalências, bem como o zelar pela qualidade científica do ensino ministrado no Departamento, está a cargo da Comissão Científica que é constituída 5
por todos os doutores e professores de nomeação definitiva do departamento, e com uma representação dos docentes não doutorados em exercício de funções. A auxiliar a Comissão Científica e a Comissão Executiva existe a Comissão de Recursos Lectivos. Cabe a esta comissão elaborar horários e mapas de avaliação para todas as disciplinas leccionadas no Departamento de Matemática. 1.4 Biblioteca A Biblioteca do Departamento foi fundada em 1913, tendo alcançado desde o início do seu funcionamento certo desenvolvimento, para o qual contribuíram em grande medida as doações de vários dos antigos Professores de Matemática da Universidade. Este facto permite à Biblioteca ter um fundo de livros antigos, que inclui obras dos séculos XVI a XIX, constituído em grande parte pelas doações dos Doutores Gomes Teixeira e Luís da Costa e Almeida, e um fundo de livros sobre os Descobrimentos constituído a partir das doações das Bibliotecas dos Doutores Luciano Pereira da Silva e Armando Cortesão. A Biblioteca do Departamento, uma das maiores bibliotecas de matemática do país, possui cerca de 26.000 monografias classificadas segundo as classificações MSC (Mathematics Subject Classification) e UDC (Universal Decimal Classification), recebe anualmente 285 revistas especializadas e possui ainda 130 publicações findas ou suspensas. O seu catálogo está disponível em linha em http:/neuronio.mat.uc.pt/bbsoft/ucma/cat/htm. A biblioteca disponibiliza o acesso às bases de dados MathSci, Zentralblatt MATH e MATHDI em CD-ROM ou em linha através da rede local. Entre os seus utilizadores inscritos (que regularmente a frequentam e utilizam) contam-se não só docentes e alunos do Departamento de Matemática, mas também um elevado número de docentes de outros Departamentos da Universidade de Coimbra. A Biblioteca terá potencialmente cerca de 10.000 utilizadores. O acesso directo às obras está reservado aos docentes do Departamento de Matemática e aos utentes a quem tenha sido concedida autorização (entre os quais estão geralmente docentes e investigadores do Ensino Superior e alunos estagiários da Licenciatura em Matemática). A requisição domiciliária de qualquer obra poderá ser feita de acordo com o que se indica no quadro seguinte: 6
Total de obras Prazo Docentes do Departamento de Matemática 20 120 dias Outros Docentes ou Investigadores e Mestrandos 5 15 dias Alunos da F.C.T.U.C. 3 3 dias Os prazos a que se refere o quadro anterior serão renováveis desde que a obra em causa não tenha entretanto sido solicitada por outro utente. Em cada ano lectivo faz-se uma selecção de livros elaborada com base nas informações dadas pelos docentes. Tais livros destinam-se prioritariamente a ser requisitados para a sala de leitura. Poderão também ser requisitados para consulta domiciliária desde que a requisição seja feita nos últimos 30 minutos antes do fecho e a devolução se efectue até 60 minutos depois da abertura da Biblioteca no dia útil seguinte. Quem não cumpra as disposições atrás estabelecidas fica impedido de utilizar os serviços de requisição e fotocópias por um número de períodos de três dias igual ao número de dias em atraso. Se ao fim de uma semana a obra não for devolvida, o infractor será avisado de que o caso vai ser comunicado superiormente a fim de se tomarem as medidas necessárias. Entretanto o número de períodos de sanção continuará a contar até ao máximo de um ano. A renovação da condição de utente ficará sujeita à apreciação da Comissão da