Técnico Integrado Módulo: 3 Manhã/Tarde ATIVIDADE EXTRACLASSE Estudo da Gravitação Física 3 Prof. Viriato 25 a 28/10/11. 1. Faça um resumo sobre gravitação, abordando as Leis de Kepler e a Lei da Gravitação Universal de Newton. 2. Escolha e resolva dez problemas do Guia de Estudos 3, que trate das leis de Kepler e de Newton da gravitação. 3. Realize o experimento de acordo com o sorteio feito em sala: Gravitação I, Gravitação II, Gravitação III ou Gravitação IV. Experimentos: Gravitação I (Variação de g com a distância) Prof. Luiz Ferraz Netto leobarretos@uol.com.br Objetivo Esse experimento, que particularmente recomendo para o ensino médio, permitirá estudar a variação da aceleração da gravidade em função da distância ao centro da Terra. Introdução Para conhecer a aceleração da gravidade a diferentes distâncias da Terra (por exemplo, a centenas ou milhares de quilômetros de sua superfície), é preciso estudar o movimento de corpos que se movem a essas distâncias. Você deve saber que não é necessário deixar cair um corpo para que este se mova com uma aceleração igual à aceleração da gravidade. Também se move com esta aceleração um corpo lançado verticalmente para cima ou um corpo lançado horizontalmente ou, ainda, um corpo lançado obliquamente. A trajetória em cada caso é diferente, mas a aceleração resultante é sempre a aceleração da gravidade (desde que não haja outras forças atuando a não ser a força de atração gravitacional exercida pela Terra). Um corpo cujo movimento pode ser estudado facilmente é o da Lua. Calculada a aceleração da Lua em seu movimento ao redor da Terra, verifica-se que esta é muito menor que a aceleração da gravidade existente na superfície da Terra. Isto significa que a aceleração da gravidade na distância em que se encontra a Lua é muito menor que a encontrada na superfície da Terra (admitindo-se que a aceleração da Lua é devida apenas à atração da Terra). Pode-se então concluir que a aceleração diminui com a distância? Será possível estudar com mais detalhes a variação da aceleração com a distância? Para isto é necessário a existência de outros corpos que girem em torno da Terra e cujo movimento possamos estudar. Felizmente, nos últimos anos foi lançada uma quantidade bastante grande destes corpos ao redor da Terra ('satélites artificiais'), e cujos movimentos são conhecidos suficientemente bem para permitir este estudo. A tabela abaixo fornece dados sobre os movimentos de alguns 'velhos' satélites artificiais, colocados em órbitas pelo homem. Esses satélites já não estão mais em órbita, tendo penetrado na atmosfera e se queimado, devido ao atrito com o ar. A tabela fornece o nome do satélite, o ano de lançamento, sua massa, sua altura máxima e mínima (pois suas órbitas muitas vezes são elípticas) em relação à superfície da Terra, o raio médio da órbita, o tempo necessário para efetuar uma volta completa em torno da Terra (período) e aaceleração média. O valor desta aceleração foi calculado, utilizando-se a relação a = 4 R/T 2.
* - As alturas se medem a partir da superfície terrestre. ** - O raio médio da órbita calcula-se com a relação: R m = (P + A)/2 + R Terra [Para o raio médio da Terra toma-se o valor 6 370 km que é um valor médio dos valores medidos, que vão de 6 357 km (Pólo Norte) a 6 378 (Equador). Todos os raios médios da tabela foram 'arredondados' à dezena de km mais próxima.] *** - As acelerações (centrípetas) foram calculadas com os dados orbitais apresentados na tabela. Material 2 folhas de papel milimetrado e 1 régua. Procedimento 1. A partir dos dados da tabela acima, verifique se a aceleração dos satélites depende ou não de sua massa. Para tanto, é necessário comparar as acelerações de satélites de diferentes massas mas que giram a distâncias iguais ou pelo menos próximas. 2. A aceleração depende da distância ao centro da Terra? 3. Sobre uma folha de papei milimetrado, construa um gráfico da aceleração em função da distância ao centro da Terra, que é o raio médio fornecido na tabela. Coloque as acelerações nas ordenadas e as distâncias nas abscissas. O valor inicial das abscissas deve ser 6 000 km. Trace a curva média pelos pontos obtidos. 4. Se a força que mantém os satélites em órbita é uma força de atração gravitacional exercida pela Terra, que é igual ao peso do satélite, que valor de aceleração você espera encontrar a uma distância do centro da Terra igual ao seu raio, ou seja, a 6 370 km? 5. Por extrapolação da curva em seu gráfico, verifique se a sua previsão no item anterior é correta. 2
