Incertezas nas medidas O objectivo de qualquer medição é avaliar um produto ou o resultado, aceitando ou rejeitando esse produto ou esse teste (e. calibração, inspecção, investigação científica, comércio, indústria, etc.) É necessário ter confiança no resultado; É essencial ter uma incerteza associada;
Erro ou incerteza de uma medição: diferença entre o valor medido e o valor aceite como verdadeiro para essa medida ou grandeza. Eactidão: proimidade entre o resultado de uma medida e o seu verdadeiro valor. Precisão (repetibilidade): proimidade entre os resultados repetidos de uma medida, nas mesmas condições. Reprodutibilidade: repetibilidade da medida quando feita em diferentes condições de medição.
O objectivo de qualquer medição não é obter o verdadeiro valor, mas associar-lhe uma incerteza aceitável para a medida em questão. Eactidão versus Precisão Desvio ou tendência de um aparelho de medida
Eactidão e precisão (com e sem desvio) - medidas - verdadeiro valor
Apresentação da incerteza medida de = med δ Valor de : entre ( - δ) e ( + δ) A garantia de que o valor de se encontra naquele intervalo nem sempre é razoável; Nestas situações associa-se a este intervalo um nível de confiança de que a medida aí se encontra. Para estabelecer este nível de confiança, necessitamos de um estudo da estatística envolvida na medição.
Algumas regras básicas na apresentação das incertezas As incertezas devem ser apresentadas com apenas 1 algarismo significativo (ecepção se algarismo é 1): 9,82 0,0342 (m s -2 ) ; 9,82 0,03 (m s -2 ) O último algarismo significativo do valor medido deve ser da mesma ordem de grandeza do que a incerteza: - 6051,78 30 (m s -1 ) ; 6050 30 (m s -1 )
Nos cálculos intermédios, deve manter-se +1 algarismo significativo, para evitar erros adicionais introduzidos por arredondamentos. O nº correcto de algarismos significativos deve ser aplicado no resultado final. as unidades das incertezas são as mesmas do valor medido: (1,61 0,05)10-12 F
Erro absoluto e erro relativo med med med med med 100% O erro relativo é adimensional. Como associar uma incerteza ou erro a uma determinada medida?
Tipos de erros - aleatórios: valores medidos estão dispersos em torno do valor médio. Pode ser reduzida através da repetição das medidas. - sistemáticos: devidos a desvios não aleatórios introduzidos nas diferentes medidas. Geralmente causados pelo aparelho de medida, observador e/ou condições ambientais
Algumas origens para os erros aleatórios: - resolução do instrumento de medida; - histerese - ruído - radiação - contaminação de materiais - correntes de ar
Algumas origens para os erros sistemáticos: Aparelhos de medida - ajuste do zero do aparelho de medida - alinhamento dos aparelhos de medida (e: óptica) - histerese - uso e fatiga dos aparelhos de medida - polarização deficiente (e: aparelhos eléctricos)
Algumas origens para os erros sistemáticos: Ambiente -Temperatura -Pressão - humidade - vibrações - campos eléctricos e magnéticos eternos
Algumas origens para os erros sistemáticos: Erros de observação -leitura - paralae - estimativa por interpolação - memória
Avaliação da incerteza GUM Guide to Uncertainty in Measurement, 1993 - Tipo A (erros aleatórios): aqueles que podem ser avaliados através de processos estatísticos. Cada resultado é epresso com uma incerteza que será combinada para calcular a incerteza total. - Tipo B (Erros sistemáticos ): avaliados de forma não estatística. A função de densidade de probabilidade é considerada conhecida. A incerteza é também utilizada para calcular a incerteza total.
