Universidade Presbiteriana Mackenzie. Simulação de Sistemas de Comunicação Digital

Universidade Presbiteriana Mackenzie Pós-graduação em Engenharia Elétrica Simulação de Sistemas de Comunicação Digital Transmissão e Recepção em Banda Passante Notas de Aula Prof. Divanilson Rodrigo Campelo Prof. Marcio Eisencraft Segundo semestre de 2007

1 Introdução Por que modular? A maioria dos canais de comunicação são canais em banda passante (por exemplo, canais de comunicação sem fio, de satélite e canais de comunicação óptica), que não transmitem em baixas freqüências. A única maneira de se transmitir sinais através destes canais é transladando a freqüência do sinal de informação para a faixa de freqüência do canal. Modulação digital É o processo pelo qual os símbolos digitais (por exemplo, os símbolos binários 1 e 0) são transformados em formas de onda compatíveis com as características do canal. No caso da modulação em banda passante, os pulsos modulam uma portadora, geralmente considerada senoidal. Dada uma fonte binária que emite os símbolos 1 e 0, a modulação consiste em chavear a amplitude, a fase ou a freqüência (ou uma combinação entre elas) de uma portadora senoidal de acordo com os símbolos 1 e 0. A figura 1 mostra três possibilidades de modulação digital: modulação de amplitude (ASK, Amplitude-shift keying), modulação de fase (PSK, Phase-shift keying) e modulação de freqüência (FSK, Frequency-shift keying). Probabilidade de erro É o parâmetro de desempenho mais utilizado para sistemas de transmissão digital. O objetivo fundamental de um sistema de transmissão digital é o projeto de um receptor ótimo para minimizar a probabilidade de erro na presença de ruído. Em comunicações digitais elétricas, considera-se que o ruído dominante é do tipo aditivo gaussiano branco (AWGN, additive white Gaussian noise). 1

Figura 1: Três exemplos de modulação digital: (a) Amplitude-shift keying (ASK), Phaseshift keying (PSK) e Frequency-shift keying (FSK). Fonte: Haykin, Communication Systems, 2001. Espectro de potência O espectro de uma onda modulada digitalmente (ASK, PSK ou FSK) é centrado na freqüência da portadora, f c. É razoável considerar que a freqüência da portadora f c é muito maior que a largura de banda do sinal de informação, que age como sinal modulante. Seja S B (f) a densidade espectral de potência (PSD, power spectral density) do sinal em banda base. A PSD do sinal em banda passante s(t) é uma versão de S B (f) deslocada em freqüência, exceto por um fator de escala, como mostrado por: S S (t) = 1 4 [S B(f f c ) + S B (f + f c )]. (1) Portanto, é suficiente calcular S B (f). O cálculo de S B (f) é mais simples do que o cálculo de S S (f). Modelo de Transmissão em Banda Passante A figura 2 mostra um diagrama de blocos de um modelo de transmissão em banda passante. 2

Figura 2: Diagrama de blocos de um sistema de transmissão digital. Fonte: Haykin, Communication Systems, 2001. Considera-se que existe uma fonte de mensagens que emite um símbolo a cada T segundos, com os símbolos pertencendo a um alfabeto de M símbolos, que são denotados por m 1, m 2,..., m M. As probabilidades a priori P (m 1 ), P (m 2 ),..., P (m M ) especificam a saída da fonte de mensagens. Quando os M símbolos do alfabeto são igualmente prováveis, temos: p i = P (m i ) = 1 M i. (2) A saída M-ária da fonte é mapeada em um codificador de sinal de transmissão, que produz um vetor s i de N elementos reais, um para cada um dos M símbolos do alfabeto da fonte. A dimensão de N é igual ou menor que a de M. Com o vetor s i como entrada, o modulador constrói um sinal distinto s i (t) de duração T segundos para representar cada símbolo m i gerado pela fonte de mensagens. O canal é linear e possui uma largura de banda suficiente para acomodar a transmissão do sinal modulado s i (t) praticamente sem distorção. O ruído do canal w(t) é uma função amostral do processo de ruído aditivo gaussiano branco de média zero e PSD N 0 /2. 3

O receptor, que consiste em um detector seguido de um descodificador, desfaz as operações desempenhadas no transmissor. O receptor minimiza o efeito do ruído do canal na estimativa ˆm calculada para o símbolo transmitido m i. Representação Geométrica de Sinais É utilizada para representar qualquer conjunto de M sinais {s i(t)} como uma combinação linear de N funções de base ortonormais, em que N M. Dado um conjunto de sinais s 1 (t), s 2 (t),..., s M (t), cada um de duração T segundos, podemos escrever: s i (t) = N s ij φ j (t), (3) j=1 em que 0 t T e i = 1, 2,..., M. Os coeficientes da expansão são definidos por: s ij = T 0 s i (t)φ j (t)dt, (4) em que i = 1, 2,..., M e j = 1, 2,..., N. As funções de base φ 1 (t), φ 2 (t),..., φ N (t) são ortonormais, isto é: T 0 φ i (t)φ j (t) = δ ij, (5) em que δ ij = 1 se i = j e δ ij = 0 se i j. O conjunto de coeficientes {s ij } N j=1 pode ser visto como um vetor de N dimensões, denotado por s i = [s i1 s i2... s in ] T. O vetor s i é chamado de vetor de sinal. Se estendermos a noção de espaços euclidianos de duas e três dimensões para um espaço N-dimensional, podemos visualizar o conjunto de vetores de sinais 4

Figura 3: Representação geométrica de sinais para o caso em que N = 2 e M = 3. Fonte: Haykin, Communication Systems, 2001. {s i i = 1, 2,..., M} como um conjunto de M pontos num espaço euclidiano de N dimensões, com N eixos mutuamente perpendiculares denotados por φ 1, φ 2,..., φ N. Este espaço euclidiano de N dimensões é chamado de espaço de sinais. A figura 3 mostra um exemplo de um espaço de sinais bidimensional com três sinais, isto é, N = 2 e M = 3. A norma de um vetor de sinal s i é denotada pelo símbolo s i. O quadrado da norma de qualquer vetor de sinal s i é definido pelo produto interno ou escalar de s i com ele próprio, como indicado por: s i 2 = s T i s i N = s 2 ij, i = 1, 2,..., M (6) j=1 em que s ij é o j-ésimo elemento de s i. 5

A energia de um sinal s i (t) de duração T segundos é E i = T 0 s 2 i (t)dt. (7) Substituindo a equação (3) na equação (7), temos: E i = T 0 [ N ] [ N ] s ij φ j (t) s ik φ k (t). (8) j=1 k=1 Trocando a ordem do somatório e da integração e rearranjando os termos, temos: E i = N N T s ij s ik φ j (t)φ k (t)dt. (9) j=1 k=1 0 Como os φ j (t) formam um conjunto ortonormal, a equação (9) se reduz a: N E i = s 2 ij (10) j=1 = s i 2. (11) Em outras palavras, a energia de um sinal s i (t) é igual ao quadrado da norma do vetor de sinal s i (t) que o representa. Outra relação útil que envolve a representação de vetores de sinais s i (t) e s k (t) é descrita por: s i s k 2 = = N (s ij s kj ) 2 j=1 T 0 (s i (t) s k (t)) 2 dt, (12) em que s i s k é a distância euclidiana, d ik, entre os pontos representados pelos vetores s i e s k. 6

