Teste de Procedimentos Gerais Teste de média Z para 1 amostra Teste de média t para 1 amostra Teste de variância para 2 amostras A Distribuição de Fisher Teste de média t para 2 amostras Teste de média para Observações Emparelhadas Teste de proporções 1
Erros e Na afirmação: Uma pessoa é considerada inocente até que se prove o contrário pois é um erro maior condenar um inocente do que libertar um culpado., defina: Erros Tipo I e Tipo II Nula e Alternativa RC RC Decisão Situação Real Real Ho Ho H1 H1 Ho Ho Correta Erro Erro II II H1 H1 Erro Erro I I α β β Correta 2
Testes Paramétricos e Não Paramétricos Paramétricos Não Paramétricos H o : Dados Normais H 1 : Dados não normais P_value 3
Algoritmo Básico de Implementação No Minitab: Análise do p-value! 4
Exemplo de Algoritmo Básico Teste de dois tipos de Amplificadores Amostra de 25 amplificadores 5
Exemplo de Algoritmo Básico 6
Marcianos ou Venusianos? Ver Programa John Hattie e Teste_ (flash) 7
Teste de média Z para 1 amostra Exemplo Processo de fabricação de latas A Resistência ao Estufamento das latas para a inspeção final deve ser maior que 90 psi. Tal resistência obedece a uma distribuição normal com desvio padrão de 1 psi. As medidas da Resistência para uma determinada linha/turno estão dadas na planilha Resistência.MTW Teste a Hipótese de que as medidas da Resistência ao Estufamento estão dentro do limite de especificação. (Prove que as medidas são maiores que 90) Resistência.MTW 8
<1-Sample Z> Geralmente não é fornecido H 1 é geralmente o que se deseja provar 9
1-Sample Z: Resultados One-Sample Z: Resistencia H0 H1 Uma boa regra: Quando P_value< 0,05, rejeita-se H o Test of mu = 90 vs mu > 90 The assumed sigma = 1 Valor dentro da Região Crítica Variable N Mean StDev SE Mean Resistencia 15 91,111 0,834 0,258 Variable 95,0% Lower Bound Z P Resistencia 90,686 4,30 0,000 Região Crítica Rejeita-se H0 10
1-Sample Z: Histograma Histogram of Resistencia (with Ho and 95% Z-confidence bound for the mean, and sigma = 1,0000) 6 5 4 A média pertence a região crítica para rejeição de H o Frequency 3 2 1 0 Ho [ X _ 89,5 90,0 90,5 91,0 91,5 92,0 92,5 93,0 Resistencia 11
Teste de média t para 1 amostra Exemplo Processo de fabricação de latas A especificação da Largura da Flange das latas para a inspeção final é definida como 0.082 +/- 0.010 e obedece a uma distribuição normal. As medidas da Largura da Flange para uma determinada linha/turno estão dadas na planilha. Teste a Hipótese de que as medidas da Largura da Flange estão dentro do limite de especificação. (Prove que os valores são em média maiores que 0,072 e menores que 0,092 ) flange.mtw 12
<1-Sample t> Teste 1 Teste 2 13
1-Sample t: Resultados One-Sample T: Largura Flange H0 H1 Test of mu = 0,092 vs mu < 0,092 Variable N Mean StDev SE Mean Largura Flan 15 0,083522 0,003446 0,000890 Variable 95,0% Upper Bound T P Largura Flan 0,085089-9,53 0,000 Rejeita-se H0 One-Sample T: Largura Flange H0 H1 Test of mu = 0,072 vs mu > 0,072 Variable N Mean StDev SE Mean Largura Flan 15 0,083522 0,003446 0,000890 Variable 95,0% Lower Bound T P Largura Flan 0,081955 12,95 0,000 Rejeita-se H0 14
1-Sample t: Histogramas Histogram of Largura Flange (with Ho and 95% t-confidence bound for the mean) O Teste t é usado para comparar médias quando o desvio padrão da população é desconhecido Frequency 5 4 3 2 1 Histogram of Largura Flange (with Ho and 95% t-confidence bound for the mean) 0 [ _ X 5 0,079 0,081 0,083 0,085 0,087 Largura Flange 0,089 0,091 4 Frequency 3 2 1 0 0,079 0,081 0,083 _ X 0,085 Largura Flange ] 0,087 0,089 0,091 Ho O teste t é usado na maioria dos casos. O termo t deve-se ao estatístico Gosset que criou a distribuição t de Student. 15
Exemplo Processo de fabricação de latas Dois tipos de Bico de Aplicação de verniz (Tipo I e Tipo II) foram avaliados. Deseja-se investigar o efeito desses dois Bicos com relação ao Peso do Verniz (em mg) medido após o processo. Tais medidas são dadas na planilha ao lado. As variâncias são iguais? (Teste a Hipótese nula de que os dois bicos produzem um peso de Verniz com mesma variância, ou seja, mesma dispersão). Teste de Variância para 2 amostras Peso_Verniz.MTW 16
