Aluno (a): Série: 3ª Turma: TUTORIAL 5R Ensino Médio Equipe de Matemática Data: MATEMÁTICA Conjunto dos números racionais O conjunto dos números racionais é uma ampliação do conjunto dos números inteiros. O conjunto formado pelos números racionais é o conjunto formado pelos números que podem ser escritos sob a forma de uma fração com numerador e denominador inteiros, sendo o denominador diferente de zero. É representado pela letra Q. São exemplos de racionais: -1, 0, 2,,.. Se o numerador é menor do que o denominador a fração é chamada de própria. Se o numerador é maior que o denominador temos uma fração imprópria. Toda fração imprópria pode ser expressa sob a forma de um número misto. 5 2 1 Ex: 3 3 Um exemplo interessante de número racional é dado pelas dízimas periódicas, que indicam divisões que nunca têm fim. Experimente dividir 2 por 3. O que ocorrerá? Outros exemplos: Observe o desenho abaixo: O conjunto de Q é uma ampliação do conjunto Z. Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem - 1 - NANDA/MAIO/2014-474
Outros subconjuntos de Q: Q * é o conjunto dos números racionais diferentes de zero; Q + é o conjunto dos números racionais positivos e o zero; Q - é o conjunto dos números racionais, negativos e o zero; Q + * é o conjunto dos números racionais e positivos; Q - * é o conjunto dos números racionais negativos. Obs.: Não existe a divisão por zero. Números racionais Números Racionais Positivos Esses números são quocientes de dois números inteiros com sinais iguais. (+8) : (+5) = (-3) : (-5) = Números Racionais Negativos São quocientes de dois números inteiros com sinais diferentes. (-8) : (+5) = (-3) : (+5) = Números Racionais: Escrita Fracionária têm valor igual a e representam o número racional. Obs.: Todo número inteiro é um número racional, pois pode ser escrito na forma fracionária: Denominamos número racional o quociente de dois números inteiros (divisor diferente de zero), ou seja, todo número que pode ser colocado na forma fracionária, em que o numerador e denominador são números inteiros. Números Racionais Representação Decimal de uma Fração Ordinária Podemos transformar qualquer fração ordinária em número decimal, devendo para isso dividir o numerador pelo denominador da mesma. Exemplos: Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem - 2 - NANDA/MAIO/2014-474
Converter em número decimal. Logo, é igual a 0,75 (que é um decimal exato). Converta em número decimal. Logo, é igual a 0,333... que é uma dízima periódica simples. Converta em número decimal. Logo, é igual a 0,8333... que é uma dízima periódica composta. Dízima Periódicas Há frações que não possuem representação decimal exata. Por exemplo: = 0,333... = 0,8333... Aos numerais decimais em que há repetição periódica e infinita de um ou mais algarismos, dá-se o nome de numerais decimais periódicos ou dízimas periódicas. Em uma dízima periódica, o algarismo ou algarismo que se repetem infinitamente constituem o período dessa dízima. As dízimas classificam-se em dízimas periódicas simples e dízimas periódicas compostas. Exemplos: = 0,555... (Período: 5) = 2,333... (Período: 3) = 0,1212... (Período: 12) São dízimas periódicas simples, uma vez que o período apresenta-se logo após a vírgula. = 0,0222... Período: 2 Parte não periódica: 0 = 1,15444... Período: 4 Parte não periódica: 15 = 0,1232323... Período: 23 Parte não periódica: 1 São dízima periódicas compostas, uma vez que entre o período e a vírgula existe uma parte não periódica. Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem - 3 - NANDA/MAIO/2014-474