O cosseno do ângulo θ ik subentendido entre dois vetores de sinal s i e s k é dado por: cos θ ik = st i s k s i s k. (13) 7

2 Técnicas de Modulação Digital ASK Binário (BASK) Em um sistema ASK binário, o par de sinais s 1 (t) e s 2 (t) usados para representar os símbolos binários 1 e 0, respectivamente, é definido por: s 1 (t) = 2Eb T b cos(2πf c t) (14) s 2 (t) = 0 (15) em que 0 t < T b, e E b é a energia do sinal transmitido por bit. A freqüência f c depende do meio de transmissão (por exemplo, em comunicações ópticas, a freqüência central da portadora é 193,1 THz ou 193, 1 10 12 Hz.) Para sinais equiprováveis, a energia média do sinal transmitido para o BASK é E av = 1 2 (E 1 + E 2 ) = E b /2 (16) em que E i é dado pela equação (7). Para o par de equações (14) e (15), existe apenas uma função de base de energia unitária (N = 1, unidimensional), dada por: φ 1 (t) = 2 T b cos(2πf c t), 0 t < T b. (17) Portanto, os sinais s 1 (t) e s 2 (t) podem ser expressos em termos de φ 1 (t) como: s 1 (t) = E b φ 1 (t), 0 t < T b (18) s 2 (t) = 0, 0 t < T b. (19) Exercícios 1) Resolver os exercícios 7.1 e 7.2 da página 338 do livro Contemporary Communications Systems, segunda edição. 8

PSK Binário (BPSK) Coerente No sistema BPSK, os sinais utilizados para representar os símbolos 1 e 0, respectivamente, são definidos por: s 1 (t) = s 2 (t) = 2Eb cos(2πf c t) (20) T b 2Eb 2Eb cos(2πf c t + π) = cos(2πf c t) (21) T b T b em que 0 t < T b, e E b é a energia do sinal transmitido por bit. Dois sinais que possuem uma diferença de fase relativa de 180 graus são chamados de sinais antipodais. Assim como no caso do BASK, pode-se representar os sinais das equações (20) e (21) por meio da função de base de energia unitária dada pela equação (17). Portanto, os sinais s 1 (t) e s 2 (t) podem ser reescritos como sendo: s 1 (t) = E b φ 1 (t), 0 t < T b (22) s 2 (t) = E b φ 1 (t), 0 t < T b. (23) O sistema BPSK pode ser representado por uma constelação de sinais que consiste em dois pontos (M = 2). As coordenadas destes pontos são: s 11 = Tb 0 s 1 (t)φ 1 (t)dt = + E b (24) e s 21 = Tb 0 s 2 (t)φ 1 (t)dt = E b. (25) O ponto correspondente ao sinal s 1 (t) está localizado em s 11 = + E b, e o ponto 9

Figura 4: Diagrama de espaço de sinais para o BPSK. Fonte: Haykin, Communication Systems, 2001. correspondente ao sinal s 2 (t) está localizado em s 21 = E b. A figura 4 mostra o diagrama de espaço de estados para o BPSK. A figura mostra também dois exemplos de formas de onda para os sinais antipodais s 1 (t) e s 2 (t). Probabilidade de Erro para o PSK Binário Para se estabelecer uma regra de decisão em favor do símbolo 1 ou do símbolo 0, o espaço de sinais da figura 4 deve ser particionado em duas regiões: o conjunto de pontos mais próximos de E b o conjunto de pontos mais próximos de E b Na figura 4, as duas regiões são indicadas por Z 1 e Z 2. A regra de decisão consiste em decidir que o sinal s 1 (t) foi transmitido se a amostra do sinal recebido cair na região Z 1, e decidir que o sinal s 2 (t) foi transmitido se a amostra do sinal recebido cair na região Z 2. Dois tipos de erro podem ocorrer: o sinal s 2 (t) é transmitido, e a magnitude do ruído é tal que leva a amostra do sinal recebido para a região Z 1 ; assim, o receptor decidirá que o sinal s 1 (t) foi transmitido; 10

o sinal s 1 (t) é transmitido, e a magnitude do ruído é tal que leva a amostra do sinal recebido para a região Z 2 ; assim, o receptor decidirá que o sinal s 2 (t) foi transmitido; Para o cálculo da probabilidade de erro, a região associada a s 1 (t) é Z 1 : 0 < x 1 <, em que o elemento de amostra x 1 está relacionado ao sinal recebido por x 1 = Tb 0 x(t)φ 1 (t)dt (26) A função densidade de probabilidade condicional da variável aleatória X, dado que o símbolo 0 foi transmitido (isto é, o sinal s 2 (t)) é definida por: f X1 (x 1 0) = = ] 1 exp [ 1N0 (x 1 s 21 ) 2 πn0 1 exp [ 1N0 (x 1 + ] E b ) 2 πn0 (27) A probabilidade de erro condicional de o receptor decidir em favor do símbolo 1, dado que o símbolo 0 foi transmitido, é: p 10 = = f X1 (x 1 0)dx 1 0 1 exp [ 1N0 (x 1 + ] E b ) 2 dx 1 (28) πn0 0 Fazendo a substituição z = 1 N0 (x 1 + E b ) (29) e mudando a variável de integração de x 1 para z, podemos escrever a equação 28 11

na forma compacta p 10 = 1 π exp( z 2 )dz Eb /N 0 ( ) = 1 2 erfc Eb, (30) N 0 em que erfc é a função erro. Como o espaço de sinais é simétrico em torno da origem, o erro p 01 tem o mesmo valor da equação 30. Fazendo a média das probabilidades p 10 e p 01, e lembrando que os símbolos 1 e 0 são considerados equiprováveis, a probabilidade de erro de bit para o PSK binário é: ( ) P e = 1 2 erfc Eb. (31) N 0 Um acréscimo na energia por bit do sinal transmitido, E b, para uma densidade espectral de potência específica, N 0, faria com que os símbolos 1 e 0 se afastassem. Intuitivamente, a chance de erro diminuiria, o que está de acordo com a equação 31 Geração e Detecção de Sinais PSK Binários Para gerar um sinal BPSK, a seqüência binária de entrada deve ser representada na forma polar, em que os símbolos 1 e 0 são representados pelos níveis de amplitude Eb e E b. A codificação na transmissão do sinal é realizada por um codificador NRZ (nonreturn-to-zero) polar. A forma binária resultante e uma portadora senoidal φ 1 (t), com freqüência f c = n c /T b para algum inteiro n c, são aplicadas a um modulador-produto, como mostrado na figura 5. O sinal BPSK é obtido na saída do modulador. Para detectar a seqüência binária original de 1s e 0s, aplica-se o sinal PSK ruidoso (à saída do canal) a um correlator. A saída do correlator, x 1, é comparada com o limiar de zero volt. 12