<2 Variances> Usando 2 Variances Obs.: Teste o Procedimento Stack Columns 17
2 Variances Levine s Test Test for Equal Variances 95% Confidence Intervals for Sigmas Factor Levels 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 F-Test Test Statistic: 2.738 P-Value : 0.150 Verniz_tipo1 Verniz_tipo2 Levene's Test Test Statistic: 1.505 P-Value : 0.236 Prefira sempre pois independe da distribuição dos dados Verniz_tipo1 Boxplots of Raw Data As variâncias são iguais! Verniz_tipo2 110.0 110.5 111.0 111.5 112.0 112.5 18
2 Variances Teste F de Fisher 1.500 Probability Density Function y=f(x,10,10) A Distribuição F de Fisher 1.125 0.750 0.375 O Teste F testa se duas Variâncias são iguais. Em caso de Variâncias idênticas, F=1. Tal distribuição é geralmente utilizada para cálculos manuais pois é tabelada! 0.000 0 1 2 3 4 19
<Anova> <Test for equal variances> USANDO Test for Equal Variances (melhor!!!) Level1 Level2 Verniz_tipo1 Verniz_tipo2 ConfLvl 95.0000 Bonferroni confidence intervals for standard deviations Lower Sigma Upper N Factor Levels 0.358564 0.548160 1.10380 10 Verniz_tipo1 0.216713 0.331303 0.66713 10 Verniz_tipo2 F-Test (normal distribution) Test Statistic: 2.738 P-Value : 0.150 Levene's Test (any continuous distribution) Test Statistic: 1.505 <Anova> <test for equal variances> Esse método é melhor pois pode testar mais que dois conjuntos de dados. P-Value : 0.236 (variâncias iguais) 20
Teste de média t para 2 amostras Exemplo: Em relação ao problema anterior, teste se as médias são diferentes. (Peso_Verniz.MTW) Do teste de Levene 21
<2-Sample t> Two-Sample T-Test and CI: Verniz_tipo1, Verniz_tipo2 Two-sample T for Verniz_tipo1 vsverniz_tipo2 N Mean StDev SE Mean Verniz_t 10 110.792 0.548 0.17 Verniz_t 10 112.205 0.331 0.10 Difference = mu Verniz_tipo1 - mu Verniz_tipo2 Estimate for difference: -1.413 95% CI for difference: (-1.838, -0.987) T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = -6.97 P-Value = 0.000 DF = 18 Both use Pooled StDev = 0.453 Médias diferentes 22
2-Sample t: Boxplots Boxplots of Verniz_t1 and Verniz_t2 (means are indicated by solid circles) 112.5 112.0 111.5 111.0 110.5 110.0 Verniz_t Verniz_t 23
Exemplo Suspeita-se que dois funcionários estão monitorando o Manômetro do processo de Minster de uma forma desigual. Para diferentes pressões foram lidas (de uma forma emparelhada) os resultados da planilha. Teste a Hipótese Nula de que os dois operadores tem o mesmo desempenho. Teste para observações emparelhadas Processo de fabricação de latas Oper_Pressao.MTW 24
<Paired t> 25
Paired t: Resultados Paired T-Test and CI: Operador 1, Operador 2 Paired T for Operador 1 - Operador 2 N Mean StDev SE Mean Operador 1 10 194 428 135 Operador 2 10 196 428 135 Difference 10-2.400 1.075 0.340 95% CI for mean difference: (-3.169, -1.631) T-Test of mean difference = 0 (vs not = 0): T-Value = -7.06 P-Value = 0.000 Médias diferentes 26
Paired t: Boxplot Boxplot of Differences (with Ho and 95% t-confidence interval for the mean) [ _ ] X Ho -4-3 -2-1 0 Differences 27
Teste para proporção de 1 amostra Exemplo: Durante a Inspeção final da lata acabada a especificação define que entre 6 latas (vistas a cada hora em cada linha) 5 não devem apresentar defeitos visuais por palete. As inspeções correspondentes a 24 horas são feitas para dois dias em meses diferentes (admita que a proporção se mantenha constante ao longo dos dois dias). Temos Assim: Dia 1: 12 Defeitos Visuais em 144 Latas Inspecionadas Dia 2: 23 Defeitos Visuais em 144 Latas Inspecionadas Teste a Hipótese Nula de que as duas proporções atendem às especificações. 28
<1 Proportion> Teste 1 Teste 2 Uma lata em cada 6 são defeituosas 1/6=0,166667 29
1 Proportion: Resultados Test and CI for One Proportion Test of p = 0,166667 vs p > 0,166667 Exact Sample X N Sample p 95,0% Lower Bound P-Value 1 23 144 0,159722 0,111691 0,623 Test and CI for One Proportion Test of p = 0,166667 vs p > 0,166667 Estão dentro da especificação Exact Sample X N Sample p 95,0% Lower Bound P-Value 1 12 144 0,083333 0,048788 0,999 30