Observações 1. Consideramos parte não periódica de uma dízima o termo situado entre a vírgula e o período. Excluímos, portanto, da parte não periódica o inteiro. 2. Podemos representar uma dízima periódica das seguintes maneiras: 0,555... ou 0, ou 0,0222... ou ou 2,333... ou 2, ou 2 1,15444... ou 1,15 ou 1,15 0,121212... ou 0, 0,1232323... ou 0, Geratriz de uma dízima periódica É possível determinar a fração (número racional) que deu origem a uma dízima periódica. Denominamos esta fração de geratriz da dízima periódica. Procedimentos para determinação da geratriz de uma dízima: Dízima simples A geratriz de uma dízima simples é uma fração que tem para numerador o período e para denominador tantos noves quantos forem os algarismos do período. Exemplos: Dízima Composta: A geratriz de uma dízima composta é uma fração da forma, onde n é a parte não periódica seguida do período, menos a parte não periódica. d tantos noves quantos forem os algarismos do período seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não periódica. Exemplos: Introdução Numeração decimal A figura nos mostra um paralelepípedo com suas principais dimensões em centímetros. Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem - 4 - NANDA/MAIO/2014-474
Essas dimensões são apresentadas sob a forma de notação decimal, que corresponde a uma outra forma de representação dos números racionais fracionários. A representação dos números fracionária já era conhecida há quase 3.000 anos, enquanto a forma decimal surgiu no século XVI com o matemático francês François Viète. O uso dos números decimais é bem superior ao dos números fracionários. Observe que nos computadores e nas máquinas calculadoras utilizamos unicamente a forma decimal. Frações Decimais Observe as frações: Assim: Os denominadores são potências de 10. Denominam-se frações decimais, todas as frações que apresentam potências de 10 no denominador. Adição e Subtração Operações com números racionais Para simplificar a escrita, transformamos a adição e subtração em somas algébricas. Eliminamos os parenteses e escrevemos os números um ao lado do outro, da mesma forma como fazemos com os números inteiros. Exemplo 1: Qual é a soma: Exemplo 2: Calcule o valor da expressão Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem - 5 - NANDA/MAIO/2014-474
Multiplicação e divisão Na multiplicação de números racionais, devemos multiplicar numerador por numerador, e denominador por denominador, assim como é mostrado nos exemplos abaixo: Na divisão de números racionais, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda, como é mostrado no exemplo abaixo: Potenciação e radiciação Na potenciação, quando elevamos um número racional a um determinado expoente, estamos elevando o numerador e o denominador a esse expoente, conforme os exemplos abaixo: Na radiciação, quando aplicamos a raiz quadrada a um número racional, estamos aplicando essa raiz ao numerador e ao denominador, conforme o exemplo abaixo: Adição Considere a seguinte adição: 1,28 + 2,6 + 0,038 Transformando em frações decimais, temos: Operações com números racionais decimais Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem - 6 - NANDA/MAIO/2014-474
Método prático 1º) Igualamos o números de casas decimais, com o acréscimo de zeros; 2º) Colocamos vírgula debaixo de vírgula; 3º) Efetuamos a adição, colocando a vírgula na soma alinhada com as demais. Exemplos: 1,28 + 2,6 + 0,038 35,4 + 0,75 + 47 6,14 + 1,8 + 0,007 Subtração Considere a seguinte subtração: 3,97-2,013 Transformando em fração decimais, temos: Método prático 1º) Igualamos o números de casas decimais, com o acréscimo de zeros; 2º) Colocamos vírgula debaixo de vírgula; 3º) Efetuamos a subtração, colocando a vírgula na diferença, alinhada com as demais. Exemplos: 3,97-2,013 17,2-5,146 9-0,987 Multiplicação Considere a seguinte multiplicação: 3,49 2,5 Operações com números racionais decimais Transformando em fração decimais, temos: Método prático Multiplicamos os dois números decimais como se fossem naturais. Colocamos a vírgula no resultado de modo que o número de casas decimais do produto seja igual à soma dos números de casas decimais do fatores. Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem - 7 - NANDA/MAIO/2014-474
Exemplos: 3,49 2,5 1,842 0,013 Observação: 1. Na multiplicação de um número natural por um número decimal, utilizamos o método prático da multiplicação. Nesse caso o número de casas decimais do produto é igual ao número de casas decimais do fator decimal. Exemplo: 5 0,423 = 2,115 2. Para se multiplicar um número decimal por 10, 100, 1.000,..., basta deslocar a vírgula para a direita uma, duas, três,..., casas decimais. Exemplos: 3. Os números decimais podem ser transformados em porcentagens. Exemplos 0,05 = = 5% 1,17 = = 117% 5,8 = 5,80 = = 580% Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem - 8 - NANDA/MAIO/2014-474