Figura 5: Diagrama de blocos para (a) transmissor BPSK e (b) receptor BPSK binário. Fonte: Haykin, Communication Systems, 2001. Se x 1 > 0, o receptor decide em favor do símbolo 1. Se x 2 < 0, o receptor decide em favor do símbolo 0. Se a amostra for exatamente em zero volt, o receptor decide aleatoriamente entre 1 e 0. Espectro de Potência para Sinais BPSK A PSD de um sinal PSK em banda base é dada pela expressão: S B (f) = 2E b sin 2 (πt b f) (πt b f) 2 (32) = 2E b sinc 2 (T b f) (33) O espectro de potência cai com o inverso do quadrado da freqüência, como mostrado na figura 6. A figura 6 também ilustra a PSD de um sinal FSK, que será discutido mais adiante. QPSK - PSK Quaternário Assim como no BPSK, na modulação QPSK a informação transportada pelo sinal transmitido está contida na fase. Em particular, a fase da portadora assume um de quatro valores igualmente espaçados, tais como π/4, 3π/4, 5π/4, e 7π/4. 13

Figura 6: PSD para BPSK e FSK. Fonte: Haykin, Communication Systems, 2001. Para este conjunto de valores, podemos definir o sinal transmitido como: s i (t) = 2E [2πf T cos c t + (2i 1) π ], 0 t T 4 0, alhures, (34) em que i = 1, 2, 3, 4; E é a energia do sinal transmitido por símbolo, e T é a duração do símbolo. A freqüência da portadora f c é igual a n c /T para algum inteiro n c. Cada possível valor da fase corresponde a um único símbolo (ou dibit, segundo a nomenclatura utilizada pelo Haykin). Espaço de Sinais para o QPSK Expandindo a equação 34, temos: s i (t) = 2E [(2i T cos 1) π ] 2E cos(2πf c t) [(2i 4 T sin 1) π ] sin(2πf c t) (35) 4 em que i = 1, 2, 3, 4. Duas observações podem ser feitas: 14

Figura 7: Espaço de sinais para o QPSK. Fonte: Haykin, Communication Systems, 2001. Há duas funções de base ortonormais, φ 1 (t) e φ 2 (t), contidas na expansão de s i (t). Especificamente, φ 1 (t) e φ 2 (t) são definidas por um par de portadoras em quadratura : φ 1 (t) = φ 2 (t) = 2 T cos(2πf ct) 0 t T (36) 2 T sin(2πf ct) 0 t T (37) Há quatro pontos no espaço de sinais, associados aos vetores de sinais definidos por: s i = ( E cos (2i 1) π ) 4 ( E sin (2i 1) π ) 4, i = 1, 2, 3, 4 (38) Um sinal QPSK possui uma constelação de sinais de duas dimensões (N = 2) e quatro pontos no espaço de sinais (M = 4), cujas fases crescem no sentido antihorário, como ilustrado na figura 7. Exemplo A figura 8 ilustra as seqüências e formas de onda envolvidas na geração de um sinal QPSK. A seqüência binária de entrada 01101000 é mostrada na figura 8(a). Esta seqüência é 15

Figura 8: (a) Seqüência binária de entrada. (b) Bits nas posições ímpares da seqüência de entrada e forma de onda PSK associada. (c) Bits nas posições pares da seqüência de entrada e forma de onda PSK associada. (d) Forma de onda QPSK definida por s(t) = s i1 φ 1 (t) + s i2 φ 2 (t). Fonte: Haykin, Communication Systems, 2001. dividida em duas outras seqüências, que consistem em bits nas posições ímpares e pares da seqüência de entrada. As duas seqüências estão mostradas nas linhas superiores das figuras 8(b) e 8(c). As formas de onda que representam as duas componentes do sinal QPSK, s i1 φ 1 (t) e s i2 φ 2 (t), são também mostradas nas figuras 8(b) e 8(c), respectivamente. Estas duas formas de onda podem ser vistas individualmente como exemplos de um sinal BPSK. Ao adicioná-las, temos uma forma de onda QPSK, mostrada na figura 8(d). As regiões Z 1, Z 2, Z 3 e Z 4 marcadas na figura 7 correspondem às regiões de decisão para cada um dos quatro símbolos transmitidos. Probabilidade de Erro para o QPSK Em um sistema QPSK coerente, o sinal recebido x(t) é definido por: x(t) = s i (t) + w(t), (39) em que 0 t T, i = 1, 2, 3, 4, e w(t) é a função amostral do processo de ruído gaussiano branco de média zero e PSD N 0 /2. 16

A observação do vetor x possui dois elementos x 1 e x 2, definidos por: T x 1 = x(t)φ 1 (t)dt (40) 0 = [ E cos (2i 1) π ] + w 1 (41) 4 E = ± 2 + w 1 (42) e T x 2 = x(t)φ 2 (t)dt (43) 0 = [ E sin (2i 1) π ] + w 2 (44) 4 E = 2 + w 2 (45) Portanto, os elementos observáveis x 1 e x 2 são valores amostrais de variáveis aleatórias gaussianas independentes com médias iguais a ± E/2 e E/2, respectivamente, e com variância comum. A regra de decisão consiste em decidir que s 1 (t) foi transmitido se a amostra recebida associada com o vetor de observação x cai na região Z 1, decidir que s 2 (t) foi transmitido se a amostra recebida cai na região Z 2, e assim sucessivamente. Para calcular a probabilidade de erro de símbolo, devemos notar por meio da equação 35 que um sistema QPSK coerente é equivalente a dois sistemas BPSK coerentes em paralelo utilizando duas portadoras que estão em fase e em quadratura. A saída em fase do canal, x 1, e a saída em quadratura do canal, x 2, (isto é, os dois elementos do vetor de observação x) podem ser vistas como as saídas individuais de dois sistemas BPSK. De acordo com as equações 41 e 44, estes dois sistemas BPSK são caracterizados por: 17

a energia do sinal por bit é E/2; a PSD do ruído é N 0 /2. Usando a equação 31 para a probabilidade de erro de bit média para um sistema BPSK coerente, podemos afirmar que a probabilidade de erro de bit em cada canal do sistema QPSK coerente é P = 1 2 erfc E/2 (46) N 0 ( ) = 1 E 2 erfc 2N 0 (47) Outro dado importante a ser observado é que os erros de bit nos canais em fase e em quadratura do QPSK coerente são estatisticamente independentes. O canal em fase realiza uma decisão em um dos dois bits que constituem um símbolo do sinal QPSK, e o canal em quadratura realiza a decisão no outro bit. Assim sendo, a probabilidade de uma decisão correta que resulta da ação combinada de dois canais atuando juntos é P c = (1 P ) 2 (48) [ ( )] = 1 1 2 E 2 erfc (49) 2N 0 ( ) ( ) E = 1 erfc + 1 E 2N 0 4 erfc2 (50) 2N 0 A probabilidade de erro de símbolo média para o QPSK coerente é, portanto P e = 1 P c (51) ( ) ( ) E = erfc 1 E 2N 0 4 erfc2 (52) 2N 0 Na região em que (E/2N 0 ) 1, pode-se ignorar o termo quadrático do lado direito 18