6. Utilizando o seu gráfico do item 3, verifique de que fator diminui a aceleração quando a distância triplica? Que relação parece existir entre a aceleração da gravidade e a distância ao centro da Terra? 7. Para verificar se a sua previsão no item 6 é correta, construa um gráfico com a aceleração no eixo das ordenadas e o valor 1/R 2 (R é o raio médio) no eixo das abscissas. Para tanto, complete a tabela abaixo e, a partir dela, construa o seu gráfico. 8. Que tipo de curva você obteve em seu gráfico? A curva passa pela origem? Que relação existe entre a aceleração e o raio médio? 3
Objetivo Verificar a Lei das Áreas, de Kepler. Gravitação II (Lei das áreas) Prof. Luiz Ferraz Netto leobarretos@uol.com.br Introdução Kepler descobriu que os planetas em seu trajeto em torno do Sol descrevem órbitas elípticas. Descobriu também que uma linha imaginária (raio vetor), traçada a partir do Sol até o planeta, varre áreas iguais em tempos iguais. Na impossibilidade de se realizar a experiência com os planetas, para a verificação desta lei, seus movimentos serão simulados através de um pêndulo em movimento elíptico (pêndulo cônico). Um corpo pendente de um fio oscilando num pequeno arco, move-se para frente e para trás, descreve uma trajetória aproximadamente horizontal (pêndulo simples). Quando este pêndulo é impulsionado lateralmente, ele descreverá uma trajetória elíptica (pêndulo cônico). O corpo pendente será também o aparelho medidor de tempo. Ele consta de um funil de papel (plástico ou madeira), cheio de areia fina (ou sal). Uma pequena abertura no fundo do funil permitirá a vazão de areia em quantidade constante. Ao oscilar, o funil irá depositando uma quantidade de areia sensivelmente proporcional ao tempo que o funil leva para atravessar o arco. Cada pedaço de papel disposto ao longo do trajeto coletará, portanto, uma massa (medida mediante uma bureta) proporcional ao tempo necessário para o funil passar sobre este papel. Montagem Material 1 suporte universal 1 haste 1 mufa 2 grampos de carpinteiro 1 tijolo ou qualquer objeto pesado 1 folha de cartolina 1 folha de papel sulfite e fio cordoné. Procedimento 1. Com auxílio de um pedaço de cartolina, monte um funil com um pequeno orifício no fundo. O orifício deve ter um diâmetro da ordem de 2 mm. Um funil de plástico pode ser adaptado para esse fim. 4
2. Pendure o funil conforme mostra a ilustração acima. O comprimento do fio deve ser tal que o funil quase toque o chão. 3. Coloque, debaixo do pêndulo, uma folha inteira de cartolina. Marque nessa folha a posição de repouso do pêndulo. 4. Treine diversas oscilações, com o funil carregado de areia mas com o orifício vedado, antes da oscilação definitiva, para obter a órbita aproximada. 5. Coloque pequenos retângulos de papel ao longo da trajetória, conforme indicamos nessa ilustração. 6. Lance o funil, para a oscilação definitiva, com o orifício aberto para que a areia vá escoando. 7. Marque ao longo do trajeto os pares de pontos que limitam cada retângulo de papel (pontos A e B da ilustração a seguir). Determine os comprimentos dos arcos AB da elipse. Esses pontos A e B são os limites do retângulo de papel. 8. Determine a massa (ou volume) de areia depositada sobre cada retângulo de papel. Isso pode ser feito mediante uma bureta. Essa massa (ou volume) representará o intervalo de tempo que o funil necessita para percorrer cada arco AB limitado pelo papel. 9. Determine a área varrida pelo funil ao atravessar cada retângulo de papel (área hachurada na ilustração acima-roxo/preto), em relação ao centro da elipse. Verifique se o funil varre áreas iguais em tempos iguais. Repita a atividade com uma elipse de tamanho diferente da anterior. 5