Operações com números racionais decimais Divisão 1º: Divisão exata Considere a seguinte divisão: 1,4 : 0,05 Transformando em frações decimais, temos: Método prático 1º) Igualamos o números de casas decimais, com o acréscimo de zeros; 2º) Suprimimos as vírgulas; 3º) Efetuamos a divisão. Exemplos: 1,4 : 0,05 Efetuado a divisão Igualamos as casa decimais: 1,40 : 0,05 Suprimindo as vírgulas: 140 : 5 Logo, o quociente de 1,4 por 0,05 é 28. 6 : 0,015 Igualamos as casas decimais 6,000 : 0,015 Suprimindo as vírgulas 6.000 : 15 Logo, o quociente de 6 por 0,015 é 400. Efetuando a divisão 4,096 : 1,6 Efetuando a divisão Igualamos as casas decimais 4,096 : 1,600 Suprimindo as vírgulas 4.096 : 1.600 Observe que na divisão acima o quociente inteiro é 2 e o resto corresponde a 896 unidades. Podemos prosseguir a divisão determinando a parte decimal do quociente. Para a determinação dos décimos, colocamos uma vírgula no quociente e acrescentamos um zero resto, uma vez que 896 unidades corresponde a 8.960 décimos. Continuamos a divisão para determinar os centésimos acrescentando outro zero ao novo resto, uma vez que 960 décimos correspondem a 9600 centésimos. Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem - 9 - NANDA/MAIO/2014-474
Operações com números racionais decimais O quociente 2,56 é exato, pois o resto é nulo. Logo, o quociente de 4,096 por 1,6 é 2,56. Representação Decimal de uma Fração Ordinária Podemos transformar qualquer fração ordinária em número decimal, devendo para isso dividir o numerador pelo denominador da mesma. Exemplos: Converta em número decimal. Logo, é igual a 0,75 que é um decimal exato. Converta em número decimal. Logo, é igual a 0,333... que é uma dízima periódica simples. Converta em número decimal. Logo, é igual a 0,8333... que é uma dízima periódica composta. Dízima Periódicas Há frações que não possuem representação decimal exata. Por exemplo: = 0,333... = 0,8333... Aos numerais decimais em que há repetição periódica e infinita de um ou mais algarismos, dá-se o nome de numerais decimais periódicos ou dízimas periódicas. Em uma dízima periódica, o algarismo ou algarismo que se repetem infinitamente, constituem o período dessa dízima. As dízimas classificam-se em dízimas periódicas simples e dízimas periódicas compostas. Exemplos: Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem - 10 - NANDA/MAIO/2014-474
= 0,555... (Período: 5) = 2,333... (Período: 3) = 0,1212... (Período: 12) São dízimas periódicas simples, uma vez que o período apresenta-se logo após a vírgula. = 0,0222... Período: 2 Parte não periódica: 0 = 1,15444... Período: 4 Parte não periódica: 15 = 0,1232323... Período: 23 Parte não periódica: 1 São dízima periódicas compostas, uma vez que entre o período e a vírgula existe uma parte não periódica. Observações 1. Consideramos parte não periódica de uma dízima o termo situado entre a vírgula e o período. Excluímos portanto da parte não periódica o inteiro. 2. Podemos representar uma dízima periódica das seguintes maneiras: 0,555... ou ou 0,0222... ou ou 2,333... ou ou 1,15444... ou ou 0,121212... ou 0,1232323... ou Operações com números racionais decimais Potenciação As potências nas quais a base é um número decimal e o expoente um número natural seguem as mesma regras desta operação, já definidas. Assim: (3,5) 2 = 3,5 3,5 = 12,25 (0,64) 1 = 0,64 (0,4) 3 = 0,4 0,4 0,4 = 0,064 (0,18) 0 = 1 Raiz Quadrada A raiz quadrada de um número decimal pode ser determinada com facilidade, transformando o mesmo numa fração decimal. Assim: Expressões Numéricas No cálculo de expressões numérico envolvendo números decimais seguimos as mesmas regras aplicadas às expressões com números fracionários. Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem - 11 - NANDA/MAIO/2014-474