Eemplo de medidas afectadas por erros aleatórios Medidas do tempo de queda de um objecto de uma altura h=2m. Nºmedida 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Valor (s) 0.69 0.84 0.55 0.66 0.68 0.59 0.62 0.75 0.63 0.64 Nº medida 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Valor (s) 0.66 0.69 0.59 0.58 0.63 0.71 0.52 0.62 0.69 0.49 t =0,64 s =0,079 s 1 N i N 1 i
Desvio padrão 1 2 N i i Desta forma os desvios não se anulam Quanto menor for, maior precisão terão as medidas: Desvios da média, d i 0 1 ) ( 1 N N d d i i i i
n. medidas Histograma de ocorrência 7 6 Função de Gauss 5 4 3 2 1 0 0 00,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,4 0,3 0,5 0,40,6 0,50,70,60,80,7 0,9 0,8 1 0,9 1,1 1,2 1 1,1 1,2 t (s) Intervalos de tempo: 0,05 s
Função normal ou de Gauss: G ( m) 2 2 G ( ) K e 2 valor mais provável desta distribuição parâmetro relacionado com largura da distribuição probabilidade de ocorrência do valor mais provável Nº total de ocorrências: Quando o número de medidas é elevado: N G( ) d m G
Curva da Gauss Intervalos de confiança Intervalo área debaio curva Desvio padrão Cálculo da área m m G G( ) d G N 68,3% m m 2 2 G G( ) d G N 95,5%
Para um conjunto de N medidas, i : i N i é o seu valor médio i N 1 i 2 é o desvio quadrático médio ou desvio padrão m N é o desvio padrão da média O valor de uma grandeza obtido a partir de um conjunto de N medidas será dado por m
maior nº de medidas maior precisão?? m N Para n 12, a melhoria em m deia de ser significativa.
- Distribuição normal: geralmente aceite e escolhida para representar processos aleatórios - Pequenas amostras: Distribuição Student-t - Y 1 Y t N 2 0 1 N 2 t X N http://mathworld.wolfram.com/studentst-distribution.html
Erros tipo B avaliação não estatística Pretende-se associar uma incerteza, determinada por: -Calibração ou resolução dos aparelhos de medida; - estimativa de efeitos ambientais - monotorização de efeitos que influenciam as medidas - desvios do observador, paralae. - análise de dados obtidos anteriormente - eperiência desempenha papel importante.
3 tipos de funções de distribuição de probabilidade usadas: - normal ou de Gauss. E. calibração de aparelhos - Rectangular. E. escala dos aparelhos de medida - U-shaped (utilizada em medidas de frequência)
Distribuição rectangular ou uniforme http://mathworld.wolfram.com/uniformdistribution.html i -a -- i i +a + i 1 2 a a 2 1 i a a 12 2 i 1 3 a Desvio padrão associado à distribuição rectangular
Incertezas Tipo B Incerteza padrão = Limite de incerteza factor de transformação Tipo de densidade de probabilidade Fator de correcção Normal ou de Gauss 0,5 Rectangular ou uniforme 1/ = 0,6 U-shaped 1/ = 0,7 2 3
Fórmula de propagação de erros (Tipo A e B) f (,y,z) : função de várias variáveis d, y dy, z dz : incertezas em cada uma das variáveis Erro máimo em f(,y,z) (grandezas correlacionadas) f df f d f y dy f z dz Estatística (grandezas não correlacionadas): f f 2 f y y 2 f z z 2
Incerteza padrão combinada (GUM) U c U tipoa 2 U tipob 2 (Lei de propagação da incerteza) Incerteza epandida - Factor k U ep U c k -Nível de confiança, p - k=2 p=95% - k=3 p=99%
Modelo para realizar medição Medir os vários i Associar a cada i uma incerteza u(i) Tipo A Tipo B Dist. Normal Desvio padrão(ua) média Dist. Normal Fator=1/k * Dist. uniforme Fator=0,6 U A,1,2, n U B1,2,.. U B4,5, Incerteza padrão combinada (Uc) Incerteza padrão epandida = Uc k * - k é definido em seguida
Relatório da Incerteza padrão (Uncertainty budget)
Embora o GUM aconselhe procedimentos para a obtenção de uma incerteza associada a uma medição, não pode substituir o pensamento crítico, a honestidade intelectual e o profissionalismo. A avaliação da incerteza não é nem uma operação de rotina nem de matemática apenas; depende fortemente do conhecimento da natureza da grandeza a medir e do processo de medição. ISO/TAG 4/WG3, Guide to the Epression of Uncertainty in Measurement