Gravitação III (movimento dos planetas) Objetivo Estudo do movimento de um planeta em órbita elíptica ao redor do Sol. Prof. Luiz Ferraz Netto leobarretos@uol.com.br Introdução Nesta atividade iremos analisar o movimento de um planeta em sua trajetória elíptica em torno do Sol. Para tanto você construirá uma elipse, que representará essa trajetória, e admitirá que o Sol ocupe um dos focos. A partir dessa construção e do conhecimento da 2 a Lei de Kepler você deverá chegar a uma expressão que relaciona a força de atração exercida pelo Sol sobre o planeta com a distância até esse planeta. Material 1 folha de papel sulfite tamanho ofício 1 lápis 2 folhas de papel milimetrado 1 pedaço de linha de coser 1 transferidor 1 régua de 30cm 100g de sagu (*) 1 espelho plano massa de modelar para apoiar o espelho (*) O sagu é vendido em pacotes de 500 g, em supermercados. O sagu pode ser substituído por confeitos para bolos (esferinha coloridas feitas de 'não sei o que'). Procedimento 1. Construa uma elipse com base nas instruções dadas na complementação dessa atividade. A elipse construída representará a trajetória de um planeta em torno do Sol. Admita que o Sol ocupa o foco F 1. 2. Represente sobre a trajetória os pontos P 0 e P 1 que representarão as posições do planeta respectivamente nos instantes t 0 e t 1. 3. Determine na área do setor F 1 P 0 P 1. Para tanto você poderá utilizar resultados conhecidos da trigonometria, para o que consideraremos sempre o setor da elipse como um triângulo, o que é lícito, se a distância entre P 0 e P 1 não for muito grande (é preciso que o arco P 0 P 1 torne-se praticamente igual à corda P 0 P 1 ). A área de um triângulo pode obtida como se ilustra: 6
4. Destaque duas novas posições P 2 (t 2 ) e P 3 (t 3 ), de modo que Área F 1 P 2 P 3 = Área F 1 P 0 P 1. Para tanto consulte a segunda parte de nossa complementação. 5. Determine outros setores, em outras posições da elipse, cuja área seja igual à do setor F 1 P 0 P 1. Quatro setores serão suficientes. 6. Você pode afirmar que o planeta percorre os arcos dos setores obtidos nos itens anteriores, em intervalos de tempo iguais? Em que se baseia sua resposta? 7. Represente, nos pontos inicial e final de cada setor obtido, os vetores velocidade do planeta. Não se preocupe com o 'tamanho' do vetor; o importante é sua direção. Como os vetores velocidade devem ser tangentes à trajetória, em cada ponto, veja na complementação da atividade como traçar tais tangentes corretamente. 8. Considere o planeta ocupando a posição P 0. Qual seria a direção do seu movimento se sobre ele não agisse a força atrativa do Sol? Qual a posição que seria ocupada pelo planeta no instante t 1, nestas condições? (Lembre-se do principio da independência dos movimentos). 9. Admitindo-se que o planeta parta do repouso da posição encontrada no item anterior, e fica sob a ação atrativa do Sol, qual o deslocamento D experimentado pelo planeta no intervalo de tempo t 1 t 0. 10. Admita agora que o planeta se encontra na posição P 2. Proceda como nos itens 8 e 9 e determine o deslocamento do planeta, sob a ação atrativa do Sol, no intervalo de tempo t 3 t 2. 11. Repita os procedimentos 8 e 9 para os demais setores obtidos no item 5. Coloque os valores dos deslocamentos obtidos na tabela a seguir: Intervalo Deslocamento t 1 --- t 0 t 3 --- t 2 t 5 --- t 4 t 7 --- t 6 12- Os deslocamentos obtidos no item anterior são proporcionais à aceleração (suposta constante em cada intervalo), uma vez que os intervalos de tempo são todos iguais (veja sua resposta ao item 6), de acordo com a expressão: D = a. t 2 /2. Nesse caso podemos utilizar os valores dos deslocamentos para representar as acelerações em cada intervalo. Por sua vez, de acordo com a segunda lei de Newton as acelerações são proporcionais às forças resultantes aplicadas a um corpo. Nesse caso, os deslocamentos poderão ser também utilizados para representar a força atrativa do Sol sobre o planeta, em cada intervalo. 7
13. Construa um gráfico da força atrativa do Sol em função da distância ao planeta em cada intervalo. Para tanto, utilize como medida da força os valores dos deslocamentos obtidos no item 11 e como valores das distâncias as medidas dos segmentos do foco F 1 até o ponto médio dos arcos dos setores da elipse. Que tipo de curva você obteve? Dá para fazer uma previsão da relação entre a força de atração do Sol e a distância ao planeta? 14. Construa agora o gráfico da força atrativa do Sol em função do inverso do quadrado da distância ao planeta (1/R 2 ). Que tipo de curva você obteve? Que relação existe entre essas grandezas? Complementação Para a realização desta atividade, algumas construções se tornam necessárias. A seguir fornecemos os procedimentos que devem ser utilizados para tais construções: 1. Construção de uma elipse A elipse é definida como o lugar geométrico dos pontos de um plano cujas somas das distâncias a dois pontos fixos do plano (focos) têm valor constante e maior que a distância entre os pontos. Para esta atividade fixaremos a distância entre os focos como sendo 20 cm e a distância fixa com 30 cm. a) Sobre uma folha de papel das dimensões de ofício (31,5 x 21,5 cm, aproximadamente) marque 2 pontos (F 1 e F 2 ) separados pela distância de 20 cm (na direção de seu comprimento). b) Fixe sobre cada um desses pontos um alfinete ou percevejo. c) Amarre as extremidades de um fio de linha ou cordoné a cada um dos alfinetes, de modo que, esticado o fio, os dois segmentos somados tenham comprimento de aproximadamente 30cm (veja a ilustração). d) Estique o fio (sempre preso aos alfinetes) com a ponta do lápis e trace uma curva. Essa curva é a elipse. 