Em expressões contendo frações e números decimais, devemos trabalhar transformando todos os termos em um só tipo de número racional. Exemplo: = 0,05 + 0,2 0,16 : 0,4 + 0,25 = 0,05 + 0,032 : 0,4 + 0,25 = 0,05 + 0,08 + 0,25 = 0,38 Em expressões contendo dízimas, devemos determinar imediatamente suas geratrizes. Exemplos: Problemas com Números Racionais Quando formos resolver um problema com um número racional envolvendo partes, devemos prestar atenção na hora de comparar as partes com o todo e de transformar essa comparação em uma fração. Por exemplo, se um refresco contém uma parte de suco concentrado e cinco partes de água, o suco corresponderá a do refresco e a água a do refresco. Exercícios: 1. Sejam x e y números reais dados por suas representações decimais x = 0,111... y = 0,999... Pode-se afirmar que a) x + y = 1 b) x y = 8/9 c) xy = 0,9 d) 1/(x + y) = 0,9 e) xy = 1 Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem - 12 - NANDA/MAIO/2014-474
2. Um litro de água deverá ser dividido em três recipientes A, B e C. Após esta divisão, o volume de água no recipiente A deverá ser 0,1666666... do litro, enquanto o volume de água no recipiente B deverá ser 0,3333... do litro. Portanto, o volume de água do recipiente C, em mililitros, será igual a a) 125 b) 200 c) 250 d) 333 e) 500 3. Para o reflorestamento de uma área, deve-se cercar totalmente, com tela, os lados de um terreno, exceto o lado margeado pelo rio, conforme a figura. Cada rolo de tela que será comprado para confecção da cerca contém 48 metros de comprimento. A quantidade mínima de rolos que deve ser comprada para cercar esse terreno é a) 6 b) 7 c) 8 d) 11 e) 12 4. Em certo teatro, as poltronas são divididas em setores. A figura apresenta a vista do setor 3 desse teatro, no qual as cadeiras escuras estão reservadas e as claras não foram vendidas. A razão que representa a quantidade de cadeiras reservadas do setor 3 em relação ao total de cadeiras desse mesmo setor é a) 17/70 b) 17/53 c) 53/70 d) 53/17 e) 70/17 Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem - 13 - NANDA/MAIO/2014-474
5. Para se construir um contrapiso, é comum, na constituição do concreto, se utilizar cimento, areia e brita, na seguinte proporção: 1 parte de cimento, 4 partes de areia e 2 partes de brita. Para construir o contrapiso de uma garagem, uma construtora encomendou um caminhão betoneira com 14 m 3 de concreto. Qual é o volume de cimento, em m 3, na carga de concreto trazido pela betoneira? a) 1,75 b) 2,00 c) 2,33 d) 4,00 e) 8,00 6. O número natural X, ao ser multiplicado por 1/3, fica alterado de 20 unidades. O número natural Y, ao ser dividido por 1/4, fica alterado de 60 unidades. Então, X + Y + 80 é igual a a) 30 b) 50 c) 70 d) 130 e) 190 7. Uma cafeteria vende o café expresso e o carioca, duas modalidades de café. O expresso é feito com 1 parte de café solúvel diluída em 8 partes de água quente, enquanto o carioca é feito com 1 parte de café solúvel diluída em 14 partes de água quente. Pode-se, no entanto, fazer o carioca diluindo-se x partes do expresso em y partes de água, se a razão a) b) c) d) e) for igual a 8. Colocando-se 24 litros de combustível no tanque de uma caminhonete, o ponteiro do marcador, que indicava do tanque, passou a indicar. A capacidade total do tanque de combustível da caminhonete é, em litros: a) um número primo b) um número ímpar c) menor que 60 d) racional, não inteiro e) um quadrado perfeito 9. Em uma urna há bolas verdes e bolas amarelas. Se retirarmos uma bola verde da urna, então um quinto das bolas restantes é de bolas verdes. Se retirarmos nove bolas amarelas, em vez de retirar uma bola verde, então um quarto das bolas restantes é de bolas verdes. O número total de bolas que há inicialmente na urna é Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem - 14 - NANDA/MAIO/2014-474
a) 21 b) 36 c) 41 d) 56 e) 61 10. Tinta e solvente são misturados na razão de dez partes de tinta para uma parte de solvente. Sabendo-se que foram gastos 105,6 litros dessa mistura para pintar uma casa, então o número de litros de solvente que foram usados nessa mistura é igual a a) 10,56 litros b) 10 litros c) 9,6 litros d) 1,056 litros e) 11,73 litros Gabarito: 1) D; 2) E; 3) C; 4) A; 5) B; 6) E; 7) D; 8) E; 9) E; 10) C. Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem - 15 - NANDA/MAIO/2014-474