ELE-31 Princípios de Telecomunicações

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1 ELE-31 Princípios de Telecomunicações Prof. anish Sharma November 5, Introdução a comunicações digitais Vimos no capítulo anterior que é possível representar sinais contínuos no tempo por um conjunto de amostras, desde que a taxa de amostragem f s seja maior do que a banda a mensagem. A quantização em amplitude permitiria representar cada amostra com um número finito de bits, k introduzindo algum erro que depende do número de níveis de quantização. Assim, aceitando algum erro, é possível representar sinais contínuos com uma certa taxa de bits R b = k f s. A melhor forma de transmitir bits é utilizando transmissão digital. Isto pode ser afirmado pois a recepção de sinais digitais é matematicamente a melhor possível no sentido de reduzir ao máximo erros de transmissão. Além disso, técnicas de controle de erro permitem que os sistemas operem com taxas de erro tão baixas quanto necessárias 1. Neste capítulo veremos como a transmissão e recepção de sinais digitais pode ser feita. Para isso é necessário utilizar algumas simplificações como a representação geométrica de sinais. Algumas modulações digitais são apresentadas. 7.1 Representação geométrica de sinais Um espaço vetorial n dimensional pode ser gerado a partir de uma base {u i }, com i = 1,,..., n. Qualquer vetor deste espaço pode ser escrito como: v = n u i v i (1) 1 onde:v i é o produto interno entre v e u i. Podemos definir para este espaço vetorial relações como norma, independência linear, a desigualdade triangular, entre outras. Uma base ortonormal com N elementos para um conjunto de m vetores v i pode ser obtido através do processo de Gran-Schmidt: 1. Escolhemos arbitrariamente um vetor v 1.. Definimos o primeiro elemento da base como: onde v 1 é a norma do vetor v 1. u 1 = v 1 v 1, () 3. O segundo elemento da base é obtido removendo a contribuição do primeiro elemento da base no segundo vetor do conjunto, seguido de normalização: u = v (< v, u 1 >) u 1 1 Há sistemas onde as taxas de erro são tão baixas que são imensuráveis Onde todos os vetores são ortogonais entre si e tem módulo unitário. u = u u (3) 1

2 4. O j-ésimo elemento da base pode ser obtido de forma semelhante: 5. O processo continua até N min(n, m). u j = v j j 1 k=1 (< v j, u k >) u k u j = u j (4) u j Este processo resulta em uma base capaz de gerar todos os vetores do conjunto fornecido. Todas as relações aplicadas acima para vetores pode ser aplicada para sinais contínuos no tempo através da definição do produto interno entre dois sinais: < x 1 (t), x (t) >= x 1 (t) x (t)dt (5) e da definição da norma: onde ε x é a energia do sinal x(t). ( ) x(t) = x(t) dt = ε x (6) Com estas definições temos a desigualdade triangular: e a desigualdade de Cauchy Schwarz: x 1 (t) + x (t) x 1 (t) + x (t) (7) < x(t), y(t) > x(t) y(t) = ε x ε y (8) Podemos obter uma base para qualquer conjunto finito de sinais s i (t), i = 1,,..., através do mesmo processo anterior: 1. O primeiro elemento é: φ 1 (t) = s 1(t) ε1 (9) onde ε 1 é a energia de s 1 (t).. Para obtenção do segundo elemento, retiramos a contribuição do primeiro elemento em s (t), obtendo assim um vetor ortogonal a φ 1 (t). Após, normalizamos (tornamos igual a 1) a energia do sinal obtidos. atematicamente: c 1 =< s (t), φ 1 (t) >= γ (t) = s (t) c 1 φ 1 (t) ε = γ (t) dt φ (t) = γ (t) ε s (t) phi 1(t)dt onde c 1 é a projeção do segundo sinal no primeiro elemento da base φ 1 (t), γ (t) é o vetor ortogonal a φ 1 (t) e ε é a sua energia. O resultado é o segundo elemento da base, φ (t). 3. O j-ésimo elemento pode ser obtido como: (10) φ j (t) = γ j(t) εj (11)