Biblioteca, que poderá não a conceder. O horrio regular de funcionamento da Biblioteca durante o periodo lectivo de segunda a sexta-feira, das 8.30h s 20h. 1.5 Laboratório de Cálculo O Laboratório de Cálculo assegura os meios informáticos necessários às actividades dos alunos e docentes do Departamento de Matemática. Neste Departamento são leccionadas disciplinas que incluem matérias onde a utilização de meios informáticos é essencial, incluindo-se entre estas as da Licenciatura em Matemática. O Laboratório de Cálculo tem as suas instalações, que compreendem 6 salas para utilização dos alunos (entre as quais uma sala apetrechada com estações de trabalho com elevada capacidade de cálculo), nos pisos 0 e 0.0 do 7
Departamento de Matemática. Os alunos só poderão frequentar as referidas instalações quando devidamente identificados pelo cartão de utilizador. O material informático que se encontra à disposição dos alunos é constituído por 6 servidores UNIX, 16 terminais alfa-numéricos, 16 micro-computadores pessoais com sistema Windows, 35 micro-computadores e 15 estações de trabalho com sistema UNIX e 2 micro-computadores Macintosh para processamento de texto. Está prevista para o ano lectivo 2001/2002 a instalação de mais 16 microcomputadores com sistema UNIX. Este material encontra-se ligado à rede Ethernet da Universidade e portanto à Internet. O material informático do Laboratório compreende ainda 4 impressoras ligadas a computadores pessoais e 4 impressoras para utilização de todas as máquinas do Departamento. O número de utentes deste Laboratório ronda os 1500 por semestre sendo a utilização do material informático dependente das disciplinas que o aluno frequenta. A actividade do Laboratório de Cálculo é assegurada por pessoal especializado que para além da gestão dos sistemas informáticos, zela pelo bom funcionamento deste Laboratório e dá apoio aos alunos e aos docentes do Departamento de Matemática. Todos os gabinetes do Departamento estão equipados com computadores ligados à Internet e a maior parte com impressoras. 1.6 Outras Informações Os alunos podem obter informações sobre os horários, exames e horários de atendimento dos docentes dirigindo-se à Comissão dos Recursos Lectivos. Outras informações sobre o Departamento podem ser obtidas através da página Web do Departamento de Matemática (www.mat.uc.pt). Os alunos do Departamento de Matemática devem dirigir-se à Comissão dos Recursos Lectivos para se inscreverem nos exames que pretendem efectuar em cada uma das épocas. O prazo de inscrição termina uma semana antes de cada exame. 8
2 A Licenciatura em Matemática O Departamento de Matemática tem na Licenciatura em Matemática os seguintes ramos de especialização: Ramo Científico: Especialização em Matemática Pura. Ramo Científico: Especialização em Matemática Aplicada. Ramo Científico: Especialização em Computação. Ramo de Formação Educacional. A Licenciatura em Matemática funciona com um tronco comum aos diversos ramos, constituído pelos dois primeiros anos de curso, que tem como objectivo fundamental dar aos futuros licenciados uma forte formação matemática qualquer que venha a ser a sua área de especialização. 2.1 Tronco Comum Elenco das disciplinas do Tronco Comum da Licenciatura em Matemática (M Matemática, C Computação): 9