<2 Proportions> Em relação ao exemplo anterior, Teste a Hipótese Nula de que as duas proporções são iguais. 31
2 Proportions: Resultados Test and CI for Two Proportions Sample X N Sample p 1 12 144 0,083333 2 23 144 0,159722 Estimate for p(1) - p(2): -0,0763889 95% CI for p(1) - p(2): (-0,151343; -0,00143469) Test for p(1) - p(2) = 0 (vs not = 0): Z = -1,98 P-Value = 0,047 São diferentes 32
Análise Bidimensional Distribuição Conjunta A Distribuição Conjunta é usada para o estudo da associabilidade entre variáveis. Ex.: A partir de uma renda familiar podemos estimar a classe social de uma pessoa, pois sabemos da existência de dependência entre essas duas variáveis. Como ver a associação das variáveis na Distribuição Conjunta abaixo? X Y Economia Administração Total Masculino 85 55 140 Feminino 35 25 60 Total 120 80 200 Distribuição conjunta das freqüências das variáveis X (Curso) e Y (Sexo) 33
Ex.: Independência de Eventos X Y Economia Administração Total Masculino 85 55 140 Feminino 35 25 60 Total 120 80 200 Distribuição conjunta das freqüências das variáveis X (curso) e Y (sexo) X Y Masculino Feminino Total Distribuição conjunta das proporções Economia 61% 58% 60% em relação aos totais de cada coluna. Independente do sexo, 60% preferem Administração 39% 42% 40% Economia e 40% preferem Total 100% 100% 100% Administração X Y Masculino Feminino Total Distribuição conjunta das proporções Economia Administração Total 71% 69% 70% 29% 31% 30% 100% 100% 100% em relação aos totais de cada linha. Independente do Curso, 70% é Masculino e 30% é feminino 34
<Chi-Square Test> X Y Economia Administração Total Masculino Feminino 85 35 55 25 140 60 Escola A Total 120 80 200 Desenvolva a análise de Independência de Eventos para cada uma das tabelas, usando o Minitab (Bidimensional.mtw) X Y Masculino Feminino Total <Stat> <Tables> Engenharia 100 20 120 <Cross -Tabulation> C. Sociais Total 20 120 60 80 80 200 <Chi-Square Analysis> Escola B 35
Esperados e Observados Estado São Paulo Paraná Rio G.Sul Total Consumidor 214 (33%) 51 (17%) 111 (18%) 376 (24%) Tipo de Cooperativa Produtor Escola Outros 237 (37%) 78 (12%) 119 (18%) 102 (34%) 126 (42%) 22 ( 7%) 304 (51%) 139 (23%) 48 ( 8%) 643 (42%) 343 (22%) 189 (12%) Total 648 (100%) 301 (100%) 602 (100%) 1551 (100%) Distribuição conjunta das proporções em relação aos totais de cada linha. o ij Estado São Paulo Paraná Rio G.Sul Consumidor 156 (24%) 72 (24%) 144 (24%) Tipo de Cooperativa Produtor Escola Outros 272 (42%) 142 (22%) 78 (12%) 127 (42%) 66 (22%) 36 (12%) 254 (42%) 132 (22%) 72 (12%) Total 648 (100%) 301 (100%) 602 (100%) Distribuição conjunta dos valores esperados em relação aos totais das linhas Total 376 (24%) 643 (42%) 343 (22%) 189 (12%) 1551 (100%) e ij 36
Chi-Square Test Estado Tipo de Cooperativa São Paulo Paraná Consumidor 58-21 Produtor -35-25 Escola -64 60 Outros 41-14 nij = oij eij Rio G. Sul -33 50 7-24 Estado São Paulo Paraná Rio G. Sul Qui-Quadrado 2 χ Consumidor 21,56 6,12 7,56 = i j ( o e ) ij e ij Tipo de Cooperativa Produtor ij 4,50 4,92 9,84 2 Escola 28,84 54,54 0,37 = 21,56 + 6,12 Outros 21,55 5,44 8,00 + L+ n ij = ( o e ) ij e ij 8,00 = 173,379 ij 37 2
Cross Tabulation Estado Tipo de Cooperativa Consumidor Produtor Escola Outros Total São Paulo 214 (33%) 237 (37%) 78 (12%) 119 (18%) 648 (100%) Paraná 51 (17%) 102 (34%) 126 (42%) 22 ( 7%) 301 (100%) Rio G.Sul 111 (18%) 304 (51%) 139 (23%) 48 ( 8%) 602 (100%) Total 376 (24%) 643 (42%) 343 (22%) 189 (12%) 1551 (100%) Desenvolva a análise de Independência de Eventos para a tabela, usando o Minitab (Bidimensional.mtw) <Stat> <Tables> <Cross Tabulation> Stacked <Stat> <Tables> <Chi-Square> Unstacked 38
Lembre-se do Cone of Learning! Livro Texto: Montgomery/Runger Capítulo 8: Exemplo 8.8 8.33, 8,35 Exemplo 8.20 Seção 8.8 Capítulo 9: Exemplo 9.5 (ver também 9.3.4) 9.18, 9.19 Exemplo 9.9 9.33, 9.34, 9.35, 9.36, 9.37, 9.38 Fazer os exercícios com resposta usando o Minitab! 39