3 onde: c ji =< s j (t), φ(t) >= j 1 s j (t) φ i (t)dt γ j (t) = s j (t) c ji φ i (t) ε j = i=1 γ j (t) dt Para sinais, precisaremos de uma base com N elementos, com igualdade se todos os sinais s i (t) fornecidos forem linearmente independentes. Assim, um sinal s i (t) pode ser representado pelo vetor s i : Chamamos o vetor s i de símbolo. (1) s i = [c i1 c i c in ] (13) Um conjunto de sinais pode então ser representado como um conjunto de pontos no espaço -dimensional, chamado de espaço de sinais. O conjunto de pontos é chamado de constelação. A base obtida não é a única possível: a ordem de escolha dos sinais determina a base. Entretanto, a base sempre terá N elementos. Além disso, a constelação terá sempre o mesmo formato, isto é, a distância da origem de cada um dos pontos e o produto interno entre dois pontos(vetores) quaisquer serão sempre os mesmos. A energia de um sinal pode ser calculada no espaço de sinais via: 7. odulações Digitais s i (t) = ε i = N s in = s i (14) Um modulador digital pode ser visto como uma função que tem como entrada uma sequência de bits e tem como saída uma sequência de símbolos. Caso haja = k símbolos possíveis, o modulador agrupa os bits de entrada em blocos com k bits. Algumas definições básicas: Duração de símbolos = T s = n=1 Duração da transmissão Número de símbolos transmitidos Taxa de símbolos = R s = 1 T s Duração de um bit = T b = T s k = T s log Taxa de bits = R b = R s k Probabilidade de transmitir o m-ésimo símbolo: p m Energia do m-esimo simbolo = ε m Energia média = ε avg = p m ε m m=1 Energia média por bit = ε bavg = ε avg k Potência média = P = ε avg T s = ε bavg T b Não há a princípio nenhuma restrição sobre a escolha de s m (t). Na prática, os sinais diferem em amplitude, fase, frequência, ou uma combinação dos mesmos. 3

4 7..1 odulação de amplitude (PA) O caso contínuo foi analisado no capítulo anterior. No caso digital, em banda base, podemos limitar os símbolo a: s m (t) = A m p(t) (15) onde A m = ±1, ±3,..., ±( 1) O pulso p(t) é um pulso de duração T com energia ε p. Se todos os sinais forem equiprováveis, a energia média desta modulação é : O valor por bit é: ε avg = 1 m=1 A m ε p = ( 1)ε p 3 ε bavg = ( 1)ε p 3 log [] Todos os símbolos desta modulação podem ser representados por uma base com um único elemento φ(t) = p(t), o que resulta nos sinais: Logo, os pontos da constelação são: (16) (17) s m (t) = A m φ(t) (18) s m = [A m ] (19) isto é, são pontos igualmente espaçados em cima de uma reta. A dimensão desta constelação é 1. ( t Uma possível escolha para p(t) em banda base (em torno de f = 0) é escolher p(t) = Π T s ). Uma ( t possível escolha em banda passante seria p(t) = Π cos(πf c t) Um parâmetro importante para o desempenho é a distância Euclidiana entre dois pontos m e n da constelação, definida como: d mn = s m s n (0) T s ) o que, neste caso, vale d mn = A m A n ε p. A menor distância entre dois pontos é a distância mínima d min : d min = min [d mn] (1) m,n;m n que no caso PA vale d P min A via: = ε p. Podemos escrever a distância mínima em função da energia média d P A min = ε p = = εavg3log [] 1 1log [] 1 ε bavg Desta equação vemos que, quanto maior ε bavg, maior d min. Esta relação é comum para quase todas as modulações utilizadas na prática. A equação para s m (t) apresentada se encontra em banda base. É possível obter o sinal equivalente em banda passante realizando a conversão: () s BP m (t) = R{s m (t) exp(jπf c t)} (3) Poderíamos ter obtido uma base para gerar os sinais diretamente em banda passante. A relação entre bases em banda base e banda passante pode ser obtida usando a relação p BP (t) = p(t) cos(πf c t), o que resulta em: φ BP (t) = p(t) (4) ε p 4