Disciplinas Regime T TP P Unidades Área de crédito 1 o ano Análise Infinitesimal I 1 o Sem 3-3 4 M Álgebra Linear e Geometria Analítica I 1 o Sem 3-3 4 M Métodos de Programação I 1 o Sem 3-3 4 C Tópicos Fundamentais da Matemática 1 o Sem 3 1.5-4 M Análise Infinitesimal II 2 o Sem 3-3 4 M Álgebra Linear e Geometria Analítica II 2 o Sem 3-3 4 M Métodos de Programação II 2 o Sem 3-3 4 C Matemática Finita 2 o Sem 3-3 4 M 2 o ano Análise Infinitesimal III 1 o Sem 3 1.5 1.5 4.5 M Álgebra I 1 o Sem 3-3 4 M Geometria 1 o Sem 3-3 4 M Análise Numérica I 1 o Sem 3-3 4 M Análise Infinitesimal IV 2 o Sem 3 1.5 1.5 4.5 M Álgebra II 2 o Sem 3-3 4 M Geometria Diferencial 2 o Sem 3-3 4 M Equações Diferenciais 2 o Sem 3-3 4 M Para que um aluno se possa candidatar a qualquer dos quatro Ramos da Licenciatura em Matemática, terá de obter aprovação num conjunto de disciplinas (do primeiro e do segundo anos) cuja soma das respectivas unidades de crédito seja de pelo menos 52. A inscrição no 3 o ano de qualquer uma das especializações do Ramo Científico está sujeita a uma limitação quantitativa que é todos os anos fixada pelo Conselho Científico da FCTUC. 2.2 Ramo Científico: Especialização em Matemática Pura A Especialização em Matemática Pura tem como objectivo proporcionar aos seus estudantes uma forte formação matemática, nomeadamente nas áreas fundamentais da Análise, Álgebra e Geometria. Elenco das disciplinas da Especialização em Matemática Pura: 10
Disciplinas Regime T TP P Unidades Área Especialização em Matemática Pura de crédito 3 o ano Mecânica Racional I 1 o Sem 3 1.5-4 M Medida e Integração 1 o Sem 3 1.5-4 M Topologia 1 o Sem 3 1.5-4 M Álgebra Comutativa 1 o Sem 3 1.5-4 M Mecânica Racional II 2 o Sem 3 1.5-4 M Análise Funcional 2 o Sem 3 1.5-4 M Teoria das Probabilidades 2 o Sem 3 1.5-4 M Análise Complexa I 2 o Sem 3 1.5-4 M 4 o ano Teoria dos Grupos 1 o Sem 3 1.5-4 M Teoria das Variedades I 1 o Sem 3 1.5-4 M Complementos de Análise Funcional 1 o Sem 3 1.5-4 M Teoria das Variedades II 2 o Sem 3 1.5-4 M Topologia Algébrica 2 o Sem 3 1.5-4 M História do Pensamento Matemático 2 o Sem 2 - - 2 M Opções 12 Opções Equações com Derivadas Parciais 1 o Sem 3 1.5-4 M Teoria das Categorias 2 o Sem 3 1.5-4 M Mét. Num. Equações Derivadas Parciais 2 o Sem 3 1.5-4 M 2.3 Ramo Científico: Especialização em Matemática Aplicada A Especialização em Matemática Aplicada tem como objectivo proporcionar aos estudantes uma sólida formação em Análise Numérica, Optimização e Estatística, que lhes permita não só investigar e leccionar nessas áreas, mas também serem seus utilizadores em empresas ou serviços. Elenco das disciplinas da Especialização em Matemática Aplicada: 11
Disciplinas Regime T TP P Unidades Área Especialização em Matemática Aplicada de crédito 3 o ano Algoritmos e Estruturas de Dados I 1 o Sem 3-1.5 3.5 C Probabilidades 1 o Sem 3 1.5-4 M Álgebra Linear Numérica 1 o Sem 3 1.5-4 M Mecânica Racional I 1 o Sem 3 1.5-4 M Análise Numérica II 1 o Sem 3 1-4 M Algoritmos e Estruturas de Dados II 2 o Sem 3-1.5 3.5 C Análise Funcional 2 o Sem 3 1.5-4 M Programação Linear 2 o Sem 3 1.5-4 M Estatística 2 o Sem 3 1.5-4 M 4 o ano Equações com Derivadas Parciais 1 o Sem 3 1.5-4 M Processos Estocásticos e Filas de Espera 1 o Sem 2 1.5-3 M Análise de Fourier e Espaços Funcionais 1 o Sem 3 1.5-4 M Teoria da Decisão e Estatística 1 o Sem 1 1.5-2 M Mét. Num. Equações Derivadas Parciais 2 o Sem 3 1.5-4 M Programação Não Linear 2 o Sem 3 1.5-4 M Previsão Estocástica 2 o Sem 2 1.5-3 M Opções 8 Opções Optimização em Redes 1 o Sem 3 1.5-4 M Optimização Discreta 2 o Sem 3 1.5-4 M 2.4 Ramo Científico: Especialização em Computação O objectivo da Especialização em Computação é formar matemáticos que dominem as áreas desta Ciência especialmente relevantes no estudo dos fundamentos e das aplicações da Computação. Elenco das disciplinas da Especialização em Computação: 12