da equação 52, de forma que a probabilidade de erro de símbolo média para o QPSK coerente pode ser aproximada por P e erfc ( E 2N 0 ). (53) Como há dois bits por símbolo em um sistema QPSK, a energia por símbolo do sinal transmitido é duas vezes a energia por bit, isto é: E = 2E b. (54) Portanto, podemos expressar a probabilidade de erro de símbolo média em termos da razão E b /N 0 : P e erfc ( Eb N 0 ). (55) Da equação 47, podemos afirmar que a razão de erro de bit para o QPSK é ( ) BER = 1 2 erfc Eb N 0 (56) Podemos então afirmar que um sistema QPSK coerente possui a mesma probabilidade de erro de bit de um sistema BPSK para a mesma taxa de bit e mesma E b /N 0, mas utiliza apenas metade da largura de banda do canal. Dito de outra maneira, para a mesma E b /N 0 e, portanto, a mesma probabilidade de erro de bit, um sistema QPSK coerente transmite informação com uma taxa de bit duas vezes superior ao sistema BPSK para mesma utilização do canal. Portanto, o QPSK utiliza a largura de banda do canal mais eficientemente que o BPSK. Geração e Detecção de Sinais QPSK coerentes A figura 9 mostra um diagrama de blocos de um transmissor QPSK típico. A seqüência binária é inicialmente transformada na forma polar por um codificador NRZ. Assim, os símbolos 1 e 0 são representados por E b e E b, respectivamente. 19

Figura 9: Diagrama de blocos de um a transmissor QPSK e um (b) receptor QPSK. Fonte: Haykin, Communication Systems, 2001. 20

A onda binária é então dividida por meio de um desmultiplexador em duas ondas binárias que consistem em bits de entrada de posições ímpares e pares. Estas duas ondas são denominadas por a 1 (t) e a 2 (t) As duas ondas binárias são utilizadas para modular um par de portadoras em quadratura ou funções de base ortonormais: φ 1 (t) = 2/T cos(2πf c t) e φ 2 (t) = 2/T sin(2πfc t). O resultado é um par de sinais BPSK, que podem ser detectados independentemente devido à ortogonalidade de φ 1 (t) e φ 2 (t) Finalmente, as duas ondas BPSK são adicionadas para produzir o sinal QPSK desejado. O receptor consiste em um par de correlatores com uma entrada comum e alimentados com os sinais de referência φ 1 (t) e φ 2 (t), conforme mostrado na figura 9(b). As saídas do correlator x 1 e x 2, produzidas em resposta a um sinal recebido x(t), são comparadas cada uma com um limiar zero. Se x 1 > 0, a decisão é realizada em favor do símbolo 1 para a saída em fase do canal, mas se x 1 < 0, a decisão acontece em favor so símbolo 0. Similarmente, se x 2 > 0, a decisão acontece em favor do símbolo 1 para a saída em quadratura do canal, mas se x 2 < 0, a decisão acontece em favor do símbolo 0. Finalmente, estas duas seqüências binárias nas saídas em fase e em quadratura do canal são combinadas em um multiplexador para reproduzir a seqüência binária original na entrada do transmissor com a mínima probabilidade de erro de símbolo em um canal AWGN. Espectro de Potência do QPSK A PSD de um sinal QPSK em banda base é dada por S B (f) = 2Esinc 2 (T f) (57) = 4E b sinc 2 (2T b f) (58) 21

Figura 10: PSD do QPSK e do MSK. Fonte: Haykin, Communication Systems, 2001. A figura 10 mostra a S B (f) normalizada com respeito a 4E b, versus a freqüência normalizada ft b. A figura também indica a PSD de uma forma do FSK chamada de minimum shift keying, que será discutida mais adiante. Exercícios 2) Resolver o problema 7.7 da página 339 do livro Contemporary Communication Systems, segunda edição. 3) Suponha que a constelação de sinais é circularmente simétrica em torno da origem. A probabilidade de erro condicional para cada símbolo m i é a mesma para todo i, e reduz-se a P e 1 2 M k=1, k i ( ) dik erfc 2 N 0 i (59) Considere a constelação de sinais QPSK mostrada na figura 7. Utilize a expressão 59 para obter a expressão aproximada dada pela equação 55. 22

Figura 11: Transições de fase possíveis entre os pontos no espaço de sinais no (a) QPSK e (b) QPSK. Fonte: Haykin, Communication Systems, 2001. Offset QPSK O espaço de sinais da figura 11(a) mostra todas as transições de fase possíveis que podem surgir na geração de um sinal QPSK. Observando a figura 8, algumas observações podem ser feitas: A fase da portadora muda de ±180 graus sempre que ambas as componentes em fase e em quadratura do sinal QPSK mudam de sinal. Um exemplo dessa mudança na figura 8 acontece na transição do símbolo 01 para o símbolo 10. A fase da portadora muda de ±90 graus sempre que ou a componente em fase ou a componente em quadratura muda de sinal. Um exemplo desta situação acontece na mudança do símbolo 10 para o símbolo 00. A fase da portadora não muda quando nem a componente em fase nem a componente em quadratura muda de sinal. Esta situação ocorre na figura 8 quando dois símbolos 10 são transmitidos consecutivamente. Quando o sinal QPSK é filtrado na transmissão, mudanças de 180 e 90 graus na fase da portadora podem resultar em mudanças na amplitude da portadora (isto é, no envelope do sinal QPSK), o que pode causar erros na transmissão. 23

Flutuações de amplitude em sinais QPSK podem ser reduzidas com a utilização do offset QPSK. Nesta variante do QPSK, a seqüência de bits responsável por gerar a componente em quadratura é atrasada de metade do intervalo de símbolo em relação à seqüência de bits que gera a componente em fase. Especificamente, as duas funções de base do offset QPSK são definidas por: φ 1 (t) = φ 2 (t) = 2 T cos(2πf ct) 0 t T (60) 2 T sin(2πf ct) T/2 t 3T/2. (61) Diferentemente do QPSK, as transições de fase que podem ocorrer no offset QPSK estão confinadas a ±90 graus, como indicado na figura 11(b). Apesar de as transições de fase de ±90 graus no offset QPSK serem duas vezes mais freqüentes do que as que ocorrem no QPSK, elas possuem metade da intensidade daquelas no QPSK. Assim sendo, as flutuações de amplitude que ocorrem no offset QPSK devido à filtragem possuem uma amplitude menor que no caso do QPSK. Apesar do atraso de T/2 aplicado na função de base φ 2 (t) na equação 61 (quando comparada à função de base da equação 37), o offset QPSK possui exatamente a mesma probabilidade de erro de bit do QPSK. A razão para equivalência é que a independência estatística entre as componentes em fase e em quadratura se aplica a ambos QPSK e offset QPSK. Assim sendo, a probabilidade de erro no canal em fase ou no canal em quadratura é também igual a (1/2)erfc( E/2N 0 ). Portanto, a equação 53 também se aplica ao offset QPSK. 24