5 7.. odulação em fase Assim como no caso anterior, o sinal em banda passante seria s m (t) = R{A m p(t) exp(jπf c t}. Entretanto, os valores de A m são: ( ) jπ(m 1) A m = exp (5) Para p(t) real, teríamos o seguinte sinal em banda passante: ( ) π(m 1) s m (t) = g(t) cos πf c t + [ ( = g(t) cos ( π ) ( ) ] (6) π (m 1) cos(πf c t) sin (m 1) sin(πf c t) Definimos a variável auxiliar θ m = ( π (m 1)). É fácil verificar que seria necessária uma base com dois elementos para gerar todos os sinais desta modulação se >. Uma boa escolha de base em banda passante é: φ 1 (t) = p(t) cos(πf c t) ε p (7) φ (t) = p(t) sin(πf c t) ε p o que resulta no sinal s m (t) = Logo, os símbolos desta modulação são: s m = cos(θ m)φ 1 (t) + sin(θ m)φ (t) (8) [ cos(θ m) ] sin(θ m) que, no plano bidimensional, seriam pontos igualmente distribuídos em cima do círculo com raio Podemos calcular os seguintes valores : ε avg = ε m = 1 ε p. (9). ε bavg = ε avg log [] A distância entre dois pontos pode ser calculada como: ( ( )) π d m,n = ε p 1 cos (m n) (30) Logo, a distância mínima é: d min = que pode ser escrita em função de ε bavg como: d min = ( ( )) π ε p 1 cos log [] sin ( π Aumentar o valor de não aumenta a potência média, mas diminui d min. (31) ) ε bavg (3) 5

6 7.3 odulação QA - Quadrature Amplitude odulation Para o caso PSK poderíamos representar o sinal como: s m (t) = A m,r s φ 1(t) + A m,i s φ (t) (33) onde A m = A m,r + j A m,i. A modulação PSK restringe os valores de A m ao círculo complexo unitário. Eliminando esta restrição, poderíamos redefinir os valores que A m pode assumir ao permitir que tanto A m,r quanto A m,i assumam os valores de ±1, ±3,, ± 1, para potência par de. Nesta caso, a constelação seria um conjunto de pontos em cima de uma grade regular, dentro de um quadrado. Esta modulação se chama QA pois tanto a amplitude como a fase dos sinais é alterada. Esta modulação é semelhante ao uso de duas modulações PA em paralelo: uma com base φ 1 (t) = p(t) cos(πf c t) e outra com p(t) sin(πf c t). ε p ε p Não é necessário que o padrão se limite a um quadrado: poderíamos ter = 1, com A m,r = ±1, ±3,, ± 1 1 e A m,i = ±1, ±3,, ± 1. Poderíamos restringir também os pontos a todos aqueles dentro de um círculo complexo com raio ε max, que é uma restrição na potência máxima de um sinal qualquer. Características: Símbolos: s m = [ A m,r s A m,i s ] Energia de cada símbolos: ε m = s m = (A m,r + A m,i Energia média para sinais equiprováveis e 1 = = : ε avg = 1 3 ε p. Energia média por bit nas mesmas condições: ε bavg = 1 3 log ε [] p. Distância entre dois símbolos: d mn = s m s n = [(A m,r A n,r ) + (A m,i A n,i ) ] (34) Distância mínima: d min = 7.4 Sinalização ultidimensional [() + (0) ] = 6log [] ε p = 1 ε bavg (35) As modulações anteriores tem dimensão. O aumento de, mantendo ε avg, reduz a distância mínima da constelação. Comparando o 8 P A(unidimensional) com o 8 P SK(bidimensional), observamos a seguinte relação entre distâncias mínimas: 8 P A 36 dmin = 63 ε bavg < 8 P SK 1.14ε bavg dmin (36) Assim, parece ser mais eficiente distribuir pontos em espaços com dimensão maior. No limite, poderíamos ter uma constelação com dimensão igual ao número de símbolos. Como consequência, todos os sinais seriam ortogonais entre si. Uma forma de obter esta ortogonalidade é usar frequências diferentes, que é o que acontece na modulação FSK (Frequency Shift Keying). 6