Disciplinas Regime T TP P Unidades Área Especialização em Computação de crédito 3 o ano Algoritmos e Estruturas de Dados I 1 o Sem 3-1.5 3.5 C Fund. Organização de Computadores 1 o Sem 3 1.5-4 C Probabilidades 1 o Sem 3 1.5-4 M Computação Gráfica I 1 o Sem 3 1.5-4 C Algoritmos e Estruturas de Dados II 2 o Sem 3-1.5 3.5 C Linguagens Formais 2 o Sem 3 1.5-4 M Programação Linear 2 o Sem 3 1.5-4 M Lógica 2 o Sem 3 1.5-4 M Opção 4 Opções Estatística 2 o Sem 3 1.5-4 M 4 o ano Compiladores 1 o Sem 2 1.5-3 C Especificação e Verificação 1 o Sem 2 1.5-3 C Bases de Dados 1 o Sem 2 1.5-3 C Sistemas Operativos 1 o Sem 3 1.5-4 C Programação Orientada para Objectos 2 o Sem 2 1.5-3 C Teoria Combinatória 2 o Sem 2 1.5-4 M Teoria das Categorias 2 o Sem 3 1.5-4 M Opções 8 Opções Optimização em Redes 1 o Sem 3 1.5-4 M Elementos de Topologia 1 o Sem 3 1.5-4 M Análise Numérica II 1 o Sem 3 1-4 M Modelação Geométrica 2 o Sem 3 1.5-4 C Optimização Discreta 2 o Sem 3 1.5-4 M Teoria dos Números 2 o Sem 3 1.5-4 M 2.5 Ramo de Formação Educacional O curso de Matemática-Ramo de Formação Educacional destina-se à formação de licenciados em Matemática que pretendam leccionar essa disciplina nos ensinos Básico e Secundário. Pretende-se que os licenciados possuam competências e práticas de carácter científico e pedagógico que lhes permitam ingressar na carreira de ensino com capacidades de inovação e resistência às sucessivas e frequentes alterações que os programas e métodos de ensino têm 13
sofrido ao longo das últimas décadas. Elenco das disciplinas do Ramo de Formação Educacional (CE Ciências da Educação): Disciplinas Regime T TP P Unidades Área Formação Educacional de crédito 3 o ano Mecânica Racional I 1 o Sem 3 1.5-4 M Psicologia Educacional I 1 o Sem 3-1.5 3.5 CE Probabilidades 1 o Sem 3 1.5-4 M Elementos de Topologia 1 o Sem 3 1.5-4 M Mecânica Racional II 2 o Sem 3 1.5-4 M Psicologia Educacional II 2 o Sem 3-1.5 3.5 CE Teoria dos Números 2 o Sem 3 1.5-4 M Estatística 2 o Sem 3 1.5-4 M Análise Complexa I 2 o Sem 3 1.5-4 M 4 o ano Métodos e Técnicas da Educação I 1 o Sem 3-1.5 3.5 CE Metodologia da Matemática 1 o Sem 3 - - 3 CE Fundamentos e Ensino da Geometria 1 o Sem 3 - - 3 CE Aplicações da Matemática 1 o Sem 3 - - 3 M Fundamentos e Ensino da Álgebra 1o Sem 3 1.5-4 CE Métodos e Técnicas da Educação II 2 o Sem 3-1.5 3.5 CE Computação no Ensino da Matemática 2 o Sem 2-3 3 CE Fundamentos e Ensino da Análise 2 o Sem 3 1.5-4 CE História do Pensamento Matemático 2 o Sem 2 - - 2 M 5 o ano Estágio Pedagógico Anual 50 O 5 o ano da licenciatura em Matemática - Ramo de Formação Educacional, é constituído por um Estágio Pedagógico. O aluno só poderá inscrever-se no Estágio Pedagógico com, no máximo, duas disciplinas semestrais em atraso. 2.6 Classificação final A classificação final em cada um dos Ramos da licenciatura em Matemática é a média ponderada de todas as disciplinas, sendo o peso de cada disciplina igual ao seu número de unidades de crédito. 14
3 Disciplinas da Licenciatura em Matemática 3.1 Conteúdos programáticos Álgebra I: Teoria dos Grupos: Grupos. Subgrupos. Classes laterais. Subgrupos normais. Grupos quociente. Homomorfismos. Grupos cíclicos. Grupos de permutações. Produtos directos. Grupos finitos. Bibliografia fundamental: G. N. de Oliveira, Apontamentos da disciplina de Álgebra, 1994/95; M. Sobral, Álgebra, Universidade Aberta, 1995; A. Gonçalves, Introdução à Álgebra, IMPA, 1979. Precedências: Tópicos Fundamentais da Matemática, Álgebra Linear e Geometria Analítica I e II. Álgebra II: Teoria dos Anéis: Anéis. Subanéis. Ideais. Anéis quociente. Homomorfismos. Polinómios. Domínios de ideais principais. Domínios