Figura 12: Duas constelações de sinais freqüentemente utilizadas para o QPSK; as setas indicam os caminhos ao longo dos quais o modulador QPSK pode mudar o seu estado. Fonte: Haykin, Communication Systems, 2001. π/4-shifted QPSK Em geral, um sinal QPSK possui uma das duas constelações mostradas na figura 12, que estão deslocadas de π/4 radianos uma em relação à outra. Em uma outra variante do QPSK chamada de π/4-shifted QPSK, a fase da portadora utilizada para a transmissão de símbolos sucessivos é alternativamente tomada de uma das duas constelações mostradas na figura 12. Portanto, um sinal π/4-shifted QPSK pode estar em qualquer um dos oito possíveis estados de fase mostrados na figura 13. As quatro linhas tracejadas que saem de cada ponto possível na figura 13 definem as transições de fase possíveis no π/4- shifted QPSK. Algumas características interessantes do π/4-shifted QPSK: As transições de fase de um símbolo para o próximo estão restritas a ±π/4 e ±3π/4 radianos, em contraste aos ±π/2 e ±π no QPSK. Conseqüentemente, as variações de envelope dos sinais π/4-shifted QPSK devido à filtragem são significativamente reduzidas se comparadas com as do QPSK. 25

Símbolo mudança de fase, θ (radianos) 00 π/4 01 3π/4 11 3π/4 10 π/4 Tabela 1: Correspondência entre o símbolo e a mudança de fase para o π/4-shifted DQPSK. Diferentemente dos sinais offset-qpsk, os sinais π/4-shifted QPSK podem ser detectados de forma não-coerente, reduzindo sensivelmente a complexidade do receptor. Como os sinais QPSK, os sinais π/4-shifted QPSK podem ser codificados diferencialmente (π/4-shifted DQPSK). A geração de símbolos π/4-shifted DQPSK, representados pelo par de símbolos (I, Q), é descrita pelas seguintes relações: I k = cos(θ k 1 + θ k ) = cos θ k (62) Q k = sin(θ k 1 + θ k ) = sin θ k, (63) em que θ k 1 é o ângulo de fase absoluto do símbolo k 1, e θ k é a mudança de fase codificada diferencialmente, de acordo com a tabela 1. Exemplo Continuando com a seqüência binária do exemplo anterior, 01101000, suponha que o ângulo de fase θ 0 = π/4 na constelação da figura 12 é considerado como o estado inicial de fase do modulador π/4-shifted DQPSK. Arranjando a seqüência binária de entrada como uma seqüência de símbolos e seguindo a convenção da tabela 1, obtêm-se os resultados da tabela 2. Detecção de Sinais π/4-shifted DQPSK Dada a saída x(t) corrompida pelo ruído, o receptor primeiramente calcula as 26

Figura 13: Oito possíveis estados de fase do modulador π/4-shifted QPSK. Fonte: Haykin, Communication Systems, 2001. passo k θ k 1 símbolo de entrada mudança de fase θ k fase transmitida θ k 1 π/4 00 π/4 π/2 2 π/2 10 π/4 π/4 3 π/4 10 π/4 0 4 0 01 3π/4 3π/4. Tabela 2: Resultados do exemplo anterior 27

Figura 14: Diagrama de blocos para o detector π/4-shifted DQPSK. Fonte: Haykin, Communication Systems, 2001. projeções de x(t) nas funções de base φ 1 (t) e φ 2 (t) As saídas resultantes, denominadas por I e Q, respectivamente, são aplicadas a um detector diferencial que consiste nas operações seguintes, como indicadas na figura 14: Calcula-se o arco-tangente para se extrair o ângulo de fase θ da saída do canal (sinal recebido); Calcula-se a diferença de fase para se determinar a mudança na fase θ que ocorre num intervalo de símbolo; Faz-se uma operação lógica módulo 2π para a correção de erros devido a eventuais acúmulos de ângulos de fase ao longo do eixo real. O último ponto pode ser mais bem explicado da seguinte maneira. Seja θ k a diferença de fase calculada entre θ k e θ k 1, representando os ângulos de saída do canal para os símbolos k e k 1, respectivamente. A correção módulo 2π opera da seguinte maneira: IF θk < 180 graus THEN θk = θk + 360 graus IF θk > 180 graus THEN θk = θk 360 graus Para ilustrar a necessidade desta correção, considere a situação mostrada na figura 15, em que θ k 1 = 350 graus e θ k = 60 graus, ambos os ângulos de fase medidos no sentido anti-horário. 28

Figura 15: Ilustração da possibilidade de acúmulo de ângulos de fase ao longo do eixo positivo. Fonte: Haykin, Communication Systems, 2001. Podemos ver pela figura 15 que a mudança θ k é de 70 graus. Entretanto, sem a correção, a mudança de fase θ k é calculada como 60 graus 350 graus = 290 graus. Aplicando a correção módulo 2π, o resultado correto é θ k = 290 graus + 360 graus = 70 graus (64) PSK M-ário O QPSK é um caso especial do PSK M-ário, em que a fase da portadora assume um de M valores possíveis, θ i = 2(i 1)π/M, em que i = 1, 2,..., M. Durante cada intervalo de símbolo, T, um dos M sinais possíveis s i (t) = ( 2E T cos 2πf c t + 2π ) (i 1) M (65) é enviado, em que E é a energia por símbolo do sinal. Cada sinal pode ser expandido por meio das duas funções de base φ 1 (t) e φ 2 (t) definidas pelas equações 36 e 37. 29

Figura 16: (a) Espaço de sinais para o 8-PSK. As regiões de decisão são mostradas pelas linhas tracejadas. (b) Espaço de sinais ilustrando a aplicação do limiar da união para o 8-PSK Fonte: Haykin, Communication Systems, 2001. Portanto, a constelação de sinais para o M-PSK é bidimensional. Os M pontos são igualmente espaçados em um círculo de raio E e centro na origem, como mostrado na figura 16, que ilustra o 8-PSK. Pode-se observar na figura 16 que o diagrama de espaço de sinais é circularmente simétrico. Pode-se, portanto, utilizar a equação 59 para se chegar a uma fórmula aproximada para a probabilidade de erro de símbolo média para o PSK M-ário. 30

Suponha que o sinal transmitido corresponda ao ponto m 1, cujas coordenadas ao longo dos eixos φ 1 e φ 2 são + E e 0, respectivamente. Suponha que a razão E/N 0 seja grande o suficiente para que se considerem apenas os dois pontos mais próximos (os pontos adjacentes a m 1 ) como candidatos potenciais de serem escolhidos em lugar de m 1 devido ao ruído do canal. A distância euclidiana de cada um destes dois pontos para m 1 (para M = 8) é: d 12 = d 18 = 2 ( π ) E sin M (66) Assim sendo, a utilização da equação 59 leva a probabilidade de erro de símbolo média para o M-PSK coerente como: P e erfc ( E ( π ) ) sin (67) N 0 M em que foi considerado que M 4. A aproximação se torna bastante precisa, para M fixo, quando E/N 0 é aumentado. Para M = 4, a equação 67 se reduz à mesma forma da equação 53 para o QPSK. Espectro de Potência para os Sinais PSK M-ários A duração do símbolo no PSK M-ário é definida por: T = T b log 2 M (68) em que T b é a duração do símbolo. Pode-se mostrar que a PSD em banda base do PSK M-ário é dada por: S B (f) = 2Esinc 2 (T f) (69) = 2E b log 2 Msinc 2 (T b f log 2 M) (70) 31