7 Nesta modulação, o sinal em banda base é: s ml (t) = ε T exp(jπm ft) 0 t T ; m = 1,,..,. (37) onde ε é a energia desejada do sinal e T é a duração deste sinal. O valor de f será definido em breve. O sinal em banda passante vale: s m (t) = R{s ml (t) exp(jπf c t)} ε = T cos(π[f c + m f]t) (38) O requisito de ortogonalidade exige que: { } T R s ml (t) s nl (t) = 0 { 0 m n ε m = n (39) O desenvolvimento matemático resulta na seguinte necessidade: εsinc(t (m n) f) = 0 para m n (40) o que só pode ser verdadeiro se T (m n) f é um número inteiro. Logo: f = k T para qualquer k inteiro diferente de zero. A menor separação de frequências ocorre quando k = 1, resultando em f = (T ) 1. A base desta constelação é, em banda passante: φ m (t) = T cos(π[f c + m f]t) 0 t T ; m = 1,,..,. (4) Os símbolos podem ser escritos na forma: (41) s m = [0 0 ε 0 0] (43) com o termo diferente de zero na m-ésima posição do vetor. Todos os sinais tem a mesma energia ε. Logo, ε avg = ε e ε bavg = ε log [] A distância entre qualquer par de sinais é a distância mínima, que vale 3 : d mn = d min = ε = ε avg = ε bavg log [] (44) Aqui, diferentemente dos outros casos, o aumento de aumenta a distância mínima, mantendo o valor de ε bavg. Isto acontece pois, ao aumentar, aumentamos o número de bits que cada símbolo carrega, aumentando assim a energia de cada símbolo e consequentemente a distância. Este aumento em d min em função de não é gratuita: precisamos de subcanais com largura f para transmitir estes sinais. 3 Vide os símbolos s m para determinar esta distância mínima 7

8 7.5 Rotulação binária dos símbolos Até agora tratamos da transmissão de um dígito m, sem nos preocupar qual seria a relação entre os bits transmitidos e os símbolos correspondentes. Há duas formas principais de rotulação de símbolos: natural e rotulação de Gray. Na rotulação natural, uma possível relação entre bits e símbolo é: k 1 m = 1 + b j j (45) Variações são possíveis: o valor de m pode variar de 0 a 1, o primeiro bit fornecido pode ser o mais ou o menos significativo, etc.. A grande vantagem deste rotulamento é a facilidade de escolha de sinal a ser transmitido a partir da sequência de bits de entrada. A desvantagem é que, caso ocorra um erro de transmissão, a troca de um símbolo pelo seu vizinho pode causar muitos erros de bit. Isto aconteceria por exemplo ao trocar um símbolo rotulado por 011 pelo seu vizinho com rótulo 100, causando três erros de bit. Uma alternativa comum é utilizar o rotulamento Gray. No rotulamento Gray, o rótulo é construído iterativamente de forma a garantir que símbolos vizinhos possuam apenas um bit de diferença entre os rótulos. Assim, trocar um símbolo pelo seu vizinho (que é o erro mais provável) causaria o erro de apenas um bit. Para a modulação 8-PA, um rótulo pode ser construído nos seguintes passos: j=0 1. Inicia-se com dois valores: 0 1. Reflete-se 4 a sequência de rótulos anteriores e adicionamos ao final do rótulo o bit 0 aos termos da esquerda e o bit 1 aos termos da direita do espelho, resultando na sequência de rótulos: 3. Repetindo o processo novamente chegamos a: Este mesmo rótulo poderia ser usado para rotular os símbolos da constelação 8-PSK no sentido horário, por exemplo. Para a modulação QA, poderíamos usar dois rótulos de Gray em paralelo. Para o caso de 64-QA, teríamos, por exemplo, a seguinte relação: O rótulo de qualquer par de vizinhos difere somente por um bit. No caso da modulação FSK, a distância d mn é a mesma para todos os símbolos. Qualquer rotulação pode ser utilizada, pois não há nenhum vizinho que seja mais próximo. 4 Não se reflete a ordem dos bits dentro de cado rótulo, somente a ordem dos rótulos (46) (47) (48) 8