euclidianos. Domínios de factorização única. Zeros de polinómios. Teoria dos Corpos: Corpos. Corpos primos. Extensões de corpos. Corpos de decomposição. Corpos finitos. A impossibilidade de resolução dos problemas geométricos clássicos. Resolubilidade de equações polinomiais. Cifras e códigos secretos. Bibliografia fundamental: G. N. de Oliveira, Apontamentos da disciplina de Álgebra, 1994/95; M. Sobral, Álgebra, Universidade Aberta, 1995; A. Gonçalves, Introdução à Álgebra, IMPA, 1979. Precedências: Tópicos Fundamentais da Matemática, Álgebra Linear e Geometria Analítica I e II. Álgebra Comutativa: 1. Introdução. Revisão de tópicos de álgebra: factorização, elementos primos e elementos irredutíveis, anéis de factorização única, domínios de ideais principais. 2. Ideais principais e ideais primos. Axiomas da teoria dos conjuntos; enunciado do Lema de Zorn; aplicações. Ideais primos e o radical de um ideal. Definição e caracterização do radical de Jacobson. 3. Anéis de fracções. Estudo detalhado no caso dos domínios de ideais principais. Definição no caso geral; propriedades. 4. Breve introdução à teoria dos módulos. Submódulos, homomorfismos e módulos quocientes. Os teoremas de isomorfismo de Nœther. Somas directas e produtos cartesianos de módulos. Módulos finitamente gerados. Módulos livres. Apresentações de módulos. Módulos de torção. Ideais e módulos cíclicos. 5. Anéis nœtherianos. Condições de cadeia. Anéis e módulos de Nœther. Teorema da base, de Hilbert e Nœther. 6. Va- 15
riedades algébricas. Notas sobre o conceito de superfície em IR n. Variedades algébricas. Topologia de Zariski. Aplicações do Teorema da base de Hilbert e Nœther. Enunciado e aplicações do Teorema dos zeros de Hilbert. Decomposição de uma variedade como união de variedades irredutíveis. Bibliografia fundamental: M. Atiyah & I. MacDonald, Introduction to Commutative Algebra, Add. Wesley 1969; O. Zariski & P. Samuel, Commutative Algebra, vols I & II, GTM, Spring. Verlag 1986; E. Kunz, Introduction to Commutative Algebra and Algebraic Geometry, Birkauser 1985. Precedências aconselhadas: Álgebra Linear e Geometria Analítica I e II, Álgebra I e II. Álgebra Linear e Geometria Analítica I: I - Números complexos. A definição de C. Representação geométrica dos números complexos. Forma trigonométrica. Operações com números complexos. Fórmulas de De Moivre. II - Sistemas de equações lineares. Método de eliminação de Gauss. Álgebra das matrizes. Determinantes. Factorização A=LU. Inversão de matrizes. Transposição de matrizes. Sistemas homogéneos. III - Espaços vectoriais. Subespaços. Independência linear. Base e dimensão. Espaços nulo, das linhas e das colunas de uma matriz. Geometria analítica. Bibliografia fundamental: F. R. Dias Agudo, Introdução à Álgebra Linear e Geometria Analítica, Escolar Editora, Lisboa, 1989. José Vitória e Teresa Pedroso de Lima, Álgebra Linear, Universidade Aberta, Lisboa, 1998. Álgebra Linear e Geometria Analítica II: I - Transformações lineares. Representação matricial. Mudança de base. Operações com transformações lineares. Núcleo e imagem. Isomorfismos. II - Espaços com produto interno. Produtos internos. Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt. Projecção ortogonal. Método dos mínimos quadrados. Regressão linear. Geometria analítica. Determinante como área e volume. III - Valores próprios e vectores próprios de matrizes. Diagonalização de matrizes. O caso das matrizes simétricas reais. Curvas e superfícies do 2 0 grau. Bibliografia fundamental: F. R. Dias Agudo, Introdução à Álgebra Linear e Geometria Analítica, Escolar Editora, Lisboa, 1989. José Vitória e Teresa Pedroso de Lima, Álgebra Linear, Universidade Aberta, Lisboa, 1998. Álgebra Linear Numérica: I - Exemplos de sistemas de equações lineares. 16