Figura 17: Espectro de potência para sinais PSK M-ários para M = 2, 4 e 8. Fonte: Haykin, Communication Systems, 2001. A figura 17 mostra a PSD normalizada S B (f)/2e b versus a freqüência normalizada ft b para três valores diferentes de M (M = 2, 4, 8). Eficiência Espectral dos Sinais PSK M-ários O espectro de potência dos sinais PSK M-ários possui um lóbulo principal limitado por nulos espectrais bem definidos (isto é, freqüências em que a PSD é zero). A largura espectral do lóbulo principal fornece uma medida simples e comum para a largura de banda dos sinais PSK M-ários. Esta definição é denominada de largura de banda nulo-a-nulo. Para as funções de base em banda passante definidas nas equações 36 e 37, a largura de banda requerida para a transmissão em banda passante de sinais PSK M-ários (mais precisamente, o lóbulo espectral principal dos sinais PSK M-ários) é dada por: B = 2 T (71) em que T é a duração do símbolo. A duração do símbolo está relacionada com a duração do bit pela equação 68. 32

M 2 4 8 16 31 64 ρ (bit/s/hz) 0,5 1 1,5 2 2,5 3 Tabela 3: Eficiência espectral dos sinais PSK M-ários Como a taxa de bit é dada por R b = 1/T b, pode-se redefinir a equação 71 em termos da taxa de bit R b como B = 2R b log 2 M (72) Com base na equação 72, a eficiência espectral do PSK M-ário é dada por: ρ = R b B = log 2 M 2 (73) (74) A Tabela 3 mostra a eficiência espectral para vários M. Pode-se observar que à medida que o número de estados, M, cresce, a eficiência espectral é melhorada ao custo de um pior desempenho em termos de probabilidade de erro. Para que não haja degradação no desempenho, deve-se aumentar a razão E b /N 0 para compensar o acréscimo de M. Esquemas de Modulação Híbrida Fase/Amplitude Em um sistema PSK M-ário, as componentes em fase e em quadratura do sinal modulado estão inter-relacionadas de forma que o envelope se mantém constante, produzindo uma constelação de sinais circular. Se a restrição de inter-relação for removida, as componentes em fase e em quadratura ficam independentes. O formato de modulação QAM (Quadrature Amplitude Modulation M-ária) é um exemplo em que isto acontece. Neste formato, a portadora tem modulação de fase e de amplitude. Modulação QAM M-ária A modulação QAM M-ária envolve duas funções de base em em banda passante 33

ortogonais dadas por φ 1 (t) = φ 2 (t) = 2 T cos(2πf ct) 0 t T (75) 2 T sin(2πf ct) 0 t T (76) Seja o i-ésimo ponto s i no plano (φ 1, φ 2 ) denotado por (a i d min /2, b i d min /2), em que d min é a distância mínima entre dois pontos na constelação, a i e b i são inteiros, e i = 1, 2,..., M. Seja (d min /2) = E 0, em que E 0 é a energia do sinal com a menor amplitude. O sinal QAM M-ário para o símbolo k é definido por s k (t) = 2E0 T a 2E0 k cos(2πf c t) T b k sin(2πf c t) (77) em que 0 t T e k = 0, ±1, ±2,... O sinal s k (t) consiste em duas portadoras com cada uma modulada por um conjunto de amplitudes discretas, resultando no nome modulação de amplitude em quadratura. Constelações QAM Quadradas Com um número par de bits por símbolo, pode-se escrever L = M (78) em que L é um inteiro positivo. Sob esta condição, uma constelação QAM M-ária pode sempre ser vista como um produto cartesiano de uma constelação PAM (Pulse amplitude modulation) com ela mesma. Por definição, o produto cartesiano de dois conjuntos de coordenadas (representando um par de constelações unidimensionais) é construído pelo conjunto de todos os possíveis pares ordenados de coordenadas com a primeira coordenada em cada par tomada do primeiro conjunto envolvido no produto cartesiano, e a segunda coordenada tomada do segundo conjunto no produto. 34

Figura 18: Espaço de sinais do QAM M-ário para M = 16; os pontos em cada quadrante. (b) O espaço de sinais para o sinal 4-PAM correspondente. Fonte: Haykin, Communication Systems, 2001. No caso de uma constelação QAM quadrada, os pares ordenados de coordenadas formam naturalmente uma matriz quadrada, como mostrada por: ( L + 1, L 1) ( L + 3, L 1) (L 1, L 1) ( L + 1, L 3) ( L + 3, L 3) (L 1, L 3) {a i, b i } =... ( L + 1, L + 1) ( L + 3, L + 1) (L 1, L + 1) (79) Exemplo Considere um 16-QAM cuja constelação de sinais é mostrada na figura 18(a). A codificação dos pontos mostrados na figura é a seguinte: 1. Dois dos quatro bits, digamos, os dois bits mais à esquerda, especificam o quadrante no plano φ 1, φ 2 no qual um ponto se encontra. Assim sendo, começando pelo primeiro quadrante e seguindo no sentido anti-horário, os quatro quadrantes são representados pelos símbolos 11, 10, 00, e 01. 2. Os dois bits restantes são utilizados para representar um de quatro símbolos possíveis em cada quadrante. 35

3. Neste exemplo, temos L = 4. Portanto, a constelação quadrada da figura 18(a) é o produto cartesiano da constelação 4-PAM mostrada na figura 18(b) com ela própria. A matriz da equação 79 é ( 3, 3) ( 1, 3) (1, 3) (3, 3) ( 3, 1) ( 1, 1) (1, 1) (3, 1) {a i, b i } = ( 3, 1) ( 1, 1) (1, 1) (3, 1) ( 3, 3) ( 1, 3) (1, 3) (3, 3) (80) Exercícios 4) Resolver os problemas 7.12 e 7.13 das páginas 340 e 341 do livro Contemporary Communication Systems, segunda edição. Para se calcular a probabilidade de erro de símbolo do QAM M-ário, utilizamos a propriedade de que uma constelação QAM pode ser fatorada no produto de uma constelação PAM com ela própria. A probabilidade de detecção correta para o QAM M-ário pode ser escrita como P c = (1 P e) 2 (81) em que P e é a probabilidade de erro de símbolo para o PAM L-ário correspondente com L = M. A probabilidade de erro de símbolo P e é definida por P e = ( 1 1 M ) erfc ( E0 N 0 ) (82) Exercício em sala 5) Obter a equação 82. 36

A probabilidade de erro de símbolo para o QAM M-ário é dada por P e = 1 P c (83) = 1 (1 P e) 2 (84) = 2P e (85) em que se considera P e pequeno o suficiente comparado com a unidade para que se possa desprezar o termo quadrático. Conseqüentemente, usando as equações 81 e 82 na equação 84, a probabilidade de erro de símbolo para o QAM M-ário é aproximadamente dada por ( P e 2 1 1 ) erfc M ( E0 N 0 ) (86) A energia transmitida no QAM M-ário é variável pois o valor instantâneo depende do símbolo transmitido. Portanto, é mais lógico representar P e em termos no valor médio da energia transmitida ao invés de E 0. Considerando que os L níveis de amplitude da componente em fase ou em quadratura são igualmente prováveis, temos E av = 2 2E 0 L L/2 (2i 1) 2 (87) i=1 em que o termo 2 fora dos colchetes leva em conta a contribuição igual de cada componente. Os limites do somatório e o fator multiplicativo de 2 dentro dos colchetes levam em conta a natureza simétrica dos níveis de amplitude pertinentes em torno do zero. 37

