1 FAMEC Faculdade Metropolitana de Camaçari Engenharias - Ciclo Básico Docente: Henrique Plínio Disciplina: Cálculo 3-2015.2 Discente: Lista 4 Aplicações das Equações Diferenciais Carga Horária: 80 horas I Unidade Nunca fique implorando por aquilo que você tem o poder de obter (Miguel de Cervantes) Crescimento e Decrescimento Exponencial 01. O urânio se decompõe a uma velocidade proporcional à sua quantidade presente. Se inicialmente havia 10 g e depois de 2 horas foi perdido 5% de sua massa original, encontrar:a\z a) A equação que representa a quantidade restante em qualquer tempo t. b) A quantidade de urânio depois de 5 horas. 02. Em uma reação química, a substância M se transforma em outra substância N a uma velocidade proporcional a quantidade inicial de M. Se inicialmente havia 200 g de M e uma hora mais tarde foi constatado que 125 g dessa substância se transformaram na substância N, calcular a porcentagem de M transformada depois de 2 horas. 03. Sabemos que um material radiativo se desintegra proporcionalmente a quantidade existente a cada momento. Em uma análise de laboratório realizada com 60 g desse material, se observou que depois de 3 horas havia somente 80 % da quantidade inicial. Encontrar: a) A equação que expresse a quantidade restante de massa em qualquer tempo; b) A quantidade presente quando após 5 horas; c) Para que valor de t a quantidade de material é ¼ da quantidade inicial? 04. Em uma cultura, há inicialmente bactérias. Uma hora depois, t=1, o número de bactérias passa a ser. Se a taxa de crescimento é proporcional ao número de bactérias presentes, determine o tempo necessário para que o número de bactérias triplique. 05. Sabe-se que certo material se desintegra a uma razão proporcional a quantidade presente. Se após uma hora de observação foi detectado que 20 % desse material havia se desintegrado, determine a meia- vida 1 desse material.. 06. Um reator converte urânio 238 em isótopo de plutônio 239. Após 15 anos, foi detectado que 0,043% da quantidade inicial de plutônio se desintegrou. Encontre a meia-vida desse isótopo, se a taxa de desintegração é proporcional à quantidade remanescente.
2 07.. Um osso fossilizado contém 1/1.000 da quantidade original do C-14. Determine a idade do fóssil, sabendo que a meia-vida do C-14 é aproximadamente 5.600 anos. 08.. Sabe-se que a população de certa comunidade cresce a taxa proporcional ao número de pessoas presentes em qualquer instante. Se a população duplicou em 5 anos, quando ela triplicará? Quando quadruplicará? 09.. Suponha que a população da comunidade do problema 20 seja 10.000 após 3 anos. Qual era a população inicial? Qual será a população em 10 anos? 10. A população de uma cidade cresce a uma taxa proporcional à população em qualquer tempo. Sua população inicial de 500 mil habitantes aumenta 15% em 10 anos. Qual será a população em 30 anos? 11. A população de bactérias em uma cultura cresce a uma taxa proporcional ao número de bactérias presentes em qualquer tempo. Após 3 horas, observa-se que há 400 bactérias presentes. Após 10 horas, existem 2000 bactérias presentes. Qual era o número inicial de bactérias? 12. O isótopo radioativo de chumbo, Pb-209, decresce a uma taxa proporcional à quantidade presente em qualquer tempo. Sua meia-vida é de 3,3 horas. Se 1 grama de chumbo está presente inicialmente, quanto tempo levará para 90% de chumbo desaparecer? 13. Inicialmente, havia 100 miligramas de uma substância radioativa presente. Após 6 horas, a massa diminuiu 3%. Se a taxa de decrescimento é proporcional à quantidade de substância presente em qualquer tempo, encontre a quantidade remanescente após 24 horas. 14. Em um pedaço de madeira queimada, ou carvão, verificou-se que 85,5% do C-14 tinha se desintegrado. Use a informação sobre a meia-vida do C-14 para determinar a idade aproximada da madeira. (Foi precisamente este dado que arqueologistas usaram para datar pinturas pré-históricas e desenhos encontrados nas paredes e no teto de uma caverna em Lascaux, França). 15. O sudário de Turim mostra a imagem, em negativo, do corpo de um homem que aparentemente foi crucificado, e que muitos acreditam ser de Jesus de Nazaré. Em 1988, o Vaticano deu a permissão para datar por carbono o sudário. Três laboratórios científicos e independentes analisaram o tecido e concluíram que o sudário tinha aproximadamente 660 anos 2, idade consistente com seu aparecimento histórico. Usando essa idade, determine a porcentagem da quantidade de C-14 remanescente no tecido em 1988. 16. Uma cientista deseja determinar a meia-vida de certa substância radioativa. Ela determina que em exatamente 5 dias uma amostra 10 miligramas da substância decai para 3,5 miligramas. Baseado nesses dados, qual será a meia-vida?