II - Alguns conceitos de Álgebra Linear Numérica. III - Classes de Matrizes. IV - Métodos directos para sistemas de equações lineares com matrizes densas. V - Métodos directos para sistemas de equações lineares com estrutura especial. VI - Armazenagem e operações com vectores e matrizes esparsas. VII - Métodos directos para sistemas de equações lineares com matrizes esparsas. VIII - Métodos iterativos para sistemas de equações lineares com matrizes quadradas. IX - Matrizes ortogonais. X - Resolução de sistemas de equações lineares com matrizes rectangulares. Algoritmos e Estruturas de Dados I: I Noções Gerais de Programação Modular. II Verificação Formal da Correcção de Algoritmos: A Axiomática de Hoare. III Algoritmos Recorrentes. IV Algoritmos de Pesquisa e de Ordenação. V Eficiência Computacional e Análise de Complexidade. Bibliografia fundamental: S. Baase and A. Van Gelder, Computer Algorithms: Introduction to Design and Analysis, 3rd Edition, Addison-Wesley, 2000; R. C. Backhouse, Program Construction and Verification, Prentice-Hall, 1986; R. Sedgewick, Algorithms in C, 3rd Edition, Addison-Wesley, 1998; N. Wirth, Algorithms and Data Structures, Prentice-Hall, 1986. Precedências aconselhadas: Métodos de Programação I e II. Algoritmos e Estruturas de Dados II: I Estruturas Dinâmicas de Dados. II Tipos Abstractos de Dados: Pilhas, Filas, Árvores e suas Aplicações. III Representação de Grafos e Redes. IV Endereçamento Calculado. Bibliografia fundamental: S. Baase and A. Van Gelder, Computer Algorithms: Introduction to Design and Analysis, 3rd Edition, Addison-Wesley, 2000; R. Sedgewick, Algorithms in C, M. A. Weiss, Data Structures and Algorithm Analysis in C, 2nd Editon, Addison-Wesley, 1997; N. Wirth, Algorithms and Data Structures, Prentice-Hall, 1986. Precedência aconselhada: Algoritmos e Estruturas de Dados I. Análise Complexa I: I Os imaginários. II Funções analíticas. III Integração complexa. Teorema de Cauchy. IV Singularidades isoladas. Sua classificação. V Teorema dos resíduos. Aplicação ao cálculo de integrais reais. Bibliografia Fundamental: L. Ahlfors, Complex Analysis (2nd ed.), Mc- Graw-Hill Book Co., 1966; J. E. Marsden, Basic Complex Analysis, W. H. 17
Freeman Co, 1973; R. P. Coelho, Lições de Análise Complexa, Ed. Departamento de Matemática, Universidade de Coimbra, 1988. Precedências aconselhadas: Análise Infinitesimal III e IV. Análise de Fourier e Espaços Funcionais: I- Alguns conceitos de Medida e Integração. II- Espaços Funcionais. III- Distribuições. IV- Séries de Fourier. V- Transformadas de Fourier (de funções e distribuições). VI- Espaços de Sobolev. Bibliografia fundamental: M.A.Al. Gwaiz, Theory of Distributions, Marcel Dekker, Inc. 1992; P. Benoist-Gueutal, M. Courbage, Mathématiques pour la Physique, Tome 2, 2 a ed., Eyrolles, 1995; D.G. Figueiredo, Análise de Fourier e Equações Diferenciais, Projecto Euclides, 1977. Precedência aconselhada: Análise Funcional. Análise Funcional: 0 - Preliminares topológicos. I - Transformações lineares. II - Espaços lineares topológicos. III - Transformações lineares em espaços normados. IV - Espaços duais. Transformações duais em espaços normados. V - Espaços com produto interno. VI - Topologias fracas. Bibliografia fundamental: A. Taylor e D.C. Lay, Introduction to Functional Analysis, Wiley, New York, 1980. Precedência aconselhada: Topologia. Análise Infinitesimal I: I - Números reais. II - Sucessões de números reais. III - Topologia da recta real. IV - Funções reais de variável real: limites e continuidade. Bibliografia fundamental: E. L. Lima, Curso de Análise, vol. 1, IMPA, Rio de Janeiro, 1976; J. Campos Ferreira, Introdução à Análise Matemática, Fundação Calouste Gulbenkian, Lisboa, 1991. Análise Infinitesimal II: I - Funções reais de variável real: cálculo diferencial. II - Funções reais de variável real: integral de Riemann. III - Séries numéricas. Sucessões e séries de funções. Bibliografia fundamental: E. L. Lima, Curso de Análise, vol. 1, IMPA, Rio de Janeiro, 1976; J. Campos Ferreira, Introdução à Análise Matemática, Fundação Calouste Gulbenkian, Lisboa, 1991; J. Lewin e M. Lewin, An Introduction to Mathematical Analysis, 2 a edição, McGraw-Hill, New York, 1993. 18
Observação: Supôr-se-á que os alunos frequentaram já as disciplinas de Tópicos Fundamentais de Matemática e Análise Infinitesimal I. Análise Infinitesimal III: I - Algumas noções topológicas em IR n. II - Funções vectoriais de n variáveis reais. Limite e continuidade. III - Diferenciabilidade de funções vectoriais de n variáveis. IV - Teoremas da função inversa e da função implícita. V - Máximos e mínimos. Bibliografia fundamental: E. L. Lima, Curso de Análise, Vol. 2, IMPA, Brasília, 1989; J. E. Marsden, Elementary Classical Analysis, Freedman and Company, New York, 1974. Precedências aconselhadas: Análise Infinitesimal I e II, Álgebra Linear e Geometria Analítica I e II. Análise Infinitesimal IV: I - Integrais múltiplos. II - Integrais de linha e de superfície. Bibliografia fundamental: E. L. Lima, Curso de Análise, Vol. 2, IMPA, Brasília, 1989; J. E. Marsden, Elementary Classical Analysis, Freedman and Company, New York, 1974. Precedências aconselhadas: Análise Infinitesimal I e II, Álgebra Linear e Geometria Analítica I e II. Análise Numérica I: Erros. Raízes de equações não lineares. Equações Polinomiais. Sistemas de equações não lineares. Interpolação polinomial. Integração Numérica. Sistemas de equações lineares. Bibliografia fundamental: R. L. Burden e J. D. Faires, Numerical Analysis, PWS-KENT Publishing Company, 1989; M.A.G. Ruggiero e V.L.R. Lopes, Cálculo Numérico - Aspectos teóricos e computacionais, McGraw-Hill, 1988. Precedências aconselhadas: Álgebra Linear e Geometria Analítica I e II. Análise Numérica II: 0 - Espaços de funções: distâncias, normas e produtos internos; convergência; espaços de funções. I - Aproximação de funções: introdução; aproximação polinomial; aproximação trigonométrica. II - Equações diferenciais ordinárias. Problemas de condição inicial: introdução; existência e unicidade de solução; condicionamento; métodos numéricos para equações diferenciais; convergência; estabilidade zero; métodos de passo único; métodos de passo múltiplo; stiffness e teoria linear de estabilidade. III - Equações diferenciais ordinárias. Problemas de condição fronteira: introdução; alguns 19
métodos clássicos; o método das diferenças finitas. Bibliografia fundamental: R. Burden & J.D. Faires, Numerical Analysis, PWS-Kent, Boston, 1993; S.D. Conte & C. de Boor, Elementary Numerical Analysis, McGraw-Hill, Auckland 1982; E. Hairer & G. Wanner, Solving Ordinary Differential Equations II, Springer Series in Comput. Mathematics, Vol. 14, Springer-Verlag, Heidelberg, 1991; J.D. Lambert, Computational Methods in Ordinary Differential Systems, John Wiley, Chichester, 1991; H. Pina, Métodos Numéricos, McGraw-Hill, Lisboa, 1994. Precedências aconselhadas: Análise Infinitesimal I e II; Álgebra Linear e Geometria Analítica I e II; Análise Numérica I. Aplicações da Matemática: 1. Análise Matemática e suas aplicações a Ciências Sociais (Gestão, Economia, Ciências Políticas, etc). 