2. Obtenção de áreas Fixada sobre a elipse uma área inicial, como se obtém outra área igual à dada? Dado o setor F 1 P 0 P 1, escolhe-se um ponto P 3 qualquer. O problema consiste em determinar um ponto P 2, tal que, as áreas indicadas sejam iguais. Observe: 8
Vejamos as soluções possíveis: a) Solução analítica Medem-se os segmentos F 1 P 0 e F 1 P 1, com a régua. Determina-se o valor do ângulo = P 0 F 1 P 1 com o transferidor. A área E 1 P 0 P 1 vale: (1/2).[F 1 P 0 ].[F 1 P 1 ].sen = K Basta então determinar um ângulo tal que: (1/2).[F 1 P 3 ] 2.sen = K ou sen = k / (1/2).[F 1 P 3 ] 2 Nesta construção supusemos que os segmentos F 1 P 3 e F 1 P 2 são aproximadamente iguais, o que, nas condições da figura, é aceitável. Conhecido e a posição de F 1 P 3 determina-se a de F 1 P 2 com o transferidor. b) Solução por construção geométrica Obtido o valor da área (K), fixa-se a posição inicial t 2, tal que: seg.f 1 P 2 = 2.seg.F 1 P 0. Traça-se a tangente em P 2. Para isto, coloca-se um espelho perpendicularmente ao plano do papel, tentando tangenciar a curva, segundo P 2. Olha-se no espelho, de modo que F 2 P 2 apareça como prolongamento de F 1 P 2 e vice-versa. Traça-se com o lápis o segmento, segundo a base do espelho no papel, que contenha P 2. Este segmento será a tangente procurada (veja ilustração acima). Baixe, por F 1, a perpendicular à tangente. Seja h a distância de F 1 até essa tangente. Com a régua (ou cálculo), obtenha o o valor dessa distância h (de F 1 até a tangente). Em seguida, determine P 3 tal que: 9
(1/2).h.[P 2 P 3 ] = K ==> P 2 P 3 = K /(1/2).h Com isto fica determinada a posição P 3 do planeta nas condições pedidas. c) Solução física Com um arame, construa um V. Coloque o vértice do V em F 1 e dirija os raios de V segundo F 1 P 0 e F 1 P 1. Encha o V, até a elipse, com sagu (veja ilustração). Transfira o V para outra posição e acerte o novo ângulo do V para que a mesma quantidade de sagu preencha a nova área, até a elipse. 3. Como traçar a tangente a uma elipse por um ponto? Para traçar tangentes à elipse em um ponto P qualquer, pode-se colocar um espelho plano, perpendicular ao plano do papel e procura-se tangenciar P. Olha-se no espelho e deve-se ver F 1 P no espelho, como prolongamento de F 2 P e vice-versa. Nesta posição, a base do espelho é tangente à curva em P e a tangente pode ser traçada com um lápis. 10
Gravitação IV (Satélites Artificiais) A tabela apresenta dados sobre vários satélites lançados pelo homem, desde o primeiro deles, o Sputnik-I, lançado em 4 de outubro de 1957. Muitos desses satélites já não se encontram em órbita. A tabela inclui, também, a Lua, o satélite natural da Terra. Observe que, na tabela, faltam alguns dados que deverão ser preenchidos. Observações 2 4 R A aceleração (centrípeta) de cada satélite foi determinada pela relação a C 2 T O raio médio da órbita foi calculado pela soma da média aritmética entre o perigeu e o apogeu com o raio da Terra (6.370 km). Responda às questões abaixo: 1. De acordo com a terceira lei de Kepler, a razão lacunas relativas aos satélites Taiyo e UOSAT. R T 3 2 é constante para todos os satélites. Preencha as 11
2. Qual é o período, em minutos, do satélite D-1D? 3. Como varia o período com o raio médio da órbita 4. Como varia a aceleração centrípeta com o raio médio da órbita 5. Um satélite é denominado geoestacionário quando seu período é igual ao de rotação da Terra. Há algum satélite geoestacionário na tabela? Justifique. 6. Supondo que a única força em cada um dos satélites seja a força gravitacional, qual será o peso, em newtons, do satélite Denpa? 7. Construa o gráfico da aceleração, em m/s2, em função do raio médio da órbita, em km, usando os dados aproximados da tabela abaixo: 8. Com base no gráfico, determine, aproximadamente, a aceleração para um raio médio de 6.370 km (raio da Terra). Qual é o significado desse resultado? 12