3 17. Suponha que a cidade de Gray Rock tenha tido uma população de 10.000 habitantes em 1998 e de 12.000 em 2003. Supondo que o modelo de crescimento é exponencial, em que ano a população atingirá 20.000 habitantes? Lei do Esfriamento/Aquecimento de Newton 18. Um termômetro é retirado de dentro de uma sala e colocado do lado de fora, em que a temperatura é de 5ºC. Após 1 minuto, o termômetro marcava 55ºC; após 5 minutos, 30ºC. Qual a temperatura da sala? 19. A lei de resfriamento de Newton também é válida quando o corpo absorve calor do meio ambiente. Se uma pequena barra de metal, cuja temperatura inicial é 20 ºC, é colocada em um vasilhame de água em ebulição, quanto tempo levará para a temperatura da barra atingir 90ºC se é fato conhecido que sua temperatura aumenta 2ºC em 1 segundo. Quanto tempo levará para a temperatura da barra chegar a 98 ºC? 20. Se a temperatura do ar é de 20 ºC e um corpo se resfria em 20 minutos de 100 ºC para 60 ºC, dentro de quanto tempo sua temperatura descerá par a 30 ºC? 21. Um copo de água a uma temperatura de 95 ºC é colocado numa sala com temperatura constante de 21ºC. Quantos minutos levará para a água atingir uma temperatura de 51 ºC se ela esfria a 85 ºC em 1 minuto? 22. Um termômetro marcando 70 ºF é colocado em um forno pré-aquecido a uma temperatura constante. Através de uma janela na porta do forno, um observador verifica que o termômetro marca 110 ºF após ½ min e 145º F após 1 min. Qual é a temperatura do forno? 23. Uma substância se resfria de 100 C para 70 C em 15 minutos estando o ambiente a 20 C. Qual a temperatura depois de 30 minutos? 24. Um corpo a uma temperatura desconhecida é colocado em uma sala onde a temperatura se mantém constante em 18 C. Se depois de 15 minutos a temperatura do corpo era de 8 C e após 25 minutos tinha aumentado mais 4 C, determine a temperatura inicial desse corpo. 25. Se deseja resfriar uma substância que é introduzida em um refrigerador que está a uma temperatura constante de 5 C. Passados 30 minutos a substância se encontra a 8 C e depois de 40 minutos está a 6 C. Determinar a temperatura inicial da substância. 26. Um corpo a uma temperatura de 30 C está no interior de uma estufa cuja temperatura se mantém a 50 C. Após 1 hora a temperatura do corpo é 40 C. Determine: a) A temperatura desse corpo após 2 horas no interior da estufa.
4 b) O tempo necessário para a temperatura do corpo atingir 48 C. 27. Uma barra de metal à 100 F é colocada em um quarto à temperatura constante de 0 F. Se após 20 minutos a temperatura da barra é 50 F, determine: a) O tempo necessário para a barra atingir uma temperatura de 25 F b) A temperatura da barra após 10 minutos. 28. Um corpo com temperatura desconhecida é colocado em um quarto que mantido à temperatura constante de 30 F. Se após 10 minutos a temperatura do corpo é de 0 F e após 20 minutos é de 15 F, determine a temperatura inicial desconhecida. 29. O grande detetive Sherlock Holmes e seu assistente Dr. Watson discutem o assassinato do ator Cornelius McHam. Ele foi ferido à bala na cabeça e o seu ator substituto, Barry Morre foi encontrado de pé sobre o corpo com a arma assassina na mão. Vamos escutá-los: Watson: Caso aberto e fechado Moore é o assassino. Holmes: Não vá tão depressa, Watson você está esquecendo a Lei de Resfriamento de Newton! Watson: O quê? Holmes: Elementar, meu caro Watson Moore foi encontrado de pé sobre McHam às 10h06min da noite, quando o legista anotou a temperatura do corpo do morto de 77,9 ºF e também anotou a que a temperatura no termômetro da sala marcava 72 ºF. Às 11h06min da noite o legista fez outra anotação de que a temperatura do corpo era de 75,6 ºF. Uma vez que a temperatura normal do corpo é de 98,6ºF, e como Moore estava no palco das 6h às 8h da noite, Moore é obviamente inocente. Watson: O quê? Holmes: Ás vezes você é tão obtuso, Watson. Peça para qualquer estudante de Cálculo que conhece Equações Diferenciais e a Lei de Esfriamento/ Aquecimento de Newton resolver isto par você. Watson: Hum... Como é que Holmes sabia que Moore era inocente?
5 GABARITO )) )=, ), ),% ) ) )=, ), ) ), ),!" ),!" ). $ " ). $ " )!%&', ()*!)%&' ) + %.'$'.:., ) -()' $ ". ). ) é!'" ),!" ), / ). $ " ) % * 0 ), *'" ) ), ), ", " ) /'$) " ), /'$) " ) ) 4= ) 4=, ) 4= )) 4= ) = 567 " ) ),567 ) 4, 9 ) 4= 9 Se o seu navio não chega, nada até ele.