2. Matemática Discreta e suas aplicações (incluindo Combinatórica, Grupos e Teoria dos Números) a diversas Ciências e Tecnologias. Bases de Dados: 1. Sensibilização. 2. Conceitos fundamentais sobre um Sistema de Gestão de Bases de Dados. 3. Níveis de modelização dum Sistema de Informação. 4. Concepção duma base de dados. 5. Os modelos de dados. 6. O modelo relacional. 7. Esquemas relacionais equivalentes. 8. As etapas do processo de concepção duma base de dados. 9. Panorâmica sobre os principais SGBD comercializados. 10. Bases de dados Multidimensionais. 11. As Data warehouse e as ferramentas Data Mining. 12. Estudo e prática com o SGBD FoxPro. Bibliografia fundamental: Jeffrey D. Ullman, Principles of database systems, Computer Science Press, Second Edition; W. Inmon e R. Hacktathorn, Using the Data Warehouse, John Wiley & Sons, 1994; An Introduction to Multidimensional Database Technology - Kenan Systems Corporation, 1993-95; Manual de FoxPro - Microsoft. Compiladores: Processamento de Linguagens Formais: conceitos básicos; tarefas de um Processador. Análise Léxica: Expressões Regulares e Autómatos Determinísticos Finitos. Análise Sintática: abordagem Recursiva-Descendente (parsers RD e LL); análise sintática por Redução-Transição (parsers LR e LALR). Análise Semântica: Tradução Dirigida pela Sintaxe. Gramáticas de Atributos. 20
Bibliografia fundamental: Aho, Sethi e Ullman, Compiler Principles, Techniques and Tools, Addison-Wesley, 1986; Pittman e Peters, The Art of Compiler Design: theory and practice, Prentice-Hall, 1992. Precedência aconselhada: Linguagens Formais. Complementos de Análise Funcional: I - Espaços vectoriais topológicos. II - Espaços de funções teste. III - Distribuições. IV - Transformadas de Fourier e distribuições temperadas. V - Espaços de Sobolev. Bibliografia fundamental: J. Barros-Neto, An Introduction to the Theory of Distributions, Dekker, New York, 1973; V. K. Khoan, Distributions, Analyse de Fourier, Operateurs aux derivées partielles (2 vol.s), Vuibert, Paris, 1972; M. A. Al-Gwaiz, Theory of Distributions, Dekker, New York, 1992. Precedências aconselhadas: Topologia e Análise Funcional. Computação Gráfica I: I - Introdução à computação gráfica. II - Algoritmos de conversão por varrimento. III - Sistemas gráficos interactivos. IV - Transformações geométrica e projecções. Bibliografia fundamental: J. Foley et al., Introduction to Computer Graphics, 2nd. Ed., Addison-Wesley, 1994. D. Hearn and M.P. Baker Computer Graphics 2nd Edition, Prentice-Hall, 1994; D. Rogers and T. Adams Mathematical Elements for Computer Graphics 2nd. Ed. MacGraw-Hill 1990. Precedências aconselhadas: Métodos de Programação I e II. Computação no Ensino da Matemática: O impacto e usos do computador no ensino e no curriculum de Matemática. Exploração de ferramentas para a aprendizagem da Matemática. Avaliação e documentação de software educativo. Programação e o ensino da Matemática. A linguagem LOGO. As calculadoras gráficas no ensino da Matemática. A visão da renovação do currículo nos Ensino Básico e Secundário quanto à utilização de recursos tecnológicos. A Internet e o ensino da Matemática. Bibliografia fundamental: Diversos artigos de divulgação; Papert e Seymour, Logo: Computadores e Educação, Ed. Brasiliense, São Paulo, 1988; NCTM - Computers in Mathematics education, NCTM Yearbook 1984; Novos Programas de Matemática e Normas para o curriculo e a avaliação em Matemática, NCTM ed. APM/IIE, 1991. Elementos de Topologia: I - Funções contínuas versus espaços métricos e 21