9 7.6 odelo de canal AWGN O sinal recebido é diferente do sinal transmitido. Um modelo de canal muito simples é o canal AWGN - Additive White Gaussian Noise. Neste modelo, o sinal recebido r(t) vale: r(t) = s m (t) + n(t) (49) onde n(t) é um processo aleatório Gaussiano com densidade espectral de potência constante valendo N0. É suficiente para o entendimento do que segue saber a relação entre densidade espectral de potência e a autocorrelação do processo aleatório, o que foi visto no capítulo 3. O objetivo do receptor é estimar da melhor forma possível o valor de m ( e consequentemente dos bits associados) através da observação de r(t). Uma forma de se realizar a estimativa é representar r no espaço de sinais. O problema é que a base do espaço, embora seja capaz de representar exatamente todos os sinais s m (t), não é capaz de representar exatamente todas as possibilidades de n(t). O ruído poderia ser decomposto em n(t) = n 1 (t) + n (t), onde: n 1 (t) = N j=1 n jφ j (t) n j =< n(t), φ j (t) > (50) isto é, a parte do ruído que pode ser representada pela base. O resto é n (t) = n(t) n 1 (t). Com esta representação, podemos escrever o sinal recebido como: N r(t) = (s j + n j )φ j (t) + n (t) onde r j = s j + n j. É possível mostrar que: j=1 N = (r j )φ j (t) + n (t) j=1 (51) As variáveis n j são Gaussianas com média zero e variância N0, isto é, a sua pdf é: ( ) p(n j ) = 1 exp n j πn0 (5) n j e n i são descorrelacionadas, se j i, que implica em independência estatística; o resto n (t) não traz nenhuma informação sobre nenhum n j, podendo assim ser ignorado. Logo, o canal r(t) = s m (t) + n(t) contínuo no tempo equivale ao canal vetorial r = s m + n, onde: r = [r 1 r r N ] s m = [s m1 s m s mn ] n = [n 1 n n N ] (53) 9

10 7.7 Receptor ótimo O objetivo do receptor é estimar da melhor forma possível o valor de m. A estimativa feita pelo detector é m. Ocorre um erro de transmissão se m m, o que acontece com probabilidade P e = P [ m m]. Logo, o melhor receptor é aquele que minimiza P e, ou equivalentemente, que maximiza a probabilidade de acerto. A decisão do receptor pode ser vista como a aplicação de uma função sobre o vetor recebido, isto é, m = g(r). Desta forma, podemos dividir o espaço em regiões de decisão definidos como: D m = {r R N g(r) = m} (54) ou, literalmente, a região de decisão pela estimativa m é o conjunto de valores de r tal que a decisão do receptor g(r) é m. A decisão correta ocorre então se, dado m, o vetor r está dentro da região D m. Na média, a probabilidade de acerto pode ser calculada como: P [acerto] = P [acerto m] P [m] = = = m=1 P [r D m m] P [m] m=1 ( ) p(r m)dr P [m] D m ( ) p(r m) P [m]dr D m m=1 m=1 (55) Como um valor qualquer de r só pode estar dentro de uma região de decisão, ele deve estar naquela que maximiza a expressão acima. Isto é, r deve pertencer a D m se: p(r m) P [ m] > p(r m ) P [ m ], m = 1,,..., ; m m (56) Esta expressão permite definir as regiões de decisão ótimas como: D m = {r R N p(r m) P [ m] > p(r m ) P [ m ]; m m} (57) Esta expressão facilita a tarefa do receptor pois ele pode substituir a tarefa de encontrar em qual região de decisão o vetor r se encontra pela tarefa de encontrar o valor de m que maximiza p(r m) P [ m]. Usando o teorema de Bayes temos: p(r m) P [ m] = P [ m r] (58) p(r) Como o valor de r é constante para todo m, o valor de m que maximiza p(r m) P [ m] também maximizará P [ m r]. Logo, a estimativa ótima é: m = arg max[p [m r]] (59) m Este critério é chamado de máxima a posteriori (AP) pois a decisão é tomada a partir de um máximo após a observação do sinal r e com o conhecimento das probabilidades a priori P m. Quando todos os sinais são equiprováveis, P m = 1. O critério de decisão pode ser simplificado para: m = arg max m [p(r s m)] (60) 10