Somando as séries na equação 87, chega-se a: E av = 2(L2 1)E 0 3 = 2(M 1)E 0 3 (88) (89) A equação 86 pode ser reescrita em termos de E av como sendo: ( P e 2 1 1 ) ( ) 3E av erfc. (90) M 2(M 1)N 0 O caso M = 4 é de interesse especial. A constelação de sinais para este valor de M é a mesma do QPSK. Assim, se colocarmos M = 4 na equação 90, e lembrarmos que para este caso especial E av é igual a E, em que E é a energia por símbolo, a fórmula para a probabilidade de erro de símbolo que resulta de 90 se torna idêntica àquela da equação 53 Exercício 5) Resolver o exercício 7.14 da página 341 do livro Contemporary Communications Systems, segunda edição. FSK Coerente Os sinais PSK M-ários e os sinais QAM M-ários compartilham uma propriedade comum: ambos são exemplos de modulação linear. A modulação FSK (Frequency-Shift Keying) é um método não-linear de transmissão de dados em banda passante. Em um sistema FSK binário, os símbolos 1 e 0 são diferenciados um do outro pela transmissão de duas ondas senoidais que diferem em freqüência por uma quantidade fixa. 38

Um típico par de ondas senoidais é descrito por s i (t) = 2Eb T b cos(2πf i t), 0 t T b 0, alhures, (91) em que i = 1, 2 e E b é a energia do sinal transmitido por bit; a freqüência transmitida é f i = n c + i T b (92) para algum inteiro fixo n c e i = 1, 2. O símbolo 1 é representado por s 1 (t), e o símbolo 0 por s 2 (t). Este sinal é de fase contínua uma vez que a continuidade de fase é mantida, incluindo os instantes de comutação de bits. Esta forma de modulação digital é um exemplo de continuous-phase frequency-shift-keying (CPFSK), mais bem comentada mais adiante. Das equações 91 e 92, observamos diretamente que os sinais s 1 (t) e s 2 (t) são ortogonais, mas não são normalizados para terem energia unitária. O conjunto de bases ortonormais é dado por φ i (t) = 2 T b cos(2πf i t), 0 t T b 0, alhures, (93) em que i = 1, 2. Da mesma forma, o coeficiente s ij para i = 1, 2, e j = 1, 2 é definido por s ij = = = Tb 0 Tb 0 s i (t)φ i (t)dt (94) 2Eb 2 cos(2πf i t) cos(2πf i t)dt T b T b (95) Eb, i = j (96) 0, i j, 39

Figura 19: (a) Espaço de sinais para o FSK. O diagrama também inclui duas inserções que mostram exemplos de formas de onda de dois sinais modulados s 1 (t) e s 2 (t). Fonte: Haykin, Communication Systems, 2001. Portanto, diferentemente do PSK coerente binário, um sistema FSK binário é caracterizado por ter um espaço de sinais bidimensional (isto é, N = 2) com duas mensagens (isto é M = 2), como mostrado na figura 19. Os dois pontos no espaço de sinais são definidos por e s 1 = s 1 = Eb 0 0 Eb (97) (98) com a distância euclidiana entre eles igual a 2E b. Probabilidade de Erro para o FSK O vetor de observação x possui dois elementos x 1 e x 2 que são definidos por, res- 40

pectivamente, e x 1 = x 2 = Tb 0 Tb 0 x(t)φ 1 (t)dt (99) x(t)φ 2 (t)dt (100) em que x(t) é o sinal recebido. Dado que o símbolo 1 foi transmitido, x(t) é igual a s 1 (t) + w(t), em que w(t) é a função amostral de um processo de ruído gaussiano branco de média zero e densidade espectral de potência N 0 /2. Por outro lado, se o símbolo 0 foi transmitido, x(t) é igual a s 2 (t) + w(t). Através da regra de decisão por mínima distância euclidiana, podemos afirmar que o vetor de observação x situa-se na região Z i se a a distância euclidiana x s k é mínima para k = i. Aplicando-se a regra de decisão por mínima distância euclidiana, pode-se verificar que o espaço de observação é particionado em duas regiões de decisão, rotuladas por Z 1 e Z 2 na figura 19. A fronteira ou limiar de decisão que separa a região Z 1 da região Z 2 é a reta perpendicular que divide a linha entre os dois pontos. O receptor decide em favor do símbolo 1 se o ponto correspondente ao sinal recebido x cair na região Z 1. Isto ocorre quando x 1 > x 2. Por outro lado, se x 1 < x 2, o ponto do sinal recebido cairá na região Z 2, e o receptor decidirá em favor do símbolo 0. No limiar de decisão, tem-se x 1 = x 2, e o receptor toma uma decisão aleatória em favor do símbolo 1 ou 0. Defina uma nova variável aleatória gaussiana, cujo valor amostral y é igual à diferença entre x 1 e x 2 : y = x 1 x 2 (101) 41

O valor médio da variável aleatória y depende de qual símbolo binário foi transmitido. Dado que o símbolo 1 foi transmitido, as variáveis aleatórias gaussianas X 1 e X 2, cujos valores amostrais são denotados por x 1 e x 2, possuem valores médios iguais a E b e zero, respectivamente. A média condicional da variável aleatória Y, dado que o símbolo 1 foi transmitido, é: E[Y 1] = E[X 1 1] E[X 2 1] (102) = + E b (103) Por outro lado, dado que o símbolo 0 foi transmitido, as variáveis aleatórias X 1 e X 2 possuem valores médios iguais a zero e E b, respectivamente. A média condicional da variável aleatória Y, dado que o símbolo 0 foi transmitido, é: E[Y 0] = E[X 1 0] E[X 2 0] (104) = E b (105) A variância da variável aleatória Y é independente de qual símbolo foi transmitido. Como as variáveis aleatórias são estatisticamente independentes, cada uma com variância igual a N 0 /2, tem-se: var = var[x 1 ] + var[x 2 ] (106) = N 0 (107) Suponha que o símbolo 0 tenha sido transmitido. A função densidade de probabilidade condicional da variável aleatória Y é dada por: 1 f Y (y 0) = exp [ (y + ] E b ) 2 2πN0 2N 0 (108) Como a condição x 1 > x 2, ou equivalentemente, y > 0, corresponde ao receptor decidir em favor do símbolo 1, a probabilidade de erro condicional, dado que o 42

símbolo 0 foi transmitido, é: p 10 = P (y > 0 o simbolo 0 foi enviado) (109) = = f Y (y 0)dy (110) 0 1 exp [ (y + ] E b ) 2 2πN0 2N 0 (111) 0 Substituindo z por y + E b 2N0 e mudando a variável de integração de y para z, podemos escrever: p 10 = 1 π exp( z 2 )dz (112) Eb /2N 0 ( ) = 1 2 erfc Eb (113) 2N 0 Similarmente, pode-se mostrar que p 01, a probabilidade de erro condicional dado que o símbolo 1 foi transmitido, tem o mesmo valor da equação 113. Conseqüentemente, fazendo a média sobre p 10 e p 01, obtemos a probabilidade de erro de bit para o FSK binário coerente (considerando símbolos equiprováveis) como sendo: ( ) P e = 1 2 erfc Eb. (114) 2N 0 Comparando as equações 114 e 31, pode-se ver que em um sistema FSK binário coerente temos que dobrar a razão E b /N 0 para a manter a mesma razão de erro de bit do sistema PSK binário coerente. Este resultado está de acordo com os diagramas de espaço de sinais das figuras 4 e 19, em que podemos notar que em um sistema PSK binário a distância euclidiana entre dois pontos é igual a 2 E b, enquanto no FSK binário a distância correspondente é 2Eb. Para uma dada E b uma distância mínima d min no PSK binário é, portanto, 2 vezes maior que no FSK binário. 43