11 Este critério é chamado de axima Verossimilhança (L - aximum Likelihood) pois ele procura o valor de s m mais parecido com r. O critério L só é ótimo (e equivalente ao AP) quando os sinais ão equiprováveis. É também um bom chute quando não sabemos a estatística dos sinais. Além disso, é de fácil implementação. 7.8 Receptor L para o canal Gaussiano Na maioria das vezes, os receptores utilizam o critério L No caso Gaussiano, isto equivale a encontrar o valor de m que maximiza f(m) = p(r s m ), que vale: p(r s m ) = p(n = r s m ) N = p(n j = r j s m,j ) j=1 N = (π ) N j=1 exp ( (r ) j s m,j ) N ( 0 = (π ) N exp r s m ) (61) O valor de m que maximiza f(m) também maximizará log[f(m)], pois o logaritmo é uma função monotônica crescente. Além disso, se m maximiza f(m), ele minimizará log[f(m)]. Utilizando o logaritmo natural, poderíamos encontrar o valor de m que minimiza: log[p(r s m )] = N log[π] + r s m (6) O primeiro termo é constante para todo valor de m. O valor de também é. A conclusão é que o valor de m que maximiza p(r s m ) será aquele que resulta no símbolo s m mais próximo do sinal recebido r. As regiões de decisão podem ser facilmente definidas como sendo: D m = {r R N r s m < r s m, m m} (63) No caso de uma modulação 8-PSK, por exemplo, as regiões de decisão seriam semelhantes a fatias de pizza Evento de erro Como as regiões de decisão são definidas pela proximidade com os sinais, um evento de erro ocorre se o sinal recebido r estiver mais próximo de s m do que de s m, quando s m foi transmitido. Vamos analisar a probabilidade do evento de erro para o caso mais simples: -PA, com símbolos s 1 = [ ε] e s = [ ε]. Supondo que s foi transmitido, ocorre um erro se r estiver mais próximo de s 1 do que de s, ou seja, se r > 0. Isto ocorrerá se n = [n] for maior do que ε. Este valor pode ser calculado pela seguinte integral: P (n > ε) = ( ) ε p(n)dn = Q ε (64) 11

12 onde Q(x) é por definição: Q(x) = 1 π x exp ) ( u du (65) Devido a independência estatística dos componentes n j, podemos mostrar que a probabilidade de um vetor recebido estar mais próximo de um símbolo errado do que do correto depende somente da distância Euclidiana entre os símbolos e da variância do ruído. Assim, para qualquer par de símbolos s i e s j com distância entre eles dada por: d i,j = s i s j (66) a probabilidade do sinal recebido estar mais próximo de s j, dado que s i foi transmitido, é: P [( r s j < r s i ) s i ] = Q d i,j (67) A distância entre símbolos depende da energia dos sinais. A variância do ruído depende da potência do ruído. Assim, a probabilidade de erro é uma função da relação sinal ruído, seja ela por bit ou por sinal. A relação sinal ruído por bit vale: enquanto que a relação sinal ruído por símbolo vale: SNR b = ε bavg (68) SNR s = ε avg (69) Na seção a seguir obtemos a probabilidade de erro para algumas modulações digitais Probabilidade de erro de bit para algumas modulações Devido a simetria da distribuição Gaussiana, P (n < x) = P (n > x) quando n é uma variável aleatória Gaussiana. Para a modulação PA, a distância entre um símbolo e seu(s) vizinho(s) vale a distância mínima d min = 1log [] 1 ε bavg. Erraremos o símbolo mais a esquerda da constelação se n > dmin, o que acontece com probabilidade ( d min Q ). Erraremos o símbolo mais a direita da constelação se n < dmin, o que também acontece com probabilidade Q ( d min ). Erraremos qualquer um dos símbolos intermediários (entre o símbolo mais a esquerda e o mais a direita) se n > dmin ou se n < dmin, que são eventos disjuntos (os dois não podem ocorrer ao mesmo tempo. Cada ( d min um deles ocorre com probabilidade Q ). Logo, a probabilidade de errar um símbolo intermediário ( d min vale Q ). 1