Figura 20: Diagrama de blocos para (a) o transmissor FSK e (b)o receptor FSK. Fonte: Haykin, Communication Systems, 2001. Geração e Detecção de Sinais Coerentes FSK Binários Para se gerar um sinal FSK binário, deve-se utilizar o esquema mostrado na figura 20. A seqüência de dados binários de entrada é aplicada primeiro a um codificador onoff. Na saída do codificador, tem-se o símbolo 1 representado por uma amplitude constante de E b volts e o símbolo 0 representado por zero volts. Por meio do inversor no canal inferior da figura 20(a), garante-se que quando o símbolo de entrada for o 1, o oscilador de freqüência f 1 no canal superior é acionado, enquanto o oscilador de freqüência f 2 no canal inferior é desligado, 44

resultando na transmissão da freqüência f 1. O inverso acontece quando o símbolo de entrada for o 0. As duas freqüências f 1 e f 2 são escolhidas como diferentes múltiplos inteiros da taxa de bits, 1/T b, como na equação 92. No transmissor, considera-se que os dois osciladores estão sincronizados, de forma que as suas saídas satisfaçam as exigências de duas funções de base ortonormais φ 1 (t) e φ 2 (t), como na equação 93. Para se detectar a seqüência de dados binária original dado o sinal recebido ruidoso x(t), pode-se utilizar o receptor da figura 20(b). Ele consiste em dois correlatores com uma entrada comum, que são alimentados com sinais de referência coerentes gerados localmente φ 1 (t) e φ 2 (t). As saídas dos correlatores são subtraídas uma da outra, e a diferença resultante, y, é comparada com um limiar de zero volts. Se y > 0, o receptor decide em favor do símbolo 1. Por outro lado, se y < 0, o receptor decide em favor de 0. Novamente, se o resultado for exatamente zero, o receptor decide aleatoriamente. Espectro de Potência de Sinais FSK Binários Pode-se mostrar que a densidade espectral de potência em banda base de um sinal FSK para o qual as duas freqüências transmitidas diferem de 1/T b é dada por: S B (f) = E [ ( b δ f 1 ) ( + δ f + 1 )] + 8E b cos 2 (πt b f) 2T b 2T b 2T b π 2 (4Tb 2f (115) 2 1) 2 Na figura 6 está plotado o espectro de potência em banda base do sinal FSK (por simplicidade, estão plotados apenas os resultados para freqüência positiva). A PSD S B (f) está normalizada com respeito a 2E b, e a freqüência está normalizada com respeito à taxa de bits R b = 1/T b. 45

Detecção de Sinais com Fase Desconhecida Os exemplos anteriores de técnicas de modulação digital consideram que o receptor é sincronizado perfeitamente com o transmissor, e que a única restrição de canal é o ruído. Na prática, porém, além da incerteza do ruído, há também a incerteza sobre alguns parâmetros do sinal. A fase da portadora talvez seja o parâmetro aleatório de sinal mais comum. Por exemplo, a transmissão através de uma multiplicidade de caminhos de comprimentos diferentes e variados pode levar a fase do sinal recebido a mudar de tal maneira que o receptor pode não ser capaz de recuperá-la. Mecanismos de sincronização com a fase da portadora transmitida podem ser muito custosos, e o projetista pode simplesmente desconsiderar a informação de fase no sinal recebido ao custo de alguma degradação no desempenho sob ruído. Um receptor de comunicação digital que não dispõe de mecanismos de recuperação de fase da portadora é dito não-coerente. Receptor Quadrático Ótimo Considere um sistema de comunicação digital binária em que o sinal transmitido é s i (t) = 2E T cos(2πf it) (116) em que 0 t T, i = 1, 2, E é a energia do sinal, T é a duração do intervalo de sinalização, e a freqüência da portadora f i para o símbolo i é um múltiplo inteiro de 1/2T. Considera-se que o sistema é não-coerente, e que o sinal recebido para um canal AWGN pode ser escrito na forma x(t) = 2E T cos(2πf it + θ) + w(t) (117) 46

0 t T, i = 1, 2, θ é a fase da portadora desconhecida, e w(t) é a função amostral de um processo de ruído gaussiano branco de média zero e densidade espectral de potência N 0 /2. Numa situação prática, pode-se considerar completo desconhecimento da informação a priori sobre θ e, assim, tratá-la como uma variável aleatória com distribuição uniforme: f Θ (θ) = 1 2π, π θ π 0, alhures, (118) O problema da detecção binária que se quer resolver é o seguinte: dado o sinal recebido x(t) e confrontado com a fase desconhecida da portadora, θ, projetar um receptor ótimo para detectar o símbolo s i representado pela componente E/2T cos(2πfi t + θ) que está contida em x(t). Pode-se formular a função de verossimilhança condicional do símbolo s i, dada a fase da portadora θ, como L(s i (θ)) = exp ( E N 0 T T 0 x(t) cos(2πf i t + θ)dt ) (119) Integrando L(s i (θ)) sobre todos os possíveis valores de θ, removemos a dependência da função com θ. Assim, podemos escrever: L(s i ) = π = 1 2π L(s i (θ))f Θ (θ)dθ (120) ( ) E T exp x(t) cos(2πf i t + θ)dt dθ (121) N 0 T π π π 0 Pode-se reescrever a integral da exponencial da equação 121 como sendo T 0 T T x(t) cos(2πf i t + θ)dt = cos θ x(t) cos(2πf i t)dt sin θ x(t) sin(2πf i t)dt 0 0 (122) 47

Defina [ ( T 2 ( T 2 ] 1/2 l i = x(t) cos(2πf i t)dt) + x(t) sin(2πf i t)dt) (123) 0 0 ( T β i = tan 1 x(t) sin(2πf ) 0 it)dt T 0 x(t) cos(2πf it)dt (124) Conseqüentemente, pode-se simplificar a equação 122 para T 0 x(t) cos(2πf i t + θ)dt = l i (cos θ cos β i sin θ sin β i ) (125) = l i cos(θ + β i ) (126) Utilizando a equação 126 pode-se obter: L(s i ) = 1 π ( E exp 2π π = 1 π+βi 2π π+β i exp = 1 π exp 2π π ) N 0 T l i cos(θ + β i ) dθ (127) ( ) E N 0 T l i cos θ dθ (128) ( ) E N 0 T l i cos θ dθ (129) A integral da equação 129 é conhecida como a função modificada de Bessel de ordem zero ( ) E I 0 N 0 T l i = 1 π ( ) E exp 2π π N 0 T l i cos θ dθ (130) Portanto, pode-se expressar a função de verossimilhança para o problema descrito de detecção do sinal na seguinte forma: ( ) E L(s i ) = I 0 N 0 T l i (131) 48