13 Há símbolos intermediários. Ponderando a probabilidade de erro pela probabilidade de transmissão de símbolo, temos a probabilidade de erro média de símbolo, que vale: P A Pe = 1 1 Q d min + 1 Q d min + ( ) Q d min (70) ( 1) = Q d min Substituindo o valor de d min chegamos a : P A Pe = Q 6log [] 1 εbavg (71) Na expressão anterior podemos destacar dois termos: 6log[] 1, que vai para zero quando aumenta. ε bavg, a relação sinal ruído por bit, que deve aumentar caso aumente para manter o mesmo valor de P e. A probabilidade de erro da modulação QA quadrada pode ser analisada ao consideramos que ocorrem duas modulações P A em paralelo: uma em fase e outra em quadratura. Ocorrerá um acerto na transmissão de um símbolo da modulação QA se houver um acerto em ambas as modulações P A. Ocorrerá um erro de transmissão na modulação QA se houver um erro em qualquer uma das duas modulações P A. Assim, temos a seguinte probabilidade de erro para a modulação QA quadrada: P QA e = 1 (1 P P A e ) ( = ) Q 3log [] 1 4 Q 3log [] ε bavg 1 ε bavg 1 1 ( 1 1 ) Q 3log [] 1 ε bavg (7) A análise da probabilidade de erro da modulação -PSK é um pouco mais trabalhosa. Apresentamos o resultado aproximado da probabilidade de erro de símbolo: ( ( P SK π ) ) εbavg Pe Q (log [])sin (73) Podemos obter uma aproximação para a probabilidade de bit se assumirmos que: O evento de erro mais provável é aquele em que a troca ocorre pelo vizinho O rotulamento de Gray está sendo utilizado, isto é, um erro de símbolo pelo vizinho causa o erro de somente um bit. Neste caso a probabilidade de erro de bit pode ser aproximada como: P b = 1 log [] P e = 1 K P e (74) 13

14 7.9 Comparação entre modulações É possível comparar o desempenho de modulações diferentes, mas a comparação só faz sentido se parâmetros como ε bavg, taxa e banda de transmissão forem levados em conta. Uma grandeza útil para comparação é a eficiência espectral, definida como: η = Taxa de transmissão Banda de transmissão [bits/s/hz] (75) A eficiência depende do número de dimensões no espaço de sinais. Faremos a conta considerando a duração de um símbolo. O teorema da amostragem diz que, para um sinal com banda W, precisamos de W amostras por segundo para representa-lo bem. Se o sinal tem duração T, precisaríamos de N = W T amostras para representalo perfeitamente. O valor de N pode ser interpretado como o número de dimensões aproximado (graus de liberdade) do sinal. Considerando a taxa de símbolos de R s = 1 T s, temos que: W = N T s = R sn = R b N log [] (76) Assim, podemos obter a eficiência espectral como: η = R b W = log [] N (77) Para as modulações PA, QA e PSK, a dimensão do espaço de sinais é constante (vale 1 ou ). O aumento de η só pode ser obtido com o aumento de. Para a modulação FSK, o número de dimensões é igual a. Assim, a eficiência espectral sempre diminui quando aumenta. Por outro lado, o aumento de piora o desempenho das modulações PA, QA e PSK. É necessário aumentar o valor de ε bavg para mantermos o mesmo desempenho. No caso FSK, aumentar melhora o desempenho. Assim, há contrapartida entre desempenho e eficiência espectral em todos os casos. Os resultados podem ser condensados na figura 1 A curva mostra o valor de ε bavg espectral. necessário para que P b = 10 5 para várias modulações, e a sua eficiência O limite de Shannon nunca pode ser passado. Ele vem do fato que ε bavg O gráfico pode ser dividido em duas grandes partes: > η 1 η, no limite quando η 0. A região limitada em banda, onde é necessário alta eficiência espectral A região limitada em potência: não é necessário conservar banda, mas precisaríamos de mais energia para melhorar o desempenho do sistema. 14

15 7.10 Referências e exercícios A referência desta parte da matéria é o segundo livro da bibliografia: Haykin, S., Sistemas de comunicação: analógicos e digitais, 4a. edição, Editora Bookman, 004. (número da biblioteca é H419c, em inglês). A parte correspondente a matéria da P4 corresponde aos capítulos: 5, até a seção 5.4, inclusive; 6, até a seção, 6.5, partes vistas em sala. A parte correspondente ao exame inclui o restante do capítulo 5 e as partes do capítulo 6 correspondentes a probabilidade de erro de símbolo/bit. A referência acima é muito mais extensa do que as notas de aula e possui muito mais conteúdo do que o apresentado. Use estas notas de aula como base do que deve ser estudado ou não. Os exercícios para a segunda prova são, do livro acima: (a) Os exercícios para o exame serão fornecidos em breve. 15

16 Figure 1: Comparação de eficiência espectral 16 e desempenho de diversas modulações